《创新课堂》4.3.2　对数的运算 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共59张PPT)
4.3.2　对数的运算
1. 掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件（逻辑推理）.
2. 能熟练运用对数的运算性质进行化简求值（数学运算）.
3. 掌握换底公式及其推论，能熟练运用对数的运算性质进行化简求值（逻辑推理、数学运算）.
课标要求
情景导入
对数是指数的另一种表达形式.对数运算是指数运算的逆运算，我们
已经知道指数运算有指数运算的性质，那么对数运算是否有对数运算
的性质？
知识点一　对数的运算性质
01
知识点二　换底公式
02
提能点　对数运算性质的综合运用
04
目录
课时作业
05
知识点三　实际问题中的对数运算
03
知识点一
对数的运算性质
01
PART
问题1　（1）将指数式M＝ap，N＝aq化为对数式，可得p＝logaM，q＝
logaN①；结合指数运算性质可得MN＝apaq＝ap＋q，即MN＝ap＋q， 将
其化为对数式可得p＋q＝loga（MN）②.结合上述两个转化的结果①
②，你能得到什么结论（用一个等式表示）？
提示：loga（MN）＝logaM＋logaN（a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0）.
（2）结合（1）的结论，若 ＝ ＝ap－q，又能得到什么结论？
提示：将指数式 ＝ap－q化为对数式，得
loga ＝p－q＝logaM－logaN（a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0）.
（3）结合（1）的结论，若Mn＝（ap）n＝anp（n∈R），又能有何结
果？
提示：由Mn＝anp，得logaMn＝np＝nlogaM（n∈R）.
【知识梳理】
　如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么
（1）loga（MN）＝ ；
（2）loga ＝ ；
（3）logaMn＝ （n∈R）.
　　提醒：（1）性质的逆运算仍然成立；（2）公式成立的条件是M＞
0，N＞0，而不是MN＞0，比如式子log2[（－2）·（－3）]有意义，而
log2（－2）与log2（－3）都没有意义；（3）性质（1）可以推广为：loga
（N1·N2·…·Nk）＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk＞0，k∈N*.
logaM＋logaN　
logaM－logaN　
nlogaM　
【例1】　（链接教材P124例3）求下列各式的值：
（1）log2（49×26）；
解：原式＝log249＋log226＝9log24＋6log22＝9×2＋6×1＝24.
（2）lg ；
解：原式＝lg 1 00 ＝ lg 1 000＝ ×3＝ .
（3）log535－2log5 ＋log57－log5 ；
解：原式＝log5（5×7）－2（log57－log53）＋log57－（log59－log55）＝
log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.
（4）lg 52＋ lg 8＋lg 5·lg 20＋（lg 2）2.
解：原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5（2lg 2＋lg 5）＋（lg 2）2＝2lg 10＋（lg 5＋
lg 2）2＝2＋（lg 10）2＝2＋1＝3.
【规律方法】
对数式化简与求值的基本原则和方法
（1）基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处
理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的
原则进行；
（2）两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和（差）收成积
（商）的对数；②“拆”，将积（商）的对数拆成同底的两对数的和
（差）.
训练1　计算下列各式的值：
（1）lg ；
解：原式＝lg ＝lg 1－lg 104＝－4.
（2）log345－log35；
解：原式＝log3 ＝log39＝log332＝2.
（3）4lg 2＋3lg 5－lg ；
解：原式＝lg ＝lg（24×54）＝lg（2×5）4＝4.
（4） .
解：原式＝ ＝ ＝ .
知识点二
换底公式
02
PART
问题2　（1）前面我们学习了对数的运算性质，但对于一些式子，比如
log48，log93等式子的化简求值问题还不能直接求解，你能用已学知识寻找
到解决该问题的思路吗？
提示：设log48＝x，故有4x＝8，即 ＝23，故x＝ ，而log28＝3，log24
＝2，于是我们大胆猜测log48＝ ，同样log93＝ .
（2）是否对任意的logab都可以表示成logab＝ （a＞0，且a≠1；b
＞0；c＞0，且c≠1）？说出你的理由.
提示：依据当a＞0，且a≠1时，ax＝N logaN＝x推导得出.令 ＝
x，则logcb＝xlogca＝logcax，故b＝ax，∴x＝logab，∴logab＝ .
【知识梳理】
1. 换底公式

　
2. 几个常用推论
（1）lo bn＝logab（a＞0，a≠1；b＞0；n≠0）；
（2）lo bn＝ logab（a＞0，a≠1；b＞0；m≠0；n∈R）；
（3）logab·logba＝1（a＞0，a≠1；b＞0，b≠1）.
　　提醒：（1）公式成立的条件要使每一个对数式都有意义；（2）在具
体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝ 或logab＝
；（3）公式logab＝ 中的c可为c＞0且c≠1的任意数.
【例2】　（1）计算：（log43＋log83）（log32＋log92）；
解：原式＝ ＝ ＝ ×
＝ .
（2）已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645的值.
解：法一　∵log189＝a，18b＝5，
∴log185＝b.
∴log3645＝ ＝
＝ ＝ ＝ .
法二　∵log189＝a，18b＝5，∴log185＝b.
∴log3645＝ ＝ ＝ .
变式　若本例（2）条件不变，求log915（用a，b表示）.
解：因为18b＝5，所以log185＝b.
所以log915＝ ＝ ＝ ＝ ＝
＝ ＝ ＝ .
【规律方法】
利用换底公式进行化简求值的原则和技巧
训练2　（1）log29·log34＝ ；
解析：由换底公式可得，log29·log34＝ · ＝ · ＝4.
（2）计算： ＝ 　－ 　.
4
解析：原式＝ × ＝lo ×lo 9＝ × ＝
× ＝－ .
－
知识点三
实际问题中的对数运算
03
PART
【例3】　分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级来
描述声音的大小：把一很小的声压P0＝2×10－5帕作为参考声压，把所要
测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘20得到的数值称为声压
级.声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝（dB）.分贝值在60
以下为无害区，说明声音环境优良，60～110为过渡区，110以上为有害区.
（1）试列出分贝y与声压P的函数关系式；
解：由已知得y＝20lg （其中P0＝2×10－5）.
（2）某地声压P＝0.002帕，则该地为以上所说的什么区？声音环境是否
优良？
解：当P＝0.002 时，y＝20lg ＝20lg 102＝40（分贝）.
由已知条件知40分贝小于60分贝，
所以此地为噪音无害区，声音环境优良.
【规律方法】
对数运算在实际问题中应用的两种常见类型
（1）在实际问题中量与量之间直接存在对数关系，求解时先将题目中数
量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行
计算；
（2）在实际问题中量与量之间存在指数幂的关系，求解时可将指数式利
用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算.
训练3　标准的围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现
“黑”“白”“空”三种情况，因此有3361种不同的情况.而我国北宋学者
沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围
棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即10 00052，下列数据最接
近 的是（lg 3≈0.477）（　　）
A. 10－37 B. 10－36
C. 10－35 D. 10－34
√
解析：　根据题意，对 取常用对数得lg ＝lg 3361－lg 10
00052＝361×lg 3－52×4≈－35.8，则 ≈10－35.8，选项B中的10－36与
其最接近.
04
PART
提能点
对数运算性质的综合运用
【例4】　已知a＞b＞1，若logab＋logba＝ ，ab＝ba，则a＝ ，b
＝ .
解析：对ab＝ba两边取对数，得logaab＝logaba，得b＝alogab，即logab
＝ ，同理可得a＝blogba，即logba＝ ，代入logab＋logba＝ ，可得
＋ ＝ .因为a＞b＞1，所以解得 ＝2.将a＝2b代入ab＝ba，得（2b）
b＝b2b，解得b＝2，所以a＝4.
4
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【规律方法】
对数运算性质及换底公式的综合运用
（1）在对数式、指数式共存的条件下，一般对指数式等式两边同时取对
数，再灵活运用对数性质及运算性质，注意条件和结论之间的关系，进行
正确的相互转化；
（2）对于连等式可令其等于k（k＞0），然后将指数式用对数式表示，再
由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.
训练4　（1）已知2x＝12，log2 ＝y，则x＋y＝ ；
解析：因为2x＝12，所以x＝log212，又因为y＝log2 ，所以x＋y＝log212
＋log2 ＝log24＝2.
2
（2）设常数a＞1，实数x，y满足logax＋2logxa＋logxy＝－3，若y的最
大值为 ，则x的值为 　 　.
解析：实数x，y满足logax＋2logxa＋logxy＝－3，化为logax＋ ＋
＝－3.令logax＝t，则原式化为logay＝－ ＋ .∵a＞1，
∴当t＝－ 时，y取得最大值 ，∴loga ＝ ，解得a＝4，∴log4x＝
－ ，∴x＝ ＝ .

1. log6432＝（　　）
B. 2
解析：log6432＝ ＝ ＝ ＝ .
√
2. 已知lg 2＝a，lg 3＝b，则log36＝（　　）
解析：log36＝ ＝ ＝ .
√
3. 计算2log63＋log64＝ .
解析：2log63＋log64＝log69＋log64＝log636＝2.
4. 若lg x＋lg y＝2lg（x－2y），则 ＝ .
解析：因为lg x＋lg y＝2lg（x－2y），所以xy＝（x－2y）2，即x2－5xy
＋4y2＝0.所以（x－y）（x－4y）＝0，解得x＝y或x＝4y，所以 ＝1
或 ＝4.由已知等式知，x＞0，y＞0，x－2y＞0，而在此条件下，当 ＝
1时，x－2y＜0，此时lg（x－2y）无意义，所以 ＝1不符合题意，应舍
去；当 ＝4时，将x＝4y代入已知条件，符合题意，所以 ＝4.
2
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课堂小结
1.理清单
（1）对数的运算性质；
（2）换底公式；
（3）对数的实际应用；
（4）对数运算性质的综合运用.
2.应体会
对数运算性质的运用体现了转化与化归思想.
3.避易错
（1）要注意对数的运算性质的结构形式，不可自创运算法则；
（2）要注意对数的换底公式的结构形式.
课时作业
05
PART
1. 若lg a－2lg 2＝1，则a＝（　　）
A. 4 B. 10 C. 20 D. 40
解析：∵lg a－2lg 2＝lg a－lg 4＝lg ＝1，∴ ＝10，∴a＝40.故选D.
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2. 若lg x－lg y＝t，则lg －lg ＝（　　）
A. 3t
C. t
解析：　lg －lg ＝3lg －3lg ＝3lg ＝3（lg x－lg y）＝3t.
√
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3. 计算 （log312－2log32）＝（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 4
解析：　 log64＋log63＝log6 ＋log63＝log62＋log63＝log66＝1，log312
－2log32＝log312－log34＝log33＝1，则原式＝1.
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4. ＋ ＝（　　）
A. lg 3 B. －lg 3
解析：原式＝lo ＋lo ＝lo ＋lo ＝lo ＝log310＝ .
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5. 某化工厂生产一种溶液，按市场需求，杂质含量不能超过0.1%.若初始
时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少 ，要使产品达到市场要求，
则至少应过滤的次数为（已知：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）（　　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
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解析：　设至少需要过滤n次，则2%× ≤0.1%，即 ≤ .
所以nlg ≤lg ，即n（lg 2－lg 3）≤－lg 20，即n≥ ＝
≈7.4.又n∈N，所以n≥8.所以至少过滤8次才能使产品达到市场要
求，故选C.
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6. 〔多选〕设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是
（　　）
A. logab·logcb＝logca B. logab·logca＝logcb
C. 2lg a＋2lg b＝2lg ab D. 2lg ab＝2lg a·2lg b
√
√
解析：log24·log164＝2× ＝1≠log162＝ ，因而A错误；logab·logca
＝ · ＝ ＝logcb，因而B正确；
故D正确，C错误.
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7. 设alog34＝2，则4－a＝ .
解析：因为alog34＝2，则log34a＝2，则4a＝32＝9，则 ＝ ＝ .

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8. 已知m＞0且10x＝lg（10m）＋lg ，则x＝ .
解析：lg（10m）＋lg ＝lg 10＋lg m＋lg ＝1，所以10x＝1＝100，所以
x＝0.
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9. 若a＝log23，b＝log32，则a·b＝ ，lg a＋lg b＝ .
解析：因为a＝log23，b＝log32，则a·b＝ · ＝1，lg a＋lg b＝lg ab＝
lg 1＝0.
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10. 计算下列各式的值：
（1）log535＋2lo －log5 －log514；
解：原式＝log535＋log550－log514＋2lo ＝log5 ＋lo 2＝
log553－1＝2.
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（2）（log2125＋log425＋log85）·（log52＋log254＋log1258）.
解：法一　原式＝（log253＋ ＋ ）·
＝
＝ log25·3log52＝13log25· ＝13.
法二　原式＝ ·
＝ ·
＝ · ＝13.
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11. 已知lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则 ＝（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：　由题意得lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝ ，则 ＝（lg a－lg
b）2＝（lg a＋lg b）2－4lg a·lg b＝22－4× ＝2.
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12. 设a，b，c为正数，且满足a2＋b2＝4c2，则log2 ＋
log2 ＝ .
解析：原式＝log2 ＋log2 ＝log2（ · ）＝
log2 ＝log2 ＝log2 ＝log22＝1.
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13. 解下列方程：
（1）lg x＋2log10xx＝2；
解：方程中的x应满足x＞0且x≠ ，
原方程可化为lg x＋ ＝2，所以（lg x）2＋lg x－2＝0.
令t＝lg x，则t2＋t－2＝0，解得t＝1或t＝－2，
即lg x＝1或lg x＝－2.所以x＝10或x＝ .
经检验，x＝10，x＝ 都是原方程的解.
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（2） ＝ （a＞0且a≠1）.
解：两边取对数得，（logax）2＝2logax－1，即（logax）2－2logax
＋1＝0，
所以logax＝1，解得x＝a.
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14.20世纪30年代，里克特和古登堡提出了一种表明地震能量大小的尺
度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的
地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M
＝lg A－lg A0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅
（使用标准地震振幅是为了修正测震仪与实际震中的距离造成的偏差）.
（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大
振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，试计算这次地震的震级；（精
确到0.1，其中lg 2≈0.301）
解：M＝lg 20－lg 0.001＝lg ＝lg 20 000＝lg 2＋lg 104≈4.3.
因此，这是一次约为里氏4.3级的地震.
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（2）5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地
震的最大振幅的多少倍？（精确到1，其中102.6≈398.1）.
解：由M＝lg A－lg A0可得M＝lg ，则 ＝10M，即A＝A0·10M.
当M＝7.6时，最大振幅A1＝A0·107.6，
当M＝5时，最大振幅A2＝A0·105，
所以两次地震的最大振幅之比是 ＝ ＝107.6－5＝102.6≈398.
因此，7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍.
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15. 〔多选〕已知3a＝5b＝15，则a，b满足的关系是（　　）
A. ab＞4 B. a＋b＞4
C. a2＋b2＜4 D. （a＋1）2＋（b＋1）2＞16
√
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√
解析：因为3a＝5b＝15，所以a≠b，a＝log315，b＝log515，所以log153＝ ，log155＝ ，所以 ＋ ＝1.由 ≤ ≤ ≤ ，可得ab＞4，a＋b＞4，a2＋b2＞8，所以（a＋1）2＋（b＋1）2＝a2＋2a＋1＋b2＋2b＋1＞18＞16.故选A、B、D.
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