《创新课堂》4.4.1　对数函数的概念 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共49张PPT)
4.4.1　对数函数的概念
1. 理解对数函数的概念（数学抽象）.
2. 会求与对数函数有关的定义域问题（数学运算）.
3. 了解对数函数在实际生产中的简单应用（数学建模）.
课标要求
情景导入
已知细胞分裂个数y与分裂次数x满足y＝2x，那么反过来，x是关于y的
函数吗？
　　如果用x表示自变量，用y表示函数，那么这个函数是什么？
知识点一　对数函数的概念
01
知识点二　对数型函数的定义域
02
知识点三　对数型函数的实际应用
03
目录
课时作业
04
知识点一
对数函数的概念
01
PART
问题　（1）将y＝2x化为对数式得到什么结果？根据这一结果，对于区间
（0，＋∞）内的每一个y的值，是否都有唯一的实数x与之对应？
提示：x＝log2y；任意y∈（0，＋∞），都有唯一的x对应.
（2）x能否看作关于y的函数？
提示：x能看作关于y的函数.
【知识梳理】
　一般地，函数y＝ 叫做对数函数，其
中 是自变量，定义域是 .
　　提醒：在对数函数的定义表达式y＝logax（a＞0，且a≠1）中，
logax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数
函数.
logax（a＞0，且a≠1）　
x　
（0，＋∞）　
【例1】　（1）〔多选〕下列函数中为对数函数的是（　CD　）
A. y＝lo （－x）
B. y＝2log4（x－1）
C. y＝ln x
D. y＝lo x（a是常数）
解析：对于A，真数是－x，故A不是对数函数；对于B，真数是x－1，
不是x，故B不是对数函数；对于C，ln x的系数为1，真数是x，故C是
对数函数；对于D，底数a2＋a＋2＝ ＋ ＞1，真数是x，故D是
对数函数.
CD
（2）已知对数函数f（x）的图象过点P（8，3），则f ＝ .
解析：设对数函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1），∵f（x）的图象过
点P（8，3），∴3＝loga8，∴a3＝8，a＝2.∴f（x）＝log2x，∴f
＝log2 ＝log22－5＝－5.
－5
【规律方法】
判断一个函数是对数函数的依据
训练1　（1）若函数y＝log（2a－1）x＋（a2－5a＋4）是对数函数，则a
＝ ；
解析：因为函数y＝log（2a－1）x＋（a2－5a＋4）是对数函数，所以
解得a＝4.
4
（2）已知函数f（x）是对数函数，且f ＝－ ，则f（2 ）
＝ .
解析：设f（x）＝logax（a＞0，且a≠1），因为f ＝－ ，所以a＝
2，f（x）＝log2x，所以f（2 ）＝ .

知识点二
对数型函数的定义域
02
PART
【例2】　（链接教材P130例1）求下列函数的定义域：
（1）y＝ ；
解：要使函数式有意义，
需 解得x＞1，且x≠2.
故函数y＝ 的定义域是{x｜x＞1，且x≠2}.
（2）y＝ .
解：要使函数式有意义，需 即 解得x≥4.
故函数y＝ 的定义域是{x｜x≥4}.
【规律方法】
求函数定义域的原则
（1）分母不能为0；
（2）根指数为偶数时，被开方数非负；
（3）对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
训练2　求下列函数的定义域：
（1）f（x）＝lg（x－2）＋ ；
解：要使函数有意义，需满足 解得x＞2，且x≠3.
所以所求函数的定义域为（2，3）∪（3，＋∞）.
（2）f（x）＝log（x＋2） .
解：要使函数有意义，则 得
所以所求函数的定义域为（－2，－1）∪ .
03
PART
知识点三
对数型函数的实际应用
【例3】　某化工厂生产一种溶液，初时含杂质为1，每过滤一次可使杂质
含量减少 ，设过滤y次后杂质含量为x.
（1）求y关于x的函数解析式；
解：由题意得x＝ ，y∈[0，＋∞），
即x＝ ，x∈（0，1].
所以可得y＝lo x，x∈（0，1].
（2）要使产品达到市场要求，杂质含量不能超过 ，则至少应过滤多少
次？（lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）
解：令x＝ ，则y＝lo ＝ ≈ ≈10.4.
所以至少应过滤11次才能使产品达到市场要求.
【规律方法】
利用对数函数模型解决应用问题
（1）列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围；
（2）利用指对互化转化为对数函数y＝logax；
（3）代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算.
训练3　某种动物的数量y（单位：只）与时间x（单位：年）的函数关系
式为y＝alog2（x＋1），若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量
为（　　）
A. 300只 B. 400只
C. 500只 D. 600只
解析：由题意，知100＝alog2（1＋1），得a＝100，则当x＝7时，y
＝100log2（7＋1）＝100×3＝300.
√
1. 已知对数函数的图象过点M（9，－2），则此对数函数的解析式为
（　　）
A. y＝log2x B. y＝log3x
C. y＝lo x D. y＝lo x
解析：　设函数f（x）＝logax（x＞0，a＞0且a≠1），∵对数函数的
图象过点M（9，－2），∴－2＝loga9，∴a－2＝9，a＞0，解得a＝ .
∴此对数函数的解析式为y＝lo x.故选C.
√
2. 已知函数y＝f（x）为对数函数，f ＝－2，则f（ ）＝（　　）
A. 2 B. C. D.
解析：　设f（x）＝logax（a＞0，且a≠1），则loga ＝－2，∴ ＝
，即a＝ ，∴f（x）＝lo x，∴f（ ）＝lo ＝log2
（ ）2＝log2 ＝ .故选D.
√
3. 若函数f（x）＝（a2＋a－5）logax为对数函数，则f ＝ .
解析：由a2＋a－5＝1，解得a＝2或a＝－3，又因a＞0，所以a＝2，所
以f（x）＝log2x，f ＝log2 ＝－3.
4. 函数y＝log（x－1）（3－x）的定义域为 .
解析：要使函数式有意义，需 解得1＜x＜3，且x≠2.
故函数y＝log（x－1）（3－x）的定义域是{x｜1＜x＜3，且x≠2}.
－3
{x｜1＜x＜3，且x≠2}
课堂小结
1.理清单
（1）对数函数的概念和定义域；
（2）对数函数模型的简单应用.
2.应体会
利用待定系数法求对数函数的解析式；求对数型函数的定义域问题通常
转化为不等式的解集问题，体现了转化与化归思想.
3.避易错
易忽视对数函数底数有限制条件.
课时作业
04
PART
1. 函数f（x）＝lg（x－1）＋ 的定义域为 （　　）
A. （1，4] B. （1，4）
C. [1，4] D. [1，4）
解析：由题意得 所以1＜x≤4.
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√
2. 若函数f（x）＝loga（x＋1）（a＞0，a≠1）的图象过点（7，3），
则a＝（　　）
A. B. 2 C. D.
解析：由题意得3＝loga（7＋1），可得a3＝8，则a＝2.故选B.
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3. 下列函数为同一个函数的是（　　）
A. y＝log3x2与y＝2log3x
B. y＝lg 10x与y＝10lg x
C. y＝log3x2与y＝2log3｜x｜
D. y＝lg x与y＝ln x
解析：由函数的三要素可知，只有C成立.
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4. 设函数f（x）＝ 则f（f（10））＝（　　）
A. lg 101 B. 1
C. 2 D. 0
解析：f（f（10））＝f（lg 10）＝f（1）＝12＋1＝2.
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5. 我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农
（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道
中，计算最大信息传送速率C的公式C＝W·log2 ，其中W是信道
带宽（赫兹），S是信道内所传信号的平均功率（瓦），N是信道内部的
高斯噪声功率（瓦），其中 叫做信噪比.根据此公式，在不改变W的前提
下，将信噪比从99提升至λ，使得C大约增加了60%，则λ的值大约为
（参考数据：100.2≈1.58）（　　）
A. 1 559 B. 3 943
C. 1 579 D. 2 512
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解析：　由题意得 ≈60%，则
≈1.6，1＋λ≈1001.6＝103.2＝103×100.2≈1 580，∴λ≈1 579.
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6. 〔多选〕函数y＝log（a－2）[（5－a）x]的定义域为{x｜x＞0}，则实
数a的值可能是（　　）
A. B. 3
C. 4 D. 5
√
√
解析：由题意可知， 即 因此2＜a＜5且a≠3.
故选A、C.
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7. 函数f（x）＝（m－1）logax（a＞0，且a≠1）是对数函数，且过点
（4，2），则f（m）＝ .
解析：由题意m＝2.又2＝loga4，故a＝2，因此f（x）＝log2x.所以f
（m）＝f（2）＝log22＝1.
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8. 设f（x）是对数函数，且f（ ）＝－ ，那么f（ ）＝ 　－ 　.
解析：设f（x）＝logax（a＞0且a≠1）.由f（ ）＝－ ，解得a＝
，∴f（x）＝lo x.∴f（ ）＝lo ＝－ .
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9. 某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为
x万元时，奖励y万元.若公司拟定的奖励方案为y＝2log4x－2，某业务员
要得到5万元奖励，则他的销售额应为 万元.
解析：由题意得5＝2log4x－2，即7＝log2x，得x＝128.
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10. 设函数f（x）＝lg ，a∈R，若当x∈（－∞，1）时，f
（x）都有意义，求实数a的取值范围.
解：f（x）＝lg ＝lg（4x＋2x＋a），
依题意，4x＋2x＋a＞0在x∈（－∞，1）上恒成立，
即a＞－（4x＋2x）对任意x∈（－∞，1）都成立，
令t＝2x，x∈（－∞，1），则t∈（0，2），
易知y＝－t2－t＝－ ＋ 在（0，2）上单调递减，
∴－t2－t∈（－6，0），∴a≥0.
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11. 设函数f（u）＝log2u的定义域为（0，1），则函数f（ex）的定义域
为（　　）
A. （0，1） B. （－1，0）
C. （0，＋∞） D. （－∞，0）
解析：函数f（u）的定义域为（0，1），即u∈（0，1），所以0＜ex
＜1，解得x∈（－∞，0），故函数f（ex）的定义域为（－∞，0）.
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12. 〔多选〕下列点中，既在指数函数y＝ax的图象上，也在对数函数y＝
logax的图象上的点是（　　）
A. （1，1） B. （2，2）
C. （2，4） D.
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解析：对于A，y＝ax和y＝logax的图象不过点（1，1），不符合题意；对于B，若点（2，2）在函数y＝ax图象上，解得a＝ ，此时对数函数y＝log x也过点（2，2），所以符合题意；对于C，若点（2，4）在函数y＝ax图象上，解得a＝2，此时对数函数y＝log2x不过点（2，4），不符合题意；对于D，若点 在函数y＝ax图象上，解得a＝ ，此时对数函数y＝lo x也过点 ，所以符合题意.故选B、D.
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13. 已知函数y＝lg（x2＋2x＋a）的定义域为R，则实数a的取值范围
为 .
解析：因为y＝lg（x2＋2x＋a）的定义域为R，所以x2＋2x＋a＞0恒成
立，所以Δ＝4－4a＜0，所以a＞1.故实数a的取值范围是（1，＋∞）.
（1，＋∞）
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14. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.记鲑鱼的游速为V
（m/s），鲑鱼的耗氧量的单位数为Q（Q＞0），研究中发现V与log3
成正比，且当Q＝900时，V＝1.
（1）求出V关于Q的函数解析式；
解：设V＝k·log3 （Q＞0），
因为当Q＝900时，V＝1，
所以1＝k·log3 ，
所以k＝ ，所以V关于Q的函数解析式为V＝ log3 （Q＞0）.
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（2）计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量的单位数.
解：令V＝1.5，则1.5＝ log3 ，所以Q＝2 700，
即一条鲑鱼的游速是1.5 m/s时耗氧量为2 700个单位.
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15. 国际视力表值（又叫小数视力值，用V表示，范围是[0.1，1.5]）和
我国现行视力表值（又叫对数视力值，由缪天荣创立，用L表示，范围是
[4.0，5.2]）的换算关系式为L＝5.0＋lg V.
（1）请根据此关系式将下面视力对照表补充完整；
V 1.5 ② 0.4 ④
L ① 5.0 ③ 4.0
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解：因为5.0＋lg 1.5＝5.0＋lg ＝5.0＋lg ＝5.0＋lg 3－lg 2≈5.0
＋0.477 1－0.301 0≈5.2，所以①应填5.2；
因为5.0＝5.0＋lg V，所以V＝1，②处应填1.0；
因为5.0＋lg 0.4＝5.0＋lg ＝5.0＋lg 4－1＝5.0＋2lg 2－1≈5.0＋
2×0.301 0－1≈4.6，所以③处应填4.6；
因为4.0＝5.0＋lg V，所以lg V＝－1.所以V＝0.1.所以④处应填0.1.
视力对照表补充完整如表：
V 1.5 1.0 0.4 0.1
L 5.2 5.0 4.6 4.0
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（2）甲、乙两位同学检查视力，其中甲的对数视力值为4.5，乙的小数视
力值是甲的2倍，求乙的对数视力值.（所求值均精确到小数点后面一位
数，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1）
解：先将甲的对数视力值换算成小数视力值，
则有4.5＝5.0＋lg V甲，所以V甲＝10－0.5，
则V乙＝2×10－0.5.
所以乙的对数视力值L乙＝5.0＋lg（2×10－0.5）＝5.0＋lg 2－0.5≈5.0＋
0.301 0－0.5≈4.8.
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