《创新课堂》4.4.2第一课时　对数函数的图象和性质 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共56张PPT)
第一课时　对数函数的图象和性质
1. 初步掌握对数函数的图象和性质（直观想象）.
2. 会类比指数函数研究对数函数的性质（数学抽象）.
3. 掌握对数函数的图象和性质的简单应用（逻辑推理、数学运算）.
课标要求
　　同学们，还记得我们是如何研究指数函数的吗？实际上，研究对数函数的思路和研究指数函数的思路是一致的，我们可以用类比的方法来研究对数函数.
情景导入
知识点一　对数函数的图象及性质
01
知识点二　比较对数值的大小
02
知识点三　利用单调性解对数不等式
03
目录
课时作业
04
知识点一
对数函数的图象及性质
01
PART
问题　（1）请同学们利用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表
格，再在同一坐标系下画出对数函数y＝log2x和y＝lo x的函数图象；
x … 0.25 0.5 1 2 4 8 16 32 …
y＝
log2x … …
… …
提示：－2　－1　0　1　2　3　4　5　2　1　0　－1　－2　－3　－
4　－5
描点、连线.
（2）通过观察函数y＝log2x和y＝lo x的图象，分析两个函数定义域、
值域、最值、奇偶性、单调性等有哪些相同点？有哪些不同点？
提示：相同点：定义域、值域、最值的情况、奇偶性、经过一个共同点；
不同点：单调性、函数值的变化.我们还发现y＝log2x和y＝lo x这两个
底数互为倒数的函数图象关于x轴对称.
（3）为了更好地研究对数函数的性质，我们再选取底数a＝3，4， ，
，你能在同一坐标系下作出它们的函数图象吗？
提示：
【知识梳理】
　对数函数的图象和性质
y＝logax （a＞0，且a≠1） 底数 a＞1 0＜a＜1
图象
定义域 值域 R 单调性 在（0，＋∞）上是增函数 在（0，＋∞）上是减函数
最值 （0，＋∞）
无最大、最小值
y＝logax （a＞0，且a≠1） 奇偶性 共点性 图象过定点 ，即x＝1时，y＝0 函数值 特点 当x∈（0，1）时， y∈ ； 当x∈[1，＋∞）时， y∈ 当x∈（0，1）时，
y∈ ；
当x∈[1，＋∞）时，
y∈
对称性 非奇非偶函数
（1，0）　
（－∞，0）　
[0，＋∞）　
（0，＋∞）　
（－∞，0]　
x轴　
　　提醒：（1）函数图象只出现在y轴右侧；（2）对任意底数a，当x＝
1时，y＝0，故过定点（1，0）；（3）当0＜a＜1时，底数越小，图象越
靠近x轴；（4）当a＞1时，底数越大，图象越靠近x轴.
【例1】　（1）如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，
则（　B　）
A. 0＜a＜b＜1
B. 0＜b＜a＜1
C. a＞b＞1
D. b＞a＞1
B
解析：作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知
0＜b＜a＜1.
（2）若函数y＝loga（x＋b）＋c（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点
（3，2），则实数b＝ ，c＝ ；
解析：因为函数的图象恒过定点（3，2），所以将（3，2）代入y＝loga
（x＋b）＋c，得2＝loga（3＋b）＋c.又当a＞0，且a≠1时，loga1＝0
恒成立，所以c＝2，3＋b＝1，所以b＝－2，c＝2.
－2
2
（3）已知f（x）＝loga｜x｜（a＞0，且a≠1）满足f（－5）＝1，试画
出函数f（x）的图象.
解：因为f（－5）＝1，所以loga5＝1，
即a＝5，
故f（x）＝log5｜x｜＝
所以函数f（x）＝log5｜x｜的图象如图所示.
变式1　在本例（3）中，若条件不变，试画出函数g（x）＝loga｜x－
1｜的图象.
解：因为f（x）＝log5｜x｜，所以g（x）＝log5｜x－1｜，
如图，g（x）的图象是由f（x）的图象向右平移1个单位长度得到的.
变式2　在本例（3）中，若条件不变，试画出函数h（x）＝｜logax｜的
图象.
解：因为a＝5，所以h（x）＝｜log5x｜.h（x）的图象如图中实线部分所示.
【规律方法】
对数型函数图象的变换方法
（1）作y＝f（｜x｜）的图象时，保留y＝f（x）（x＞0）的图象不
变，x＜0时y＝f（｜x｜）的图象与y＝f（x）（x＞0）的图象关于y轴
对称；
（2）作y＝｜f（x）｜的图象时，保留y＝f（x）的x轴及上方图象不
变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可；
（3）有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律；
（4）y＝f（－x）与y＝f（x）关于y轴对称，y＝－f（x）与y＝f
（x）关于x轴对称，y＝－f（－x）与y＝f（x）关于原点对称.
训练1　画出函数y＝｜log2（x＋1）｜的图象，并写出函数的值域及单调
区间.
解：函数y＝｜log2（x＋1）｜的图象如图所示.
由图象知，其值域为[0，＋∞），单调递减区间是（－1，
0]，单调递增区间是（0，＋∞）.
知识点二
比较对数值的大小
02
PART
【例2】　（链接教材P133例3）比较下列各题中两个值的大小：
（1）log31.9，log32；
解：因为y＝log3x在（0，＋∞）上是增函数，且1.9＜2，
所以log31.9＜log32.
（2）lo ，lo ；
解：因为y＝lo x在（0，＋∞）上是减函数，且 ＜ ，所以lo ＞
lo .
（3）log23，log0.32；
解：因为log23＞log21＝0，log0.32＜log0.31＝0，所以log23＞log0.32.
（4）logaπ，loga3.14（a＞0，且a≠1）.
解：π＞3.14，当a＞1时，函数y＝logax在（0，＋∞）上是增函数，有
logaπ＞loga3.14；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在（0，＋∞）上是减函数，有logaπ＜
loga3.14.
综上可得，当a＞1时，logaπ＞loga3.14；当0＜a＜1时，logaπ＜
loga3.14.
【规律方法】
比较对数值大小时常用的4种方法
（1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较；
（2）若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数
进行分类讨论；
（3）若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进
行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进
行比较；
（4）若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较.
训练2　下列式子中成立的是（　　）
A. log0.44＜log0.46 B. 1.013.4＞1.013.5
C. 3.50.3＜3.40.3 D. log76＜log67
解析：　因为f（x）＝log0.4x为减函数，故log0.44＞log0.46，故A错；因
为f（x）＝1.01x为增函数，所以1.013.4＜1.013.5，故B错；因为f（x）
＝x0.3在（0，＋∞）上单调递增，且3.5＞3.4，所以3.50.3＞3.40.3，故C
错；设函数f（x）＝log7x，g（x）＝log6x，则这两个函数在定义域内都
是增函数，所以log76＜log77＝1＝log66＜log67，所以D正确.
√
03
PART
知识点三
利用单调性解对数不等式
【例3】　解下列关于x的不等式：
（1）lo x＞lo （4－x）；
解：由题意可得 解得0＜x＜2.
所以原不等式的解集为{x｜0＜x＜2}.
（2）loga（2x－5）＞loga（x－1）.
解：当a＞1时，原不等式等价于 解得x＞4.
当0＜a＜1时，原不等式等价于 解得 ＜x＜4.
综上所述，当a＞1时，原不等式的解集为{x｜x＞4}；
当0＜a＜1时，原不等式的解集为 .
【规律方法】
对数不等式的三种类型及解法
（1）形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的
取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论；
（2）形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式（b
＝logaab），再借助y＝logax的单调性求解；
（3）形如logf（x）a＞logg（x）a（f（x），g（x）＞0且不等于1，a＞
0）的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图
象求解.
训练3　解下列不等式：
（1）log3x＜1；
解：∵log3x＜1＝log33，
又函数y＝log3x在（0，＋∞）上为增函数，
∴x满足的条件为 即0＜x＜3.
∴原不等式的解集为{x｜0＜x＜3}.
（2）log0.7（2x）＜log0.7（x－1）.
解：∵函数y＝log0.7x在（0，＋∞）上为减函数，
∴由log0.7（2x）＜log0.7（x－1），得 解得x＞1.
∴原不等式的解集为{x｜x＞1}.
1. 设a＝log54，b＝lo ，c＝0. ，则a，b，c的大小关系是
（　　）
A. a＜b＜c B. b＜a＜c
C. c＜b＜a D. c＜a＜b
解析：　c＝0.5－0.2＝ ＝ ＞20＝1，b＝lo ＝log53＜log54＝a
＜1，所以b＜a＜c.故选B.
√
2. 函数f（x）＝loga｜x｜＋1（a＞1）的图象大致为（　　）
解析：　∵函数f（x）＝loga｜x｜＋1（a＞1）是偶函数，∴f（x）
的图象关于y轴对称，当x＞0时，f（x）＝logax＋1单调递增；当x＜0
时，f（x）＝loga（－x）＋1单调递减，又∵图象过（1，1），（－1，
1）两点，结合选项可知选C.
√
3. 如果函数f（x）＝（3－a）x，g（x）＝logax的增减性相同，则a的
取值范围是 .
解析：若f（x），g（x）均为增函数，则 即1＜a＜2；若f
（x），g（x）均为减函数，则 无解.综上，a的取值范
围是（1，2）.
（1，2）
4. 若loga ＜1，则a的取值范围为 　 ∪（1，＋∞）　.
解析：当a＞1时，满足条件；当0＜a＜1时，由 得0＜a
＜ ，综上，实数a的取值范围是 ∪（1，＋∞）.
∪（1，＋∞）
课堂小结
1.理清单
（1）对数函数的图象及性质；
（2）利用对数函数的图象及性质比较大小；
（3）利用单调性解对数不等式.
2.应体会
研究对数函数的性质时用数形结合的思想；解不等式体现了分类讨论的
思想.
3.避易错
作对数函数图象时易忽视底数a＞1与0＜a＜1两种情况.
课时作业
04
PART
1. 函数y＝loga（x＋2）＋1的图象过定点（　　）
A. （1，2） B. （2，1）
C. （－2，1） D. （－1，1）
解析：　令x＋2＝1，即x＝－1，得y＝loga1＋1＝1，故函数y＝loga
（x＋2）＋1的图象过定点（－1，1）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
2. 已知a＝log23，b＝log2e，c＝ln 2，则a，b，c的大小关系是（　　）
A. a＞b＞c B. b＞a＞c
C. c＞b＞a D. c＞a＞b
解析：a＝log23＞b＝log2e＞log22＝1，c＝ln 2＜ln e＝1，∴a，b，
c的大小关系为a＞b＞c.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 若点（a，b）在函数y＝lg x的图象上，a≠1，则下列点也在此图象上
的是（　　）
B. （10a，1－b）
D. （a2，2b）
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：　因为点（a，b）在函数y＝lg x的图象上，所以b＝lg a.当x＝
时，有y＝lg ＝－lg a＝－b，所以点 不在此函数的图象上，
A不正确；当x＝10a时，有y＝lg（10a）＝1＋lg a＝1＋b，所以点
（10a，1－b）不在此函数的图象上，B不正确；当x＝ 时，有y＝lg
＝1－lg a＝1－b，所以点 不在此函数的图象上，C不正
确；当x＝a2时，有y＝lg a2＝2lg a＝2b，所以点（a2，2b）在此函数的
图象上，D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 函数f（x）＝lg（｜x｜－1）的大致图象是（　　）
解析：　由f（x）的定义域为（－∞，－1）∪（1，＋∞），且f（－
x）＝lg（｜－x｜－1）＝lg（｜x｜－1）＝f（x），得f（x）是偶函
数，由此知C、D错误；又当x＞1时，f（x）＝lg（x－1）在（1，＋∞）
上单调递增，所以B正确.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. 若函数f（x）＝loga（x＋b）的图象如图所示，其中a，b为常数，则
函数g（x）＝ax＋b的图象大致是（　　）
解析：由f（x）的图象可知0＜a＜1，0＜b＜1，∴g（x）的图象应为D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. 〔多选〕已知a＞0，b＞0，且ab＝1，a≠1，则函数f（x）＝ax与函
数g（x）＝－logbx在同一坐标系中的图象可能是（　　）
解析：∵g（x）＝－logbx＝lo x＝logax，∴f（x）和g（x）的单调性相同，结合选项可知A、B正确.
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 若函数y＝4＋loga（2x－1）（a＞0，且a≠1）的图象恒过点A，则
点A的坐标为 .
解析：令2x－1＝1，可得x＝1，当x＝1时，y＝4，所以函数图象恒过点
（1，4）.
（1，4）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. 不等式lo （5＋x）＜lo （1－x）的解集为 .
解析：因为函数y＝lo x在（0，＋∞）上是减函数，
所以 解得－2＜x＜1.
（－2，1）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. 已知m，n∈R，函数f（x）＝m＋lognx的图象如图，则m，n的取值
范围分别是 （填序号）.
①m＞0，0＜n＜1；②m＜0，0＜n＜1；③m＞0，n＞1；④m＜0，n
＞1.
解析：由图象知函数为增函数，故n＞1，又当x＝1时，f（1）＝m＞0，
故m＞0.
③
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 已知函数f（x）＝loga（2＋x）－loga（2－x）（a＞0，且a≠1）.
（1）求函数f（x）的定义域；
解：要使函数有意义，则需满足
解得－2＜x＜2.
故函数f（x）的定义域为（－2，2）.
（2）判断函数f（x）的奇偶性.
解：由（1）知f（x）的定义域关于原点对称，
因为f（－x）＝loga（2－x）－loga（2＋x）
＝－[loga（2＋x）－loga（2－x）]＝－f（x）.
所以函数f（x）为奇函数.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. 已知loga ＞logb ＞0，则下列关系正确的是（　　）
A. 0＜b＜a＜1 B. 0＜a＜b＜1
C. 1＜b＜a D. 1＜a＜b
√
解析：由loga ＞0，logb ＞0，可知a，b∈（0，1）.又loga ＞logb ，作出图象如图所示，结合图象易知a＞b，∴0＜b＜a＜1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. 〔多选〕已知函数f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）的图象经过点
（9，2），则下列说法正确的是（　　）
A. a＝2
B. 函数f（x）为增函数
C. 若x＞3，则f（x）＞1
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：由loga9＝2，得a＝3，故A错误；f（x）＝log3x是增函数，故B正确；当x＞3时，f（x）＞f（3）＝1，故C正确；因为 ＝ ＝log3 ，f ＝log3 ，又0＜x1＜x2，所以 ＜ ，所以log3 ＜log3 ，即 ＜f ，故D错误.故选B、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. 已知f（x）＝ 的值域为R， 那么实数a
的取值范围是 .
解析：要使函数f（x）的值域为R，则必须满足
即 所以－ ≤a＜ .

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 已知a∈R，函数f（x）＝log3（ ＋a）.
（1）当a＝1时，解不等式f（x）＞1；
解：当a＝1时，由f（x）＞1得log3（ ＋1）＞1，所以 ＋1＞3，
所以0＜x＜ ，所以不等式的解集为（0， ）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）若函数g（x）＝f（x）－log3（ax＋1）的图象与x轴只有一个交
点，求a的取值范围.
解：当g（x）＝0时，log3（ ＋a）＝log3（ax＋1），
所以 所以
所以x＝1，所以a＞－1，故a的取值范围是（－1，＋∞）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 若不等式x2－logmx＜0在 内恒成立，求实数m的取值范围.
解：由x2－logmx＜0，得x2＜logmx，在同一坐标系中作y＝x2和y＝logmx
的草图，
如图所示.
要使x2＜logmx在 内恒成立，只要y＝logmx在 内的图象在y
＝x2图象的上方，于是0＜m＜1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
∵当x＝ 时，y＝x2＝ ，
∴只要当x＝ 时，y＝logm ≥ ＝logm 即可，
∴ ≤ ，即 ≤m.又0＜m＜1，∴ ≤m＜1.
即实数m的取值范围是 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
THANKS
演示完毕 感谢观看