《创新课堂》4.4.3　不同函数增长的差异 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共62张PPT)
4.4.3　不同函数增长的差异
1. 了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型（直观想象）.
2. 了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长的含义（数学抽象）.
3. 能根据具体问题选择合适的函数模型（数学建模）.
课标要求
1859年，有人从欧洲带进澳大利亚几只兔子，由于澳大利亚有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只，可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于7.5亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口.
情景导入
这使澳大利亚人头痛不已.他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的兔子，澳大利亚人才算松了一口气.想想看，澳大利的兔子为
什么在不到100年的时间内发展到75亿只？
情景导入
知识点一　三种常见函数模型的增长差异
01
知识点二　函数增长速度的比较
02
知识点三　函数模型的选择问题
03
目录
课时作业
04
知识点一
三种常见函数模型的增长差异
01
PART
问题　观察函数y＝x，y＝2x，y＝log2x在区间（0，＋∞）上的图象，
思考以下两个问题：
（1）三个函数在区间（0，＋∞）上的图象有什么特点？
提示：三个函数在区间（0，＋∞）上的图象都是上升的，即单调递增.
（2）当x趋于无穷大时，三个函数中哪个函数的增长速度最快？哪个
最慢？
提示：三个函数的增长速度差异很大，其中y＝2x增长速度最快，y＝
log2x增长速度最慢.
【知识梳理】
　三种常见函数模型的增长差异
　　　函数
性质 y＝ax（a＞1） y＝logax（a＞1） y＝kx（k＞
0）
在（0，＋
∞）上的增
减性
图象的变化 随x的增大逐渐变
“陡” 随x的增大逐渐趋于
稳定 增长速度不
变
单调递增
单调递增
单调递增
　　　函数
性质 y＝ax（a＞1） y＝logax（a＞1） y＝kx（k＞0）
形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升
增长速度 y＝ax（a＞1）的增长速度最终都会大大超过
的增长速度；总存在一个x0，当x＞x0时，恒
有 增长结果 存在一个x0，当x＞x0时，有 y＝kx（k
＞0）　
logax＜kx　
ax＞kx＞logax　
　　提醒：（1）当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型；
（2）当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选
用对数函数模型；（3）一次函数增长速度不变，平稳变化；（4）函数值
的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现
在函数值的变化趋势上.
【例1】　（1）下列函数中，增长速度最快的是（　A　）
A. y＝2 025x B. y＝
C. y＝log2 025x D. y＝2 025x
解析：比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长
速度最快.
A
（2）三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表：
x 1 3 5 7 9 11
y1 5 135 625 1 715 3 635 6 655
y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40
则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是
（　C　）
A. y1，y2，y3 B. y2，y1，y3
C. y3，y2，y1 D. y3，y1，y2
C
解析：由指数函数、对数函数、幂函数的增长速度比较，指数函数增长最
快，对数函数增长最慢，由题中表格可知，y1是幂函数型函数，y2是指数
型函数，y3是对数型函数，故选C.
【规律方法】
常见的函数模型及增长特点
（1）一次函数模型：一次函数模型y＝kx＋b（k＞0）的增长特点是直线
上升，其增长速度不变；
（2）指数函数模型：指数函数模型y＝ax（a＞1）的增长特点是随着自
变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为
“指数爆炸”；
（3）对数函数模型：对数函数模型y＝logax（a＞1）的增长特点是随着
自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓；
（4）幂函数模型：幂函数y＝xn（n＞0）的增长速度介于指数增长和对
数增长之间.
训练1　下列函数中，增长速度越来越慢的是（　　）
A. y＝6x B. y＝log6x
C. y＝x2 D. y＝6x
解析：　D中一次函数的增长速度不变；A、C中函数的增长速度越来越
快；只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意.
√
知识点二
函数增长速度的比较
02
PART
【例2】　函数f（x）＝2x和g（x）＝x3的图象如图所示.设两函数的图
象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2.
（1）请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
解：C1对应的函数为g（x）＝x3，C2对应的函数为f（x）＝2x.
（2）结合函数图象示意图，判断f（6），g（6），f（2 025），g（2
025）的大小.
解：因为f（1）＞g（1），f（2）＜g（2），f（9）＜g（9），f
（10）＞g（10），
所以1＜x1＜2，9＜x2＜10，所以x1＜6＜x2，2 025＞x2，
从图象上可以看出当x1＜x＜x2时，f（x）＜g（x），所以f（6）＜g
（6）；
当x＞x2时，f（x）＞g（x），
所以f（2 025）＞g（2 025）；
又因为g（2 025）＞g（6），
所以f（2 025）＞g（2 025）＞g（6）＞f（6）.
【规律方法】
　　由图象判断指数函数、对数函数和一次函数的方法
　　根据图象判断指数函数、对数函数和一次函数时，通常是观察函数图
象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；
图象趋于平缓的函数是对数函数；图象呈直线上升的函数是一次函数.
训练2　函数f（x）＝lg x，g（x）＝0.3x－1的图象如图所示.
（1）指出曲线C1，C2分别对应题中哪一个函数；
解：C1对应的函数为g（x）＝0.3x－1，C2对应的函数为f（x）＝lg x.
（2）比较两函数的增长差异（以两图象交点为分界点，对f（x），g
（x）的大小进行比较）.
解：当x∈（0，x1）时，g（x）＞f（x）；
当x∈（x1，x2）时，g（x）＜f（x）；
当x∈（x2，＋∞）时，g（x）＞f（x）.
03
PART
知识点三
函数模型的选择问题
【例3】　某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次
为100 t，120 t，130 t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的
月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系.对此模
拟函数可选用二次函数y＝f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c均为待定系
数，x∈N*）或函数y＝g（x）＝pqx＋r（p，q，r均为待定系数，
x∈N*），现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用
这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？
解：根据题意可列方程组
解得
所以y＝f（x）＝－5x2＋35x＋70.　①
同理y＝g（x）＝－80×0.5x＋140.　②
再将x＝4分别代入①式与②式得
f（4）＝－5×42＋35×4＋70＝130，
g（4）＝－80×0.54＋140＝135.
与f（4）相比，g（4）在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②
式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g（x）＝pqx＋r作为模拟函
数较好.
【规律方法】
建立函数模型应遵循的三个原则
（1）简化原则：建立函数模型，模型一定要简化，抓主要因素，主要变
量，尽量建立较低阶、较简便的模型；
（2）可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计
算、推理，且能得出正确结论；
（3）反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解
应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题.
训练3　某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：
月份 1 2 3
月产量（千件） 50 52 53.9
为估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y
＝ax＋b或y＝ax＋b（a，b为常数，a＞0且a≠1）来模拟这种电脑元
件的月产量y千件与月份x的关系.请问：用以上哪个模拟函数较好？说明
理由.
解：将（1，50），（2，52）分别代入两解析式得
（a＞0且a≠1）
解得 （两方程组的解相同）.
所以两函数分别为y＝2x＋48或y＝2x＋48.
当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝54；
对于y＝2x＋48有y＝56.
由于56与53.9的误差较大，所以选函数y＝ax＋b模拟较好.
1. 下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是（　　）
A. y＝ex B. y＝ln x
C. y＝2x D. y＝e－x
√
2. 下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角
度看，更有前途的生意是（　　）
A. y＝10×1.05x B. y＝20＋x1.5
C. y＝30＋lg（x－1） D. y＝50
解析：由于给出的指数型函数的底数大于1，且系数为正数，则其增长速度随着时间的推移越来越快，所以y＝10×1.05x是更有前途的生意.故选A.
√
3. 在某个物理实验中，测量得到变量x和变量y的几组数据，如下表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －0.99 0.01 0.98 2.00
则对x，y最适合的拟合函数是（　　）
A. y＝2x B. y＝x2－1
C. y＝2x－2 D. y＝log2x
解析：将x＝0.50代入计算，可以排除A；将x＝2.01代入计算，可以排除B、C. 故选D.
√
4. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度
是θ0℃，t min后物体的温度θ ℃可由公式θ＝θ0＋（θ1－θ0）·e－0.24t
求得.把温度是100 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t min后，物体的温
度是40 ℃，那么t的值约等于 .（保留三位有效数字，参考数据：
ln 3≈1.099，ln 2≈0.693）
解析：依题意将θ1＝100，θ0＝10，θ＝40代入公式θ＝θ0＋（θ1－
θ0）· ， 可得 ＝ ，解得t＝ ≈4.58.
4.58
课堂小结
1.理清单
三种函数模型：线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数
增长模型.
2.应体会
数形结合思想.
3.避易错
不理解三种函数增长的差异.
课时作业
04
PART
1. 某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分
别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y（万公顷）关
于年数x的函数关系较为近似的是（　　）
A. y＝0.2x B. y＝ （x2＋2x）
C. y＝ D. y＝0.2＋log16x
解析：将x＝1，2，3，y＝0.2，0.4，0.76分别代入验算.
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2. 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，
为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是（　　）
√
解析：　小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越
近，故排除A；因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除
D；后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.
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3. 某企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元.从今年起，计划
每人的年薪比上一年增加10%，另外每年新招3名工人，每名新工人的第一
年年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同.若以今年为第一年，那么
第x年企业付给工人的工资总额y（万元）表示成x的函数，其表达式为
（　　）
A. y＝（3x＋5）1.1x＋2.4
B. y＝8×1.1x＋2.4x
C. y＝（3x＋8）1.1x＋2.4
D. y＝（3x＋5）1.1x－1＋2.4
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解析：第一年企业付给工人的工资总额为8×1.1＋3×0.8（万元），第二年企业付给工人的工资总额为（8＋3）×1.12＋3×0.8（万元），…，以此类推，第x年企业付给工人的工资总额应为y＝[8＋3（x－1）]×1.1x＋2.4＝（3x＋5）1.1x＋2.4（万元）.
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4. y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2＜x＜4时，有（　　）
A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y1＞y3
C. y1＞y3＞y2 D. y2＞y3＞y1
√
解析：由题意可知，三个函数在区间（2，4）上都是单调递增的，所以4＜y1＜16，4＜y2＜16，1＜y3＜2，所以y3最小，由函数y1，y2的图象可知，在区间（2，4）上，函数y2的图象恒在函数y1的图象上方，所以y2＞y1＞y3.
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5. 〔多选〕下列说法正确的是（　　）
A. 函数y＝log3x增长的速度越来越慢
B. 在指数函数y＝ax（a＞1）中，底数a越大，其增长速度越快
C. 存在一个实数m，使得当x＞m时，10x＞10100
D. 在区间（0，＋∞）内，对任意的x，总有log2 x＜2x＜2x成立
解析：对于A，由对数函数y＝log3x图象可知，y的增长速度越来越慢，A正确；对于B，因指数函数y＝ax（a＞1）为增函数且底数越大增长的速度越快，故B正确；对于C，要使10x＞10100，两边取对数x＞100，即存在m＝100，使得x＞m时，10x＞10100成立，故C正确；对于D，由三类函数在直角同坐标系中的图象可知，D不正确.故选A、B、C.
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6. 〔多选〕下面对函数f（x）＝lo x与g（x）＝ 在区间（0，＋
∞）上的衰减情况的说法中正确的有（　　）
A. f（x）的衰减速度越来越慢
B. f（x）的衰减速度越来越快
C. g（x）的衰减速度越来越慢
D. g（x）的衰减速度越来越快
√
√
解析：　在平面直角坐标系中画出y＝f（x）与y＝g
（x）的图象如图所示.由图象可知，f（x）的衰减速度
越来越慢，g（x）的衰减速度也越来越慢.故选A、C.
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7. 函数y＝x2与函数y＝xln x在区间（1，＋∞）上增长较快的一个是
.
解析：当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2要比xln x增长的要快.
y
＝x2
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8. 今有一组实验数据如下：
t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12
v 1.5 4.04 7.5 12 18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律：①v＝
log2t；②v＝lo t；③v＝ ；④v＝2t－2.则其中最接近的一个
是 .（填上代表函数的序号）
③
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解析：对于①，当t＝4时，v＝2，可知①不适合，应排除.对于②，当t
＝4时，v＝－2，可知②不适合，应排除.对于④，当t＝1.99时，v＝
1.98；当t＝3.0时，v＝4.0；当t＝4.0时，v＝6.0；当t＝5.1时，v＝
8.2；当t＝6.12时，v＝10.24.各组数据均有较大差异，应排除.③最
接近.
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9. 生活经验告诉我们，当水注入容器（设单位时间内进水量相同）时，水
的高度随着时间的变化而变化，在如图中请选择与容器相匹配的图象，A
对应 ；B对应 ；C对应 ；D对应 .
（4）
（1）
（3）
（2）
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解析：A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与（4）对应；B容器
为球形，水高度变化为快—慢—快，应与（1）对应；C，D容器都是柱形
的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的
变化为：C容器水高度变化快，与（3）对应，D容器水高度变化慢，与
（2）对应.
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10. 1766年人类已经发现太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土
星.科学家在研究了各行星离太阳的距离（单位：AU，AU是天文学中计量
天体之间距离的一种单位）的排列规律后，预测在火星和木星之间应该还
有一颗未被发现的行星（后被命名为谷神星）存在，并按离太阳的距离从
小到大列出了如下表所示的数据：
行星编号
（x） 1（金
星） 2（地
球） 3（火
星） 4（谷神
星） 5（木
星） 6（土
星）
离太阳的距
离（y） 0.7 1.0 1.6 5.21 10.01
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（1）为了描述行星离太阳的距离y与行星编号x之间的关系，根据表中已
有的数据画出散点图，并根据散点图的分布状况，从以下三种模型中选出
你认为最符合实际的一种函数模型（直接给出结论）.①y＝ax＋b；②y
＝a×2x＋b；③y＝alog2x＋b.
解：散点图如图所示，
根据散点图可知，模型②符合题意.
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（2）根据你的选择，依表中前两组数据求出函数解析式，并用最后两组
数据检验模型的吻合情况（误差小于0.2的为吻合）；请用你求得的模
型，计算谷神星离太阳的距离.
解：将（1，0.7），（2，1），分别代入y＝a×2x＋b，
得 解得a＝0.15，b＝0.4，
所以y＝0.15×2x＋0.4（x∈N*）.
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当x＝5时，y＝0.15×25＋0.4＝5.2，误差为5.21－5.2＝0.01＜0.2，吻合，
当x＝6时，y＝0.15×26＋0.4＝10，误差为10.01－10＝0.01＜0.2，
吻合，
所以模型与数据吻合.
当x＝4时，y＝0.15×24＋0.4＝2.8，即谷神星距太阳的距离为2.8 AU.
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11. 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方
案每天的回报如图所示.横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上
信息，若使回报最多，则下列说法中错误的是（　　）
A. 投资3天以内（含3天），采用方案一
B. 投资4天，不采用方案三
C. 投资6天，采用方案一
D. 投资12天，采用方案二
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解析：若投资3天以内（含3天），由图易知方案一每天的回报最大，故采用方案一；若投资4天，方案三回报最小，故不采用；若投资6天，方案一为40×6＝240（元），方案二为10＋20＋…＋60＝210（元），故采用方案一；若投资12天，易知采用方案三回报最大.
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12. 〔多选〕已知函数y1＝x2，y2＝2x，y3＝x，则下列关于这三个函数的
描述中，正确的是（　　）
A. 随着x的逐渐增大，y1增长速度越来越快于y2
B. 随着x的逐渐增大，y2增长速度越来越快于y1
C. 当x∈（0，＋∞）时，y1增长速度一直快于y3
D. 当x∈（0，＋∞）时，y2增长速度有时快于y1
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解析：　对于y1＝x2，y2＝2x，从负无穷开始，y1大于y2，然后y2大于
y1，再然后y1再次大于y2，最后y2大于y1，此后y1再也追不上y2，故随着x
的逐渐增大，y2增长速度越来越快于y1，A错误，B、D正确；对于y1＝
x2，y3＝x，由于y3＝x的增长速度是不变的，当x∈（0，1）时，y3大于
y1，当x∈（1，＋∞）时，y1大于y3，y3再也追不上y1，其中y1增长速度
有时快于y3，C错误.故选B、D.
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13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，过原点O的直线与函数y＝3x的图象
交于A，B两点，过B作y轴的垂线交函数y＝9x的图象于点C. 若AC平行
于y轴，则点A的坐标是 .
（log32，2）
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解析：由题意设A（n，3n），B（m，3m），由9n＝ ＝3m得m＝
2n，解得n＝ ，则C ，A .又因为A，B，O三点共
线，设直线AB对应的解析式为y＝kx（k＞0），则 解得m
＝2log32，所以n＝log32.所以点A的坐标为（log32，2）.
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14. 科技创新在经济发展中的作用日益凸显.某科技公司为实现9 000万元
的投资收益目标，准备制订一个激励研发人员的奖励方案：当投资收益达
到3 000万元时，按投资收益进行奖励，要求奖金y（单位：万元）随投资
收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金总数不低于100万元，且奖金总
数不超过投资收益的20%.
（1）现有三个奖励函数模型：①f（x）＝0.03x＋8，②f（x）＝0.8x＋
200，③f（x）＝100log20x＋50，x∈[3 000，9 000]，试分析这三个函数
模型是否符合公司要求；
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解：由题意符合公司要求的函数f（x）在[3 000，9 000]上单调递增，且 x∈[3 000，9 000]，恒有f（x）≥100且f（x）≤ .
对于①，函数f（x）＝0.03x＋8，当x＝3 000时，f（3 000）＝98＜
100，不符合要求；
对于②，函数f（x）＝0.8x＋200为减函数，不符合要求；
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对于③，函数f（x）＝100log20x＋50在[3 000，9 000]上单调递增，
且当x＝3 000时，f（3 000）＝100×log203 000＋50＞100，
又因为f（x）≤f（9 000）＝100log209 000＋50＜100·log20160 000＋
50＝450，而 ≥ ＝600，
所以当x∈[3 000，9 000]时，f（x）max≤ ，所以f（x）≤ 恒成
立.
因此，f（x）＝100log20x＋50为满足条件的函数模型.
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（2）根据（1）中符合公司要求的函数模型，要使奖金金额达到350万
元，公司的投资收益至少要达到多少万元？
解：由100log20x＋50≥350得log20x≥3，所以x≥8 000，
所以要使奖金金额达到350万元，公司的投资收益至少要达到8 000万元.
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15. 如图是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量y与净
化时间t（月）的近似函数关系：y＝at（t≥0，a＞0且a≠1）的图象.有
以下叙述：①第4个月时，残留量就会低于 ；②每月减少的有害物质质量
都相等；③若残留量为 ， ， 时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1
＋t2＝t3.其中所有正确叙述的序号是 .
①③
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解析：根据题意，函数的图象经过点 ，故函数解析式为y＝ .
当t＝4时，y＝ ＜ ，故①正确；当t＝1时，y＝ ，减少了 ，当t＝2
时，y＝ ，减少了 ，每月减少的有害物质质量不相等，故②不正确；分
别令y＝ ， ， ，解得t1＝lo ，t2＝lo ，t3＝lo ，则t1＋t2＝
t3，故③正确.
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THANKS
演示完毕 感谢观看