《创新课堂》4.5.1　函数的零点与方程的解 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共53张PPT)
4.5.1　函数的零点与方程的解
1. 了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系（数学抽象）.
2. 会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间（逻辑推理）.
3. 能借助函数单调性及图象判断零点个数（逻辑推理、数学运算）.
课标要求
情景导入
　　奇奇、小东、小明、妙妙是要好的四位同学，他们的家都住在同
一条小河的附近，且具体位置如图所示，周末奇奇同学要骑自行车去
妙妙家里玩.
　　依据以下四种情境，画出奇奇同学的骑行较近路线的轨迹，并推断他
与小河有过几次接触？
情景导入
　　情境1：奇奇同学骑车直接去了妙妙家；
　　情境2：奇奇同学骑车到小河边的小东家约小东同学一起去妙妙家；
　　情境3：奇奇同学过桥到河对岸的小明家，约小明一起去妙妙家；
　　情境4：奇奇同学到河边小东家约了小东又过桥到了小明家，而后三
人相约一起到妙妙家玩.
知识点一　函数的零点
01
知识点二　函数零点存在定理
02
提能点　函数零点个数的问题
03
目录
课时作业
04
知识点一
函数的零点
01
PART
问题1　（1）观察下列三组方程与函数：
方程 函数
x2－2x－3＝0 y＝x2－2x－3
x2－2x＋1＝0 y＝x2－2x＋1
x2－4x＋3＝0 y＝x2－4x＋3
方程的根与对应函数的图象与x轴交点有什么关系？
提示：方程的根与函数的图象与x轴交点的横坐标相等.
（2）问题（1）中的函数的零点是函数图象与x轴的交点坐标吗？
提示：不是，零点不是点，零点是函数图象与x轴的交点的横坐标.
【知识梳理】
1. 概念：使 的实数x叫做函数y＝f（x）的零点.
2. 函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的实数解的关系：
　　提醒：（1）函数的零点是实数，而不是点；（2）并不是所有的函数
都有零点，如函数f（x）＝ 就没有零点；（3）若函数有零点，则零点
一定在函数的定义域内.
f（x）＝0　
【例1】　（1）〔多选〕方程（x2－4） ＝0的解可以是（　CD）
A. x＝－2 B. x＝－
C. x＝ D. x＝2
解析：由方程（x2－4） ＝0，得x2－4＝0或2x－1＝0，解得x＝
±2或x＝ ，又由2x－1≥0，解得x≥ ，所以方程（x2－4） ＝0
的解为x＝2或x＝ .
CD
（2）已知函数f（x）＝ax－b（a≠0）的零点为3，则函数g（x）＝bx2
＋ax的零点为 .
解析：由已知得f（3）＝0，即3a－b＝0，则b＝3a，故g（x）＝3ax2
＋ax＝ax（3x＋1）.令g（x）＝0，即ax（3x＋1）＝0，解得x＝0或x
＝－ .所以函数g（x）＝bx2＋ax的零点为0，－ .
0，－
【规律方法】
函数零点的求法
（1）代数法：求方程f（x）＝0的实数根；
（2）几何法：对于不能用求根公式的方程f（x）＝0，可以将它与函数y
＝f（x）的图象联系起来.图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点.
训练1　函数f（x）＝ 的所有零点构成的集合为（　　）
A. {1} B. {－1}
C. {－1，1} D. {－1，0，1}
解析：　当x≤0时，f（x）＝x＋1＝0 x＝－1；当x＞0时，f（x）＝
log2x＝0 x＝1，所以函数f（x）的所有零点构成的集合为{－1，1}.
√
知识点二
函数零点存在定理
02
PART
问题2　观察函数f（x）＝x2－2x－3的图象：
（1）f（x）在区间（－2，1）上有零点吗？f（－2）·f（1）的值和0有什么关系？
提示：观察图象可知，有零点－1∈（－2，1），且f（－2）＞0，f（1）＜0，所以f（－2）·f（1）＜0.
（2）f（x）在区间（2，4）上有零点吗？f（2）·f（4）的值与0有什么
关系？
提示：观察图象可知有零点3∈（2，4），且f（2）＜0，f（4）＞0，所
以f（2）·f（4）＜0.
【知识梳理】
　函数零点存在定理
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条 的曲线，
且有 ，那么，函数y＝f（x）在区间（a，b）
内 有一个零点，即存在c∈（a，b），使得 ，这
个c也就是方程f（x）＝0的解.
连续不断　
f（a）f（b）＜0　
至少　
f（c）＝0　
【例2】　（1）若函数f（x）的图象在R上连续不断，且满足f（0）＜
0，f（1）＞0，f（2）＞0，则下列说法正确的是（　C　）
A. f（x）在区间（0，1）上一定有零点，在区间（1，2）上一定没有零点
B. f（x）在区间（0，1）上一定没有零点，在区间（1，2）上一定有零点
C. f（x）在区间（0，1）上一定有零点，在区间（1，2）上可能有零点
D. f（x）在区间（0，1）上可能有零点，在区间（1，2）上一定有零点
解析：由题知f（0）f（1）＜0，所以根据函数零点存在定理可得，f
（x）在区间（0，1）上一定有零点，又f（1）f（2）＞0，因此无法判断
f（x）在区间（1，2）上是否有零点.
C
（2）f（x）＝ex＋x－2的零点所在的区间是（　C　）
A. （－2，－1） B. （－1，0）
C. （0，1） D. （1，2）
解析：法一　∵f（0）＝－1＜0，f（1）＝e－1＞0，
∴f（x）在（0，1）内有零点.
C
法二　ex＋x－2＝0，即ex＝2－x，∴原函数的零点所在区
间即为函数y＝ex和y＝2－x的图象交点的横坐标所在的区
间.如图，由图象可得函数y＝ex和y＝2－x的图象交点所在
的区间为（0，1）.
【规律方法】
确定函数f（x）零点所在区间的常用方法
（1）解方程法：当对应方程f（x）＝0易解时，可先解方程，再看求得的
根是否落在给定区间上；
（2）利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f（x）在区间[a，b]上的
图象是否连续，再看是否有f（a）·f（b）＜0.若有，则函数y＝f（x）
在区间（a，b）内必有零点；
（3）数形结合法：通过函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
训练2　（1）已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如
下对应值表：
x 1 2 3 4
f（x） 6.1 2.9 －3.5 －1
那么函数f（x）一定存在零点的区间是（　C　）
A. （－∞，1） B. （1，2）
C. （2，3） D. （3，4）
解析：由表可知f（1）f（2）＞0，f（2）f（3）＜0，f（3）f（4）＞
0，由零点存在定理可知f（x）一定存在零点的区间是（2，3）.故选C.
C
（2）函数f（x）＝2x－ 的零点所在的区间是（　B　）
A. B.
C. D.
解析：∵f ＝ －2＜0，f（1）＝2－1＝1＞0，∴f f（1）＜0，
∴函数的零点所在的区间是 .
B
03
PART
提能点
函数零点个数的问题
【例3】　（链接教材P143例1）判断下列函数的零点的个数：
（1）f（x）＝x2－ x＋ ；
解：由f（x）＝0，即x2－ x＋ ＝0，
因为Δ＝ －4× ＝－ ＜0，
所以方程x2－ x＋ ＝0没有实数根，即函数f（x）的零点的个数为0.
（2）f（x）＝ln x＋x2－3.
解：法一　函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，
所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图
象交点的个数.
在同一平面直角坐标系下，作出两函数的图象（如图）.
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，
从而方程ln x＋x2－3＝0有一个根，即函数f（x）＝ln x＋x2－3有一个零点.
法二　由于f（1）＝ln 1＋12－3＝－2＜0，
f（2）＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，
所以f（1）f（2）＜0，
又f（x）＝ln x＋x2－3的图象在（1，2）上是连续的，所以f（x）在
（1，2）上必有零点，
又f（x）在（0，＋∞）上是增函数，所以零点只有一个.
【规律方法】
判断函数零点个数的4种常用方法
（1）利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点；
（2）画出函数y＝f（x）的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零
点的个数；
（3）结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f（x）在（a，
b）上零点的个数；
（4）转化成两个函数图象的交点问题.
训练3　函数f（x）＝ 的零点个数为（　　）
A. 3 B. 2
C. 1 D. 0
√
解析：　当x≤0时，令f（x）＝0，即x2＋2x－3＝0，解
得x1＝－3，x2＝1（舍去）.当x＞0时，令f（x）＝0，即x
－2＋ln x＝0，即ln x＝－x＋2.在同一直角坐标系中作出两
函数y＝ln x与y＝－x＋2（x＞0）的图象，如图，由图可知
两图象只有一个交点.综上可知，函数f（x）的零点个数为2.
1. 函数f（x）＝2x2－3x＋1的零点是（　　）
A. － ，－1 B. ，1
C. ，（1，0） D. ，（－1，0）
解析：　方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝ ，所以函数f
（x）＝2x2－3x＋1的零点是 ，1，故选B.
√
2. 对于函数f（x），若f（－1）f（3）＜0，则（　　）
A. 方程f（x）＝0一定有一实数解
B. 方程f（x）＝0一定无实数解
C. 方程f（x）＝0一定有两实根
D. 方程f（x）＝0可能无实数解
解析：　∵函数f（x）的图象在（－1，3）上未必连续，故尽管有f
（－1）f（3）＜0，但方程f（x）＝0在（－1，3）上可能无实数解.
√
3. 方程x3－3x－3＝0的根x0所在的范围为（　　）
A. －1＜x0＜0 B. 0＜x0＜1
C. 1＜x0＜2 D. 2＜x0＜3
解析：　令f（x）＝x3－3x－3，∵f（－1）＝（－1）3－3×（－1）
－3＝－1＜0，f（0）＝－3＜0，f（1）＝13－3×1－3＝－5＜0，f（2）
＝23－3×2－3＝－1＜0，f（3）＝33－3×3－3＝15＞0，∴f（2）·f
（3）＜0，∴2＜x0＜3.故选D.
√
4. 函数f（x）＝（x－1）（x2＋3x－10）的零点有 个.
解析：∵f（x）＝（x－1）（x2＋3x－10）＝（x－1）·（x＋5）（x－
2），∴由f（x）＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.
3
课堂小结
1.理清单
（1）函数零点的定义；
（2）函数的零点与方程的解的关系；
（3）函数零点存在定理；
（4）函数零点个数的判断.
2.应体会
判断函数零点的个数常利用数形结合的思想方法.
3.避易错
（1）误把零点理解成点；
（2）判断函数零点个数时，易漏掉不变号零点.
课时作业
04
PART
1. 函数f（x）＝lg ｜x｜的零点是（　　）
A. （1，0） B. （1，0）和（－1，0）
C. 1 D. 1和－1
解析：　函数f（x）的定义域为{x｜x≠0}，令f（x）＝0，则lg ｜x｜
＝0，解得x＝±1，即函数f（x）的零点是1和－1.
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2. 函数f（x）＝log3x－8＋2x的零点一定位于区间（　　）
A. （5，6） B. （3，4）
C. （2，3） D. （1，2）
解析：　f（3）＝log33－8＋2×3＝－1＜0，f（4）＝log34－8＋2×4＝
log34＞0.又因为f（x）在（0，＋∞）上为增函数，所以其零点一定位于
区间（3，4）.
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3. 已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下x，f（x）的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
f（x） 15 10 －7 6 －4 －5
则函数f（x）在区间[1，6]上的零点至少有（　　）
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 5个
解析：　由题表可知f（2）·f（3）＜0，f（3）·f（4）＜0，f（4）·f
（5）＜0，又函数f（x）的图象是连续不断的，故f（x）在区间[1，6]
上至少有3个零点.
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4. 已知f（x）为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于
（　　）
A. 0 B. 1
C. －1 D. 不能确定
解析：因为奇函数的图象关于原点对称，所以若f（x）有三个零点，则其和必为0.
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5. 已知函数f（x）在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f
（a）f（b）＜0，则方程f（x）＝0在区间[a，b]上（　　）
A. 至少有一实数解 B. 至多有一实数解
C. 没有实数解 D. 必有唯一的实数解
解析：　由题意知函数f（x）为连续函数，∵f（a）·f（b）＜0，∴函
数f（x）在区间[a，b]上至少有一个零点，又∵函数f（x）在区间[a，
b]上是单调函数，∴函数f（x）在区间[a，b]上至多有一个零点，故函
数f（x）在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f（x）＝0在区间
[a，b]内必有唯一的实数解.
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6. 〔多选〕下列函数存在零点的是（　　）
A. y＝x－ B. y＝
C. y＝logax2（a＞0且a≠1） D. y＝
解析：令y＝0，得选项A和C中的函数的零点均为1和－1；选项B中函数的零点为－ 和1；只有选项D中函数无零点.
√
√
√
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7. 已知函数f（x）＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g（x）＝bx2
－ax－1的零点是 .
解析：由题意知，方程x2－ax－b＝0的两根为2，3，∴ 即
a＝5，b＝－6，∴方程bx2－ax－1＝－6x2－5x－1＝0的根为－ ，－
，即为函数g（x）的零点.
－ ，－
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8. 已知函数f（x）＝ 则函数f（x）的零点为 .
解析：当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.当x＞1时，令1＋log2x＝0，得x
＝ （舍）.综上所述，函数f（x）的零点为0.
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9. 方程 － ＝0的解的个数为 .
解析：方程 － ＝0的解的个数，即函数y＝ 和函数y＝
的图象的交点个数，如图所示.数形结合可得，函数y＝ 和函
数y＝ 的图象的交点个数为2，故方程 － ＝0的解的个
数为2.
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10. 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出其零点：
（1）f（x）＝－x2＋2x－1；
解：令－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1，
所以函数f（x）＝－x2＋2x－1的零点为1.
（2）f（x）＝x4－x2；
解：令f（x）＝x2（x－1）（x＋1）＝0，
解得x＝0或x＝1或x＝－1，
故函数 f（x）＝x4－x2的零点为0，－1和1.
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（3）f（x）＝4x＋5；
解：令4x＋5＝0，则4x＝－5，
因为4x＞0，－5＜0，所以方程4x＋5＝0无实数解.
所以函数f（x）＝4x＋5不存在零点.
（4）f（x）＝log3（x＋1）.
解：令log3（x＋1）＝0，解得x＝0，
所以函数f（x）＝log3（x＋1）的零点为0.
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11. 已知函数f（x）＝ 若k＞0，则函数y＝｜f（x）｜
－1的零点个数是（　　）
A. 1 B. 2
√
C. 3 D. 4
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法二　y＝f（x）的图象如图1所示，故y＝｜f（x）｜的图象如图2所示.令y＝｜f（x）｜－1＝0，即｜f（x）｜＝1，y＝｜f（x）｜的图象与y＝1有4个交点，故函数y＝｜f（x）｜－1的零点个数是4.
解析：　法一　令y＝｜f（x）｜－1＝0，得｜f（x）｜＝1，即f（x）＝1或f（x）＝－1.当x＞0时，由ln x＝1或ln x＝－1，得x＝e或x＝ ；当x≤0时，由kx＋2＝1或kx＋2＝－1，得x＝－ ＜0或x＝－ ＜0.则函数y＝｜f（x）｜－1的零点个数是4.
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12. 〔多选〕已知定义域和值域均为[－a，a]（a＞0）的函数y＝f
（x）和y＝g（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A. 方程f[g（x）]＝0有且仅有三个解
B. 方程g[f（x）]＝0有且仅有三个解
C. 方程f[f（x）]＝0有且仅有九个解
D. 方程g[g（x）]＝0有且仅有一个解
√
√
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解析：设f（x）的零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3.由f[g（x）]＝0，得g（x）＝x1或g（x）＝x2或g（x）＝x3.由g（x）的图象可知满足条件的x的值有三个，故方程f[g（x）]＝0有且仅有三个解，故A正确；同理，f[f（x）]＝0最多有九个解，故C错误；因为g（x）＝0有一个解，又g（x）每个对应的值只有一个相应的解，故g[g（x）]＝0有且仅有一个解，而g[f（x）]＝0最多有三个解，故B错误，D正确.
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13. 已知函数f（x）＝3x＋x，g（x）＝log3x＋2，h（x）＝log3x＋x的
零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是 .（用
“＜”连接）
解析：画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2
的图象，如图所示，观察图象可知，函数f（x）＝3x
＋x，g（x）＝log3x＋2，h（x）＝log3x＋x的零点
依次是点A，B，C的横坐标，由图象可知a＜b＜c.
a＜b＜c
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14. 已知函数f（x）＝x2＋ax＋b的零点是－1和2，判断函数g（x）＝
ax3＋bx＋4的零点所在的大致区间.
解：∵－1和2是函数f（x）＝x2＋ax＋b的零点，
∴－1和2是方程x2＋ax＋b＝0的两个实数解，
∴－1＋2＝－a，－1×2＝b，即a＝－1，b＝－2.
∴g（x）＝－x3－2x＋4.
∵g（1）＝1，g（2）＝－8，g（1）g（2）＜0，
∴g（x）在区间（1，2）内有零点.
又∵g（x）在R上是减函数，∴g（x）只有一个零点.
综上可知，函数g（x）的零点所在的大致区间为（1，2）.
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15. 设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x＋
＋m.
（1）确定实数m的值及函数f（x）在R上的解析式；
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解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（0）＝4＋m＝0，m＝－4.
所以当x≥0时，f（x）＝2x＋ －4.
设x＜0，则－x＞0，
所以f（－x）＝2－x＋ －4＝3×2x＋ －4.
因为f（－x）＝－f（x），
所以当x＜0时，f（x）＝－3×2x－ ＋4.
所以f（x）＝
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（2）求函数y＝f（x）的零点.
解：当x≥0时，f（x）＝2x＋ －4，
令f（x）＝0，得2x＋ －4＝0，即（2x）2－4×2x＋3＝0，
解得2x＝1或2x＝3，所以x1＝0，x2＝log23.
因为f（x）是定义在R上的奇函数，
所以当x＜0时，方程－3×2x－ ＋4＝0的根为x＝－log23，
所以方程f（x）＝0的根为x1＝0，x2＝log23，x3＝－log23，
即函数y＝f（x）的零点是0，log23，－log23.
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