《创新课堂》4.5.2　用二分法求方程的近似解 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共52张PPT)
4.5.2　用二分法求方程的近似解
1. 了解二分法的原理及其适用条件（直观想象）.
2. 掌握二分法的实施步骤（数学运算）.
3. 体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想（数学抽象）.
课标要求
　　电视台某栏目中有一个猜商品价格的游戏，规则如下：给出一种商品让参赛者猜价格，主持人给出提示语“高了”或“低了”.例如参赛者猜某种商品的价格为100元，主持人说“高了”.参赛者又猜50元，主持人说“低了”.参赛者再猜80元，主持人说“低了”.这样一直猜下去，直到猜中为止.我们怎么猜才能尽快猜中价格呢？这种思路能不能运用到求方程的近似解中呢？
情景导入
知识点一　二分法
01
知识点二　二分法求函数零点近似值的步骤
02
目录
课时作业
04
知识点三　二分法的实际应用
03
知识点一
二分法
01
PART
问题1　在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路
发生了故障，这是一条10 km长的路线，如果沿着线路一小段一小段查
找，困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子.10 km长的线路大约有200多
根电线杆子.可是维修线路的工人师傅只要至多爬7次电线杆子就能把故障
排除了.你能猜到维修工人是如何操作的吗？
提示：用二分法.
【知识梳理】
　定义：对于在区间[a，b]如图象连续不断且 的
函数y＝f（x），通过不断地把它的零点所在区间 ，使所
得区间的两个端点 ，进而得到零点近似值的方法叫
做二分法.
　　提醒：用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相
反，比如y＝x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解.
f（a）f（b）＜0　
一分为二　
逐步逼近零点　
【例1】　（1）已知函数f（x）的图象如图所示，其中零点的个数与可以
用二分法求解的个数分别为（　D　）
A. 4，4 B. 3，4
C. 5，4 D. 4，3
解析：图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零
点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3，故选D.
D
（2）〔多选〕下列函数中，能用二分法求函数零点的有（　ACD　）
A. f（x）＝3x－1 B. f（x）＝x2－2x＋1
C. f（x）＝4x D. f（x）＝ex－2
解析：f（x）＝x2－2x＋1＝（x－1）2，f（1）＝0，当x＜1时，f（x）
＞0；当x＞1时，f（x）＞0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求
零点，其余选项中函数的零点两侧的函数值异号.故选A、C、D.
ACD
【规律方法】
二分法的适用条件
　　判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是
连续不断的，且该零点为变号零点.因此，用二分法求函数的零点近似值
的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.
训练1　在用二分法求函数f（x）零点的近似值时，第一次所取的区间是
[－2，4]，则第三次所取的区间可能是（　　）
A. [1，4] B. [－2，1]
解析：　∵第一次所取的区间是[－2，4]，∴第二次所取的区间可能为
[－2，1]，[1，4]，∴第三次所取的区间可能为 ， ，
， .
√
知识点二
二分法求函数零点近似值的步骤
02
PART
问题2　你能想办法求函数f（x）＝x3－3的近似解吗？
提示：能.由于f（1）＝－2＜0，f（2）＝5＞0，因此可以确定区间[1，
2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：
端点或中点的横坐标 计算端点或中点的函数值 定区间
a0＝1，b0＝2 f（1）＝－2，f（2）＝5 [1，2]
f（x0）＝0.375＞0 [1，1.5]
f（x1）≈－1.046 9＜0 [1.25，1.5]
f（x2）≈－0.400 4＜0 [1.375，1.5]
f（x3）≈－0.029 5＜0 [1.437 5，1.5]
当然，我们可以一直重复下去，这样的话，也会使求得的函数零点更精
确，显然，这可能是一个无休止的过程，即便是计算机，也可能被累死
机.实际上，如果我们一开始给一个精确度的话，只要满足了给出的精确
度，我们就可以停止计算，比如，该问题中，我们给出精确度为0.1.
由于｜1.5－1.437 5｜＝0.062 5＜0.1，所以原函数的一个正实数零点可
取为1.437 5.
【知识梳理】
　　给定精确度ε，用二分法求函数y＝f（x）零点x0的近似值的步骤：
1. 确定零点x0的初始区间[a，b]，验证 .
2. 求区间（a，b）的中点c.
3. 计算f（c），并进一步确定零点所在的区间：
（1）若f（c）＝0（此时x0＝c），则 就是函数的零点；
（2）若f（a）f（c）＜0（此时x0∈ ），则令b＝c；
（3）若f（c）f（b）＜0（此时x0∈ ），则令a＝c.
f（a）f（b）＜0　
c　
（a，c）　
（c，b）　
4. 判断是否达到精确度ε：若｜a－b｜＜ε，则得到零点近似值a（或
b）；否则重复步骤2～4.
　　提醒：二分法求函数零点近似值口诀
定区间，找中点，中值计算两边看；
同号去，异号算，零点落在异号间；
周而复始怎么办？精确度上来判断.
【例2】　用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解.（精确度
为0.1）
解：令f（x）＝2x3＋3x－3，
经计算，f（0）＝－3＜0，f（1）＝2＞0，f（0）f（1）＜0，
所以函数f（x）在（0，1）内存在零点，
即方程2x3＋3x－3＝0在（0，1）内有解.
取（0，1）的中点0.5，经计算f（0.5）＜0，
又f（1）＞0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在（0.5，1）内有解.
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
（a，b） 中点c f（a） f（b）
（0，1） 0.5 f（0）＜0 f（1）＞0 f（0.5）＜0
（0.5，1） 0.75 f（0.5）＜0 f（1）＞0 f（0.75）＞0
（0.5，0.75） 0.625 f（0.5）＜0 f（0.75）＞0 f（0.625）＜0
（0.625，0.75） 0.687 5 f（0.625）＜0 f（0.75）＞0 f（0.687 5）＜0
（0.687 5，0.75） ｜0.687 5－0.75｜＝0.062 5＜0.1 由于｜0.687 5－0.75｜＝0.062 5＜0.1，所以0.75可作为方程的一个正实
数近似解.
【规律方法】
用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
（1）需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n]（一般采用估计值的方
法完成）；
（2）取区间端点的中点c，计算f（c），确定有解区间是（m，c）还是
（c，n），逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度
要求，终止计算，得到函数零点的近似值.
　　提醒：函数零点的近似值可取满足精确度的零点所在区间的左或右端
点近似值.
训练2
解：令f（x）＝x2－2x－1，
∵f（2）＝－1＜0，f（3）＝2＞0，
又∵f（x）在（2，3）上单调递增，
∴在（2，3）内方程x2－2x－1＝0有唯一的实数解，记作x0.
取区间中点x1＝ ，∵f ＝ ＞0，∴x0∈ ；
再取区间 的中点x2＝ ，
∵f ＝－ ＜0，∴x0∈ ；
用二分法求方程x2－2x－1＝0的正实数解的近似值.（精确度为0.1）
再取区间 的中点x3＝ ，
∵f ＝ － －1＝－ ＜0，∴x0∈ ，
此时 ＝ ＝0.125＞0.1；
再取区间 的中点x4＝ ，
∵f ＝ －2× －1＝ ＞0，
∴x0∈ ，
此时 ＝ ＝0.062 5＜0.1且 ＝2.437 5.
故方程x2－2x－1＝0的正实数解的近似值可取为2.4.
知识点三
二分法的实际应用
03
PART
【例3】　一块电路板的AB段之间有60个串联的焊接点，知道电路不通的
原因是焊口脱落造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至多
需要检测几次？
解：第一次，可去掉30个结果，从剩余的30个中继续二分法；
第二次，可去掉15个结果，从剩余的15个中继续二分法；
第三次，可去掉7或8个结果，考虑至多的情况，所以去掉7个结果，从剩
余的8个中继续二分法；
第四次，可去掉4个结果，从剩余的4个中继续二分法；
第五次，可去掉2个结果，从剩余的2个中继续二分法；
第六次，可去掉1个结果，得到最终结果，所以至多需要检测六次.
【规律方法】
　　二分法的思想在实际生活中应用十分广泛，二分法不仅可用于线
路、水管、煤气管道故障的排查，还能用于实验设计、资料查询、资
金分配等.
训练3　某电脑公司生产A型手提电脑，2021年平均每台A型手提电脑生产
成本为5 000元，并以纯利润20%标定出厂价.2022年开始，公司加强管
理，降低生产成本.2025年平均每台A型手提电脑尽管出厂价仅是2021年出
厂价的80%，但却实现了纯利润50%的高收益.
（1）求2025年每台A型手提电脑的生产成本；
解：设2025年每台A型手提电脑的生产成本为P元，依题意得P（1＋
50%）＝5 000×（1＋20%）×80%，解得P＝3 200，所以2025年每台A型
手提电脑的生产成本为3 200元.
（2）以2021年的生产成本为基数，用二分法求2022～2025年生产成本平
均每年降低的百分数（精确度为0.01）.
解：设2022～2025年生产成本平均每年降低的百分数为x，
根据题意，得5 000（1－x）4＝3 200（0＜x＜1），即5（1－x）2＝4（0
＜x＜1）.
令f（x）＝5（1－x）2－4，则f（0.10）＝0.05＞0，f（0.11）＝－
0.039 5＜0，所以f（0.10）·f（0.11）＜0，
所以f（x）在（0.10，0.11）内有一个零点x0，
取区间（0.10，0.11）的中点0.105，则f（0.105）≈0.005＞0，
所以f（0.11）·f（0.105）＜0，所以x0∈（0.105，0.11）.
因为｜0.105－0.11｜＝0.005＜0.01，所以f（x）＝0的近似解可以是
0.11，所以2022～2025年生产成本平均每年降低11%.
1. 下列函数图象与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是（　　）
解析：　只有选项C中零点左右的函数值符号相反，且函数的图象连续不
断，可以利用二分法求解.
√
2. 用二分法求函数f（x）＝2x－3的零点时，初始区间可选为（　　）
A. （－1，0） B. （0，1）
C. （1，2） D. （2，3）
解析：　f（－1）＝－ ＜0，f（0）＝－2＜0，f（1）＝－1＜0，f
（2）＝1＞0，f（3）＝5＞0，则f（1）f（2）＜0，即初始区间可选
（1，2）.
√
3. 设f（x）＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在（2，3）内近
似解的过程中得f（2.25）＜0，f（2.75）＞0，f（2.5）＜0，f（3）＞
0，则方程的根落在区间（　　）
A. （2，2.25） B. （2.25，2.5）
C. （2.5，2.75） D. （2.75，3）
解析：　因为f（2.5）＜0，f（2.75）＞0，由零点存在定理知，方程的
根在区间（2.5，2.75）内，故选C.
√
4. 若函数f（x）＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法
逐次计算，参考数据如下表：
f（1）＝－2 f（1.5）＝0.625
f（1.25）＝－0.984 f（1.375）＝－0.260
f（1.438）＝0.165 f（1.406 5）＝－0.052
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根（精确度为0.05）为（　　）
A. 1.5 B. 1.375
C. 1.438 D. 1.25
√
解析：　∵f（1.406 5）＜0，f（1.438）＞0，∴f（1.406 5）·f
（1.438）＜0，∴该方程的根在区间（1.406 5，1.438）内，又∵｜1.406
5－1.438｜＝0.031 5＜0.05，∴方程的近似根可以是1.438.
课堂小结
1.理清单
（1）二分法的定义；
（2）利用二分法求函数的零点、方程的近似解；
（3）二分法在实际生活中的应用.
2.应体会
利用二分法求函数的零点、方程的近似解体现了逼近的思想.
3.避易错
二分法并不适用于所有零点，只能求函数的变号零点，且函数图象在零
点附近是连续的.
课时作业
04
PART
1. 用二分法求函数y＝f（x）在区间[2，4]上的唯一零点的近似值时，验
证f（2）f（4）＜0，取区间（2，4）的中点x1＝ ＝3，计算得f（2）f
（x1）＜0，则此时零点x0所在的区间是（　　）
A. （2，4） B. （2，3）
C. （3，4） D. 无法确定
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2. 用二分法求如图所示的函数f（x）的零点时，不可能求出的零点是
（　　）
A. x1 B. x2
C. x3 D. x4
解析：　能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，
且f（a）f（b）＜0.而x3左右两侧的函数值都小于零，不满足区间端点
处函数值符号相异的条件.
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3. 用二分法求函数f（x）在（a，b）内的唯一零点时，精确度为
0.001，则结束计算的条件是（　　）
A. ｜a－b｜＜0.1 B. ｜a－b｜＜0.001
C. ｜a－b｜＞0.001 D. ｜a－b｜＝0.001
解析：根据二分法的步骤知当｜b－a｜小于精确度ε时，便可结束计算.
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4. 若函数f（x）在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f
（a）·f（b）＜0，f（a）·f ＞0，则（　　）
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解析：由f（a）·f（b）＜0，f（a）·f ＞0，可知f ·f
（b）＜0，根据函数零点存在定理可知f（x）在 上有零点.
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5. 用二分法求方程x－2lg ＝3的近似解，可以取的一个区间是（　　）
A. （0，1） B. （1，2）
C. （2，3） D. （3，4）
解析：　令f（x）＝x－2lg －3，则f（2）＝2－2lg －3＝2－
2× lg 2－3＝lg 2－1＜0，f（3）＝3－3lg －3＝ lg 3＞0，∴用二
分法求方程x－2lg ＝3的近似解，可以取的一个区间是（2，3）.
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6. 用二分法求方程的近似解，求得f（x）＝x3＋2x－9的部分函数值数据
如表所示：
x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5
f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3
则当精确度为0.1时，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取为（　　）
A. 1.6 B. 1.7
C. 1.8 D. 1.9
解析：由表格可得，函数f（x）＝x3＋2x－9的零点在区间（1.75，1.812 5）内.结合选项可知，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取为1.8.故选C.
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7. 〔多选〕在用二分法求函数f（x）的一个正实数零点时，经计算，f
（0.64）＜0，f（0.72）＞0，f（0.68）＜0，则函数的一个精确度为
0.05的正实数零点的近似值可以为（　　）
A. 0.68 B. 0.72
C. 0.7 D. 0.6
解析：已知f（0.64）＜0，f（0.72）＞0，则函数f（x）的零点的初始区间为（0.64，0.72），又因为0.68＝ ×（0.64＋0.72），且f（0.68）＜0，所以零点在区间（0.68，0.72）上，｜0.72－0.68｜＝0.04＜0.05，所以0.68，0.7，0.72都符合.
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8. 函数f（x）＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关
系是 .
解析：∵函数f（x）＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，∴函数
f（x）＝x2＋ax＋b的图象与x轴相切，∴Δ＝a2－4b＝0，∴a2＝4b.
a2＝4b
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9. 在12枚崭新的硬币中，有一枚外表与真币完全相同的假币（质量小一
点），现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称 次就可以
发现假币.
解析：将12枚硬币平均分成两份，放在天平上，假币在轻的那6枚硬币里
面；将这6枚平均分成两份，则假币一定在轻的那3枚硬币里面；将这3枚
硬币任拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币；若不平
衡，则轻的那一枚即是假币，依据上述分析，最多称3次就可以发现这枚
假币.
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10. 已知函数f（x）＝3x＋ ，方程f（x）＝0在（－1，＋∞）内是否
有根？若有根，有几个？若函数有零点，请写出函数零点的大致区间.
解：方程f（x）＝0在（－1，＋∞）内有根，
f（x）＝3x＋ ＝3x＋1－ ，
当x∈（－1，＋∞）时，函数f（x）为增函数，
所以若方程f（x）＝0有根，则最多有一个根.
因为f（0）＝－1＜0，f（1）＝ ＞0，
所以方程f（x）＝0有一个根，函数f（x）在区间（0，1）上有唯一零点.
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11. 用二分法求函数f（x）＝ln（x＋1）＋x－1在区间（0，1）上的零
点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（　　）
A. 5 B. 6
C. 7 D. 8
解析：开区间（0，1）的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为 .因为精确度为0.01，所以 ＜0.01.又n∈N*，所以n≥7且n∈N*，故所需二分区间的次数最少为7，故选C.
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12. 〔多选〕利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表.
x －1.6 －1.4 －1.2 －1 －0.8
y＝2x 0.329 9 0.378 9 0.435 3 0.5 0.574 3
y＝x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64
x －0.6 －0.4 －0.2 0 …
y＝2x 0.659 8 0.757 9 0.870 6 1 …
y＝x2 0.36 0.16 0.04 0 …
若方程2x＝x2有一个根位于区间（a，a＋0.4）内，则a可以取（　　）
A. －1.4 B. －1
C. －0.8 D. －0.6
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解析：令f（x）＝2x－x2，则f（－1.6）＜0，f（－1.4）＜0，f（－1.2）＜0，f（－1）＜0，f（－0.8）＜0，f（－0.6）＞0，f（－0.4）＞0，f（－0.2）＞0，f（0）＞0，f（－1.4）·f（－1）＞0，f（－1）f（－0.6）＜0，f（－0.8）f（－0.4）＜0，f（－0.6）·f（－0.2）＞0，故a可能取－1或－0.8.
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13. 某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解（精确度为0.1）”
时，设f（x）＝lg x＋x－2，算得f（1）＜0，f（2）＞0；在以下过程
中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判
断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是
.
解析：第一次用二分法计算得区间（1.5，2），第二次得区间（1.75，
2），第三次得区间（1.75，1.875），第四次得区间（1.75，1.812 5）.
1.5，1.75，
1.875，1.812 5
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14. 已知函数f（x）＝ x3－x2＋1.
（1）证明方程f（x）＝0在区间（0，2）内有实数解；
解：证明：因为f（0）＝1＞0，f（2）＝－ ＜0，所以f（0）·f（2）＜0，由函数零点存在定理可得方程f（x）＝0在区间（0，2）内有实数解.
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（2）使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f（x）＝0（x∈[0，
2]）的实数解x0在哪个较小的区间内.
解：取x1＝ ×（0＋2）＝1，得f（1）＝ ＞0，
由此可得f（1）·f（2）＜0，下一个有解区间为（1，2）.
再取x2＝ ×（1＋2）＝ ，得f ＝－ ＜0，
所以f（1）·f ＜0，下一个有解区间为 .
再取x3＝ × ＝ ，得f ＝ ＞0，
所以f ·f ＜0，下一个有解区间为 .
综上所述，所求的实数解x0在区间 内.
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15. 用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间（a，
b）内，当｜a－b｜＜ε（ε为精确度）时，求函数零点的近似值x0＝
与真实零点的误差的取值范围.
解：真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，而b－ ＝ －a＝
＜ ，
所以误差的取值范围为 .
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