《创新课堂》培优课　辅助角公式及几何问题中的三角解法 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共42张PPT)
培优课 辅助角公式及几何问题中的三角解法
　　掌握辅助角公式的推导和意义，能够运用辅助角公式解决某些三角问题；进一步提高数学逻辑思维能力、推理能力、分析问题和解决问题的能力；提高学习数学的兴趣.
重点解读
一、辅助角公式
01
二、辅助角公式的应用
02
三、几何问题中的三角解法
03
目录
课时作业
04
一、辅助角公式
01
PART
【例1】　函数f（x）＝a sin x＋b cos x图象的一条对称轴为直线x＝ ，
则 ＝（　　）
√
解析：　由题意可得a≠0，b≠0，f（x）＝a sin x＋b cos x＝
sin （x＋φ），其中tan φ＝ ，φ∈[0，2π），由函数f（x）图象的一条对
称轴为直线x＝ ，即有 ＋φ＝ ＋kπ（k∈Z），即φ＝ ＋kπ
（k∈Z），又φ∈[0，2π），故φ＝ ，故 ＝ ＝ ＝ ，故选C.
【规律方法】
　　f（α）＝a sin α＋b cos α＝ sin （α＋φ）叫做辅助角公式，其
中 sin φ＝ ， cos φ＝ ，tan φ＝ .
训练1　当函数y＝ sin x－ cos x（0≤x≤2π）取得最大值时，x
＝ .
解析：∵y＝2（ sin x－ cos x）＝2 sin （x－ ），又∵0≤x≤2π，
∴－ ≤x－ ≤ ，∴当x－ ＝ ，即x＝ 时，ymax＝2.

二、辅助角公式的应用
02
PART
【例2】　已知函数f（x）＝ cos （ ＋x） cos （ －x），g（x）＝
sin 2x－ .
（1）求函数f（x）的最小正周期；
解：f（x）＝（ cos x－ sin x）·（ cos x＋ sin x）
＝ cos 2x－ sin 2x＝ － ＝ cos 2x－ ，
∴f（x）的最小正周期为T＝ ＝π.
（2）求函数h（x）＝f（x）－g（x）的最大值，并求使h（x）取得最
大值时x的集合.
解：h（x）＝f（x）－g（x）＝ cos 2x－ sin 2x＝ cos （2x＋
），
当2x＋ ＝2kπ（k∈Z）时，h（x）有最大值 ，
此时x的取值集合为{x｜x＝kπ－ ，k∈Z}.
【规律方法】
应用辅助角公式解决三角函数综合问题的步骤
训练2　已知函数f（x）＝ sin 2x－ sin 2（x－ ），x∈R.
（1）求f（x）的最小正周期；
解：由已知，得f（x）＝ － ＝ （ cos 2x＋ sin
2x）－ cos 2x＝ sin 2x－ cos 2x＝ sin （2x－ ），
所以f（x）的最小正周期为T＝ ＝π.
（2）求f（x）在区间［－ ， ］上的最大值和最小值.
解：因为x∈［－ ， ］，所以2x－ ∈［－ ， ］，
所以f（x）在区间［－ ，－ ］上单调递减，在区间［－ ， ］上单调
递增，
且f（－ ）＝－ ，f（－ ）＝－ ，f（ ）＝ ，
所以f（x）在区间［－ ， ］上的最大值为 ，最小值为－ .
03
PART
三、几何问题中的三角解法
【例3】　某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半
径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m，求割出的长方形桌面的
最大面积（如图）.
解：如图，连接OC，
设∠COB＝θ，
则0°＜θ＜45°，OC＝1.
因为AB＝OB－OA＝ cos θ－AD＝ cos θ－ sin θ，
所以S矩形ABCD＝AB·BC＝（ cos θ－ sin θ）· sin θ
＝－ sin 2θ＋ sin θ cos θ＝－ （1－ cos 2θ）＋ sin 2θ
＝ （ sin 2θ＋ cos 2θ）－ ＝ cos （2θ－45°）－ .
当2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°时，（S矩形ABCD）max＝ （m2），
所以割出的长方形桌面的最大面积为 m2.
【规律方法】
　　解决此类问题，关键是合理引入自变量，恰当表示题中的有关量，将
几何问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解.
训练3　如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，
才能使△OAB的周长最长？
解：设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，
则AB＝R sin α，OB＝R cos α，
所以l＝OA＋AB＋OB＝R＋R sin α＋R cos α＝R（ sin α＋ cos α）＋R＝
R sin （α＋ ）＋R.
因为0＜α＜ ，所以 ＜α＋ ＜ ，
所以当α＋ ＝ ，即α＝ 时，l的最大值为 R＋R＝（ ＋1）R，
故当α＝ 时，△OAB的周长最长.
课时作业
04
PART
1. cos 15°－4 sin 215° cos 15°＝（　　）
C. 1
解析：　 cos 15°－4 sin 215° cos 15°＝ cos 15°－2 sin 15°· sin
30°＝ cos 15°－ sin 15°＝－2（ sin 15°－ cos 15°）＝－2 sin
（－45°）＝ .
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√
2. 已知α∈（0，π），且 sin α－ cos α＝2，则tan α＝（　　）
解析：　由 sin α－ cos α＝2，得 sin α－ cos α＝1，即 sin （α－ ）
＝1，由α∈（0，π），得α－ ∈（－ ， ），则α－ ＝ ，即α＝ ，
所以tan α＝tan ＝－tan ＝－ .故选B.
√
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3. （2025·临沂期中）函数f（x）＝ sin x－ cos x（x∈R）的图象的一条
对称轴方程是（　　）
√
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解析：　由题意可知：f（x）＝ sin x－ cos x＝ sin （x－ ），令x
－ ＝kπ＋ x＝kπ＋ （k∈Z），对于A，显然不能存在k∈Z，使得
x＝kπ＋ ＝ ，故A错误；对于B，显然k＝－1时，使得x＝kπ＋ ＝
－ ，故B正确；对于C，显然不能存在k∈Z，使得x＝kπ＋ ＝ ，故C
错误；对于D，显然不能存在k∈Z，使得x＝kπ＋ ＝－ ，故D错误.故
选B.
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4. （2025·南昌期末）若 sin x＋ cos x＝4－m，则实数m的取值范围是
（　　）
A. [2，6] B. [－6，6]
C. （2，6） D. [2，4]
解析：　∵ sin x＋ cos x＝4－m，∴ sin x＋ cos x＝ ，∴ sin
sin x＋ cos · cos x＝ ，∴ cos （x－ ）＝ .∵－1≤ cos （x－ ）
≤1，∴－1≤ ≤1，∴2≤m≤6.
√
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5. （2025·南京期末）“α是第二象限角”是“－1＜ sin α＋ cos α＜1”的
（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
√
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解析：　 sin α＋ cos α＝ sin （α＋ ），若α是第二象限角，即2kπ＋
＜α＜2kπ＋π，k∈Z，有2kπ＋ ＜α＋ ＜2kπ＋ ，k∈Z，则有－
＜ sin （α＋ ）＜ ，所以－1＜ sin （α＋ ）＜1，即－1＜ sin α＋
cos α＜1，故充分性成立；当α＝－ 时， sin α＋ cos α＝0，满足－1＜ sin
α＋ cos α＜1，但α是第四象限角，故必要性不成立，所以“α是第二象限
角”是“－1＜ sin α＋ cos α＜1”的充分不必要条件.故选A.
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6. 〔多选〕（2025·宜宾期中）设函数f（x）＝ cos x－ sin x，则下列
结论正确的是（　　）
A. f（x）的最小正周期为2π
√
√
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解析：f（x）＝ cos x－ sin x＝2（ cos x－ sin x）＝2 cos （x＋ ），所以f（x）的最小正周期为2π，A选项正确； cos （ ＋ ）＝ cos 3π＝ cos （2π＋π）＝ cos π＝－1，所以y＝f（x）的图象关于直线x＝ 对称，B选项正确；f（x＋π）＝2 cos （x＋π＋ ）＝2 cos （x＋ ），当x＝ 时，2 cos （ ＋ ）＝2 cos ＝1，所以C选项错误；因为 ＜x＜π， ＜x＋ ＜ ，所以f（x）在区间（ ，π）上不单调，所以D选项错误.故选A、B.
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7. 〔多选〕（2025·盐城期中）已知函数f（x）＝ sin x＋ cos x－1，则
（　　）
D. f（x）的最大值是1，最小值是－3
√
√
√
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解析：f（x）＝ sin x＋ cos x－1＝2 sin （x＋ ）－1.对于A，令x＋ ＝kπ＋π（k∈Z），解得x＝ ＋kπ（k∈Z），此时f（x）＝－1，f（x）的对称中心为（ ＋kπ，－1）（k∈Z），A正确；对于B，令x＋ ＝kπ＋ （k∈Z），解得x＝kπ＋ （k∈Z），f（x）的对称轴
为x＝kπ＋ （k∈Z），B错误；对于C，令2kπ－ ≤x＋ ≤2kπ＋
（k∈Z），解得2kπ－ ≤x≤2kπ＋ （k∈Z），f（x）的增区间为
［－ ＋2kπ， ＋2kπ］（k∈Z），C正确；对于D，∵ sin （x＋ ）∈[－1，1]，∴2 sin （x＋ ）－1∈[－3，1]，f（x）最大值是1，最小值是－3，D正确.故选A、C、D.
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8. 若存在x∈R，使3 cos x＝4 sin x＋k成立，则实数k的取值范围是
.
解析：若存在x∈R，使3 cos x＝4 sin x＋k成立，即－k＝4 sin x－3
cos x＝5 sin （x＋φ），其中tan φ＝－ ，由于y＝5 sin （x＋φ）的值域为
[－5，5]，则－5≤－k≤5，则－5≤k≤5.
[－
5，5]
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9. 若函数f（x）＝a sin x－ cos x的一个零点是 ，则函数y＝f（x）的
最大值为 .
解析：由题意f（ ）＝a sin － cos ＝0，所以a＝1，所以f（x）＝
sin x－ cos x＝2（ sin x－ cos x）＝2 sin （x－ ），又 sin （x－ ）
∈[－1，1]，所以f（x）∈[－2，2]，故f（x）的最大值为2.
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10. （2025·石家庄期中）如图，扇形OAB的半径为1，圆心角为 ，若P
为 上异于A，B的点，且PQ⊥OB交OB于点Q，当△POQ的面积大于
时，∠POQ的取值范围为 　（ ， ）　.
（ ， ）
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解析：设∠POQ＝θ（0＜θ＜ ），则PQ＝ sin θ，OQ＝ cos θ，
∴S△POQ＝ sin θ cos θ＝ sin 2θ，由 sin 2θ＞ ，得 sin 2θ＞ .又
2θ∈（0，π），∴ ＜2θ＜ ，则 ＜θ＜ ，∴∠POQ的取值范围为
（ ， ）.
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11. 早在两千多年前，我国数学专著《九章算术》中，就提出了宛田（扇
形面积）的计算方法，“以径乘周，四而一”（直径与弧长乘积的四分之
一）.已知半径为r的扇形的弧长为2π，面积为π，若a2＋b2＝r2，则函数y
＝a cos 2x＋b sin x cos x－ －1的最小值为 　－ 　.
－
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解析：由二倍角公式得y＝a（ ）＋ b sin 2x－ －1＝ cos 2x＋
sin 2x－1，又由辅助角公式可得 cos 2x＋ sin 2x－1＝
sin （2x＋φ）－1＝ sin （2x＋φ）－1，其中 sin φ＝
， cos φ＝ ，设扇形弧长为l，又因为扇形的面积S＝ lr，解得r＝1，
所以由正弦函数的图象可得函数y＝ sin （2x＋φ）－1的最小值为－ .
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12. 已知函数f（x）＝ sin （2x＋ ）＋ sin （2x－ ）＋ cos 2x＋a（其
中a∈R，a为常数）.
（1）求函数的最小正周期和函数的单调递增区间；
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解：f（x）＝ sin （2x＋ ）＋ sin （2x－ ）＋ cos 2x＋a
＝ sin 2x＋ cos 2x＋ sin 2x－ cos 2x＋ cos 2x＋a
＝ sin 2x＋ cos 2x＋a＝2 sin （2x＋ ）＋a，
所以函数的最小正周期为T＝ ＝π，
由－ ＋2kπ≤2x＋ ≤ ＋2kπ（k∈Z），
得－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ（k∈Z），
所以函数的单调递增区间为［－ ＋kπ， ＋kπ］（k∈Z）.　
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（2）若x∈［0， ］时，f（x）的最小值为－3，求a的值.
解：因为x∈［0， ］，
所以2x＋ ∈［ ， ］，
所以当2x＋ ＝ ，即x＝ 时，f（x）取最小值，
所以2 sin （2× ＋ ）＋a＝－3，即－1＋a＝－3.
所以a＝－2.
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13. 如图，在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字
形，其中y＞x＞0.
（1）将十字形的面积表示为θ的函数；
解：设S为十字形的面积，则S＝2xy－x2（0＜x＜y），
又圆O的直径为1，则x＝ cos θ，y＝ sin θ，因为0＜x
＜y，所以0＜ cos θ＜ sin θ，所以tan θ＞1.
从而θ∈（ ， ）.
故S＝2 sin θ cos θ－ cos 2θ（ ＜θ＜ ）.
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（2）θ为何值时，十字形的面积最大？最大面积是多少？
解：S＝2 sin θ cos θ－ cos 2θ＝ sin 2θ－
＝ sin 2θ－ cos 2θ－ ＝ sin （2θ－α）－ （ ＜θ
＜ ）.
其中tan α＝ ，α∈（0， ）.
所以当 sin （2θ－α）＝1，即θ＝ ＋ 时，S最大，且最
大值为 .
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