《创新课堂》培优课　三角函数中的参数求解 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共45张PPT)
培优课　三角函数中的参数求解
　　含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，解答时通常将方程思想与待定系数法相结合.本文结合最近几年高考命题规律，对求解参数问题进行分类解析.
重点解读
一、由三角函数的最值求参数
01
二、由三角函数的图象求参数
02
三、由三角函数的奇偶性求参数
03
目录
课时作业
06
四、由三角函数的对称性求参数
04
五、由三角函数的单调性求参数
05
一、由三角函数的最值求参数
01
PART
【例1】　如果f（x）＝ sin 2x＋a cos 2x，x∈R，且f（x）在x＝－ 时
取得最大值，则实数a的值为 .
解析：∵x＝－ 时f（x）取得最大值，∴f（x）关于x＝－ 对称，∴f
（－ ＋x）＝f（－ －x）对 x∈R均成立.令x＝－ 代入上式，有f
（－ ）＝f（0），∴f（－ ）＝ sin ［2×（－ ）］＋a cos ［2×（－
）］＝－ sin ＋a cos ＝－1，f（0）＝ sin 0＋a cos 0＝a，∴a＝－1.
－1
【规律方法】
　　求形如y＝a sin x＋b（或y＝a cos x＋b）型三角函数中的参数a，b
的值时，一般利用正弦（余弦）函数的有界性列方程组求解，注意参数a
的正负.
训练1　为了使函数y＝ cos ωx（ω＞0）在区间[0，1]上至少出现5次最大
值，则ω的最小值为（　　）
A. 4π B. 8π
C. 10π D. 12π
解析：　由题意知：ωx∈[0，ω]，又y＝ cos x在[0，＋∞）上的最大值
依次在x＝0，2π，4π，6π，8π，10π，…处取得，要至少出现5次最大值，
可得ω≥8π，ωmin＝8π，故选B.
√
二、由三角函数的图象求参数
02
PART
【例2】　已知函数f（x）＝tan（ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜ ）的图象
与x轴相交的两相邻点的坐标为（ ，0）和（ ，0），则函数f（x）
＝
tan（ x－ ）
解析：由题意可得f（x）的周期为T＝ － ＝ ＝ ，所以ω＝ ，得f
（x）＝tan（ x＋φ），又其图象过点（ ，0），所以tan（ × ＋φ）＝
0，即tan（ ＋φ）＝0，所以 ＋φ＝kπ（k∈Z），得φ＝kπ－ ，k∈Z，
又｜φ｜＜ ，所以φ＝－ .所以f（x）＝tan（ x－ ）.
【规律方法】
由三角函数的图象求参数一般涉及A、ω、φ：
（1）A可由图象中的最高点、最低点及对称中心的坐标确定；
（2）ω可由相邻两对称轴或相邻两对称中心确定；
（3）φ可由某关键点、线确定.
训练2　已知函数y＝ sin （ωx＋φ）（ω＞0，－π≤φ＜π）的图象如图所
示，则ω＝ 　　　，φ＝ 　　.
　
解析：由图象可知ω＝ ，当x＝2π时，y＝1，∴ ×2π＋φ＝ ＋2kπ，
k∈Z. ∵－π≤φ＜π，∴φ＝ π.
π
03
PART
三、由三角函数的奇偶性求参数
【例3】　已知函数f（x）＝ sin （x＋ ＋φ）是奇函数，则φ的值可以
是（　　）
A. 0 B. －
C. D. π
解析：　法一　f（x）＝ sin （x＋ ＋φ）为奇函数，则只需 ＋φ＝
kπ，k∈Z，从而φ＝kπ－ ，k∈Z. 显然当k＝0时，φ＝－ 满足题意.
√
法二　因为f（x）是奇函数，所以f（0）＝0，即 sin （ ＋φ）＝0，
所以φ＋ ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ－ ，k∈Z. 令k＝0，则φ＝－ .
【规律方法】
由三角函数的奇偶性求参数φ的思路
（1）要使y＝A sin （ωx＋φ）（Aω≠0）为奇函数，需φ＝kπ
（k∈Z）；
（2）要使y＝A sin （ωx＋φ）（Aω≠0）为偶函数，需φ＝kπ＋
（k∈Z）；
（3）要使y＝A cos （ωx＋φ）（Aω≠0）为奇函数，需φ＝kπ＋
（k∈Z）；
（4）要使y＝A cos （ωx＋φ）（Aω≠0）为偶函数，需φ＝kπ（k∈Z）.
训练3　函数y＝3 cos （2x＋φ）是奇函数，则｜φ｜的最小值是 .
解析：因为y＝3 cos （2x＋φ）是奇函数，所以φ＝ ＋kπ，k∈Z，所以
当k＝0时，｜φ｜取得最小值 .

04
PART
四、由三角函数的对称性求参数
【例4】　已知函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）（ω＞0，0＜｜φ｜＜ ）的最
小正周期为π，且关于（ ，0）中心对称，则φ＝ 　－ 　.
解析：因为f（x）的最小正周期为π，所以T＝ ＝π，得ω＝2，则f
（x）＝ sin （2x＋φ）.又f（x）关于（ ，0）中心对称，所以2× ＋φ
＝kπ，k∈Z，即φ＝－ ＋kπ，k∈Z，又0＜｜φ｜＜ ，所以取k＝0，
得φ＝－ .
－
【规律方法】
由三角函数的对称性求参数φ的思路
（1）对于函数y＝ sin （ωx＋φ），y＝ cos （ωx＋φ），应将ωx＋φ看
成一个整体，利用整体思想，令ωx＋φ等于kπ或kπ＋ （k∈Z），求出
φ的值；
（2）对于函数y＝tan（ωx＋φ），令ωx＋φ＝ （k∈Z），求出φ的值.
训练4　已知函数y＝ sin （2x＋φ）（－ ＜φ＜ ）的图象关于直线x＝
对称，则φ的值是
解析：由题意可得 sin （ π＋φ）＝±1，所以 π＋φ＝ ＋kπ，φ＝
－ ＋kπ（k∈Z），因为－ ＜φ＜ ，所以k＝0，φ＝－ .
－
05
PART
五、由三角函数的单调性求参数
【例5】　已知函数y＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0）在区间（－ ， ）上单
调递增，则ω的取值范围是 .
解析：函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0）在区间（－ ， ）上单调
递增，当－ ＜x＜ 时，－ ＋ ＜ωx＋ ＜ ＋ ，∵当x＝0时，ωx
＋ ＝ ，由于函数y＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0）在区间（－ ， ）上单
调递增，∴ 解得ω≤ ，∵ω＞0，∴0＜ω≤ ，因此，
ω的取值范围是（0， ］.
（0， ］
【规律方法】
　　对于已知函数单调区间的某一部分确定参数ω的范围问题，首先，明
确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的
单调区间，从而利用它们之间的包含关系列方程（不等式组）求解.
训练5　已知函数f（x）＝ sin （2x＋ ）在区间[0，a]（a＞0）上单调
递增，则实数a的取值范围是（　　）
A.
B.
C.
D.
√
解析：　令t＝2x＋ ，因为0≤x≤a，故 ≤t≤2a＋ ，因为f（x）
在[0，a]上单调递增，故y＝ sin t在［ ，2a＋ ］上单调递增，故2a＋
≤ 即0＜a≤ ，故选A.
课时作业
06
PART
1. 已知函数y＝ sin （2x＋φ）的图象关于点（ ，0）对称，则φ的可能取
值为（　　）
A. － B.
C. － D.
解析：因为函数y＝ sin （2x＋φ）的图象关于点（ ，0）对称，所以
2× ＋φ＝kπ（k∈Z），解得φ＝kπ－ （k∈Z）.结合选项，当k＝0
时，φ＝－ .
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√
2. f（x）＝ sin ωx（ω＞0）在区间［0， ］上单调递增，在［ ， ］上
单调递减，则ω＝（　　）
A. 2 B.
C. D.
解析：　当x＝ 时，函数f（x）取得最大值，则 sin ＝1，所以 ＝
2kπ＋ （k∈Z），所以ω＝6k＋ ，k∈Z，又ω＞0，结合选项ω＝ .
√
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3. 已知直线x＝ 和x＝ 是曲线f（x）＝ sin （ωx＋φ）（－π＜φ≤π）
的两条对称轴，且函数f（x）在（ ， ）上单调递减，则φ＝（　　）
A. － B. 0
C. D. π
解析：　由f（x）在（ ， ）上单调递减可知，f（ ）是最小值，
由两条对称轴为直线x＝ 和x＝ 可知，直线x＝0也是对称轴，且f
（0）＝－1为最小值，故 sin φ＝－1.又－π＜φ≤π，解得φ＝－ .
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4. 已知函数f（x）＝2 sin 的定义域为[a，b]，值域为[－1，2]，则b－
a的值一定不可能是（　　）
A. π B. 2π
C. π D. π
解析：　∵f（x）＝2 sin 的定义域为[a，b]且值域为[－1，2].则
[a，b]不是f（x）的一个周期，即b－a＜4π，由选项知 ＞4π，故b
－a一定不可能是D.
√
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5. 已知函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）（ω＞0，｜φ｜＜π）的最小正周期为
2，且函数图象过点（ ，1），若f（x）在区间[－2，a]内有4个零点，
则a的取值范围为（　　）
A. ［ ， ） B. （ ， ］
C. ［ ， ） D. （ ， ］
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解析：　由最小正周期T＝2＝ ，得ω＝π.因为函数f（x）的图象过点
（ ，1），所以 sin （ ＋φ）＝1，所以 ＋φ＝ ＋2kπ，k∈Z. 因为｜
φ｜＜π，所以φ＝ ，所以f（x）＝ sin （πx＋ ）.当x∈[－2，a]时，
πx＋ ∈［－ ，πa＋ ］，因为f（x）在[－2，a]内有4个零点，所
以2π≤πa＋ ＜3π，所以 ≤a＜ ，所以a的取值范围为［ ， ）.
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6. 已知函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜≤ ）的图
象离原点最近的对称轴为x＝x0，若满足｜x0｜≤ ，则称f（x）为“近
轴函数”.若函数y＝2 sin （2x－φ） 是“近轴函数”，则φ的
取值范围是（　　）
A. ［ ， ］
B. ［－ ，－ ］∪［ ， ］
C. ［－ ，－ ］
D. ［－ ， ］
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解析：y＝2 sin （2x－φ）靠近原点的对称轴为x＝x0，则2x0－φ＝
± x0＝ ± ，要为近轴函数，则｜x0｜≤ ，∵｜± ｜＞ ，∴φ＞
0，x0＝ － ，φ＜0，x0＝ ＋ ，
∴ 或
解得φ∈［－ ，－ ］∪［ ， ］.
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7. 〔多选〕（2025·眉山期末）设ω＞0，函数f（x）＝－2 sin （ωx－ ）
在区间（0， ］上有零点，则ω的值可以是（　　）
A. B.
C. D.
解析：　f（x）＝－2 sin （ωx－ ），令ωx－ ＝kπ，解得x＝ ＋ ，k∈Z；因为ω＞0，取k＝0，所以0＜ ≤ ，即ω≥ ，故选B、C、D.
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8. 〔多选〕已知函数f（x）＝3 sin （ωx＋ ）（ω＞0）的图象的对称轴
与对称中心的最小距离为 ，则下列结论正确的是（　　）
A. f（x）的最小正周期为2π
B. f（x）的图象关于点（－ ，0）对称
C. f（x）在（－ ， ）上单调递减
D. f（x）的图象关于直线x＝ 对称
√
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解析：因为f（x）的图象的对称轴与对称中心的最小距离为 ，所以 ＝ ，即T＝π，选项A错误；由T＝ ＝π，得ω＝2，即f（x）＝3 sin （2x＋ ），因为f（－ ）＝3 sin （－ ＋ ）＝3 sin 0＝0，所以f（x）的图象关于点（－ ，0）对称，选项B正确；当－ ＜x＜ 时，有－ ＜2x＋ ＜ ，所以f（x）＝3 sin （2x＋ ）在（－ ， ）上单调递增，选项C错误；因为f（ ）＝3 sin （ ＋ ）＝3 sin ＝－3，所以f（x）的图象关于直线x＝ 对称，选项D正确.
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9. 已知函数y＝tan ωx（ω＞0）在（－ ， ）上单调递增，则ω的最大值
为
解析：∵｜－ ｜ ＜ ，∴由正切函数的单调性可得 ≥ ×2，且ω＞0，解得0＜ω≤2，故ω的最大值为2.
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10. （2023·新高考Ⅰ卷15题）已知函数f（x）＝ cos ωx－1（ω＞0）在区
间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是 .
解析：因为x∈[0，2π]，ω＞0，所以ωx∈[0，2ωπ].由f（x）＝0得 cos
ωx＝1，从而要使f（x）在区间[0，2π]上有且仅有3个零点，则需
4π≤2ωπ＜6π，解得2≤ω＜3.
[2，3）
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11. 若函数f（x）＝ cos ωx（ω＞0）在区间（2π，3π）内既没有最大值
1，也没有最小值－1，则实数ω的取值范围是 .
解析：当x∈（2π，3π）且ω＞0时，2πω＜ωx＜3πω.因为函数f（x）在
区间（2π，3π）内既没有最大值1，也没有最小值－1，所以（2πω，3πω）
（kπ，kπ＋π），其中k∈Z，所以 （k∈Z），解得
≤ω≤ （k∈Z），由 ≤ ，可得k≤2.因为ω＞0且k∈Z，所以当k
＝0时，0＜ω≤ ；当k＝1时， ≤ω≤ ；当k＝2时，ω＝1.综上所述，
实数ω的取值范围是（0， ］∪［ ， ］∪{1}.
（0， ］∪［ ， ］∪{1}
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12. 设函数y＝tan（ωx＋φ）（ω＞0，0＜φ＜ ），若函数图象与x轴的两
个相邻的交点间的距离为 ，且图象关于点M（－ ，0）对称.
（1）求函数的解析式；
解：由已知得函数的最小正周期为 ，
因而T＝ ＝ ，则ω＝2.
由2×（－ ）＋φ＝ （k∈Z），
得φ＝ ＋ （k∈Z）.
又0＜φ＜ ，则φ＝ .
从而函数解析式为y＝tan（2x＋ ）.
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（2）求函数的单调区间；
解：令－ ＋kπ＜2x＋ ＜ ＋kπ（k∈Z），得－ ＋ ＜x＜
＋ （k∈Z），
从而函数的单调递增区间为（－ ＋ ， ＋ ）（k∈Z），无单调递
减区间.
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（3）求不等式－1＜f（x）＜ 的解集.
解：若－1＜f（x）＜ ，则－ ＋kπ＜2x＋ ＜ ＋kπ（k∈Z），
得－ ＋ ＜x＜ ＋ （k∈Z），
因而不等式的解集为{x｜－ ＋ ＜x＜ ＋ ，k∈Z}.
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13. 已知函数f（x）＝ a sin （x＋ ）＋1－a（a∈R），x∈［0，
］，定义在非零实数集上的奇函数g（x）在（0，＋∞）上单调递增，
且g（2）＝0.若g（f（x））＜0恒成立，求实数a的取值范围.
解：f（x）＝ a sin （x＋ ）＋1－a，根据已知条件，由g（x）＜0
可得x∈（－∞，－2）∪（0，2）.
由题意，要使g（f（x））＜0恒成立，则f（x）∈（－∞，－2）或f
（x）∈（0，2）恒成立.
若 a sin （x＋ ）＋1－a＜－2恒成立，
则a［ sin （x＋ ）－1］＜－3.
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∵x∈［0， ］，∴ sin （x＋ ）∈[1， ].
当x＝0或x＝ 时， sin （x＋ ）－1＝0，a×0＝0＞－3.故这时的a
不存在.
若0＜ a sin （x＋ ）＋1－a＜2恒成立，
则－1＜a［ sin （x＋ ）－1］＜1.
只需a［ sin （x＋ ）－1］的最大值和最小值同时在（－1，1）中，
即 解得－1－ ＜a＜1＋ .
综上，实数a的取值范围为{a｜－1－ ＜a＜1＋ }.
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