《创新课堂》5.1.1　任意角 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共63张PPT)
5.1.1　任意角
1. 了解任意角
2. 的概念，区分正角、负角与零角（数学抽象）.
2. 了解象限角的概念，理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合（逻辑推理）.
3. 利用象限角和终边相同的角的概念解决简单的问题（直观现象、数学运算）.
课标要求
情景导入
如图所示，当摩天轮在持续不断地运转时.
（1）摩天轮所转过的角度大小是否会超过360°？
（2）如果甲、乙两人分别站在摩天轮的两侧观察，那么他们所看到的摩天轮旋转方向相同吗？如果不同，你能用合适的数学符号表示这种不同吗？
知识点一　任意角的概念
01
知识点二　象限角
02
提能点一　终边在某条直线上的角的表示
04
目录
课时作业
06
知识点三　终边相同的角
03
提能点二　区间（域）角
05
知识点一
任意角的概念
01
PART
问题1　（1）你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？
提示：手表慢5分钟，将分针顺时针方向旋转30°.
（2）假如你的手表快了1小时15分钟，你如何将它校准？
提示：手表快1小时15分钟，将分针逆时针方向旋转450°，即可校准.
（3）同学们思考一下，能否再举出几个生活中“大于360°的角以及按不
同方向旋转而成的角”的实例？
提示：①跳水运动中，运动员旋转的角度.
②汽车在前进和倒车中，车轮转动的角度.
③工人在拧紧或拧松螺丝时，扳手转动的角度.
【知识梳理】
1. 角的概念
角可以看成 绕着它的 旋转所成的图形.
一条射线　
端点　
2. 角的表示
如图，
（1）始边：射线的 位置OA；
（2）终边：射线的 位置OB；
（3）顶点：射线的端点O；
（4）记法：图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”.
起始　
终止　
3. 角的分类
4. 角的相等
设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O'A'绕端点O'旋转而成，如
果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称 .
α＝β　
5. 角的加法
设α，β是任意两个角，我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应
的角是 .
6. 相反角
把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为
，角α的相反角记为 ，α－β＝α＋ .
α＋β　
相
反角　
－α　
（－β）　
【例1】　〔多选〕下列说法中正确的是（　　）
A. 小于180°的角是钝角、直角或锐角
B. 始边和终边重合的角是零角
C. 钟表的时针旋转而成的角是负角
D. 零角的始边和终边重合
解析：对于A：0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，不正确；对于B：始边和终边重合的角大小之差为360°的整数倍，可能是零角，也可能不是零角，不正确；对于C：钟表的时针是按顺时针方向旋转的，因而所成的角是负角，正确；对于D：零角的始边未做任何旋转，因而和终边重合，正确.
√
√
【规律方法】
判断角的概念问题的关键与技巧
（1）关键：正确理解角的有关概念（如正角、负角、零角及锐角、直
角、钝角、平角、周角等概念）；
（2）技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出
反例即可.
训练1　若角α＝30°，把角α的终边按逆时针旋转20°得到角β，则α－β
＝ .
解析：∵角β是由角α逆时针旋转20°所得，∴β＝α＋20°＝30°＋20°＝
50°，∴α－β＝30°－50°＝－20°.
－20°
知识点二
象限角
02
PART
问题2　在平面直角坐标系中，将角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x
轴的非负半轴重合，回答下列问题.
（1）210°角的终边落在第几象限？
提示：210°角的终边落在第三象限.
（2）－45°角的终边落在第几象限？－150°角的终边落在第几象限？
提示：－45°角的终边落在第四象限，－150°角的终边落在第三象限.
【知识梳理】
在平面直角坐标系中，若角的顶点与 重合，角的始边与 轴
的非负半轴重合，那么，角的 在第几象限，就说这个角是第
几 .如果角的终边在 上，就认为这个角不属于任何
一个象限.
　　提醒：象限角只能反映角的终边所在的象限，不能反映角的大小，不
能说第二象限角一定大于第一象限角.
原点　
x　
终边　
象限角　
坐标轴　
【例2】　给出下列四个命题：
①－75°角是第四象限角；
②260°角是第三象限角；
③475°角是第二象限角；
④－315°角是第一象限角.
其中真命题有 个.
解析：①②显然正确；③正确，因为475°角的终边在第二象限，所以
475°角是第二象限角；④正确，因为－315°角的终边在第一象限，所以
－315°角是第一象限角.故真命题有4个.
4
【规律方法】
象限角的判断方法
　　首先在平面直角坐标系中按定义的要求作出角，再判断角的终边落在
第几象限，此角就是第几象限角，否则不能判断.
　　提醒：锐角是第一象限角，反之不成立；钝角是第二象限角，反之不
成立.
训练2　已知集合A＝{x｜x是第二象限角}，B＝{x｜x是钝角}，C＝
{x｜x是大于90°的角}，那么A，B，C的关系是（　　）
A. B＝A∩C B. B∪C＝C
C. A C D. A＝B＝C
解析：　如480°角是第二象限角且大于90°，但不是钝角，A错；由钝
角一定大于90°，但大于90°角不一定是钝角，故B是C的真子集，B
对，D错；如－210°角是第二象限角，但小于90°，C错，故选B.
√
知识点三
终边相同的角
03
PART
问题3　（1）在直角坐标系内给定一个角，它的终边是否唯一？
提示：给定一个角，它的终边唯一.
（2）若两个角的终边相同，那么这两个角相等吗？
提示：两个角终边相同，这两个角不一定相等，比如30°角的终边和
390°角的终边相同，它们正好相差了360°.
【知识梳理】
终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝
，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与
整数个周角的和.
{β｜β＝α
＋k·360°，k∈Z}　
【例3】　已知α＝－1 845°，在与角α终边相同的角中，求满足下列条件
的角.
（1）最小的正角；
解：因为－1 845°＝－45°＋（－5）×360°，
即－1 845°角与－45°角的终边相同，
所以与角α终边相同的角的集合是{β｜β＝－45°＋k·360°，k∈Z}.
（1）最小的正角为315°.
（2）最大的负角；
解：最大的负角为－45°.
（3）－360°～720°之间的角.
解：－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°.
【规律方法】
终边相同的角的表示
（1）与角α终边相同的角都可以表示成α＋k·360°（k∈Z）的形式；
（2）终边相同的角相差360°的整数倍；
（3）终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.
训练3　（1）与－525°角的终边相同的角可表示为（　C　）
A. 525°－k·360°（k∈Z）
B. 165°＋k·360°（k∈Z）
C. 195°＋k·360°（k∈Z）
D. －195°＋k·360°（k∈Z）
解析：因为－525°＝－720°＋195°，所以与－525°的终边相同的角可
表示为195°＋k·360°（k∈Z）.故选C.
C
（2）若角2α与240°角的终边相同，则α＝（　B　）
A. 120°＋k·360°，k∈Z B. 120°＋k·180°，k∈Z
C. 240°＋k·360°，k∈Z D. 240°＋k·180°，k∈Z
解析：因为角2α与240°角的终边相同，所以2α＝240°＋k·360°
（k∈Z），则α＝120°＋k·180°，k∈Z，故选B.
B
04
PART
提能点一
终边在某条直线上的角的表示
【例4】　写出终边在函数y＝ x（x≥0）图象上的角的集合.
解：因为y＝ x（x≥0）表示第一象限内的一条射线，
所以终边落在y＝ x（x≥0）上的角与60°角的终边重合，
故终边落在y＝ x（x≥0）上的角的集合为{α｜α＝k·360°＋60°，
k∈Z}.
【规律方法】
1. 求解终边在已知直线上的角的集合的基本原则
（1）若角α的终边为射线OB，终边落在射线OB上的角的集合为{β｜β＝
k·360°＋α，k∈Z}；
（2）终边落在直线OB上的角的集合为{β｜β＝k·180°＋α，k∈Z}.
2. 轴线角的集合
（1）终边落在x轴上的角的集合：{α｜α＝k·180°，k∈Z}；
（2）终边落在y轴上的角的集合：{α｜α＝90°＋k·180°，k∈Z}；
（3）终边落在坐标轴上的角的集合：{α｜α＝k·90°，k∈Z}.
训练4　（链接教材P170例2）终边在第二、四象限角平分线上的角可用集
合表示为 .
解析：在0°～360°范围内终边在第二、四象限角平分线上的角有两个：
135°，315°.因此，终边在第二、四象限角平分线上的角的集合S＝{β｜
β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β｜β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β｜β＝
135°＋2k·180°，k∈Z}∪{β｜β＝135°＋（2k＋1）·180°，k∈Z}＝
{β｜β＝135°＋n·180°，n∈Z}.
{β｜β＝n·180°＋135°，n∈Z}
05
PART
提能点二
区间（域）角
【例5】　（1）已知α是第二象限角，则角 所在的象限为（　　）
A. 第一或第三象限 B. 第一或第二象限
C. 第二或第四象限 D. 第三或第四象限
√
解析：　∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°
（k∈Z），∴ ·360°＋45°＜ ＜ ·360°＋90°（k∈Z）.当k为偶数
时，令k＝2n（n∈Z），得n·360°＋45°＜ ＜n·360°＋90°，这表明 是第一象限角；当k为奇数时，令k＝2n＋1（n∈Z），得n·360°＋225°＜ ＜n·360°＋270°，这表明 是第三象限角.∴ 为第一或第三象限角.
（2）如图，阴影部分表示角α的终边所在的位置，试写出角α的集合.
解：①{α｜－30°＋
360°·k≤α≤360°·k，k∈Z}∪{α｜
150°＋360°·k≤α≤180°＋
360°·k，k∈Z}
＝{α｜－30°＋
180°·k≤α≤180°·k，k∈Z}.
②{α｜－30°＋360°·k＜α＜60°＋
360°·k，k∈Z}.
解：∵α是第二象限角，
∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°（k∈Z），
∴k·720°＋180°＜2α＜k·720°＋360°（k∈Z），
∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上.
变式　在本例（1）的条件下，求角2α终边的位置.
【规律方法】
1. 表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围
内的角α和β，写出最简区间{x｜α＜x＜β}，其中β－α＜360°；
第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角
集合.
2. nα或 所在象限的判断方法
（1）由α的范围，表示出nα， 的范围，由n的取值确定象限；
（2）特别地，求 所在象限时，可以把每个象限等分为n份，在每一份中
按顺序标记一、二、三、四，找到原象限数字即可.
训练5　（1）若角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半
轴重合，则集合{α｜k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角α
的终边在图中的位置（阴影部分）是（　C　）
解析：当k＝2n，n∈Z时，n·360°＋45°≤α≤n·360°＋90°；当k＝
2n＋1，n∈Z时，n·360°＋225°≤α≤n·360°＋270°，故选C.
C
（2）若角α是第一象限角，则－α是第 象限角.
解析：因为α是第一象限角，所以k·360°＜α＜90°＋k·360°（k∈Z），
－k·360°－90°＜－α＜－k·360°（k∈Z），所以－α是第四象限角.
四
1. 已知角α＝482°，那么角α的终边在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：　∵α＝482°＝360°＋122°，∴α与122°角的终边相同，在第
二象限.故选B.
√
2. 〔多选〕如图，从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角分别为α，β，
γ.则（　　）
A. α＝30° B. α＝390°
C. β＝－150° D. γ＝60°
解析：图（1）中，角α是一个正角，α＝390°.图（2）中的角是一个正角、一个负角，γ＝60°，β＝－150°.
√
√
√
3. 与－60°角终边相同的角的集合为
.
解析：因为与－60°角终边相同的角之间相差360°的整数倍，则与－
60°角终边相同的角的集合为{β｜β＝－60°＋k·360°，k∈Z}.
{β｜β＝－60°＋k·360°，
k∈Z}
4. （2025·天津津南期中）如图，终边落在阴影部分（含边界）的角的集
合是 .
{α｜－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}
解析：由题图可知，终边为OM的角的集合为{α｜α＝－45°＋k·360°，
k∈Z}，终边为ON的角的集合为{α｜α＝120°＋k·360°，k∈Z}，故终
边落在阴影部分（含边界）的角的集合是{α｜－45°＋
k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}.
课堂小结
1.理清单
（1）角的概念、表示、分类，角的加减运算；
（2）终边相同的角的表示；
（3）象限角的表示；
（4）区域（间）角及终边在已知直线上的角的表示.
2.应体会
数形结合、分类讨论.
3.避易错
锐角与小于90°角的区别，终边相同的角的表示中漏掉k∈Z.
课时作业
06
PART
1. 将885°化为α＋k·360°（k∈Z，α∈[0°，360°））的形式是（　　）
A. 165°＋2×360° B. －195°＋3×360°
C. 165°＋3×360° D. 195°＋2×360°
解析：885°＝165°＋2×360°，故选A.
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2. （2025·宜宾期中）与－20°角终边相同的角是（　　）
A. －300° B. －280°
C. 320° D. 340°
解析：与－20°角终边相同的角是－20°＋k·360°，k∈Z，结合选项，只有当k＝1时，这个角为340°满足，故选D.
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3. （2025·沈阳月考）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是
（　　）
A. {α｜－45°≤α≤30°}
B. {α｜120°≤α≤315°}
C. {α｜－45°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}
D. {α｜120°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z}
解析：由题图，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是{α｜－45°＋k·360°≤α≤30°＋k·360°，k∈Z}.
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4. （2025·西安期中）射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由
OB位置绕端点O旋转到达OC位置，得∠AOC＝－150°，则射线OB旋
转的方向与角度分别为（　　）
A. 逆时针，270° B. 顺时针，270°
C. 逆时针，30° D. 顺时针，30°
解析：　由题意可得∠AOB＝120°，设∠BOC＝θ，则∠AOC＝
∠AOB＋∠BOC＝120°＋θ＝－150°，解得θ＝－270°，所以射线
OB绕端点O顺时针旋转270°，故选B.
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5. 〔多选〕下列说法中正确的有（　　）
A. 第一象限的角一定不是负角
B. 钝角都是第二象限角
C. 与－30°角终边相同的角都是第四象限角
D. 2 025°角是第二象限角
解析：－350°角是第一象限角，但它是负角，故A错误.钝角α的范围是90°＜α＜180°，显然是第二象限角，故B正确.因为－30°角是第四象限角，所以与－30°角终边相同的角都是第四象限角，故C正确.因为2 025°＝360°×5＋225°，所以2 025°角和225°角的终边相同.又225°角是第三象限角，所以2 025°角是第三象限角，故D错误.
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6. 〔多选〕下列说法正确的有（　　）
A. 钝角大于锐角
B. 时间经过两个小时，时针转了60°
C. 三角形的内角必是第一象限角或第二象限角
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解析：因为锐角大于0°，小于90°，钝角大于90°，小于180°，所以钝角大于锐角，A正确；时间经过两个小时，时针转了－60°，B不正确；当三角形的一个内角为90°时，该角不是第一象限角，也不是第二象限角，C不正确；因为α是第三象限角，所以k·360°－180°＜α＜k·360°－90°，k∈Z，则k·180°－90°＜ ＜k·180°－45°，k∈Z，当k为奇数时， 是第二象限角，当k为偶数时， 是第四象限角，D正确.
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7. 若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，0°＜β＜360°，
则β＝ .
解析：在0°～360°范围内，60°角的终边与α＝－120°的终边互为反向
延长线，所以β＝60°.
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8. （2025·长春期中）设角α，β满足－180°＜α＜β＜180°，则α－β的范
围是 .
解析：由－180°＜α＜180°，－180°＜β＜180°，可得－360°＜α－β
＜360°，又α＜β，所以α－β＜0°，则－360°＜α－β＜0°.
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9. （2025·南昌期末）已知角α，β的终边关于直线y＝－x对称，且α＝－
60°，则β＝
解析：在直角坐标系内，－60°角的终边关于直线y＝－x对称的射线的对
应角为－45°＋15°＝－30°，所以β＝－30°＋k·360°，k∈Z.
－30°＋k·360°，k∈Z
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10. 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是
第几象限角.
（1）－55°；（2）395°18'；（3）1 563°.
解：（1）与－55°角终边相同的角为{β｜β＝－55°＋k·360°，
k∈Z}，令k＝1，得到β＝305°.因为270°＜305°＜360°，所以它
是第四象限角.
（2）与395°18'角终边相同的角为{β｜β＝395°18'＋k·360°，
k∈Z}，令k＝－1，得到β＝35°18'.因为0°＜35°18'＜90°，所以
它是第一象限角.
（3）与1 563°角终边相同的角为{β｜β＝1 563°＋k·360°，k∈Z}，令
k＝－4，得到β＝123°.因为90°＜123°＜180°，所以它是第二象限角.
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11. 已知α是第二象限角，则180°－α是（　　）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
解析：　由α是第二象限角，可得90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°
（k∈Z），所以－k·360°＜180°－α＜90°－k·360°（k∈Z），所以
180°－α为第一象限角.
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12. 〔多选〕（2025·南京月考）下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对
称的是（　　）
A. α＋β＝90°
B. α＋β＝180°
C. α＋β＝k·360°＋90°（k∈Z）
D. α＋β＝（2k＋1）·180°（k∈Z）
解析：根据α和β的终边关于y轴对称时α＋β＝180°＋360°·k（k∈Z）可知，选项B中，α＋β＝180°符合题意；选项D中，α＋β＝（2k＋1）·180°（k∈Z）符合题意；选项A、C中，可取α＝0°，β＝90°时显然可见α和β的终边不关于y轴对称.故选B、D.
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13. （2025·成都期中）若角α满足180°＜α＜360°，角5α与α有相同的始
边与终边，则角α＝ .
解析：∵角5α与α具有相同的始边与终边，∴5α＝k·360°＋α，k∈Z，得
4α＝k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z，又180°＜α＜360°，∴当k
＝3时，α＝270°.
270°
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14. 在平面直角坐标系中，用阴影表示下列集合：
（1）{α｜30°＋k·360°≤α≤60°＋k·360°，k∈Z}；
解：根据任意角的定义，画出集合{α｜30°＋k·360°≤α≤60°＋k·360°，k∈Z}对应的区域如图1所示.
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（2）{α｜30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}.
解：根据任意角的定义，画出集合{α｜30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}对应的区域如图2所示.
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15. （2025·泰安期末）如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且
∠AOx＝45°，点P从点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转.已知点
P在1秒内转过的角度为θ（0°＜θ＜180°），经过2秒钟到达第三象
限，经过14秒钟又回到出发点A，求θ，并判断θ所在的象限.
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解：根据题意知，
14秒钟后，点P在角14θ＋45°的终边上，所以14θ＋45°＝45°＋
k·360°，k∈Z，
又180°＜2θ＋45°＜270°，即67.5°＜θ＜112.5°，所以67.5°＜
k·（ ）°＜112.5°.
又k∈Z，所以k＝3或4，所以所求的θ的值为（ ）°或（ ）°.
因为0°＜（ ）°＜90°，90°＜（ ）°＜180°，
所以θ在第一象限或第二象限.
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THANKS
演示完毕 感谢观看