《创新课堂》5.2.1第二课时　三角函数值的符号及诱导公式一 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共45张PPT)
第二课时　三角函数值的符号及诱导公式一
1. 会判断给定角的三角函数值的符号（逻辑推理）.
2. 掌握诱导公式一，并能运用公式解决相关问题（数学运算）.
课标要求
　　从三角函数的定义及实例可知，任意一个角的正弦、余弦与正切值可能为正数，也可能为负数，也可能为0，它们的符号与什么有关？你能总结出任意一个角三角值的符号的变化规律吗？
情景导入
知识点一　三角函数值在各象限内的符号
01
知识点二　诱导公式一
02
知识点三　三角函数值符号与诱导公式一的综合应用
03
目录
课时作业
04
知识点一
三角函数值在各象限内的符号
01
PART
问题1　根据三角函数的定义，你能判断α在不同象限时， sin α的符号
特点吗？
提示：由 sin α＝y，则可知当α在第一或第二象限时， sin α＞0；当α在第
三或第四象限时， sin α＜0.
【知识梳理】
如图所示：
正弦： 象限正， 象限负；
余弦： 象限正， 象限负；
正切： 象限正， 象限负.
　　提醒：（1）简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦；（2）终
边落在x轴上角的正弦值为0，正切值也为0；终边落在y轴上角的余弦值为
0，正切值不存在.
一、二　
三、四　
一、四　
二、三　
一、三　
二、四　
【例1】　（1）已知点P（tan α， cos α）在第三象限，则角α在（　B　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：因为点P（tan α， cos α）在第三象限，因此tan α＜0， cos α＜0，
所以α在第二象限.
（2） sin 285°· cos （－105°） .（填“＜”或“＞”）
B
解析：因为285°是第四象限角，所以 sin 285°＜0，因为－105°是第三
象限角，所以 cos （－105°）＜0.所以 sin 285°· cos （－105°）＞0.
＞
【规律方法】
1. 正弦、余弦函数值的正负规律
2. 正切函数值的符号取决于角α终边上点的横、纵坐标x，y的符号，即
“同号为正，异号为负”.
训练1　（1）若－ ＜α＜0，则点P（tan α， cos α）位于（　B　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：由－ ＜α＜0知α为第四象限角，则tan α＜0， cos α＞0，所以点P
在第二象限.
（2）已知 sin θ cos θ＜0，且｜ cos θ｜＝ cos θ，则角θ是（　D　）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
B
D
解析：由｜ cos θ｜＝ cos θ，可知 cos θ≥0，结合 sin θ cos θ＜0，得
sin θ＜0， cos θ＞0，所以角θ是第四象限角，故选D.
知识点二
诱导公式一
02
PART
问题2　终边相同的角的三角函数值有何关系？
提示：由三角函数的定义，可以知道，终边相同的角的同一三角函数的值
相等.
【知识梳理】
终边相同的角的同一三角函数的值 ，由此得到一组公式：
sin （α＋k·2π）＝ ，
cos （α＋k·2π）＝ ，
tan（α＋k·2π）＝ ，其中k∈Z.
相等　
sin α　
cos α　
tan α　
　　提醒：诱导公式一的结构特点：①其结构特点是函数名相同，左
边角为α＋2kπ，右边角为α；②三角函数值有“周而复始”的变化规
律，即角的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现，说明三角函
数中自变量α与函数值的对应关系为多对一的关系；③k∈Z即k可取正
整数、负整数或0.
【例2】　计算下列各式的值：
（1）tan 405°－ sin 450°＋ cos 750°；
解：tan 405°－ sin 450°＋ cos 750°
＝tan（360°＋45°）－ sin （360°＋90°）＋ cos （2×360°＋30°）
＝tan 45°－ sin 90°＋ cos 30°＝1－1＋ ＝ .
（2） sin ＋tan（－ ）.
解： sin ＋tan
＝ sin （ ＋4×2π）＋tan（ －2×2π）
＝ sin ＋tan ＝ ＋1.
【规律方法】
利用诱导公式求解任意角的三角函数值的步骤
训练2　计算下列各式的值：
（1） sin （－1 395°） cos 1 110°＋ cos （－1 020°）· sin 750°；
解：原式＝ sin （－4×360°＋45°）· cos （3×360°＋30°）＋ cos
（－3×360°＋60°） sin （2×360°＋30°）
＝ sin 45° cos 30°＋ cos 60° sin 30°
＝ × ＋ × ＝ ＋ ＝ .
（2） sin （－ ）＋ cos tan 4π.
解：原式＝ sin （－2π＋ ）＋ cos （2π＋ ）tan（4π＋0）＝ sin ＋ cos
×0＝ .
03
PART
知识点三
三角函数值符号与诱导公式一的综合应用
【例3】　确定下列三角函数值的符号：
（1）tan 505°；
解：tan 505°＝tan（360°＋145°）＝tan 145°＜0.
（2）tan（－ ）；
解：tan（－ ）＝tan（－8π＋ ）＝tan ＞0.
（3） cos 950°；
解： cos 950°＝ cos （230°＋2×360°）＝ cos 230°＜0.
（4） sin （－ ）.
解： sin （－ ）＝ sin （－4π＋ ）＝ sin ＞0.
【规律方法】
　　对于绝对值较大的角先利用诱导公式一转化为[0，2π）范围内的角，
然后再判断符号.
训练3　已知角θ满足 sin （360°＋θ）＞0，tan（－360°＋θ）＜0，则
θ位于第 象限.
解析：因为 sin （360°＋θ）＞0，tan（－360°＋θ）＜0，所以 sin θ
＞0，tan θ＜0，故θ位于第二象限.
二
1. sin 390°的值为（　　）
A. B.
C. D. －
解析： sin 390°＝ sin （360°＋30°）＝ sin 30°＝ ，故选C.
√
2. 已知 sin α＞0， cos α＞0，则α是（　　）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
解析：由三角函数的定义可知， sin α＞0 α为第一、二象限角或终边在y轴正半轴上；由 cos α＞0 α为第一、四象限角或终边在x轴的正半轴上，两个条件同时成立，则α为第一象限角，故选A.
√
3. 下列三角函数值的符号为正的是（　　）
A. sin （－100°） B. cos （－220°）
C. tan 10 D. cos π
解析：因为－100°角是第三象限角，所以 sin （－100°）＜0；因为－220°角是第二象限角，所以 cos （－220°）＜0；因为10∈（3π， ），所以tan 10＞0； cos π＝－1＜0.故选C.
√
4. 求下列三角函数值：
（1） sin ＋ cos ；
解：sin ＋ cos
＝ sin （4π＋ ）＋ cos （6π＋ ）
＝ sin ＋ cos ＝ ＋ ＝1.
（2） sin 2 ＋tan2（－ ）tan .
解：原式＝ sin 2（ ＋4π）＋tan2（ －2π）·tan（ ＋2π）
＝ sin 2 ＋tan2 tan
＝（ ）2＋（ ）2×1＝ ＋ ＝ .
课堂小结
1.理清单
（1）三角函数值在各象限内的符号；
（2）诱导公式一；
（3）三角函数值符号与诱导公式一的综合应用.
2.应体会
转化与化归、分类讨论.
3.避易错
正切函数的定义域为{x｜x≠ ＋kπ，k∈Z}.
课时作业
04
PART
1. cos （－300°）＝（　　）
A. － B. －
C. D.
解析： cos （－300°）＝ cos （－360°＋60°）＝ cos 60°＝ ，故选D.
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√
2. （2025·宝鸡期中）当α为钝角时， － ＝（　　）
A. 1 B. 0
C. 2 D. －2
解析：因为α为钝角，所以 sin α＞0， cos α＜0，故 －
＝ － ＝2，故选C.
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3. 已知点P（ sin α，tan α）在第三象限，角α的顶点为坐标原点，始边为
x轴的非负半轴，则角α的终边在（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：　因为点P（ sin α，tan α）在第三象限，所以 所以角
α的终边在第四象限.故选D.
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4. （2025·龙岩期末）在第24届冬季奥林匹克运动会自由式滑雪比赛中有
个新的滑雪动作叫“空中逆时针”旋转1 620°，则 cos 1 620°＝（　　）
A. 1 B. －1
C. D. －
解析：1 620°＝9π，所以 cos 9π＝ cos π＝－1.故选B.
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5. 〔多选〕下列函数值的符号为正的是（　　）
A. sin 105° B. cos 325°
C. tan D. tan
√
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√
解析：∵105°为第二象限角，∴ sin 105°＞0，符号为正；∵325°为第四象限角，∴ cos 325°＞0，符号为正；∵ ∈（ ，π），∴ 为第二象限角，∴tan ＜0，符号为负；∵ ∈（π， ），∴ 为第三象限角，∴tan ＞0，符号为正.
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6. 〔多选〕（2025·南京期中）在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点在原
点O，以x轴非负半轴为始边，终边经过点P（1，m）（m＜0），则下
列各式的值一定小于0的是（　　）
A. sin α＋ cos α B. sin α－ cos α
C. sin α· cos α D.
解析：由题意，角α的顶点在原点O，以x轴非负半轴为始边，终边经过点P（1，m）（m＜0），可得 sin α＜0， cos α＞0，故 sin α＋ cos α符号不定，值可能大于0，A错误； sin α－ cos α＜0，B正确； sin α cos α＜0，C正确； ＜0，D正确.故选B、C、D.
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7. （2025·九江期末）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴
重合，终边过点P（ sin 420°， cos 45°），则tan（－2π＋α）＝ .
解析： sin 420°＝ sin （360°＋60°）＝ sin 60°＝ ， cos 45°＝ ，
故P（ ， ），tan（－2π＋α）＝tan α＝ ＝ .

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8. 已知 sin ＝ ， cos ＝－ ，且 ∈[0，π]，则α＝ 　 π　rad.
解析：∵ sin ＝ ＞0， cos ＝－ ＜0，∴ 为第二象限角且 ∈[0，
π]，由特殊角的三角函数值可得 ＝ π，∴α＝ π.
π
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9. （2025·临泉期末）已知角α的终边经过点P（3，4t），且 sin （2kπ＋
α）＝－ （k∈Z），则t＝ 　－ 　.
解析： sin （2kπ＋α）＝ sin α＝－ ＜0，则α的终边在第三或第四象限.又
点P的横坐标是正数，所以α是第四象限角，所以t＜0，又 sin α＝
，所以 ＝－ ，所以t＝－ .
－
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10. 化简下列各式：
（1） sin ＋ cos ＋ cos （－5π）＋tan ；
解：原式＝ sin ＋ cos ＋ cos π＋1＝－1＋0－1＋1＝－1.
（2）a2 sin 810°－b2 cos 900°＋2abtan 1 125°.
解：原式＝a2 sin 90°－b2 cos 180°＋2abtan 45°＝a2＋b2＋2ab＝
（a＋b）2.
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11. （2025·天津北辰期中）式子 sin 1· cos 2·tan 4的符号为（　　）
A. 正 B. 负
C. 零 D. 不能确定
解析：　∵1，2，4分别为第一、二、三象限角，∴ sin 1＞0， cos 2＜
0，tan 4＞0，∴ sin 1· cos 2·tan 4＜0，符号为负.
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12. （2024·仙桃月考）“tan x＜0，且 sin x－ cos x＜0”是“角x的终边在
第四象限”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：若tan x＜0，则角x的终边在第二、四象限，因为 sin x－ cos x＜0，所以角x的终边在第四象限，反之也成立.
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13. （2025·潍坊期中）已知角α的终边经过点（3a－9，a＋2），且 cos
α≤0， sin α＞0，则实数a的取值范围是 .
解析：法一　因为 cos α≤0，所以角α的终边在第二或第三象限内，或y轴
上，或x轴的非正半轴上.因为 sin α＞0，所以角α的终边在第一或第二象限
内，或y轴的非负半轴上.综上，点P在第二象限内或y轴的非负半轴上，
所以 所以－2＜a≤3，所以实数a的取值范围是（－2，3].
（－2，3]
法二　由三角函数的定义可知， cos α＝ ≤0， sin α＝ ＞0，所以
所以－2＜a≤3，所以实数a的取值范围是（－2，3].
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14. （2025·南京期中）试确定下列式子的符号：
（1）tan 108°· cos 305°；
解：因为108°是第二象限角，所以tan 108°＜0.
又305°是第四象限角，所以 cos 305°＞0，从而tan 108°· cos 305°＜0.
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（2） ；
解：因为 是第二象限角， 是第四象限角， 是第二象限角，
所以 cos ＜0，tan ＜0， sin ＞0，从而 ＞0.
（3）tan 191°－ cos 191°.
解：因为191°是第三象限角，所以tan 191°＞0， cos 191°＜0，所
以tan 191°－ cos 191°＞0.
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15. 已知角α的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，并满
足： ＝ ，且lg（ cos α）有意义.
（1）试判断角α的终边在第几象限；
解：由 ＝－ ，得 sin α＜0，由lg（ cos α）有意义，可知
cos α＞0，所以α是第四象限角.
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（2）若角α的终边上一点M（ ，m），且｜OM｜＝1（O为坐标原
点），求m的值及 sin α的值.
解：因为｜OM｜＝1，所以（ ）2＋m2＝1，
解得m＝± ，
又α为第四象限角，故m＜0，从而m＝－ ，
sin α＝ ＝ ＝ ＝－ .
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