《创新课堂》5.2.1第一课时　三角函数的定义 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共47张PPT)
第一课时　三角函数的定义
1. 借助单位圆理解任意角的三角函数的定义（数学抽象）.
2. 会求给定角的三角函数值（数学运算）.
课标要求
情景导入
　　初中我们就学习了锐角三角函数，如图，α为锐角， sin α＝ ， cos α
＝ ，tan α＝ ，三角函数值为两个边长的比值.
知识点一　利用单位圆定义任意角的三角函数
01
知识点二　利用角α终边上任意一点的坐标定义三角函数
02
目录
课时作业
03
知识点一
利用单位圆定义任意角的三角函数
01
PART
问题1　（1）如图，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半
轴，建立直角坐标系，点A的坐标为（1，0），点P的坐标为（x，y）.
射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，设角α的终
边与单位圆交于点P（x，y），当α变化时，x，y是否也随之变化？
提示：点P的横坐标x和纵坐标y都在随着角α变化而变化.
（2）一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆交点P的坐标
是唯一确定的吗？
提示：对于交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定
的.
（3）他们能不能表示成以角α为自变量的函数呢？
提示：横纵坐标跟角α的对应关系满足函数的概念，可以表示成以角α为自
变量的函数.
【知识梳理】
任意角的三角函数的定义
如图，设α是一个任意
角，α∈R，它的终边OP
与单位圆相交于点P
（x，y）
正弦 把点P的 叫做α的正弦函数，记作
sin α，即y＝
余弦 把点P的 叫做α的余弦函数，记作
cos α，即x＝
纵坐标y　
sin α　
横坐标x　
cos α　
正切
将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正
弦函数 ；余弦函数 ；正切函
数 .
　　提醒：（1）三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以
正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合；（2）三角函数中符号
sin α， cos α，tan α是一个整体，而不是 sin （或 cos ，tan）与α的乘积.
y＝ sin x，x∈R　
y＝ cos x，x∈R　
y＝tan x，x∈{x｜x≠ ＋kπ，k∈Z}　
【例1】　在直角坐标系的单位圆中，已知α＝－ π.
（1）画出角α；
解：因为α＝－ π＝－2π－ ，所以角α的终边与－ 的终
边相同，如图，以原点为角的顶点，以x轴的非负半轴为角
的始边，顺时针旋转 π，与单位圆交于点P，则角α如图
所示.
（2）求出角α的终边与单位圆的交点坐标；
解：因为α＝－ π，所以点P在第四象限.由（1）知，∠AOP＝ ，过点
P作PM⊥x轴于点M，
则在Rt△MOP中，∠OMP＝ ，∠MOP＝ ，OP＝1，
由直角三角形的边角关系，得OM＝ ，MP＝ ，
所以得点P的坐标为（ ，－ ）.
（3）求出角α的正弦、余弦值.
解：根据正弦、余弦函数的定义，得 sin （－ π）＝－ ， cos （－ π）
＝ .
【规律方法】
单位圆法求三角函数值的策略
（1）确定角α的终边与单位圆的交点的坐标；
（2）根据三角函数的定义 sin α＝y； cos α＝x；tan α＝ （x≠0）.
训练1　（链接教材P178例1）利用定义求 的正弦、余弦和正切值.
解：如图所示， 的终边在第二象限且与单位圆的交点
为P，过点P作PB⊥x轴于点B，
在Rt△OPB中，｜OP｜＝1，∠POB＝ ，则｜PB｜＝
，｜OB｜＝ ，则P（－ ， ）.
所以 sin ＝ ， cos ＝－ ，tan ＝ ＝－ .
知识点二
利用角α终边上任意一点的坐标定义三角函数
02
PART
问题2　在直角坐标系中，已知角α终边上任意一点P（x，y）（不与原点
O重合），能否直接由点P（x，y）的坐标确定角α的三角函数值？
提示：能.如图，由于Rt△OP1M1∽Rt△OPM，所以 sin α
＝y1＝ ＝ ＝ ，同理 cos α＝x1＝ ＝ ＝
.
【知识梳理】
在直角坐标系中，设任意角α的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐
标为（x，y），它与原点的距离r＝ （r＞0），则 sin α
＝ 　 　， cos α＝ 　 　，tan α＝ （x≠0）.
　　提醒：任意角α的三角函数值只与α的大小有关，而与点P在终边上的
位置无关.
　
　
　
【例2】　已知角α的终边过点P（－4，3），则 cos α＝（　　）
解析：由题设， cos α＝ ＝ ＝－ ，故选A.
√
变式1　本例条件不变，求2 sin α＋ cos α的值.
解： sin α＝ ＝ ，2 sin α＋ cos α＝2× － ＝ .
变式2　本例中若点P（－4，3）改为“P（4a，－3a）（a＜0）”，求
sin α＋ cos α的值.
解：因为角α的终边过点P（4a，－3a）（a＜0），
所以 cos α＝ ＝ ＝ ＝－ ，
sin α＝ ＝ ＝ ＝ ，
sin α＋ cos α＝ － ＝－ .
【规律方法】
坐标法求三角函数值的方法
　　角α的终边在直角坐标系内确定之后，它的三角函数值就已确定，即
已知角α的终边上任意一个异于原点的点P的横坐标x、纵坐标y、可求得
点P到原点的距离r，则角α的三角函数值为： sin α＝ ， cos α＝ ，tan α
＝ （x≠0）.
训练2　在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－2x上，求 sin α，
cos α，tan α的值.
解：当α的终边位于第二象限时，在α的终边上取一点P（－1，2），
则r＝ ＝ ，
所以 sin α＝ ＝ ， cos α＝ ＝－ ，tan α＝ ＝－2，
当α的终边位于第四象限时，在α的终边上取一点P'（1，－2），
则r＝ ＝ ，
所以 sin α＝ ＝－ ， cos α＝ ＝ ，tan α＝ ＝－2.
1. 已知角α的终边经过点P（－2，4），则tan α＝（　　）
A. 2 B. －2
C. 1 D. －1
解析：由题意，得tan α＝ ＝－2.故选B.
√
2. 如图所示，在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点A，且点
A的纵坐标为 ，则 cos α的值为（　　）
解析：由题意及图示可知，A点的横坐标为－ ，所以 cos α＝－ .故选C.
√
3. 已知角α的终边经过点（4，m）（m≠0），且 sin α＝ ，则m＝（　）
A. 3 B. ±3 C. 5 D. ±5
解析：　因为角α的终边经过点（4，m）（m≠0），且 sin α＝ ，所以
sin α＝ ＝ ，解得m＝±3，故选B.
√
4. 已知角α的终边在射线y＝－ x（x≤0）上，则 sin α＝ 　 　.
解析：∵角α的终边在射线y＝－ x（x≤0）上，∴在角α的终边上任意
取一点P（－1， ），则x＝－1，y＝ ，∴r＝ ＝ ，∴ sin
α＝ ＝ .

课堂小结
1.理清单
（1）三角函数的概念（单位圆法、坐标法）；
（2）坐标法求三角函数值.
2.应体会
由特殊到一般、转化与化归、数形结合.
3.避易错
三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点位置无关.
课时作业
03
PART
1. 已知角α＝390°，则 cos α＝（　　）
解析：在直角坐标系内作单位圆与角α的终边交于一点P（ ， ），
由三角函数的定义知 cos 390°＝ ，故选A.
√
2. （2025·绍兴期末）若点P（ sin ， ）在角α的终边上，则tan α的值为
（　　）
B. 1
解析：因为 sin ＝ ，所以P（ ， ），所以由三角函数定义可知tan
α＝ ＝1，故选B.
√
3. （2025·绵阳期中）在单位圆中，已知角α是第二象限角，它的终边与单
位圆交于点P（－ ，y），则 sin α＝（　　）
解析：由题意，（－ ）2＋y2＝1，y＞0，解得y＝ ，所以 sin α＝
，故选D.
√
4. （2025·哈尔滨期中）已知α为第四象限角，P（ ，m）为其终边上
的一点，且 cos α＝ ，则实数m＝（　　）
A. －4 B. 4
解析：　r＝ ，且m＜0，可得 cos α＝ ＝ ＝ ，解得m
＝－ ，故选C.
√
5. 〔多选〕已知角α＝ ，则下列选项正确的是（　　）
A. α是第二象限角
√
√
√
解析：在直角坐标系内作角α＝ .如图所示，角 的终边在第二象限且与单位圆的交点为P，过点P作PB⊥x轴于点B，在Rt△OPB中，｜OP｜＝1，∠POB＝π－ ＝ ，则｜PB｜＝ ，｜OB｜＝ ，则P（－ ，
）.所以 sin ＝ ， cos ＝－ ，tan ＝ ＝－ .故选A、B、D.
6. 〔多选〕（2025·莆田期中）平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点
O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（x，－3），且tan α
＝3，则（　　）
A. x＝－1
D. α是第四象限角
√
√
解析：对于A，因为角α的终边经过点P（x，－3），所以tan α＝ ＝3 x＝－1，故A正确；对于B、C，由P（－1，－3）得， sin α＝ ＝－ ， cos α＝ ＝－ ，故B正确，C错误；对于D，因为角α的
终边落在第三象限内，则α为第三象限角，故D错误，故选A、B.

解析：由题意知tan θ＝ ＝ ＝－ .
－
8. （2025·盐城期中）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重
合，终边过点A（t，2t）（t＜0），则 sin θ＝ .
解析：r＝｜OA｜＝ ＝ ＝－ t，则 sin θ＝ ＝
＝－ .
－
9. （2025·厦门期末）若点P在角 的终边所在的直线上，且｜OP｜＝2
（点O为坐标原点），则点P的坐标为 .
解析：点P在角 的终边所在的直线上，且｜OP｜＝2（点O为坐标原
点），设点P的坐标为（a，b），则a2＋b2＝4，且tan ＝－ ＝ ，求
得a＝ ，b＝－1，或a＝－ ，b＝1，故点P的坐标为（ ，－1）
或（－ ，1）.
（ ，－1）或（－ ，1）
10. 利用单位圆求 π的三角函数值.
解：如图，在平面直角坐标系中作∠AOB＝ ，易知∠AOB的终边与单位圆的交点的坐标为（－ ，－ ），所以 sin ＝－ ， cos ＝－ ，tan ＝ .
11. （2025·滕州期末）若角α的终边与射线y＝3x（x≤0）重合，P
（m，n）是角α终边上不与原点重合的一点，且｜OP｜＝ ，则m－
n的值是（　　）
A. 2 B. －2
C. 4 D. －4
解析：∵角α的终边与射线y＝3x（x≤0）重合，∴点P（m，n）位于第三象限内，且m＜0，n＜0，n＝3m.∴｜OP｜＝ ＝ ｜m｜＝－ m＝ ，∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.故选A.
√
12. 〔多选〕（2025·重庆西南大学附中期中）已知函数y＝loga（x－4）
－12（a＞0且a≠1）的图象过定点P，且角θ的终边经过P，则（　　）
A. P（4，－12）
解析：因为y＝loga（x－4）－12（a＞0且a≠1），令x－4＝1，即x＝5，所以y＝loga1－12＝－12，即P（5，－12）， sin θ＝ ＝－ ， cos θ＝ ＝ ，tan θ＝－ .故选B、D.
√
√

解析：由题意得，点P与原点之间的距离r＝ ＝5｜
m｜.当m＞0时，r＝5m，∴ sin α＝ ＝ ， cos α＝ ＝－ ，∴2 sin
α＋ cos α＝2× － ＝ .当m＜0时，r＝－5m，∴ sin α＝ ＝－ ，
cos α＝ ＝ ，∴2 sin α＋ cos α＝2×（－ ）＋ ＝－ .综上可得，2
sin α＋ cos α的值等于 或－ .
或－
14. 已知角α终边上一点P（2m，1），且 sin α＝ .
（1）求实数m的值；
解：易知｜OP｜＝ ，
∴ sin α＝ ＝ ，解得m＝± .
（2）求tan α， cos α.
解：由（1）可知m＝± ，
∴｜OP｜＝3，
当m＝ 时，P（2 ，1），则tan α＝ ＝ ， cos α＝ ；
当m＝－ 时，P（－2 ，1），则tan α＝ ＝－ ， cos α＝－ .
15. （2025·淮北期中）平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点P的
坐标是（x，y），它与原点的距离是r（r＞0），规定：比值 叫做α
的正余混弦，记作sch α.若sch α＝ （0＜α＜π），则tan α＝ 　 　.
解析：由题意得sch α＝ ＝ ＝ （0＜α＜π），∴25（y－x）2
＝x2＋y2，且y＞x，即24（ ）2－50 ＋24＝0，且y＞x，解得 ＝ .故
tan α＝ .

THANKS
演示完毕 感谢观看