《创新课堂》5.2.2　同角三角函数的基本关系 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共57张PPT)
5.2.2　同角三角函数的基本关系
1. 理解同角三角函数的基本关系式（逻辑推理）.
2. 会用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的求值、化简（数学运算）. 　　
课标要求
情景导入
因为三个三角函数值都是由角的终边与单位圆交点所唯一确定的，所以
终边相同的角的三个三角函数值一定有内在联系.我们不妨讨论同一个角
的三个三角函数值之间的关系.如图，设点P（x，y）是角α的终边与单位
圆的交点.你能根据图形推导出同角三角函数的关系式吗？
知识点一　同角三角函数的基本关系
01
知识点二　sin α± cos α与 sin α cos α关系的应用
02
知识点三　三角函数式的化简与证明
03
目录
课时作业
04
知识点一
同角三角函数的基本关系
01
PART
问题　设角α是一个任意象限角，点P（x，y）为角α终边上任意一点，它
与原点的距离为r（r＝ ），那么 sin α＝ ， cos α＝ ，tan α＝
，请根据三角函数的定义回答：
（1）你能发现哪些三角函数有平方关系？哪些三角函数与其他三角函数
有商数关系？
提示：平方关系： sin 2α＋ cos 2α＝ ＋ ＝1.
商数关系： ＝ ＝ ＝tan α.
（2）两种同角三角函数的基本关系式适合任意角吗？
提示：平方关系适合任意角，根据三角函数的定义当α＝kπ＋ （k∈Z）
时，商数关系不适合.
【知识梳理】
同角三角函数的基本关系
关系式 文字表述
平方 关系 sin 2α＋ cos 2α
＝1 同一个角α的正弦、余弦的 等于1
商数 关系 ＝ α≠kπ＋
（k∈Z） 同一个角α的正弦、余弦的 等于角α
的
平方和　
tan α　
商　
正切　
角度1　直接利用基本关系式求值
【例1】　（1）（链接教材P183例6）若 sin α＝－ ，且α为第四象限角，
则tan α＝（　　）
A. B. －
C. D. －
√
解析：　因为 sin α＝－ ，由 sin 2α＋ cos 2α＝1，所以 cos 2α＝1－ sin
2α＝1－（－ ）2＝ ，又因α为第四象限角，所以 cos α＝ .由tan α＝
＝ ＝－ .故选D.
（2）若tan α＝－ ，求 sin α的值.
解：因为tan α＝－ ＜0，则α为第二象限角或第四象限角，
由 可得 sin 2α＝（ ）2，
当α是第二象限角时， sin α＝ ，
当α为第四象限角时， sin α＝－ .
【规律方法】
　　已知角的一个三角函数值求其他三角函数值的方法
（1）已知 sin θ（或 cos θ）求tan θ常用以下方法求解：
（2）已知tan θ求 sin θ（或 cos θ）常用以下方法解：
训练1　已知 cos α＝－ ，求 sin α，tan α的值.
解：∵ cos α＝－ ＜0，
∴α是第二或第三象限角.
当α是第二象限角时， sin α＞0，tan α＜0，
∴ sin α＝ ＝ ＝ ，
tan α＝ ＝－ ；
当α是第三象限角时， sin α＜0，tan α＞0，
∴ sin α＝－ ＝－ ＝－ ，
tan α＝ ＝ .
角度2　利用弦切互化求值
【例2】　已知tan α＝－ ，求下列各式的值：
（1） ；
解：原式＝ ＝ ＝－ .
（2）2 sin 2α＋ sin α cos α－3 cos 2α.
解：原式＝
＝
＝ ＝－ .
【规律方法】
　　已知角α的正切值求关于 sin α， cos α齐次式的值
（1）关于 sin α， cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于 sin α， cos
α的式子且每项次数相等，设为n次，将分子、分母同除以 cos α的n次幂，
其式子可化为关于tan α的式子，再代入求值；
（2）若无分母时，把分母看作1，并将1用 sin 2α＋ cos 2α来代换，将分
子、分母同除以 cos 2α，可化为关于tan α的式子，再代入求值.
训练2　已知tan α＝3，求下列各式的值：
（1） ＋ ；
解： ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝－ .
（2） .
解： ＝ ＝ ＝ .
知识点二
sin α± cos α与 sin α cos α关系的应用
02
PART
【例3】　设α∈（0，π）， sin α＋ cos α＝ ，求 cos 2α－ sin 2α的值.
解：因为 sin α＋ cos α＝ ，所以1＋2 sin α cos α＝ ，所以2 sin α cos α＝
－ .
又因为α∈（0，π），所以 sin α＞0， cos α＜0，
所以（ sin α－ cos α）2＝1－2 sin α cos α＝ ，
所以 sin α－ cos α＝ ，所以 cos 2α－ sin 2α＝（ cos α－ sin α）（ cos α＋
sin α）＝－ .
【规律方法】
sin θ± cos θ， sin θ cos θ三者的关系
（1）对于三角函数式 sin θ± cos θ， sin θ cos θ之间的关系，通过
（ sin θ± cos θ）2＝1±2 sin θ cos θ进行转化；
（2）若已知 sin θ± cos θ， sin θ cos θ中三者之一，利用方程思想进
一步可以求得 sin θ， cos θ的值，从而求出其余的三角函数值.
训练3　已知α∈（0，π）， sin α＋ cos α＝ ，求tan α的值.
解：因为 sin α＋ cos α＝ ，　①
所以2 sin α· cos α＝－ ＜0.
又因为 α∈（0，π），所以 sin α＞0， cos α＜0，所以 sin α－ cos α＞0，
所以 sin α－ cos α＝ ＝ .　②
联立①②解得 sin α＝ ， cos α＝－ ，所以tan α＝－ .
03
PART
知识点三
三角函数式的化简与证明
角度1　三角函数式的化简
【例4】　化简：（1） ；
解：原式＝
＝ ＝1.
（2） sin 2αtan α＋ ＋2 sin α cos α.
解：原式＝ sin 2α· ＋ cos 2α· ＋2 sin α cos α
＝
＝
＝ .
【规律方法】
三角函数式的化简技巧
（1）化切为弦，即把正切都化为正弦、余弦，从而减少函数名称，达到
化繁为简的目的；
（2）对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根
号达到化简的目的；
（3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造 sin 2α
＋ cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
训练4　化简： ＋（1＋tan2α） cos 2α.
解：原式＝ ＋（1＋ ） cos 2α
＝ ＋ · cos 2α＝1＋1＝2.
角度2　三角恒等式的证明
【例5】　求证： ＝ .
证明：法一　因为 － ＝ ＝0，
所以 ＝ .
法二　因为（1＋ cos α）（1－ cos α）＝1－ cos 2α＝ sin 2α，
又1＋ cos α≠0， sin α≠0，所以 ＝ .
【规律方法】
证明三角恒等式的常用方法
（1）从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；
（2）左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；
（3）化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除
差异；
（4）变更命题法，如要证明 ＝ ，可证ad＝bc或证 ＝ 等；
（5）比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“ ＝1”.
训练5　求证：2（1－ sin α）（1＋ cos α）＝（1－ sin α＋ cos α）2.
证明：左边＝2（1－ sin α＋ cos α－ sin α cos α）
＝1＋（ sin 2α＋ cos 2α）－2 sin α＋2 cos α－2 sin α cos α
＝（1－2 sin α＋ sin 2α）＋2 cos α（1－ sin α）＋ cos 2α
＝（1－ sin α）2＋2 cos α（1－ sin α）＋ cos 2α
＝（1－ sin α＋ cos α）2＝右边.
∴原式成立.
1. 已知 sin α＝ ，tan α＝ ，则 cos α＝（　　）
A. B.
C. D.
解析：因为tan α＝ ，所以 cos α＝ ＝ ＝ .
√
2. 若 sin 3＝t，则 cos 3＝（　　）
A. B. －
C. D. －
解析：因为 ＜3＜π， sin 3＝t，所以 cos 3＝－ ＝－ ，故选B.
√
3. 已知 cos α－ sin α＝－ ，则 sin α cos α的值为（　　）
A. B.
C. D.
解析：　由已知得（ cos α－ sin α）2＝ sin 2α＋ cos 2α－2 sin α cos α＝1－
2 sin α cos α，因为 cos α－ sin α＝－ ，所以1－2 sin α cos α＝ ，解得 sin
α cos α＝ .
√
4. 如果tan α＝1，那么 ＝ .
解析：由tan α＝1，得 ＝ ＝ ＝3.
3
课堂小结
1.理清单
（1）利用同角三角函数基本关系式求值；
（2） sin α± cos α与 sin α cos α关系的应用；
（3）利用同角三角函数的基本关系化简与证明.
2.应体会
弦切相互转化思想，处理 sin θ± cos θ， sin θ cos θ之间的关系注意
整体代换法.
3.避易错
求值时注意α的范围，如果无法确定，一定要对α所在的象限进行分类讨论.
课时作业
04
PART
1. 若 sin α＝－ ，α为第四象限角，则 cos α的值为（　　）
A. － B. －
C. D.
解析：　因为 sin α＝－ ，α为第四象限角，所以 cos α＝ ＝
，故选D.
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√
2. （2025·三明期末）已知 cos α＝ ，且α为第四象限角，则tan α＝
（　　）
A. － B. －
C. D.
解析：∵ cos α＝ ，且α为第四象限角，∴ sin α＝－ ＝－
，则tan α＝ ＝－ ，故选A.
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3. （2024·石家庄质检）化简 sin 2α＋ cos 4α＋ sin 2α cos 2α的结果是（　　）
A. B.
C. 1 D.
解析：原式＝ sin 2α＋ cos 2α（ cos 2α＋ sin 2α）＝ sin 2α＋ cos 2α＝1.
√
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4. （2025·惠州期末）已知tan α＝3， 则 sin α cos α＝（　　）
A. B.
C. ± D. ±
解析：　因为tan α＝3，所以 sin α cos α＝ ＝ ＝
＝ ，故选A.
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5. 〔多选〕若 sin α＝ ，且α为锐角，则下列选项中正确的有（　　）
A. tan α＝ B. cos α＝
C. sin α＋ cos α＝ D. sin α－ cos α＝－
解析：因为 sin α＝ ，且α为锐角，所以 cos α＝ ＝ ＝ ，故B正确，所以tan α＝ ＝ ， sin α＋ cos α＝ ＋ ＝ ， sin α－ cos α＝ － ＝ ，故A正确，C、D错误.故选A、B.
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6. 〔多选〕（2025·安庆期末）已知θ∈（0，π）， sin θ＋ cos θ＝ ，
则（　　）
A. θ∈（ ，π） B. cos θ＝－
C. tan θ＝－ D. sin θ－ cos θ＝
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解析：因为 sin θ＋ cos θ＝ 　①，所以（ sin θ＋ cos θ）2＝ sin 2θ＋2 sin θ cos θ＋ cos 2θ＝ ，所以2 sin θ cos θ＝－ .又θ∈（0，π），所以 sin θ＞0，所以 cos θ＜0，即θ∈（ ，π），故A正确.（ sin θ－ cos θ）2＝1－2 sin θ cos θ＝ ，所以 sin θ－ cos θ＝ 　②，故D正确.由①②，得 sin θ＝ ， cos θ＝－ ，故B正确.tan θ＝ ＝－ ，故C错误.故选A、B、D.
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7. 已知 sin α＝ ，则1－ cos 4α＝ 　 　.
解析：∵ sin 2α＋ cos 2α＝1，∴ cos 2α＝1－ sin 2α＝1－ ＝ ，∴1－ cos
4α＝1－（ ）2＝ .

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8. 化简 的结果是 .
解析： ＝ ＝ ＝ ＝｜ cos
20°｜＝ cos 20°.
cos 20°
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9. 已知 sin θ＝ ， cos θ＝ ，则tan θ＝ 　－ 或－ 　.
解析：由 sin 2θ＋ cos 2θ＝（ ）2＋（ ）2＝1，可得m＝0或m＝
8，当m＝0时， sin θ＝－ ， cos θ＝ ，故tan θ＝－ ；当m＝8时，
sin θ＝ ， cos θ＝－ ，故tan θ＝－ .
－ 或－
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10. （1）已知 cos α＝－ ，求 sin α，tan α的值；
解：因为 cos α＝－ ＜0，且 cos α≠－1，所以α是第二或第三
象限角.
当α是第二象限角时，有 sin α＝ ＝ ＝ ，
tan α＝ ＝ ＝－ .
当α是第三象限角时，同理有 sin α＝－ ＝－ ，tan α＝ .
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（2）已知α∈（π， ），tan α＝2，求 cos α的值.
解：由已知得
由①得 sin α＝2 cos α，代入②得4 cos 2α＋ cos 2α＝1，所以 cos 2α＝ .
又α∈（π， ），所以 cos α＜0，所以 cos α＝－ .
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11. （2025·白城期中）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴
重合，终边上一点A（2 sin α，3），则 cos α＝（　　）
A. B. －
C. D. －
解析：　由三角函数定义得tan α＝ ，即 ＝ ，得3 cos α＝2
sin 2α＝2（1－ cos 2α），解得 cos α＝ 或 cos α＝－2，由余弦函数的定义
可知｜ cos α｜＝｜ ｜≤1，则 cos α＝－2应舍去.故选A.
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12. 〔多选〕（2025·金陵中学月考）下列计算或化简结果正确的是（　　）
A. ＝2
B. 若 sin θ cos θ＝ ，则tan θ＋ ＝2
C. 若tan x＝ ，则 ＝1
D. 若α为第一象限角，则 ＋ ＝2
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解析：A正确， ＝ · ＝2；B正确，tan θ＋ ＝ ＋ ＝ ＝2；C不正确， ＝ ＝ ＝2；D正确，因为α为第一象限角，所以原式＝ ＋ ＝2.综上，A、B、D正确，故选A、B、D.
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13. （2025·南京期末）已知函数f（tan x）＝ sin 2x－2 sin x cos x，则f
（2）＝ .
解析：因为f（tan x）＝ sin 2x－2 sin x cos x，所以f（tan x）＝
＝ ，所以f（2）＝ ＝0.
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14. 化简下列各式：
（1） cos 4α＋ sin 2α（1＋ cos 2α）；
解：原式＝ cos 4α＋（1－ cos 2α）（1＋ cos 2α）＝ cos 4α＋1－ cos 4α＝1.
（2） － .
解：原式＝ －
＝ －
＝ ＝ sin x＋ cos x.
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15. （1）求证： ＝ ；
证明：法一（两边凑）　
左边＝ ＝
＝ ＝
＝ ，
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右边＝ ＝ ，
左边＝右边，所以原式成立.
法二（从左推右）　因为左边＝
＝
＝
＝ ＝右边，所以原式成立.
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法三（从右推左）　
因为右边＝
＝
＝
＝
＝ ＝左边，
所以原式成立.
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（2）已知 ＋ ＝1，求证： ＋ ＝1.
证明：设 sin 2A＝m（0＜m＜1）， sin 2B＝n（0＜n＜1），则 cos 2A＝1－m， cos 2B＝1－n.
由 ＋ ＝1，得 ＋ ＝1，即（m－n）2＝0，所以m
＝n.
所以 ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝1－n＋n＝1.
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