《创新课堂》5.3第二课时　诱导公式五、六 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共47张PPT)
第二课时　诱导公式五、六
1. 了解公式五和公式六的推导方法（逻辑推理）.
2. 准确记忆并灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明（数学运算）.
课标要求
　　我们容易计算像0， ， 这样的角的三角函数值，对于求 －α与 ＋α的三角函数值，能否化为α的三角函数值计算？ －α与α的终边有什么关系？如何求 ＋α的三角函数值？
情景导入
知识点一　诱导公式五、六
01
知识点二　利用诱导公式化简
02
提能点　诱导公式的综合应用
03
目录
课时作业
04
知识点一
诱导公式五、六
01
PART
问题　如图，在平面直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点P1
（x1，y1），作点P1关于直线y＝x的对称点P2（x2，y2）.
（1）以OP2为终边的角γ与角α有什么关系？
提示：γ＝2kπ＋（ －α）（k∈Z）.
（2）角γ与角α的正（余）弦函数值有什么关系？
提示：显然x2＝y1，y2＝x1，根据三角函数的定义，得到 sin α＝y1， cos α
＝x1，故 sin （ －α）＝ cos α， cos （ －α）＝ sin α.
（3）若OP1绕点O逆时针旋转 后交单位圆于一点P3，那么以OP3为终边
的角β与角α有什么关系？角β与α的正（余）弦函数值有什么关系？
提示：β＝ ＋α； sin （ ＋α）＝ cos α， cos （ ＋α）＝－ sin α.　
【知识梳理】
　　提醒：（1）诱导公式五、六可概括为： ±α的正弦（余弦）函数
值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函
数值的符号.记忆口诀：“函数名改变，符号看象限”；（2）诱导公式
一～六可概括为“奇变偶不变，符号看象限”.①“变”与“不变”是针
对互余关系的函数名而言的，正弦变余弦、余弦变正弦；②“奇”“偶”
是对k· ±α（k∈Z）中的整数k来讲的.
【例1】　求下列各式的值：
（1） sin 120°；
解： sin 120°＝ sin （90°＋30°）＝ cos 30°＝ .
（2） cos 135°；
解： cos 135°＝ cos （90°＋45°）＝－ sin 45°＝－ .
（3） sin 211°＋ sin 279°；
解： sin 211°＋ sin 279°＝ sin 211°＋ sin 2（90°－11°）＝ sin 211°＋
cos 211°＝1.
（4） sin （ π＋α）.
解： sin （ π＋α）＝ sin ［π＋（ ＋α）］＝－ sin （ ＋α）＝－ cos α.
【规律方法】
用诱导公式求值的方法
（1）对于三角函数式的求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先
用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名
最少；
（2）解答此类问题要学会发现它们的互余、互补关系：如 －α与 ＋α，
＋α与 －α， －α与 ＋α.
训练1　已知 sin （π＋α）＝－ ，计算：
解：根据题意，由 sin （π＋α）＝－ sin α＝－ ，得 sin α＝ ，
故 cos （α－ ）＝ cos （ －α）＝ cos ［π＋（ －α）］＝－ cos （ －
α）＝－ sin α＝－ .
（1） cos （α－ ）；（2） sin （ ＋α）.
解：根据题意， cos 2α＝1－ sin 2α＝1－ ＝ ，
由 sin α＝ ，知α为第一或第二象限角.
当α为第一象限角时， sin （ ＋α）＝ cos α＝ ；
当α为第二象限角时， sin （ ＋α）＝ cos α＝－ .
综上所述， sin （ ＋α）＝± .
知识点二
利用诱导公式化简
02
PART
【例2】　化简：
.
解：
＝
＝－tan α.
【规律方法】
用诱导公式进行化简时的注意点
（1）化简后项数尽可能的少；
（2）函数的种类尽可能的少；
（3）分母不含三角函数的符号；
（4）能求值的一定要求值；
（5）含有较高次数的三角函数式，多用因式分解、约分等.
训练2　化简：
.
解：
＝ ＝tan 2α.
03
PART
提能点
诱导公式的综合应用
【例3】　已知 sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，且α为第三象限角，
求 的值.
解：因为 sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，
所以 sin α＝ ＝2或－ ，由y＝ sin α的定义知 sin α∈[－1，1]，
所以 sin α＝－ ，
因为α为第三象限角，所以 cos α＝－ ，
所以
＝ ＝ · ＝ ＝ .
变式　将条件中的“ sin α”改为“ cos α”，
求 的值.
解：因为 cos α是方程5x2－7x－6＝0的根，
可得 cos α＝－ ， sin α＝－ ，tan α＝ ，

＝
＝－tan α＝－ .
【规律方法】
诱导公式综合应用要“三看”
一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角
的关系；
二看函数名称：一般是弦切互化；
三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同
乘一个式子变形.
训练3　已知f（α）＝ .
（1）化简f（α）；
解：f（α）＝
＝ ＝ cos α.
（2）若角A是△ABC的内角，且f（A）＝ ，求tan A－ sin A的值.
解：因为f（A）＝ cos A＝ ，又角A是△ABC的内角，则角A为锐角，
所以 sin A＝ ＝ ，tan A＝ ＝ ，
因此，tan A－ sin A＝ － ＝ .
1. 已知 sin （ ＋α）＝ ，则 cos α＝（　　）
解析：　由 sin （ ＋α）＝ sin （ π＋α）＝－ sin （ ＋α）＝－ cos α
＝ ，则 cos α＝－ .故选A.
√
2. 若 sin （ ＋θ）＜0，且 cos （ －θ）＞0，则θ是（　　）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
解析：　由于 sin （ ＋θ）＝ cos θ＜0， cos （ －θ）＝ sin θ＞0，
所以角θ的终边落在第二象限，故选B.
√
3. sin 95°＋ cos 175°的值为 .
解析： sin 95°＋ cos 175°＝ sin （90°＋5°）＋ cos （180°－5°）＝
cos 5°－ cos 5°＝0.
4. 化简： ＝ 　－ 　.
0
解析： ＝
＝－ .
－
课堂小结
1.理清单
（1）诱导公式五、六；
（2）利用诱导公式进行化简；
（3）诱导公式的综合应用；
2.应体会
利用角的互余与互补转化.
3.避易错
函数符号的变化，三角形中角的范围.
课时作业
04
PART
1. 与 sin （θ－ ）一定相等的是（　　）
C. cos （2π－θ）
解析：依题意， sin （θ－ ）＝－ sin （ －θ）＝－ cos θ， sin （ －θ）＝ sin ［2π－（ ＋θ）］＝－ sin （ ＋θ）＝－ cos θ，故选A.
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√
2. 已知 sin （ －α）＝ ，则 cos （π＋α）＝（　　）
解析：　由诱导公式可得 sin （ －α）＝ cos α＝ ，又 cos （π＋α）＝
－ cos α＝－ ，故选A.
√
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3. （2025·潍坊月考）已知以原点为顶点，x轴的非负半轴为始边的角α的
终边经过点P（3，－4），则 cos （ π－α）＝（　　）
解析：　角α的终边经过点P（3，－4），则 sin α＝ ＝－ ，
所以 cos （ π－α）＝－ sin α＝ ，故选B.
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4. （2025·连云港联考）化简： ＝
（　　）
A. － sin θ B. sin θ
C. cos θ D. － cos θ
解析：　原式＝
＝ ＝－ sin θ，故选A.
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5. 〔多选〕已知x∈R，则下列等式恒成立的是（　　）
A. sin （3π－x）＝ sin x
解析：sin （3π－x）＝ sin （π－x）＝ sin x， sin ＝ sin （ － ）＝ cos ， cos （ ＋3x）＝ cos （ ＋3x）＝－ sin 3x， cos （ ＋2x）＝ sin 2x，故选A、B.
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6. 〔多选〕（2024·南宁期末）若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下
列等式中一定成立的是（　　）
A. cos （A＋B）＝ cos C B. sin （A＋B）＝ sin C
解析： cos （A＋B）＝ cos （π－C）＝－ cos C，A错误； sin （A＋B）＝ sin （π－C）＝ sin C，B正确； cos （ ）＝ cos （ ）＝ cos （ － ）＝ sin ，C正确； sin （ ）＝ sin （ ）＝ sin （ － ）＝ cos ，D正确.故选B、C、D.
√
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7. 已知 cos （π－α）＝ ，则 sin （α＋ ）＝ 　－ 　.
解析：∵ cos （π－α）＝－ cos α＝ ，∴ cos α＝－ ，∴ sin （α＋ ）＝
cos α＝－ .
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8. （2025·海淀期中）在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P（2，
1）.若角α的终边逆时针旋转 得到角β的终边，则 sin β＝ 　 　.
解析：因为角α的终边经过点P（2，1），所以 cos α＝ ＝ ，又β
＝α＋ ，所以 sin β＝ sin （α＋ ）＝ cos α＝ .

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9. 已知角α的终边过点（－1，－3），则 ＝ 　 　.
解析：因为角α的终边过点（－1，－3），所以tan α＝3，所以
＝ ＝ ＝ ＝ .

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10. 化简： · sin （α－π）·tan（ －α）.
解：原式＝ ·（－ sin α）·
＝ ·（－ sin α）·
＝ ·（－ sin α）· ＝－ sin α.
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11. （2025·临泉期末）已知f（ sin x）＝ cos 3x，则f（ cos 10°）的值为
（　　）
解析：　f（ cos 10°）＝f（ sin 80°）＝ cos 240°＝ cos （180°＋
60°）＝－ cos 60°＝－ .
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12. （2025·南京月考）函数y＝loga（x＋4）＋4（a＞0，且a≠1）的图
象恒过定点A，且点A在角θ的终边上，则 cos （ ＋θ）＝（　　）
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解析：对数函数y＝logax恒过点（1，0），将其图象向左平移4个单位，向上平移4个单位可得y＝loga（x＋4）＋4的图象，点（1，0）平移之后为点（－3，4），所以A（－3，4），令x＝－3，y＝4，则｜OA｜＝ ＝ ＝5，所以 sin θ＝ ＝ ，由诱导公式可得： cos （ ＋θ）＝ sin θ＝ ，故选D.
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解析：因为 sin 21°＋ sin 289°＝ sin 21°＋ cos 21°＝1， sin 22°＋ sin
288°＝ sin 22°＋ cos 22°＝1， sin 2x°＋ sin 2（90°－x°）＝ sin 2x°
＋ cos 2x°＝1（1≤x≤44，x∈N），所以原式＝（ sin 21°＋ sin
289°）＋（ sin 22°＋ sin 288°）＋…＋（ sin 244°＋ sin 246°）＋ sin
290°＋ sin 245°＝45＋（ ）2＝ .

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14. 已知f（α）＝ .
（1）若α∈（0，2π），且f（α）＝－ ，求α的值；
解：f（α）＝
＝ ＝ sin α，α∈（0，2π），且f（α）＝ sin α＝－ ，
则α＝ 或α＝ .
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（2）若f（α）－f（ ＋α）＝ ，且α∈（ ， ），求tan α的值.
解：f（α）－f（ ＋α）＝ sin α－ sin （ ＋α）＝ sin α＋ cos α＝ ，
则 sin α＝ － cos α，所以 cos 2α＋ sin 2α＝ cos 2α＋ ＝1，
解得 cos α＝ 或 cos α＝－ ，由α∈（ ， ），则 cos α＝－ ，得 sin α
＝ ，
所以tan α＝ ＝ ＝－ .
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15. 已知α≠kπ，k∈Z， cos （ ＋α）＝2 cos （ －β），tan（π＋α）＝
3tan（π－β），求证： cos 2α＝ .
证明：由已知得 sin 2α＝4 sin 2β，　①
tan2α＝9tan2β.　②
将①÷②得9 cos 2α＝4 cos 2β.　③
再将①＋③得 sin 2α＋9 cos 2α＝4，
即1－ cos 2α＋9 cos 2α＝4，所以 cos 2α＝ .
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