《创新课堂》5.3第一课时　诱导公式二、三、四 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共55张PPT)
第一课时　诱导公式二、三、四
1. 了解公式二、公式三和公式四的推导方法（逻辑推理）.
2. 掌握公式二、公式三和公式四，并能灵活应用（数学运算）.
课标要求
　　前面学习了“终边相同的角的同一三角函数值相等”，由两个角的终边具有这种特殊关系就得到了公式一：即 sin （α＋2kπ）＝ sin α，k∈Z； cos （α＋2kπ）＝ cos α，k∈Z；tan（α＋2kπ）＝tan α，k∈Z，即已知 sin 26°＝m，就可求得 sin 386°， sin （－334°）的值.除此之外，如两个角的终边关于坐标轴对称、关于原点对称等.那么它们的三角函数值有何关系呢？如果已知 sin 26°＝m，你能用m表示出 sin 386°， sin （－26°）， sin 154°， sin 206°吗？
情景导入
知识点一　诱导公式二、三、四
01
知识点二　给角求值问题
02
目录
知识点三　给值（式）求值（变式）
03
提能点　化简求值
04
课时作业
05
知识点一
诱导公式二、三、四
01
PART
问题　如图，在平面直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点
P1，作点P1关于原点的对称点P2.
（1）以OP2为终边的角β与角α有什么关系？
提示：以OP2为终边的角β与角π＋α的终边相同，即β＝2kπ＋π＋α
（k∈Z）.
（2）角π＋α与角α的三角函数值之间有什么关系？
提示：设P1（x，y），则P2（－x，－y），根据三角函数的定义可知，
y＝ sin α，x＝ cos α， ＝tan α（x≠0）， sin （π＋α）＝－y， cos （π
＋α）＝－x，tan（π＋α）＝ .
（3）你能根据三角函数的定义探究角α与角－α的三角函数值之间的关
系吗？
提示：如图，在直角坐标系内角－α与角α的终边关于x轴
对称，根据三角函数的定义可得 sin （－α）＝－ sin α，
cos （－α）＝ cos α，tan（－α）＝－tan α.
（4）你能根据三角函数的定义探究角α与角π－α的三角函数值之间的
关系吗？
提示：如图，在直角坐标系内，角π－α与角α的终边
关于y轴对称，根据三角函数的定义可得 sin （π－
α）＝ sin α， cos （π－α）＝－ cos α，tan（π－α）
＝－tan α.
【知识梳理】
1. 公式二
sin （π＋α）＝ ， cos （π＋α）＝ ，tan（π＋α）
＝ .
2. 公式三
sin （－α）＝ ， cos （－α）＝ ，tan（－α）＝
.　
－ sin α　
－ cos α　
tan α　
－ sin α　
cos α　
－
tan α　
3. 公式四
sin （π－α）＝ ， cos （π－α）＝ ，tan（π－α）
＝ .
　　提醒：（1）运用以上三组诱导公式时，可把α“看成”锐角判断该三
角函数值的符号，等号左右两端函数名称不变；（2）诱导公式中角α的正
弦函数、余弦函数可以是任意角，正切函数中要求α≠kπ＋ ，k∈Z.
sin α　
－ cos α　
－tan α　
训练1　（1） cos （－45°）的值是（　C　）
A. － B. －
C. D.
解析： cos （－45°）＝ cos 45°＝ ，故选C.
（2）若tan α＝－2，则tan（π－α）的值是 .
C
解析：根据诱导公式知：tan（π－α）＝－tan α＝2.
2
知识点二
给角求值问题
02
PART
【例1】　计算：（1） sin （－ ）；
解：原式＝－ sin ＝－ sin （2π＋ ）＝－ sin ＝－ .
（2） sin （－60°）＋ cos 225°＋tan 135°；
解：原式＝－ sin 60°＋ cos （180°＋45°）＋tan（180°－45°）
＝－ － cos 45°－tan 45°＝－ .
（3） sin · cos ·tan .
解：原式＝ sin （π＋ ） cos （4π＋ ）·tan（π＋ ）
＝－ sin cos tan ＝－ × ×1＝－ .
【规律方法】
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
训练2　求下列各三角函数值：
（1） cos （－ ）；
解： cos （－ ）＝ cos ＝ cos （4π＋ ）＝ cos （π＋ ）＝－ cos
＝－ .
（2）tan（－765°）；
解：tan（－765°）＝－tan 765°＝－tan（45°＋2×360°）＝－tan 45°
＝－1.
（3） sin ＋tan － cos （－ ）.
解： sin ＋tan － cos （－ ）
＝ sin （π－ ）＋tan（2π－ ）－ cos
＝ sin ＋tan（－ ）－ cos （π－ ）
＝ sin －tan ＋ cos
＝ －1＋ ＝0.
知识点二
给值（式）求值（变式）
02
PART
【例2】　已知 cos （ －α）＝ ，则 cos （ ＋α）的值为 　－ 　.
解析：因为 cos （ －α）＝ ，所以 cos （ ＋α）＝ cos ［π－（ －
α）］＝－ cos （ －α）＝－ .
－
变式1　在本例条件下，求： cos （α－ ）和 sin 2（α－ ）的值.
解： cos （α－ ）＝ cos （ －α）＝ cos （ －α）＝ .
sin 2（α－ ）＝ sin 2［－（ －α）］＝ sin 2（ －α）
＝1－ cos 2（ －α）＝1－（ ）2＝ .
变式2　若将本例中条件“ cos （ －α）＝ ”改为“ sin （α－ ）＝ ，
α∈（ ， ）”，如何求得？
解：因为α∈（ ， ），则α－ ∈（ ，π）.
所以 cos （ ＋α）＝－ cos （ －α）＝－ cos （α－ ）
＝ ＝ ＝ .
【规律方法】
解决条件求值问题的两个技巧
训练3　（1）若 sin （π＋α）＝－ ，且α是第二象限角，则 cos α＝
（　B　）
A. － B. －
C. D.
解析：由 sin （π＋α）＝－ sin α＝－ ，得 sin α＝ ，又由α为第二象限
角，所以 cos α＝－ ＝－ .故选B.
B
（2）已知tan（π＋α）＝－ ，则 ＝ 　－ 　.
解析：tan（π＋α）＝－ ，则tan α＝－ ，原式＝
＝ ＝
＝ ＝－ .
－
03
PART
提能点
化简求值
解：原式＝
＝ ＝1.
【例3】　化简：（1） ；
（2） （n∈Z）.
解：原式＝
＝
＝ ＝－ .
【规律方法】
利用诱导公式一～四化简应注意的问题
（1）利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
（2）化简时函数名没有改变，但一定要注意函数值的符号有没有改变；
（3）同时有切（正切）与弦（正弦、余弦）的式子化简，一般采用切化
弦，有时也将弦化切.
训练4　化简：
.
解：原式＝ ＝ · ＝1.
1. 计算 cos （－600°）＝（　　）
A. B. －
C. D. －
解析：　 cos （－600°）＝ cos 600°＝ cos （360°＋240°）＝ cos
240°＝ cos （180°＋60°）＝－ cos 60°＝－ .
√
2. 〔多选〕下列等式正确的是（　　）
A. cos （－α）＝ cos α
B. sin （360°－α）＝ sin α
C. tan（2π－α）＝tan（π＋α）
D. cos （π＋α）＝ cos （π－α）
解析： cos （－α）＝ cos α，故A正确； sin （360°－α）＝－ sin α，故B错误；tan（2π－α）＝－tan α＝－tan（π＋α），故C错误； cos （π＋α）＝－ cos α＝ cos （π－α），故D正确.故选A、D.
√
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3. 化简： sin （－α） cos （π＋α）tan（2π＋α）＝ .
解析：原式＝－ sin α（－ cos α）tan α＝ sin α cos α ＝ sin 2α.
4. 化简： ·tan（π＋α）.
解：原式＝ ·tan α＝ · ＝－1.
sin 2α
课堂小结
1.理清单
（1）诱导公式二～四；
（2）利用诱导公式解给角求值问题；
（3）利用诱导公式解给值（式）求值（变式）问题；
（4）利用诱导公式化简.
2.应体会
确定角的范围要数形结合，运用转化的思想利用诱导公式求值化简.
3.避易错
符号的确定.
课时作业
04
PART
1. （2025·攀枝花期中）tan 240°＋ sin 300°＝（　　）
A. － B.
C. － D.
解析：tan 240°＋ sin 300°＝tan（180°＋60°）＋ sin （360°－60°）＝tan 60°－ sin 60°＝ . 故选B.
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2. （2025·南昌期末）若 sin （α－ ）＝ ，则 sin （α＋ ）＝（　　）
A. B.
C. － D. －
解析：　因为 sin （α－ ）＝ ，所以 sin （α＋ ）＝ sin ［π＋（α－
）］＝－ sin （α－ ）＝－ .故选D.
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3. （2025·枣庄期末）已知tan（5π＋x）＝－2，则 的值为
（　　）
A. 4 B. 3
C. －3 D. －4
解析：　由tan（5π＋x）＝－2得tan x＝－2，所以 ＝
＝ ＝3.
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4. （2025·临沂期末）已知 sin （π＋α）＝ ，且α是第四象限角，那么 cos
（α－π）的值是（　　）
A. B. －
C. ± D.
解析：　 sin （π＋α）＝－ sin α＝ ，即 sin α＝－ ，因为α是第四象限
角，所以 cos α＝ ＝ ，所以 cos （α－π）＝ cos （π－α）＝－
cos α＝－ .故选B.
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5. 〔多选〕下列三角函数式的值为负的是（　　）
A. cos 210° B. sin
C. sin （－ ） D. cos （－1 920°）
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解析：A. cos 210°＝ cos （180°＋30°）＝－ cos 30°＝－ ＜0.B. sin ＝ sin （2π＋ ）＝ sin ＝ sin （π－ ）＝ sin ＝ ＞0.C. sin （－ ）＝－ sin （6π＋ ）＝－ sin ＝－ sin （π＋ ）＝ sin ＝ ＞0.D. cos （－1 920°）＝ cos 1 920°＝ cos （5×360°＋120°）＝ cos 120°＝ cos （180°－60°）＝－ cos 60°＝－ ＜0.
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6. 〔多选〕（2025·永州期中）已知△ABC的内角A，B，C，下列式子中
正确的有（　　）
A. sin （B＋C）＝ sin A
B. cos （B＋C）＝ cos A
C. tan（B＋C）＝tan A
D. sin 2A＋ cos 2（B＋C）＝1
解析：依题意，在△ABC中，B＋C＝π－A， sin （B＋C）＝ sin （π－A）＝ sin A，A正确； cos （B＋C）＝ cos （π－A）＝－ cos A，B错误；tan（B＋C）＝tan（π－A）＝－tan A，C错误； sin 2A＋ cos 2（B＋C）＝ sin 2A＋ cos 2A＝1，D正确.
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7. （2025·房山期末）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始
边，它们的终边关于y轴对称.若 sin α＝ ，则 sin β＝ 　 　.
解析：因为角α与角β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，所
以 sin β＝ sin （π＋2kπ－α）＝ sin α＝ .

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8. （2025·曲靖期末）在平面直角坐标系中，若角α的顶点为坐标原点，始
边为x轴的非负半轴，终边经过点（ sin ， cos ），则tan（π－α）
＝ .
解析：根据正切函数的定义可知tan α＝ ＝－ ＝－ ，所以tan（π－
α）＝－tan α＝ .

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9. 已知 sin （π＋θ）＝－ cos （2π－θ），｜θ｜＜ ，则θ
＝ .
解析：因为 sin （π＋θ）＝－ cos （2π－θ），所以－ sin θ＝－
cos θ，所以tan θ＝ ，又｜θ｜＜ ，所以θ＝ .

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10. 求下列三角函数值：
（1） cos （－480°）＋ sin 210°；
解：原式＝ cos 480°＋ sin （180°＋30°）
＝ cos （360°＋120°）－ sin 30°
＝ cos 120°－
＝ cos （180°－60°）－
＝－ cos 60°－
＝－ － ＝－1.
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（2） sin （－ ）· cos ·tan .
解：原式＝ sin （－4π＋ ）· cos （4π－ ）·tan（6π＋ ）
＝ sin · cos （－ ）·tan
＝ sin （π＋ ）· cos ·tan
＝－ sin · cos ·tan
＝－ × × ＝－ .
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11. （2025·长春月考）已知α为锐角，且2tan（π－α）－3 sin （－β）＋5
＝0，tan（π＋α）＋6 sin （π＋β）－1＝0，则 sin α的值是（　　）
A. B.
C. D.
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解析：　由α为锐角，且2tan（π－α）－3 sin （－β）＋5＝0，可得2tan α
－3 sin β－5＝0　①.由tan（π＋α）＋6 sin （π＋β）－1＝0，可得tan α－6
sin β－1＝0　②.①×2－②得3tan α－9＝0，所以tan α＝3，即 ＝3.因
为 sin 2α＋ cos 2α＝1.所以 sin 2α＝ .又α为锐角，所以 sin α＞0，所以 sin
α＝ .故选C.
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12. 〔多选〕（2025·西安月考）定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ
＝π，则称θ与φ“广义互补”.已知 sin （π＋α）＝－ ，下列角β中，可能
与角α“广义互补”的是（　　）
A. sin β＝ B. cos （π＋β）＝
C. tan β＝ D. cos （2π－β）＝－
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解析：因为 sin （π＋α）＝－ sin α＝－ ，所以 sin α＝ ，若α＋β＝π，则β＝π－α.A中， sin β＝ sin （π－α）＝ sin α＝ .故A符合条件；B中， cos （π＋β）＝ cos （2π－α）＝ cos α＝± ，故B符合条件；C中，tan β＝ ，即 sin β＝ cos β，又 sin 2β＋ cos 2β＝1，故 sin β＝± ，即C不符合条件；D中， cos （2π－β）＝ cos [2π－（π－α）]＝ cos （π＋α）＝－ cos α＝± ，故D符合条件.故选A、B、D.
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13. （2025·巴蜀期末）设函数f（x）＝a sin （πx＋α）＋b cos （πx＋
β），其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f（2 024）＝－1，则f（2
025）＝ .
解析：因为f（2 024）＝a sin （2 024π＋α）＋b cos （2 024π＋β）＝－1，
所以f（2 025）＝a sin （2 024π＋π＋α）＋b cos （2 024π＋π＋β）＝－a
sin （2 024π＋α）－b cos （2 024π＋β）＝1.
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14. （1）已知 cos （α－75°）＝－ ，且角α为第四象限角，求 cos
（105°＋α）＋tan（75°－α）的值；
解：由题意可得 cos （105°＋α）＝ cos （180°＋α－75°）＝－
cos （α－75°）＝ .
∵角α为第四象限角，且 cos （α－75°）＜0，
∴角α－75°为第三象限角，
∴ sin （α－75°）＝－ ＝－ ，
∴tan（α－75°）＝ ＝2 ，
∴tan（75°－α）＝－tan（α－75°）＝－2 ，
∴ cos （105°＋α）＋tan（75°－α）＝ －2 .
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（2）已知 ＝2，求 的值.
解：∵ ＝2，
∴tan（3π－α）＝2，
∴tan α＝－2.
＝
＝ ＝ ，
把tan α＝－2代入，得原式＝ ＝ .
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15. （2025·深圳期末）已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－
1）kβ”是“ sin α＝ sin β”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
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解析：（1）若k为偶数，设k＝2n（n∈Z），则α＝2nπ＋β，有 sin α＝ sin （2nπ＋β）＝ sin β；若k为奇数，设k＝2n＋1（n∈Z），则α＝（2n＋1）π－β，有 sin α＝ sin [（2n＋1）π－β]＝ sin （2nπ＋π－β）＝ sin （π－β）＝ sin β.充分性成立.（2）若 sin α＝ sin β，则α＝2kπ＋β或α＝2kπ＋π－β，即α＝2kπ＋β或α＝（2k＋1）π－β，故α＝kπ＋（－1）kβ.必要性成立.故应为充要条件.故选C.
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