《创新课堂》5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共56张PPT)
5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象
1. 了解用单位圆作正弦函数图象的方法（数学抽象）.
2. 会用“五点法”画正弦函数、余弦函数的图象（直观想象）.
3. 会用正弦函数、余弦函数的图象解答简单的问题（数学运算）.
课标要求
情景导入
如图，将一个漏斗挂在架子上，做一个简易的单摆，在漏斗下方放一
块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离
平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一
条曲线，这就是简谐运动的图象.数学中把简谐运动的图象叫做“正弦曲
线”或“余弦曲线”.
知识点一　正、余弦函数图象的初步认识
01
知识点二　“五点法”作正、余弦函数的图象
02
提能点　正、余弦函数图象的简单应用
03
目录
课时作业
04
知识点一
正、余弦函数图象的初步认识
01
PART
问题1　我们已经学习了三角函数的定义，如何从定义出发研究这个正弦
函数呢？类比已有的研究方法，可以先画出函数的图象，再通过观察图象
的特征，获得函数性质的一些结论.
（1）在[0，2π]上任取一个值x0，如何借助单位圆确定正弦函数值 sin x0，
并画出点T（x0， sin x0）？
提示：如图，在[0，2π]上任取一个值x0，
根据正弦函数的定义可知y0＝ sin x0，此时弧
AB的长度为x0，结合每一个角的弧度数与实
数的一一对应关系，可得点T（x0， sinx0）.
（2）如何画函数y＝ sin x，x∈[0，2π]的图象？
提示：如图，借助单位圆，在x轴上把区间[0，2π]12等分，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点，当然，把圆周等分的份数越多，将这些点用光滑的曲线连接起来，就可得到越精确的函数y＝ sin x，x∈[0，2π]的图象（通过信息技术展示）.
（3）根据函数y＝ sin x，x∈[0，2π]的图象，你能画出y＝ sin x，x∈R
的图象吗？
提示：由诱导公式一可知，函数y＝ sin x，x∈[2kπ，2（k＋1）π]，k∈Z且k≠0的图象与y＝ sin x，x∈[0，2π]的图象形状完全一致，因此将函数y＝ sin x，x∈[0，2π]的图象不断向左、向右平移（每次移动2π个单位长度），就可以得到正弦函数y＝ sin x，x∈R的图象，如图所示.
（4）y＝ cos x，x∈R的图象可由y＝ sin x，x∈R的图象平移得到吗？原
因是什么？
提示：可以，因为 cos x＝ sin （x＋ ），y＝ sin x，x∈R的图象向左平
移 的单位长度可得到y＝ cos x，x∈R的图象.
【知识梳理】
1. 正弦函数的图象叫做正弦曲线
函数 y＝ sin x，x∈R
图象
2. 余弦函数的图象叫做余弦曲线
函数 y＝ cos x，x∈R
图象
【例1】　下列叙述正确的个数为（　　）
①y＝ sin x，x∈[0，2π]的图象关于点P（π，0）成中心对称；②y＝ cos
x，x∈[0，2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；③正、余弦函数的图象不
超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围.
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析：　分别画出函数y＝ sin x，x∈[0，2π]和y＝ cos x，x∈[0，2π]
的图象（图略），由图象观察可知①②③均正确.
√
【规律方法】
解决正弦、余弦函数图象的注意点
　　对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲
线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平
移得到.
训练1　下列关于正弦函数、余弦函数的图象的描述，不正确的是（　　）
A. 都可由[0，2π]内的图象向上、向下无限延展得到
B. 都是既是轴对称又是中心对称图形
C. 都与x轴有无数个交点
D. y＝ sin （－x）的图象与y＝ sin x的图象关于x轴对称
解析：由正弦、余弦函数的图象知，B、C、D正确.
√
知识点二
“五点法”作正、余弦函数的图象
02
PART
问题2　（1）确定正弦函数图象的形状时，应抓住哪些关键点？
提示：五个关键点（0，0），（ ，1），（π，0），（ ，－1），
（2π，0）.
（2）确定余弦函数图象的形状时，应抓住哪些关键点？
提示：五个关键点（0，1），（ ，0），（π，－1），（ ，0），
（2π，1）.
【知识梳理】
“五点（画图）法”
函数 关键五点
y＝ sin x （0，0）， 　（ ，1）　，（π，0），（ ，－
1），
y＝ cos x （0，1）， 　（ ，0）　，（π，－1），（ ，
0），
（ ，1）　
（2π，0）
（ ，0）　
（2π，1）
【例2】　用“五点法”作出下列函数的简图：
（1）y＝ sin x－1，x∈[0，2π]；
解：按五个关键点列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
sin x－1 －1 0 －1 －2 －1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示.
（2）y＝2＋ cos x，x∈[0，2π].
解：按五个关键点列表：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
2＋ cos x 3 2 1 2 3
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示.
【规律方法】
　　作形如y＝a sin x＋b（或y＝a cos x＋b），x∈[0，2π]的图象的三
个步骤
　　提醒：若函数式中含有绝对值符号，首先应去掉绝对值符号，将函数
转化为分段函数作图，也可利用对称性作出函数图象.
训练2　画出函数y＝－ sin x在区间[0，2π]上的图象.
解：利用五个关键点确定y＝ sin x的图象，这五个关键点也是画y＝－ sin
x图象的关键点，按五个关键点列表（如表）.
x 0 π 2π
y＝ sin x 0 1 0 －1 0
y＝－ sin x 0 －1 0 1 0
于是得到函数y＝－ sin x在区间[0，2π]上的五个关键点为（0，0），（ ，－1），（π，0），（ ，1），（2π，0）.
描点，并用光滑曲线将它们顺次连接起来，就画出函数y＝－ sin x在区间[0，2π]上的图象，如图.
03
PART
提能点
正、余弦函数图象的简单应用
角度1　与函数图象有关的交点问题
【例3】　判断方程 sin x＝lg x的解的个数.
解：建立平面直角坐标系xOy，先用五点法，描点画
出函数y＝ sin x的图象.
描出点（1，0），（10，1），并用光滑曲线连接得
到y＝lg x的图象，如图所示，
由图象可知：y＝ sin x与y＝lg x有3个不同交点，∴方程 sin x＝lg x的解有
3个.
【规律方法】
求解与函数图象有关的交点问题的策略
　　分别作出y＝ sin x与y＝lg x的函数图象，利用函数图象的交点的个数
来判断该方程解的个数，此方程的解为交点的横坐标.
　　提醒：作图应准确，要揭示函数的特征，注意端点值是否满足条件.
训练3　函数y＝ cos x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－ 的交点有 个.
解析：作出y＝ cos x，x∈[0，2π]与y＝－ 的图象（图略），由图象可
知，函数y＝ cos x，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－ 有两个交点.
2
角度2　利用函数图象解不等式
【例4】　求函数y＝ 的定义域.
解：由2 sin x－1≥0得 sin x≥ ，
画出y＝ sin x的图象和直线y＝ .
可知 sin x≥ 的解集为y＝ sin x图象与直线y＝ 的交点及上方部分的集合，
即函数定义域为{x｜ ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z}.
解：由2 cos x－1≥0得 cos x≥ ，画出y＝ cos
x的图象和直线y＝ .
观察图象可知函数的定义域为{x｜－ ＋
2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z}.
变式　本例中的“ sin x”改为“ cos x”，应如何解答？
【规律方法】
用三角函数图象解三角不等式的方法
（1）作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象，再向左、右平移
后得到该函数在R上的函数图象；
（2）写出不等式在区间[0，2π]上的解集；
（3）根据诱导公式一，写出在定义域内的解集.
训练4　在[0，2π]内不等式 sin x＜－ 的解集是（　　）
A. （0，π） B. （ ， ）
C. （ ， ） D. （ ，2π）
√
解析：画出y＝ sin x，x∈[0，2π]的草图如图所示，
因为 sin ＝ ，所以 sin （π＋ ）＝－ ， sin （2π－ ）＝－ .即在[0，2π]内，满足 sin x＝－ 的是x＝ 或x＝ .可知不等式 sin x＜－ 的解集是（ ， ）.
1. 用“五点法”画函数y＝1＋ sin x的图象时，首先应描出的五点的横坐
标是（　　）
A. 0， ， ， ，π B. 0， ，π， ，2π
C. 0，π，2π，3π，4π D. 0， ， ， ，
解析：所描出的五点的横坐标与函数y＝ sin x的五点的横坐标相同，即0， ，π， ，2π.
√
2. 函数y＝ sin （－x），x∈[0，2π]的简图是（　　）
解析：y＝ sin （－x）＝－ sin x与y＝ sin x关于x轴对称.
√
3. 函数y＝ cos x＋4，x∈[0，2π]的图象与直线y＝4的交点的坐标
为 　　 　　.
（ ，4），（ ，4）
解析：由 解得 cos x＝0，当x∈[0，2π]时，x＝ 或 ，
∴交点坐标为（ ，4），（ ，4）.
4. 作出函数y＝2＋ sin x，x∈[0，2π]的简图，观察函数图象，写出y的
取值范围.
解：列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
2＋ sin x 2 3 2 1 2
描点，连线，如图.
由图知，y∈[1，3].
课堂小结
1.理清单
（1）正弦函数、余弦函数图象的初步认识；
（2）“五点（画图）法”作图；
（3）正弦函数、余弦函数图象的应用.
2.应体会
应用正、余弦函数图象时注意运用数形结合法.
3.避易错
五点的选取；函数图象平移的方向.
课时作业
04
PART
1. 若点M（ ，－m）在函数y＝ sin x的图象上，则m＝（　　）
A. 0 B. 1
C. －1 D. 2
解析：由题意得－m＝ sin ，所以－m＝1，所以m＝－1.
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2. （2025·东莞实验中学月考）函数y＝－ cos x（x＞0）的图象中与y轴
最近的最高点的坐标为（　　）
A. （ ，1） B. （π，1）
C. （0，1） D. （2π，1）
√
解析：B用五点作图法作出函数y＝－ cos x（x＞
0）的一个周期的图象如图所示，由图易知与y轴最近
的最高点的坐标为（π，1）.
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3. 函数y＝ sin ｜x｜的图象是（　　）
解析：因为函数y＝ sin ｜x｜是偶函数，且x≥0时， sin ｜x｜＝ sinx，故选B.
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4. （2025·石家庄月考）不等式 sin x＜－ ，x∈[0，2π]的解集是（　　）
A. （ ， ） B. ［ ， ］
C. （ ， ） D. （ ， ）
解析：　如图所示，不等式 sin x＜－ ，x∈[0，2π]
的解集为（ ， ），故选A.
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5. 〔多选〕下列函数与y＝ sin x形状完全相同的是（　　）
A. y＝ sin x－1 B. y＝｜ sin x｜
C. y＝－ cos x D. y＝
解析：y＝ sin x－1是将y＝ sin x向下平移1个单位，没改变形状；y＝－ cos x＝ sin （x－ ），故y＝－ cos x是将y＝ sin x向右平移 个单位，没有改变形状，与y＝ sin x形状相同，所以A、C完全相同，而y＝｜ sin x｜，y＝ ＝｜ cos x｜与y＝ sin x的形状不相同.
√
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6. 〔多选〕（2025·潍坊期末）在x∈（0，2π）上，能够满足 cos x＞ sin x
成立的x的取值范围为（　　）
A. B.
C. ∪ D.
√
√
解析：作出y＝ sin x和y＝ cos x在x∈（0，2π）上的函数图象如图，根据函数图象可得满足 cos x＞ sin x的x的取值范围为
∪ .
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7. 用“五点法”作函数y＝ sin 2x，x∈［－ ， ］的大致图象时，所取
的五点是
.
解析：因为x∈［－ ， ］，所以2x∈[－π，π]，所以由正弦函数“五点
法”知，应取2x＝－π，－ ，0， ，π，即x＝－ ，－ ，0， ， ，
所以得到五个点分别为：（－ ，0），（－ ，－1），（0，0），（ ，
1），（ ，0）.
（－ ，0），（－ ，－1），（0，0），（ ，1），（ ，
0）
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8. （2025·晋城月考）若方程 sin x＝4m＋1在x∈[0，2π]上有解，则实数
m的取值范围是 .
解析：由正弦函数的图象，知当x∈[0，2π]时， sin x∈[－1，1].要使得
方程 sin x＝4m＋1在x∈[0，2π]上有解，则－1≤4m＋1≤1，故－
≤m≤0.
［－ ，0］
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9. （2025·沈阳期中）函数y＝2 cos x，x∈[0，2π]的图象和直线y＝2围
成的一个封闭的平面图形的面积是 .
解析：如图所示，将余弦函数的图象在x轴下方的部分补到x轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.
4π
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10. 用“五点法”作下列函数的简图：
（1）y＝2 sin x（x∈[0，2π]）；
解：列表如下：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
2 sin x 0 2 0 －2 0
描点连线如图：
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（2）y＝ sin （x－ ）（x∈［ ， ］）.
解：列表如下：
x π 2π
sin x 1 0 －1 0 1
sin （x－ ） 0 1 0 －1 0
描点连线如图：
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11. （2025·石嘴山月考）函数f（x）＝lg x与g（x）＝ cos x的图象的交
点个数为（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 不确定
解析：在同一坐标系中，作出函数f（x）＝lg x与g（x）＝ cos x的图象，如图所示，由图可知，两函数的交点个数为3.
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12. 〔多选〕（2025·开封期末）关于三角函数的图象，下列说法中正确的
有（　　）
A. y＝ sin ｜x｜与y＝ sin x的图象相同
B. y＝ cos （－x）与y＝ cos ｜x｜的图象相同
C. y＝｜ sin x｜与y＝ sin （－x）的图象关于x轴对称
D. y＝ cos x与y＝ cos （－x）的图象关于y轴对称
解析：于B，y＝ cos （－x）＝ cos x，y＝ cos ｜x｜＝ cos x，故其图象相同；对于D，y＝ cos （－x）＝ cos x，故这两个函数图象关于y轴对称，作图（图略）可知A、C均不正确.
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13. （2025·哈尔滨期中）函数f（x）＝ sin x＋2｜ sin x｜，x∈[0，2π]的
图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是 .
解析：f（x）＝ sin x＋2｜ sin x｜＝
如图，则k的取值范围是（1，3）.
（1，3）
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14. 已知函数f（x）＝
（1）作出该函数的图象；
解：作出函数f（x）＝ 的图象.如图1所示.
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（2）若f（x）＝ ，求x的值.
解：因为f（x）＝ ，所以在图1基础上再作直线
y＝ ，如图2所示.
则当－π≤x＜0时，由图象知x＝－ .当0≤x≤π时，x
＝ 或x＝ .综上，可知x的值为－ 或 或 .
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15. （2025·聊城期末）已知定义在区间［－π， ］上的函数y＝f（x）
的图象关于直线x＝ 对称，当x≥ 时，f（x）＝－ sin x.
（1）作出y＝f（x）的图象；
解：y＝f（x）的图象如图所示.
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（2）求y＝f（x）的解析式；
解：任取x∈［－π， ），则 －x∈（ ， ］，
因为函数y＝f（x）的图象关于直线x＝ 对称，
所以f（x）＝f（ －x），又当x≥ 时，f（x）＝－ sin x，
所以f（x）＝f（ －x）＝－ sin （ －x）＝－ cos x.
所以f（x）＝
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（3）若关于x的方程f（x）＝－ 有解，将方程所有解的和记作M，结
合（1）中的图象，求M的值.
解：当x＝ 时，f（ ）＝－ .因为－ ∈（－1，－ ），所以
结合图象可知，f（x）＝－ 有4个解，
分别设为x1，x2，x3，x4，且4个解满足x1＜x2＜ ＜x3＜x4，由图象的对
称性可知x1＋x2＝0，x3＋x4＝π，
所以M＝x1＋x2＋x3＋x4＝π.
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