《创新课堂》5.4.2第二课时　正弦、余弦函数的单调性与最值 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共56张PPT)
第二课时
正弦、余弦函数的单调性与最值
1. 了解正弦函数与余弦函数的单调性（直观想象）.
2. 理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期变化的规律，会求单调区间（逻辑推理）.
3. 会比较三角函数值的大小，会求正弦函数与余弦函数的最值、值域等问题（数学运算）.
课标要求
情景导入
过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.那种风驰
电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.如图一个过山
车的轨道是一条正（余）弦曲线的一部分，其行进
方式为从起点爬升、滑落，再爬升，再滑落循环开
往终点.人坐在车内，离地面的高度一会增加，一会减少，一会儿到达最高处，一会儿又滑落到最低处，类似这种现象生活中的实例很多，如冲浪运动、无线电波的传输等，为此，我们今天将其抽象为正弦、余弦函数，研究它的单调性及最值问题.
知识点一　正弦、余弦函数的单调性
01
知识点二　正弦、余弦函数的最值（值域）
02
目录
课时作业
03
知识点一
正弦、余弦函数的单调性
01
PART
问题1　（1）观察正弦（余弦）曲线，研究正弦（余弦）函数的单调性
时，我们是否需要画出它们在R上的图象？
提示：不需要，选择一个周期的图象就能较好地将单调性完整地呈现
出来.
（2）如图，观察正弦函数图象，描述正弦函数在区间［－ ， ］内的单
调性.
提示：正弦函数y＝ sin x在区间［－ ， ］上单调递增，在区间［ ，
］上单调递减.
（3）根据函数单调性的定义，如何描述整个定义域上的正弦函数的单调
性呢？
提示：正弦函数在每一个闭区间［－ ＋2kπ， ＋2kπ］（k∈Z）上都单
调递增；在每一个闭区间［ ＋2kπ， ＋2kπ］（k∈Z）上都单调递减.
【知识梳理】
正弦函数 余弦函数
图象
单调性 增区间

减区间

［－ ＋2kπ， ＋
2kπ］，k∈Z
[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z
［ ＋2kπ， ＋
2kπ］，k∈Z
[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z
　　提醒：（1）正弦、余弦函数的单调性是函数的局部性质，只针对区
间，不能针对象限；（2）正弦、余弦函数都不是单调函数，但它们都有
无数个单调区间.
角度1　求正弦、余弦型函数的单调区间
【例1】　求下列函数的单调区间：
（1）y＝ cos （ ＋ ）；
解：当2kπ－π≤ ＋ ≤2kπ，k∈Z时，函数单调递增，
故函数的单调递增区间是［4kπ－ ，4kπ－ ］（k∈Z）.
当2kπ≤ ＋ ≤2kπ＋π，k∈Z时，函数单调递减，
故函数的单调递减区间是［4kπ－ ，4kπ＋ ］（k∈Z）.
（2）y＝3 sin （ －2x）.
解：y＝3 sin （ －2x）＝－3 sin （2x－ ），
要求y＝－3 sin （2x－ ）的单调递增区间即求y＝ sin （2x－ ）的单调
递减区间，
即2kπ＋ ≤2x－ ≤2kπ＋ ，k∈Z，所以kπ＋ ≤x≤kπ＋ ，
k∈Z.
所以函数y＝3 sin （ －2x）的单调递增区间为［kπ＋ ，kπ＋ ］
（k∈Z）.
要求y＝－3 sin （2x－ ）的单调递减区间即求y＝ sin （2x－ ）的单调
递增区间，
即2kπ－ ≤2x－ ≤2kπ＋ ，k∈Z，所以kπ－ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z.
所以函数y＝3 sin （ －2x）的单调递减区间为［kπ－ ，kπ＋ ］
（k∈Z）.
【规律方法】
求正、余弦函数的单调区间的策略
（1）结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间；
（2）在求形如y＝A sin （ωx＋φ）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω
＞0）的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”
看作一个整体“z”，即通过求y＝A sin z的单调区间求出原函数的单调区
间.求形如y＝A cos （ωx＋φ）（其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0）
的函数的单调区间时，方法亦如此.
训练1　（1）在区间[0，2π]中，使y＝ sin x与y＝ cos x都单调递减的区间
是（　　）
A. ［0， ］ B. ［ ，π］
C. ［π， ］ D. ［ ，2π］
解析：　在区间[0，2π]中，y＝ sin x的减区间是［ ， ］，y＝ cos x
的减区间是[0，π]；∴y＝ sin x和y＝ cos x的公共减区间是［ ， ］
∩[0，π]＝［ ，π］，故选B.
√
（2）求函数y＝2 cos （2x－ ）的单调区间.
解：令2kπ－π≤2x－ ≤2kπ（k∈Z），
即2kπ－ ≤2x≤2kπ＋ （k∈Z），
∴kπ－ ≤x≤kπ＋ （k∈Z）.
∴函数的单调递增区间为［kπ－ ，kπ＋ ］（k∈Z）.
令2kπ≤2x－ ≤2kπ＋π（k∈Z），
即2kπ＋ ≤2x≤2kπ＋ （k∈Z），
∴kπ＋ ≤x≤kπ＋ （k∈Z），
∴函数的单调递减区间为［kπ＋ ，kπ＋ ］（k∈Z）.
∴函数y＝2 cos （2x－ ）的单调递增区间为［kπ－ ，kπ＋ ］
（k∈Z），单调递减区间为［kπ＋ ，kπ＋ ］（k∈Z）.
角度2　利用单调性比较大小
【例2】　比较下列各组数的大小.
（1） sin （－ ）与 sin （ ）；
解： sin （－ ）＝ sin （－6π－ ）＝ sin （－ ），
sin （ ）＝ sin （16π＋ ）＝ sin .
因为y＝ sin x在［－ ， ］上单调递增，
所以 sin （－ ）＜ sin ，
即 sin （－ ）＜ sin .
（2） cos 870°与 sin 980°.
解： cos 870°＝ cos （720°＋150°）＝ cos 150°，
sin 980°＝ sin （720°＋260°）＝ sin 260°＝ sin （90°＋170°）＝
cos 170°.
因为0°＜150°＜170°＜180°，
且y＝ cos x在[0°，180°]上单调递减，
所以 cos 150°＞ cos 170°，
即 cos 870°＞ sin 980°.
【规律方法】
比较三角函数值大小的方法
（1）比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同
一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较；
（2）比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函
数，后面步骤同上.
训练2　三个数 cos ， sin ， sin 的大小关系是 .
解析： cos ＝ sin （ － ）， sin ＝ sin （π－ ）.因为 － ≈0.07，
＝0.1，π－ ≈1.39，所以 ＞π－ ＞ ＞ － ＞0.又因为y＝ sin x在
（0， ）上单调递增，所以 cos ＜ sin ＜ sin .
cos ＜ sin ＜ sin
知识点二
正弦、余弦函数的最值（值域）
02
PART
问题2　（1）观察正弦曲线和余弦曲线，正弦、余弦函数是否存在最大值
和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？
提示：正弦、余弦函数存在最大值和最小值，它们的最大值和最小值都分
别是1和－1.
（2）当自变量x分别取何值时，正弦函数y＝ sin x，x∈R取得最大值1和
最小值－1？
提示：对于正弦函数y＝ sin x，x∈R，当且仅当x＝ ＋2kπ，k∈Z时，
函数取得最大值1；当且仅当x＝－ ＋2kπ，k∈Z时，函数取得最小值
－1.
【知识梳理】
正弦函数 余弦函数
图象
值域 [－1，1]
最值 ymax＝1 x＝ ＋2kπ，k∈Z
ymin＝－1 x＝π＋2kπ，k∈Z
[－1，1]
x＝2kπ，k∈Z
x＝－ ＋2kπ，k∈Z
【例3】　（1）函数f（x）＝－ cos （x＋ ），x∈［－ ， ］的值域
为（　　）
A. ［－ ， ］ B. ［－ ， ］
C. ［－1， ］ D. ［－ ，1］
√
解析：因为x∈［－ ， ］，所以x＋ ∈［－ ， ］，则 cos
（x＋ ）∈［－ ，1］，故f（x）的值域为［－1， ］.故选C.
（2）函数f（x）＝ sin 3x在[0，x0）上没有最小值，则x0的取值范围是
（　　）
A. （0， ） B. （0， ）
C. （ ， ］ D. （ ， ）
√
解析：函数f（x）＝ sin 3x中，当x∈[0，x0）时，3x∈[0，3x0），由f
（x）＝ sin 3x在[0，x0）上没有最小值，得π＜3x0≤ ，解得 ＜
x0≤ ，所以x0的取值范围是（ ， ］，故选C.
【规律方法】
三角函数最值问题的求解方法
（1）y＝a sin x（或y＝a cos x）型，可利用正弦函数、余弦函数的有界
性，注意对a进行正负的讨论；
（2）y＝A sin （ωx＋φ）＋b（或y＝A cos （ωx＋φ）＋b）型，可先由
定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得 sin （ωx＋φ）（或 cos （ωx＋φ））
的范围，最后求得最值.
训练3　函数y＝2 cos （2x＋ ），x∈［－ ， ］的值域为
解析：因为x∈［－ ， ］，所以2x＋ ∈［－ ， ］，所以 cos （2x
＋ ）∈［－ ，1］，所以函数的值域为[－1，2].
[－1，2]
1. 函数y＝－ cos x在区间［－ ， ］上（　　）
A. 单调递增 B. 单调递减
C. 先减后增 D. 先增后减
解析：　因为y＝ cos x在区间［－ ， ］上先增后减，所以y＝－ cos x
在区间［－ ， ］上先减后增.
√
2. 设a＝ cos ，b＝ sin ，c＝ cos ，则（　　）
A. a＞c＞b B. c＞b＞a
C. c＞a＞b D. b＞c＞a
解析：　b＝ sin ＝ sin ＝－ sin ＝ sin ＝ cos ，c＝ cos
＝ cos ＝ cos ＝ cos .因为y＝ cos x在 上单调递
减，且0＜ ＜ ＜ ＜ ，所以 cos ＞ cos ＞ cos ，即a＞c＞b.
√
3. 函数y＝3－4 cos （2x＋ ）的最大值为 ，此时自变量的取值集合
为 .
解析：当2x＋ ＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝ ＋kπ，k∈Z时，f（x）max＝
3＋4＝7.
7
{x｜x＝ ＋kπ，k∈Z}
4. 函数y＝2 sin （2x－ ）在区间[0，a]上的值域为[－ ，2]，求实
数a的取值范围.
解：当x＝0时，y＝2 sin （2x－ ）＝－ ，
由x∈[0，a]，可得2x－ ∈［－ ，2a－ ］，函数y＝2 sin （2x－
）在区间[0，a]上的值域为[－ ，2]，
根据正弦函数的图象知， ≤2a－ ≤ ，解得 ≤a≤ ，
所以实数a的取值范围是［ ， ］.
课堂小结
1.理清单
（1）正弦、余弦函数的单调区间；
（2）比较三角函数值的大小；
（3）正弦、余弦函数的最值（值域）.
2.应体会
确定函数的单调区间注意整体代换、运用换元法求函数最值.
3.避易错
单调区间漏写k∈Z；求值域时忽视 sin x， cos x本身具有的范围.
课时作业
03
PART
1. y＝2 sin （3x＋ ）的值域是（　　）
A. [－2，2] B. [0，2]
C. [－2，0] D. [－1，1]
解析：　因为 sin （3x＋ ）∈[－1，1]，所以y∈[－2，2].
√
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2. 下列命题中正确的是（　　）
A. y＝ cos x在第一象限和第四象限内单调递减
B. y＝ sin x在第一象限和第三象限内单调递增
C. y＝ cos x在［－ ， ］上单调递减
D. y＝ sin x在［－ ， ］上单调递增
解析：　对于y＝ cos x，该函数的单调递减区间为[2kπ，π＋2kπ]，
k∈Z，故A错误，C错误；对于y＝ sin x，该函数的单调递增区间为［－
＋2kπ， ＋2kπ］，k∈Z，故B错误，D正确.
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3. 已知函数f（x）＝ sin （x＋ ）在x0处取得最大值，则x0可能为
（　　）
A. B.
C. D.
解析：　当x＋ ＝ ＋2kπ，k∈Z，即x＝ ＋2kπ，k∈Z时，f（x）
取最大值.
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4. 函数y＝2 sin （x－ ），x∈[－π，0]的单调递增区间为（　　）
A. ［－π，－ ］ B. ［－ ，－ ］
C. ［－ ，0］ D. ［－ ，0］
解析：　法一　令－ ＋2kπ≤x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z，则－ ＋
2kπ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z. 由于x∈[－π，0]，所以所求单调递增区间为
［－ ，0］.
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法二　当x＝ 时，函数y＝2 sin （x－ ），x∈R取得最大值，且易知
最小正周期为2π，则函数y＝2 sin （x－ ）的一个单调递增区间为［
－π， ］，即［－ ， ］.所以当x∈[－π，0]时，所求单调递增区间
为［－ ，0］.
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A. f（x）在（ ， ）上单调递减
B. f（x）的图象关于原点对称
C. f（x）的最小正周期为2π
D. f（x）的最大值为2
解析：因为函数y＝ sin x在（ ，π）上单调递减，所以f（x）＝ sin 2x在（ ， ）上单调递减，故A正确；因为x∈R且f（－x）＝ sin 2（－x）＝ sin （－2x）＝－ sin 2x＝－f（x），所以f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；f（x）的最小正周期为π，故C错误；f（x）的最大值为1，故D错误.
5. 〔多选〕对于函数f（x）＝ sin 2x，下列选项中正确的是（　　）
√
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6. 〔多选〕下列各式正确的是（　　）
A. sin ＜ sin
B. sin （－ ）＜ sin （－ ）
C. cos （－ ）＞ cos （－ ）
D. cos （－ ）＞ cos
√
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解析：由诱导公式可得 sin ＝ sin （6π＋ ）＝ sin ， sin ＝ sin （6π＋ ）＝ sin ＝ sin ，因为正弦函数y＝ sin x在（0， ）上单调递增，且0＜ ＜ ＜ ，所以 sin ＜ sin ，即 sin ＜ sin ，A正确；因为y＝ sin x在（－ ，0）上单调递增，且0＞－ ＞－ ＞－ ，所以 sin （－ ）＞ sin （－ ），B错误；
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cos （－ π）＝ cos （－4π－ ）＝ cos （－ ）＝ cos ， cos （－
π）＝ cos （－4π－ ）＝ cos （－ ）＝ cos ，因为y＝ cos x在（0，π）
上单调递减，且0＜ ＜ ＜π，所以 cos ＞ cos ，即 cos （－ π）＞
cos （－ π），C正确；因为 cos （－ ）＝ cos ， cos ＝ cos （2π－
）＝ cos （－ ）＝ cos ，0＜ ＜ ＜ ，且函数y＝ cos x在（0， ）
上单调递减，所以 cos ＞ cos ，所以 cos （－ ）＞ cos ，D正确.故
选A、C、D.
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7. 若 cos x＝m－1有意义，则m的取值范围是 .
解析：因为－1≤ cos x≤1，要使 cos x＝m－1有意义，需有－1≤m－
1≤1，所以0≤m≤2.
[0，2]
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8. 函数y＝｜ sin x｜＋ sin x的值域为 .
解析：∵y＝｜ sin x｜＋ sin x＝ 又∵－1≤ sin x≤1，
∴y∈[0，2]，即函数的值域为[0，2].
[0，2]
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9. 函数y＝ cos x在区间[－π，a]上单调递增，则a的取值范围是
.
解析：∵y＝ cos x在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减，∴只有
当－π＜a≤0时，满足条件.故a的取值范围是（－π，0].
（－
π，0]
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10. 求函数y＝3－4 cos （2x＋ ），x∈［－ ， ］的最大值、最小值
及相应的x的值.
解：因为x∈［－ ， ］，所以2x＋ ∈［－ ， ］，
从而－ ≤ cos （2x＋ ）≤1.
所以当 cos （2x＋ ）＝1，即2x＋ ＝0，x＝－ 时，
ymin＝3－4＝－1.
当 cos （2x＋ ）＝－ ，即2x＋ ＝ ，x＝ 时，
ymax＝3－4×（－ ）＝5.
综上所述，当x＝－ 时，ymin＝－1；
当x＝ 时，ymax＝5.
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11. 函数y＝ sin x的定义域为[a，b]，值域为［－1， ］，则b－a的最
大值和最小值之和等于（　　）
A. B.
C. 2π D. 4π
√
解析：　如图，当定义域为[a1，b]时，值域为［－1，
］，且b－a最大.当定义域为[a2，b]时，值域为［－
1， ］，且b－a最小.∴最大值与最小值之和为（b－
a1）＋（b－a2）＝2b－（a1＋a2）＝2× ＋ ＋ ＝2π.
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12. 已知函数f（x）＝f（π－x），且当x∈（－ ， ）时，f（x）＝x
＋ sin x.设a＝f（1），b＝f（2），c＝f（3），则（　　）
A. a＜b＜c B. b＜c＜a
C. c＜b＜a D. c＜a＜b
解析：　由已知得，函数f（x）在（－ ， ）上单调递增.因为π－2∈
（－ ， ），π－3∈（－ ， ），π－3＜1＜π－2，所以f（π－3）＜f
（1）＜f（π－2），即f（3）＜f（1）＜f（2），即c＜a＜b.故选D.
√
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13. 函数f（x）＝ 的单调递减区间是 　［kπ＋ ，kπ＋
.
［kπ＋ ，kπ＋
］，k∈Z
解析：函数f（x）＝ ，则 sin （2x－ ）≥0，2kπ≤2x
－ ≤2kπ＋π，k∈Z，解得kπ＋ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z. 又由正弦函数
的性质可得2kπ＋ ≤2x－ ≤2kπ＋ ，k∈Z，解得kπ＋ ≤x≤kπ＋
，k∈Z.
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由 可得kπ＋ ≤x≤kπ＋
，k∈Z，即函数f（x）＝ 的单调递减区间为［kπ＋
，kπ＋ ］，k∈Z.
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14. 设函数f（x）＝ sin （2x－ ），x∈R.
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
解：最小正周期T＝ ＝π，
由2kπ－ ≤2x－ ≤2kπ＋ （k∈Z），得kπ－ ≤x≤kπ＋
（k∈Z），
所以函数f（x）的单调递增区间是［kπ－ ，kπ＋ ］（k∈Z）.
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（2）求函数f（x）在区间［ ， ］上的最小值和最大值，并求出取最
值时x的值.
解：令t＝2x－ ，则由 ≤x≤ 可得0≤t≤ ，所以当t＝ ，
即x＝ 时，f（x）min＝ ×（－ ）＝－1，当t＝ ，即x＝ 时，f
（x）max＝ ×1＝ .
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15. 定义在R上的偶函数f（x）满足f（x＋1）＝－f（x），且在[－4，
－3]上单调递增，α，β是锐角三角形的两个内角，求证：f（ sin α）＞f
（ cos β）.
证明：由f（x＋1）＝－f（x），
得f（x＋2）＝－f（x＋1）＝f（x），
所以函数f（x）是周期函数，且2是它的一个周期.
因为函数f（x）是偶函数且在[－4，－3]上单调递增，所以函数f（x）
在[0，1]上单调递增.
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又α，β是锐角三角形的两个内角，
则有α＋β＞ ，即 ＞α＞ －β＞0，
因为y＝ sin x在［0， ］上单调递增，
所以 sin α＞ sin （ －β）＝ cos β，
且 sin α∈（0，1）， cos β∈（0，1），
所以f（ sin α）＞f（ cos β）.
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