《创新课堂》5.4.2第三课时　正弦、余弦函数性质的综合问题 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共53张PPT)
第三课时
正弦、余弦函数性质的综合问题
1. 掌握正弦函数、余弦函数的基本性质，能够了解函数的整体性质（数学抽象、逻辑推理）.
2. 能够解决简单的函数性质的综合问题（数学运算、逻辑推理）.
课标要求
　　同学们，经过前面几节课的学习，我们对正弦函数、余弦函数有了比较深刻的认识，在探究的过程中，我们发现，“整体代换”的数学思想能有效地帮助我们解决问题.整体代换思想是我们高中数学解题中的一个重要思想，它贯穿于整个高中数学学习中，特别是在解决三角函数问题时，熟练掌握整体代换思想，有利于我们化简、求值、运算等，尤其是在解决单调性、对称性等问题中，整体代换思想发挥着重大作用，今天，我们继续体会整体代换的数学思想.
情景导入
知识点一　正弦、余弦函数的对称性
01
知识点二　可转化为二次函数的最值（值域）问题
02
知识点三　函数性质的综合应用
03
目录
课时作业
04
知识点一
正弦、余弦函数的对称性
01
PART
问题　（1）正弦函数y＝ sin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点
是正弦曲线的对称中心，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果
有，那么对称中心的坐标是多少？
提示：有，（kπ，0）（k∈Z）.
（2）正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，其对称轴方程是什么？
提示：是轴对称图形，对称轴方程为x＝ ＋kπ（k∈Z）.
（3）类比正弦函数的对称轴和对称中心，你能写出余弦函数的对称轴和
对称中心吗？
提示：对称轴方程是x＝kπ（k∈Z），对称中心的坐标为（ ＋kπ，0）
（k∈Z）.
【知识梳理】
正弦函数 余弦函数
图象
对称轴
对称中心
x＝ ＋kπ（k∈Z）
x＝kπ（k∈Z）
（kπ，0）（k∈Z）
（ ＋kπ，0）（k∈Z）
【例1】　（1）（2025·咸阳期中）函数f（x）＝ sin （2x＋ ）的一个对
称中心的横坐标是（　D　）
A. 0 B. C. π D.
解析：由f（x）＝ sin （2x＋ ）＝0，可得2x＋ ＝kπ，k∈Z，所以x
＝ － ，k∈Z，所以当k＝1时，x＝ ，故选D.
D
（2）已知函数f（x）＝ cos （ x＋ ），则对称轴方程为
.
解析：令 x＋ ＝kπ，k∈Z，得x＝2kπ－ ，k∈Z.
x＝2kπ－
，k∈Z
【规律方法】
　　对于函数y＝ sin （ωx＋φ），y＝ cos （ωx＋φ）的图象的对称性，
应将ωx＋φ看成一个整体，利用整体思想，令ωx＋φ等于kπ或kπ＋
（k∈Z），解出的x的值即对称中心的横坐标（纵坐标为零）或对称轴与
x轴交点的横坐标.
训练1　函数y＝ sin （x－ ）的图象的对称轴为 　＝ ＋kπ，k∈Z　，
对称中心为 .
解析：由x－ ＝ ＋kπ，k∈Z，得x＝ ＋kπ，k∈Z. 由x－ ＝kπ，
k∈Z，得x＝ ＋kπ，k∈Z. 故函数y＝ sin （x－ ）的图象的对称轴为
x＝ ＋kπ，k∈Z，对称中心为（ ＋kπ，0），k∈Z.
＝ ＋kπ，k∈Z
（ ＋kπ，0），k∈Z
知识点二
可转化为二次函数的最值（值域）问题
02
PART
【例2】　函数y＝ cos 2x＋2 sin x－2，x∈R的值域为 .
解析：因为y＝ cos 2x＋2 sin x－2＝－ sin 2x＋2 sin x－1＝－（ sin x－1）2.又－1≤ sin x≤1，所以－4≤y≤0，所以函数y＝ cos 2x＋2 sin x－2，x∈R的值域为[－4，0].
[－4，0]
变式1　把本例中“x∈R”变为“x∈［ ， ］”，求函数的最大值和
最小值及取得最值时x的值.
解：由例题解答可知y＝－（ sin x－1）2，
因为x∈［ ， ］，所以 ≤ sin x≤1，所以当 sin x＝1，即x＝ 时，
ymax＝0；当 sin x＝ ，即x＝ 时，ymin＝－ .
变式2　本例函数变为y＝ sin 2x＋2 cos x－2，x∈R，求函数的值域.
解：因为y＝ sin 2x＋2 cos x－2＝1－ cos 2x＋2 cos x－2＝－ cos 2x＋2 cos
x－1＝－（ cos x－1）2，
又－1≤ cos x≤1，所以函数的值域为[－4，0].
【规律方法】
　　求y＝a sin 2x＋b sin x＋c（a≠0）型函数最值（值域）的方法
　　形如y＝a sin 2x＋b sin x＋c（a≠0）型，可利用换元思想，设t＝
sin x，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值.t的范围需要根据定义域来
确定.若f（x）＝a sin 2x＋b cos x＋c，还需利用同角三角函数的基本关
系，转化成同名三角函数求值.
训练2　求函数y＝ sin 2x－ sin x＋1，x∈［ ， ］的值域.
解：由x∈［ ， ］知 sin x∈［ ，1］，令t＝ sin x，t∈［ ，1］，
则y＝t2－t＋1＝ ＋ ，在t∈［ ，1］上单调递增，
当t＝ 时，取得最小值 ，当t＝1时，取得最大值1，故值域为
［ ，1］.
03
PART
知识点三
函数性质的综合应用
【例3】　〔多选〕已知函数f（x）＝2 cos （2x＋ ），则（　　）
A. 函数f（x）的最小正周期为π
B. f（x）的图象关于直线x＝ 对称
C. f（x）的图象关于点（ ，0）对称
D. f（x）在区间（0，π）上有两个零点
√
√
√
解析：对于A：T＝ ＝π，A正确；对于B：f（ ）＝2 cos （2× ＋ ）＝－2，B正确；对于C：f（ ）＝2 cos （2× ＋ ）≠0，C错误；对于D：当x∈（0，π）时，2x＋ ∈（ ， ），函数y＝2 cos x在（ ， ）上有两个零点，故f（x）在区间（0，π）上有两个零点，D正确.故选A、B、D.
【规律方法】
　　探究函数y＝A sin （ωx＋φ）的性质（定义域、值域、单调性、对称
性、最值等）时，首先要熟练掌握正弦函数和余弦函数的图象和性质，然
后利用整体思想，将ωx＋φ看成一个整体，可利用换元思想（令t＝ωx＋
φ），结合y＝A sin t，t∈R的性质求解.
训练3　在①f（x）图象的相邻两条对称轴间的距离为 ，②f（x）的图
象关于点（－ ，0）对称且ω＜2，③f（ ）＝0且ω＜3，这三个条件中
任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
问题：已知函数f（x）＝ sin （ωx－ ）（ω＞0）， 　　　　，求f
（x）在［0， ］上的最大值，并求对应的x的值.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解：若选①，则 ＝ ，所以T＝ ，
所以 ＝ ，则ω＝3，从而f（x）＝ sin （3x－ ）.
因为0≤x≤ ，所以－ ≤3x－ ≤ ，
当3x－ ＝ ，即x＝ 时，f（x）取得最大值，且最大值为 .
若选②，则－ － ＝kπ，k∈Z，
所以ω＝－ － ，k∈Z.
因为0＜ω＜2，所以ω＝1，
所以f（x）＝ sin （x－ ）.
因为0≤x≤ ，所以－ ≤x－ ≤ ，
当x－ ＝ ，即x＝ 时，f（x）取得最大值，且最大值为 .
若选③，则由f（ ）＝0，得 － ＝kπ，k∈Z，
则ω＝6k＋2，k∈Z，又0＜ω＜3，则ω＝2，
所以f（x）＝ sin （2x－ ）.
因为0≤x≤ ，所以－ ≤2x－ ≤ ，
当2x－ ＝ ，即x＝ 时，f（x）取得最大值，且最大值为 .
1. 正弦函数y＝ sin x，x∈R的图象的一条对称轴是（　　）
A. y轴 B. 直线x＝－π
C. 直线x＝ D. 直线x＝π
解析：　正弦函数y＝ sin x，x∈R的对称轴为x＝ ＋kπ，k∈Z，当k
＝0时，函数的一条对称轴为直线x＝ ，故C正确，结合选项可知A、B、
D均不符合题意，故选C.
√
2. 函数f（x）＝ cos （3x＋ ）图象的对称中心是（　　）
A. （kπ＋ ， ）（k∈Z）
B. （kπ＋ ，0）（k∈Z）
C. （ ＋ ， ）（k∈Z）
D. （ ＋ ，0）（k∈Z）
解析：　令3x＋ ＝kπ＋ （k∈Z），解得x＝ ＋ （k∈Z），则f
（x）图象的对称中心为（ ＋ ，0）（k∈Z），故选D.
√
3. 已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x＝ 和x＝ 是函数f（x）＝ sin （ωx＋
φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ＝ .
解析：因为直线x＝ 和x＝ 是函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）图象的两条
相邻的对称轴，所以 ＝ － ＝π，所以T＝2π＝ ，ω＝1，所以f
（x）＝ sin （x＋φ），又因为x＝ 是f（x）的一条对称轴，所以 ＋φ
＝kπ＋ ，k∈Z，而0＜φ＜π，所以φ＝ .

4. 函数y＝ cos 2x＋ sin x的最大值为 .
解析：因为y＝ cos 2x＋ sin x＝1－ sin 2x＋ sin x，令t＝ sin x，t∈[－1，
1]，则y＝－t2＋t＋1＝ ＋ ，所以当t＝ 时，ymax＝ .

课堂小结
1.理清单
（1）正弦函数、余弦函数的对称性；
（2）可转化为二次函数的最值（值域）问题；
（3）函数性质的综合应用.
2.应体会
整体代换、换元法.
3.避易错
换元后忽视新元的范围.
课时作业
04
PART
1. （2025·朝阳期中）函数y＝2 sin （2x＋ ）的图象的一条对称轴是
（　　）
A. x＝－ B. x＝0
C. x＝ D. x＝
解析：x＝ 时，y＝2 sin （ ＋ ）＝2，是对称轴，故选C.
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2. （2025·嘉兴期末）函数y＝3 cos （2x－ ）的一个对称中心是（　　）
A. （ ，0） B. （ ，0）
C. （ ，0） D. （ ，0）
解析：　令2x－ ＝ ＋kπ，k∈Z，则x＝ ＋ ，k∈Z. 所以函数y
＝3 cos （2x－ ）的对称中心为（ ＋ ，0），k∈Z. 令k＝0，所以
函数y＝3 cos （2x－ ）的一个对称中心是（ ，0），故选B.
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3. 已知函数f（x）＝3 sin （ωx＋φ）对任意x都有f（ ＋x）＝f（ －
x），则f（ ）＝（　　）
A. 3或0 B. －3或0
C. 0 D. －3或3
解析：　∵函数f（x）＝3 sin （ωx＋φ）对任意x都有f（ ＋x）＝f
（ －x），∴函数图象的对称轴是x＝ ，∴f（ ）取最大值或者是最小
值，∵函数的最大值是3，最小值是－3，∴f（ ）＝－3或3，故选D.
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4. （2025·南昌期末）已知y＝（ cos x－a）2－1，当 cos x＝－1时，y取
最大值，当 cos x＝a时，y取最小值，则实数a的取值范围是（　　）
A. （－∞，－1] B. [－1，0]
C. [0，1] D. [1，＋∞）
解析：　令t＝ cos x∈[－1，1]，则y＝（t－a）2－1，t∈[－1，1]，
可知y＝（t－a）2－1的图象开口向上，对称轴为t＝a，原题意等价于：
当t＝－1时，y取最大值，当t＝a时，y取最小值，结合二次函数对称性
可知：0≤a≤1，所以实数a的取值范围是[0，1].故选C.
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5. 〔多选〕（2025·大理期末）设函数f（x）＝2 sin （2x＋ ），则下列
结论正确的是（　　）
A. f（x）的最小正周期为π
B. f（x）的图象关于直线x＝ 对称
C. f（x）的一个零点为x＝－
D. f（x）的最大值为1
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解析：　T＝ ＝π，故A正确；f（ ）＝2 sin ＝ ，所以x＝ 不
是对称轴，故B错误；f（－ ）＝2 sin 0＝0，所以x＝－ 是f（x）的一
个零点，故C正确；因为 sin ∈[－1，1]，所以2 sin
∈[－2，2]，所以f（x）的最大值为2，故D错误.故选A、C.
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6. 〔多选〕（2025·太原期中）已知函数f（x）＝7 cos （ωx－ ）（ω＞
0）的最小正周期为 ，则（　　）
A. ω＝2
B. 直线x＝－ 是f（x）图象的一条对称轴
C. f（ ）＞f（ ）
D. 函数f（x）图象的对称中心为（ ＋ ，0）（k∈Z）
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解析：　A选项，f（x）＝7 cos （ωx－ ）（ω＞0）的最小正周期为
，则ω＝ ＝4，错误；B选项，由A可知，函数解析式为f（x）＝7 cos
（4x－ ），当x＝－ 时，f（－ ）＝7 cos （4×（－ ）－ ）＝7
cos （－π）＝－7，故x＝－ 是函数图象的一条对称轴，正确；C选项，
f（ ）＝7 cos （4× － ）＝7 cos ，f（ ）＝7 cos （4× － ）＝
7 cos ，因为在x∈（0，π）时，函数单调递减，则f（ ）＞f（ ），
正确；D选项，令4x－ ＝ ＋kπ， 则x＝ ＋ ，则函数图象的对称中心为（ ＋ ，0），k∈Z，错误.故选B、C.
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7. 已知函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0）的最小正周期为π，则函数
图象的对称中心为 　 　　　.
（ － ，0），k∈Z
解析：由题意，ω＝ ＝ ＝2，则f（x）＝ sin （2x＋ ），令2x＋
＝kπ（k∈Z），得x＝ － （k∈Z）.所以该函数图象的对称中心为
（ － ，0）（k∈Z）.
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8. （2025·达州期末）已知函数f（x）＝1－ sin 2x＋ sin x（0≤x≤ ），
当x＝ 时，f（x）取得最大值.
解析：令t＝ sin x，则y＝1－t2＋t（0≤t≤1），对称轴为t＝ ，所以当
t＝ 时，函数取得最大值，即 sin x＝ ，得x＝ .

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9. 设函数f（x）＝ cos （ωx－ ）（ω＞0），若f（x）≤f（ ）对任意
的实数x都成立，则ω的最小值为
解析：因为f（x）≤f（ ）对任意的实数x都成立，所以f（x）取最大
值f（ ），所以 ω－ ＝2kπ（k∈Z），所以ω＝8k＋ （k∈Z），因
为ω＞0，所以当k＝0时，ω取最小值为 .

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10. 已知函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）（ω＞0，－ ≤φ＜ ）的图象关
于直线x＝ 对称，且图象相邻两个最高点的距离为π.
（1）求ω和φ的值；
解：因为图象相邻两个最高点的距离为π，故周期为π，
所以 ＝π，故ω＝2.
又图象关于直线x＝ 对称，故2× ＋φ＝ ＋kπ，k∈Z，
所以φ＝－ ＋kπ，k∈Z，因为－ ≤φ＜ ，故令k＝0得φ＝－ .
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（2）求f（x）的单调递增区间.
解：由（1）知f（x）＝ sin （2x－ ），
令2kπ－ ≤2x－ ≤2kπ＋ ，得kπ－ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z，
故函数f（x）的单调递增区间为［－ ＋kπ， ＋kπ］（k∈Z）.
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11. （2025·眉山期末）已知函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）（ω＞0，0＜｜
φ｜＜ ）的最小正周期为π，且关于（ ，0）中心对称，则下列结论正确
的是（　　）
A. f（1）＜f（0）＜f（2） B. f（0）＜f（2）＜f（1）
C. f（2）＜f（0）＜f（1） D. f（2）＜f（1）＜f（0）
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解析：　根据f（x）的最小正周期为π，故可得T＝ ＝π，解得ω＝
2.又其关于（ ，0）中心对称，故可得 sin （ ＋φ）＝0，又｜φ｜∈
（0， ），故可得φ＝－ .则f（x）＝ sin （2x－ ）.令2kπ－ ≤2x－
≤2kπ＋ ，k∈Z，解得x∈［kπ－ ，kπ＋ π］（k∈Z）.故f（x）
在［－ ， π］上单调递增.又f（2）＝f（ π－2），且0， π－2，1都在
区间［－ ， π］中，且0＜ π－2＜1，故可得f（0）＜f（2）＜f
（1），故选B.
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12. 〔多选〕对a，b∈R，定义min{a，b}＝ 若函数f（x）
＝min{ sin x， cos x}，则下列四个结论中正确的有（　　）
A. f（x）是以2π为周期的函数
B. 当且仅当x＝2kπ＋ （k∈Z）时，f（x）取得最小值－1
C. f（x）图象的对称轴为直线x＝ ＋kπ（k∈Z）
D. 当且仅当2kπ＜x＜ ＋2kπ（k∈Z）时，0＜f（x）≤
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解析：　由题意知，函数f（x）
＝ 作出图象如
图所示，最小正周期为2π.
当2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z时，f（x）＝ cos x，当2kπ＋ ＜
x≤2kπ＋ ，k∈Z时，f（x）＝ sin x，所以f（x）图象的对称轴方程为x＝ ＋kπ，k∈Z. 当x＝2kπ＋π或x＝2kπ＋ ，k∈Z时，f（x）取得最小值－1.当且仅当2kπ＜x＜ ＋2kπ，k∈Z时，f（x）＞0，且f
（x）的最大值为f（ ＋2kπ）＝ ，可得0＜f（x）≤ .故正确的选
项是A、C、D.
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13. （2025·齐齐哈尔期末）已知函数f（x）＝ sin （ωx－ ）（ω＞0）图
象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，若f（x）在（－m，m）上单调递
增，则正数m的取值范围是 .
（0， ］
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解析：因为函数f（x）＝ sin （ωx－ ）（ω＞0）图象的相邻两条对称轴
之间的距离为 ，所以 × ＝ ，解得ω＝2，即f（x）＝ sin （2x－
），因为f（x）在（－m，m）上单调递增，则m＞0，所以函数f
（x）＝ sin （2x－ ）的单调递增区间包含0，令－ ≤2x－ ≤ ，得
－ ≤x≤ ，所以（－m，m） ［－ ， ］，所以
故m的取值范围为（0， ］.
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14. 已知函数f（x）＝－ sin 2x＋ sin x＋a.当f（x）＝0有实数解时，求
a的取值范围.
解：令t＝ sin x，则－1≤t≤1.
f（x）＝0有实数解，即t2－t－a＝0在[－1，1]内有实数解.
则a＝t2－t，t∈[－1，1]，
设h（t）＝t2－t＝（t－ ）2－ ，t∈[－1，1]，
当t＝ 时，h（t）min＝－ ，
当t＝－1时，h（t）max＝2，
∴a的取值范围是［－ ，2］.
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15. 已知函数f（x）＝ cos （2x－ ），x∈R.
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
解：因为f（x）＝ cos （2x－ ），所以函数f（x）的最小正周
期T＝ ＝π，
由－π＋2kπ≤2x－ ≤2kπ，k∈Z，得－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z，
故函数f（x）的单调递增区间为［－ ＋kπ， ＋kπ］（k∈Z）.
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（2）当x∈［－ ， ］时，方程f（x）＝a恰有两个不同的实数根，求
实数a的取值范围.
解：由（1）可知：f（x）＝ cos （2x－ ）在区间［－ ， ］
上单调递增，在区间［ ， ］上单调递减，又f（－ ）＝0，f（ ）＝
，f（ ）＝－1，
所以当a∈[0， ）时，方程f（x）＝a恰有两个不同的实根.
所以实数a的取值范围为[0， ）.
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