《创新课堂》5.4.3　正切函数的性质与图象 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共63张PPT)
5.4.3　正切函数的性质与图象
1. 了解正切函数图象的画法（直观想象）.
2. 理解并掌握正切函数的性质（逻辑推理）.
3. 能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题（数学运算）.
课标要求
　　前面已学习了正（余）弦函数的图象的作法，并由函数图象研究了它们的性质，根据定义或同角三角函数的关系知，正切函数是正弦与余弦的比，且定义域为{x x≠kπ＋ ，k∈Z}，那么正切函数是否也具有周期性、奇偶性、单调性、对称性及最值呢？你能选择合适的方法更简单的研究正切函数吗？
情景导入
知识点一　正切函数的定义域、周期性与奇偶性
01
知识点二　正切函数的图象与对称性
02
提能点　比较大小
04
目录
课时作业
05
知识点三　正切函数的单调性与最值（值域）
03
知识点一
正切函数的定义域、周期性与奇偶性
01
PART
问题1　（1）角的正切是如何定义的？正切函数y＝tan x的定义域是什
么？
提示： ＝tan α（α≠ ＋kπ，k∈Z），正切函数y＝tan x的定义域为
{x｜x≠ ＋kπ，k∈Z}.
（2）我们知道tan（x＋π）＝tan x，那么tan（x＋kπ）（k∈Z）与tan x相
等吗？
提示：相等.tan（x＋kπ）＝tan x.
【知识梳理】
1. 周期性：由诱导公式tan（x＋π）＝tan x，x∈R，且x≠ ＋kπ，k∈Z
可知，正切函数是 ，周期是π.
2. 奇偶性：由诱导公式tan（－x）＝－tan x，x∈R，且x≠ ＋kπ，
k∈Z可知，正切函数是 .
　　提醒：注意区分正切函数与正弦函数、余弦函数的最小正周期，求周
期的公式：T＝ .
周期函数　
奇函数　
角度1　求定义域
【例1】　函数f（x）＝－2tan（2x＋ ）的定义域是（　　）
A. B.
C. D.
解析：　由正切函数的定义域，令2x＋ ≠kπ＋ ，k∈Z，即x≠ ＋
（k∈Z），所以函数f（x）＝－2tan（2x＋ ）的定义域为{x｜x≠
＋ ，k∈Z}.故选D.
√
【规律方法】
求正切函数定义域的方法
（1）求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要
求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠ ＋kπ，k∈Z；
（2）求正切型函数y＝Atan（ωx＋φ）（A≠0，ω＞0）的定义域时，要
将“ωx＋φ”视为一个“整体”.令ωx＋φ≠kπ＋ ，k∈Z，解得x.
训练1　函数f（x）＝tan（ － ）的定义域为 　{x｜x≠2kπ－ ，
.
解析：函数f（x）＝tan（ － ）有意义，则 － ≠kπ－ ，k∈Z，解
得x≠2kπ－ ，k∈Z，所以函数f（x）＝tan（ － ）的定义域为{x｜
x≠2kπ－ ，k∈Z}.
{x｜x≠2kπ－ ，
k∈Z}
角度2　判断函数的奇偶性、求周期
【例2】　（1）函数f（x）＝x·tan x的奇偶性为（　B　）
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数
解析：函数的定义域为{x｜x≠kπ＋ ，k∈Z}，关于原点对称.又f（－
x）＝（－x）tan（－x）＝xtan x＝f（x），故函数为偶函数.故选B.
B
解析：函数f（x）＝tan（ωx＋φ）的最小正周期T＝ ，直接利用公
式，可得T＝ ＝ .
（2）函数f（x）＝tan（－4x＋ ）的最小正周期为（　A　）
A. B.
C. π D. 2π
A
【规律方法】
1. 函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）周期的求解方法
（1）定义法：存在一个非零常数T，使得对y＝Atan（ωx＋φ）的定义域
内的每一个x，都有x＋T∈D，且Atan[ω（x＋T）＋φ]＝Atan（ωx＋
φ），那么非零常数T为y＝Atan（ωx＋φ）的周期；
（2）公式法：对于函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）的最小正周期T＝
；
（3）观察法（或图象法）：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数
值重复出现.
2. 判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法
先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，
则该函数为非奇非偶函数；若关于原点对称，再看f（－x）与f（x）的
关系.
训练2　（1）函数f（x）＝｜tan 2x｜是（　D　）
A. 周期为π的奇函数 B. 周期为π的偶函数
C. 周期为 的奇函数 D. 周期为 的偶函数
解析：f（x）的定义域为{x｜x≠ ＋ ，k∈Z}，且f（－x）＝｜tan
（－2x）｜＝｜tan 2x｜＝f（x），所以f（x）为偶函数，T＝ .
D
（2）已知函数y＝f（x），其中f（x）＝atan 3x＋4，若f（5）＝6，则
f（－5）＝ .
解析：设g（x）＝atan 3x，则f（x）＝g（x）＋4，因为g（－x）＝
－atan 3x＝－g（x），所以g（x）＝atan 3x为奇函数，f（5）＝g
（5）＋4＝6，所以g（5）＝2，则g（－5）＝－2，所以f（－5）＝g
（－5）＋4＝2.
2
知识点二
正切函数的图象与对称性
02
PART
问题2　（1）作正切函数y＝tan x的图象的关键是什么？
提示：三个点（－ ，－1），（0，0），（ ，1）及两条渐近线x＝－
和x＝ 在图象中起着关键作用.
（2）如何画出函数y＝tan x的图象？
提示：如图，先画出y＝tan
x，x∈［0， ）的图象，
然后根据正切函数是奇函
数，得到关于原点对称的y
＝tan x，x∈（－ ，0］的图象，再根据函数的周期性，只要把函数y＝tan x，x∈（－ ， ）的图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数y＝tan x，x∈R，x≠ ＋kπ，k∈Z的图象，我们把它叫做正切曲线.
【知识梳理】
解析式 y＝tan x
图象
对称性
　　提醒：正切函数是中心对称图形，且对称中心为（ ，0），但不是
所有的f（ ）都等于0，有的可能无意义.
对称中心（ ，0）（k∈Z）
【例3】　函数f（x）＝2tan（2x－ ）的对称中心是（　　）
A. （ ，0） B. （kπ＋ ，0），k∈Z
C. （ ＋ ，0），k∈Z D. （ ＋ ，0），k∈Z
解析：　令2x－ ＝ （k∈Z），解得x＝ ＋ （k∈Z），故函数的
对称中心为（ ＋ ，0），k∈Z. 故选D.
√
【规律方法】
　　正切函数对称中心的特殊性在于不仅有函数图象与x轴的交点，还有
“渐近线”与x轴的交点，正确分析函数图象并结合正切函数的性质是解
决与图象有关问题的关键.
训练3　y＝a（a为常数）与y＝tan 3x图象相交时，相邻两交点间的距离
为（　　）
A. π B.
C. D. π
解析：　y＝tan 3x的周期为 ，所以y＝a（a为常数）与y＝tan 3x图象
相交时，相邻两交点间的距离为 .
√
知识点三
正切函数的单调性与最值（值域）
03
PART
问题3　正切函数y＝tan x在其定义域上是增函数，对吗？
提示：不对，在每一个区间（－ ＋kπ， ＋kπ）（k∈Z）上都单调递
增，但在整个定义域上不是增函数.
【知识梳理】
1. 单调性：正切函数在每一个区间（－ ＋kπ， ＋kπ）（k∈Z）上
都 .
2. 值域：正切函数没有最大值和最小值，故正切函数的值域是 .
单调递增　
实数集R
【例4】　（1）函数y＝tan（ sin x）的值域是（　C　）
A. ［－ ， ］ B. ［－ ， ］
C. [－tan 1，tan 1] D. [－1，1]
解析：∵－1≤ sin x≤1，∴－ ＜－1≤ sin x≤1＜ .∵y＝tan x在（－
， ）上是单调递增的.即－tan 1≤tan（ sin x）≤tan 1，∴函数y＝tan
（ sin x）的值域为[－tan 1，tan 1]. 故选C.
C
（2）函数y＝tan（－3x＋ ）的单调递减区间是（　D　）
A. ［kπ－ ，kπ＋ ］（k∈Z）
B. （kπ－ ，kπ＋ ）（k∈Z）
C. ［ － ， ＋ ］（k∈Z）
D. （ － ， ＋ ）（k∈Z）
D
解析：y＝tan（－3x＋ ）＝－tan（3x－ ），令kπ－ ＜3x－ ＜kπ＋
，k∈Z，解得 － ＜x＜ ＋ ，k∈Z，所以函数y＝tan（－3x＋
）的单调递减区间是（ － ， ＋ ）（k∈Z），故选D.
【规律方法】
1. 求函数y＝tan（ωx＋φ）的单调区间的方法
y＝tan（ωx＋φ）（ω＞0）的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，
解－ ＋kπ＜ωx＋φ＜ ＋kπ，k∈Z即可.当ω＜0时，先用诱导公式把ω
化为正值再求单调区间.
2. 求正切函数值域的方法
（1）对于y＝Atan（ωx＋φ）的值域，可以把ωx＋φ看成整体，结合图
象，利用单调性求值域；
（2）对于与y＝tan x相关的二次函数，可以把tan x看成整体，利用配方法
求值域.
训练4　（1）函数y＝tan（2x＋ ）的递增区间是（　B　）
A. （－ ＋kπ， ＋kπ）（k∈Z）
B. （－ ＋ ， ＋ ）（k∈Z）
C. （ ＋kπ， ＋kπ）（k∈Z）
D. （－ ＋ ，－ ＋ ）（k∈Z）
B
解析：由－ ＋kπ＜2x＋ ＜ ＋kπ，k∈Z，得－ － ＋kπ＜2x＜ －
＋kπ，k∈Z，得－ ＋ ＜x＜ ＋ ，k∈Z，所以函数的递增区间
为（－ ＋ ， ＋ ）（k∈Z），故选B.
（2）函数y＝3tan（π＋x），－ ＜x≤ 的值域为 　（－3， ]　.
解析：函数y＝3tan（π＋x）＝3tan x，因为正切函数在（－ ， ］上单
调递增，所以－3＜y≤ ，所以值域为（－3， ].
（－3， ]
04
PART
提能点
比较大小
【例5】　利用函数的单调性，比较下列各组数的大小：
（1）tan（－3），tan（－3.1）；
解：由于－ －π＜－3.1＜－3＜ －π，且函数y＝tan x在区间（－
－π， －π）上单调递增，因此tan（－3.1）＜tan（－3）.
解：由于－ ＋π＜ ＜ ＜ ＋π，且函数y＝tan x在区间（－ ＋π，
＋π）上单调递增，因此tan ＜tan .
（2）tan ，tan .
【规律方法】
运用正切函数单调性比较大小的方法
（1）运用函数的周期性或诱导公式将所求角化到同一单调区间内；
（2）运用正切函数单调性比较大小关系.
训练5　比较tan（－ ）与tan（－ ）的大小.
解：因为tan（－ ）＝－tan ，tan（－ ）＝－tan ，
又0＜ ＜ ＜ ，y＝tan x在［0， ）上单调递增，
所以tan ＞tan ，所以－tan ＜－tan ，
即tan（－ ）＜tan（－ ）.
1. 函数f（x）＝ tan（ － ），x∈R的最小正周期为（　　）
A. B. π
C. 2π D. 4π
解析：　f（x）＝ tan（ － ），因为ω＝ ，所以T＝ ＝2π，则函
数f（x）的最小正周期为2π.故选C.
√
2. 当x∈（－ ， ）时，函数y＝tan ｜x｜的图象（　　）
A. 关于原点对称 B. 关于y轴对称
C. 关于x轴对称 D. 无法确定
解析：　函数y＝tan ｜x｜，x∈（－ ， ）是偶函数.其图象关于y轴
对称.故选B.
√
3. 比较大小：tan tan .（填“＞”或“＜”）
解析：因为tan ＝tan ，tan ＝tan ，又 0＜ ＜ ＜ ，y＝tan x在
［0， ）上单调递增，所以 tan ＜tan ，即 tan ＜tan .
＜
4. 求函数y＝tan（3x－ ）的定义域及单调区间.
解：要使函数有意义，自变量x的取值应满足3x－ ≠kπ＋ （k∈Z），
得x≠ ＋ （k∈Z），
所以函数的定义域为{x｜x≠ ＋ ，k∈Z}.
令kπ－ ＜3x－ ＜kπ＋ （k∈Z），
即 － ＜x＜ ＋ （k∈Z），
所以函数的单调递增区间为（ － ， ＋ ）（k∈Z），不存在单调
递减区间.
课堂小结
1.理清单
（1）正切函数的定义域、周期性与奇偶性；
（2）正切函数的图象与对称性；
（3）正切函数的单调性与最值（值域）；
（4）比较大小.
2.应体会
研究正切函数的性质注意运用整体代换.
3.避易错
最小正周期T＝ ，在定义域内不单调，对称中心为（ ，0）
（k∈Z）.
课时作业
05
PART
1. 函数f（x）＝－2tan（2x＋ ）的定义域是（　　）
A. {x∈R｜x≠ }
B. {x∈R｜x≠－ }
C. {x∈R｜x≠kπ＋ ，k∈Z}
D. {x∈R｜x≠ ＋ ，k∈Z}
解析：　由2x＋ ≠ ＋kπ，k∈Z，得x≠ ＋ ，k∈Z. ∴函数f
（x）＝－2tan（2x＋ ）的定义域是{x∈R｜x≠ ＋ ，k∈Z}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
2. 函数y＝ （－ ≤x≤ ，且x≠0）的值域为（　　）
A. [－1，1] B. （－∞，－1]∪[1，＋∞）
C. （－∞，1] D. [－1，＋∞）
解析：　因为－ ≤x≤ ，且x≠0，所以－1≤tan x＜0或0＜tan x≤1，
则 ≤－1或 ≥1.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 函数f（x）＝tan（x＋ ）的单调递增区间是（　　）
A. （kπ－ ，kπ＋ ），k∈Z
B. （2kπ－ ，2kπ＋ ），k∈Z
C. （kπ－ ，kπ＋ ），k∈Z
D. ［kπ－ ，kπ＋ ］，k∈Z
解析：由－ ＋kπ＜x＋ ＜ ＋kπ，k∈Z，得－ ＋kπ＜x＜ ＋
kπ，k∈Z，故f（x）的单调递增区间是（－ ＋kπ， ＋kπ），k∈Z.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. tan x≥1的解集为（　　）
A. {x｜x≥kπ＋ ，k∈Z}
B. {x｜x≥2kπ＋ ，k∈Z}
C. {x｜x≥ }
D. {x｜kπ＋ ≤x＜kπ＋ ，k∈Z}
解析：∵tan x≥1，由图象（图略）知， ＋kπ≤x＜ ＋kπ，k∈Z.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. 〔多选〕函数y＝tan 的性质有（　　）
A. 在（0， ）上单调递增
B. 为奇函数
C. 以π为最小正周期
D. 定义域为
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：令x∈（0， ），则 ∈（0， ），所以y＝tan 在（0， ）上单调递增，所以A正确；tan（－ ）＝－tan ，故y＝tan 为奇函数，所以B正确；T＝ ＝2π，所以C不正确；由 ≠ ＋kπ，k∈Z，得函数的定义域为{x｜x≠π＋2kπ，k∈Z}，所以D不正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. 〔多选〕与函数y＝tan（2x－ ）的图象不相交的一条直线是（　　）
A. x＝ B. x＝－
C. x＝ D. x＝－
解析：令2x－ ＝ ＋kπ，k∈Z，得x＝ ＋ ，k∈Z，所以直线x＝ ＋ ，k∈Z与函数y＝tan（2x－ ）的图象不相交，所以令k＝－1，x＝－ ；k＝0，x＝ .
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 已知函数f（x）＝tan x＋ ，若f（a）＝5，则f（－a）＝ .
解析：易知函数f（x）为奇函数，故f（a）＋f（－a）＝0，则f（－
a）＝－f（a）＝－5.
－5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. 已知f（x）＝tan ωx（0＜ω＜1）在区间［0， ］上的最大值为 ，
则ω＝ .
解析：因为0＜ω＜1，f（x）在区间［0， ］上的最大值为 ，所以f
（x）max＝tan ＝ ，所以 ＝ ，所以ω＝ .

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. 比较大小：tan 4 tan 3.
解析：∵ ＜3＜π＜4＜ π，y＝tan x在（ ， π）上单调递增，∴tan 4＞
tan 3.
＞
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 画出函数y＝｜tan x｜＋tan x的图象，并根据图象求出函数的单调区
间、最小正周期.
解：因为y＝｜tan x｜＋tan x＝
画出函数
y＝｜tan x｜＋tan x的图象，如图所示，则函数的
单调递增区间是［kπ，kπ＋ ），k∈Z，最小正
周期是π.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. 如图所示，函数y＝ tan（2x＋ ）的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则△DEF的面积等于（　　）
A. B. C. π D. 2π
解析：　在y＝ tan（2x＋ ）中，令x＝0，得y＝ tan ＝1，故
OD＝1.又函数y＝ tan（2x＋ ）的最小正周期为T＝ ，所以EF＝ .
所以S△DEF＝ ·EF·OD＝ × ×1＝ .
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. 已知函数f（x）＝tan ωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线y＝ 所
得线段长为 ，则f（ ）＝（　　）
A. 0 B. －
C. －1 D.
解析：　由题意，可知T＝ ，所以ω＝ ＝4，即f（x）＝tan 4x，所以
f（ ）＝tan（4× ）＝tan π＝0，故选A.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. 设定义在区间（0， ）上的函数y＝6 cos x的图象与y＝5tan x的图象
交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y＝ sin x的图
象交于点P2，则线段P1P2的长为 .

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：画出函数y＝6 cos x，y＝5tan x，y＝ sin x在（0， ）上
的图象，如图所示.观察图象可知，线段P1P2的长即为满足6 cos
x＝5tan x时的x对应的 sin x的值，所以6 cos x＝5tan x＝5· ，
所以6 cos 2x＝5 sin x.因为 sin 2x＋ cos 2x＝1，x∈（0， ），
所以0＜ sin x＜1，则6 sin 2x＋5 sin x－6＝0，所以 sin x＝ （负
值舍去），故线段P1P2的长为 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 已知函数f（x）＝3tan（ － ）.
（1）求它的最小正周期和单调递减区间；
解：因为f（x）＝3tan（ － ）＝－3tan（ － ），　
所以T＝ ＝ ＝4π，
由kπ－ ＜ － ＜kπ＋ ，k∈Z，
4kπ－ ＜x＜4kπ＋ ，k∈Z，
因为y＝tan（ － ）在（4kπ－ ，4kπ＋ ），k∈Z上单调递增，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
所以f（x）＝3tan（ － ）在（4kπ－ ，4kπ＋ ），k∈Z上单调递减.
故函数的最小正周期为4π，单调递减区间为（4kπ－ ，4kπ＋ ），k∈Z.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）试比较f（π）与f（ ）的大小.
解：f（π）＝3tan（ － ）＝3tan（－ ）＝－3tan ，
f（ ）＝3tan（ － ）＝3tan（－ ）＝－3tan ，
因为 ＜ ，且y＝tan x在（0， ）上单调递增，
tan ＜tan ，所以f（π）＞f（ ）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 已知函数f（x）＝x2＋2xtan θ－1，其中θ≠ ＋kπ，k∈Z.
（1）当θ＝－ ，x∈[－1， ]时，求函数f（x）的最大值与最小值；
解：当θ＝－ 时，f（x）＝x2－ x－1＝ － .
∵x∈[－1， ]，且f（x）的图象开口向上，
∴当x＝ 时，f（x）min＝－ ；
当x＝－1时，f（x）max＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）求使y＝f（x）在区间[－1， ]上是单调函数的θ的取值范围.
解：函数f（x）的图象的对称轴为直线x＝－tan θ.
∵f（x）在区间[－1， ]上是单调函数，
∴－tan θ≥ 或－tan θ≤－1，
即tan θ≤－ 或tan θ≥1，
∴－ ＋kπ＜θ≤－ ＋kπ或 ＋kπ≤θ＜ ＋kπ，k∈Z，
故θ的取值范围是（－ ＋kπ，－ ＋kπ］∪［ ＋kπ， ＋kπ），k∈Z.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
THANKS
演示完毕 感谢观看