《创新课堂》5.5.1第二课时　两角和与差的正弦、余弦公式 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共50张PPT)
第二课时　两角和与差的正弦、余弦公式
1. 能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式（逻辑推理）.
2. 熟记公式的形式及符号特征，掌握公式的变形（数据分析）.
3. 会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简（数学运算）.
课标要求
情景导入
乔布斯描述苹果电脑是“思想的自行车”——一种能够使人们的思想达
到想象中任何角落的工具，并且功能多样，他用类比介绍了这一引领信息
时代的创新发明.我们一旦开始给予类比密切的关注，就会发现它在生活
中随处可见，类比可以推动创新.
知识点一　两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式
01
知识点二　给值求值问题
02
知识点三　给值求角问题
03
目录
课时作业
04
知识点一
两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式
01
PART
问题　（1）请同学们写出两角差的余弦公式，其中α，β的取值范围是
什么？
提示： cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β，α，β均可取任意实数.
（2）用两角差的余弦公式求 cos [α－（－β）]的值.
提示： cos [α－（－β）]＝ cos α cos （－β）＋ sin α· sin （－β）＝ cos α
cos β－ sin α sin β.
（3）怎样根据α，β的正（余）弦函数值求出 sin （α＋β）， sin （α－β）
的值？
提示：由诱导公式五、六可知， cos （ －α）＝ sin α， cos （ ＋α）＝－
sin α，可推出， sin （α－β）＝ cos ［ －（α－β）］＝ cos ［（ －α）＋
β］＝ cos （ －α） cos β－ sin （ －α） sin β＝ sin α cos β－ cos α sin β，
同理可推出 sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β.　
【知识梳理】
两角和与差的余弦、正弦公式
名称 简记符号 公式
两角差的
余弦公式 C（α－β） cos （α－β）＝ cos α· cos β＋ sin α sin β
两角和的
余弦公式 C（α＋β） cos （α＋β）＝
cos α cos β－ sin α sin β
名称 简记符号 公式
两角和的正
弦公式 S（α＋β） sin （α＋β）＝
两角差的正
弦公式 S（α－β） sin （α－β）＝
sin α cos β＋ cos α sin β
sin α cos β－ cos α sin β
　　提醒：注意公式的结构特征和符号规律：对于公式C（α－β），C（α＋
β），可记为“同名相乘，符号反”；对于公式S（α－β），S（α＋β），可记为
“异名相乘，符号同”.
【例1】　（1） cos 70° cos 50°＋ cos 200° cos 40°的值为（　B　）
解析：法一　原式＝ sin 20° sin 40°－ cos 20° cos 40°＝－（ cos 20°
cos 40°－ sin 20° sin 40°）＝－ cos 60°＝－ .
B
法二　原式＝ cos 70° sin 40°－ cos 20° cos 40°＝ sin 40° cos 70°－
sin 70° cos 40°＝ sin （40°－70°）＝ sin （－30°）＝－ sin 30°＝－
.
（2） 的值是（　A　）
A
解析：原式＝
＝
＝
＝ ＝ .
C. 1
【规律方法】
解决给角求值问题的策略
（1）对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的
基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部
的变形；
（2）一般将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并
消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变形使用公式.

解析：原式＝ sin （45°－30°）＋ sin （45°＋30°）＝ sin 45° cos
30°－ cos 45° sin 30°＋ sin 45° cos 30°＋ cos 45° sin 30°＝2 sin
45° cos 30°＝ .


解析：原式＝ sin （360°－13°） cos （180°－32°）＋ sin （90°－
13°） cos （90°－32°）＝ sin 13° cos 32°＋ cos 13° sin 32°＝ sin
（13°＋32°）＝ sin 45°＝ .

知识点二
给值求值问题
02
PART
【例2】　已知 sin α＝ ， cos β＝－ ，且α为第一象限角，β为第二象限
角，求 sin （α＋β）、 sin （α－β）的值.
解：因为α为第一象限角，β为第二象限角， sin α＝ ， cos β＝－ ，
所以 cos α＝ ， sin β＝ ，
所以 sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β
＝ ×（－ ）＋ × ＝ .
sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β
＝ ×（－ ）－ × ＝－ .
【规律方法】
给值求值问题的解题策略
（1）在解决给值求值问题时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，
恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异
角为同角，具体做法是：①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为
已知两角的和或差；②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所
求角转化为已知角.
（2）解决此类问题时角的范围不容忽视，往往需要根据三角函数值缩小
角的范围.
训练2　已知 ＜β＜α＜ ， cos （α－β）＝ ， sin （α＋β）＝－ ，求
cos 2α与 cos 2β的值.
解：因为 ＜β＜α＜ ，
所以0＜α－β＜ ，π＜α＋β＜ .
又因为 cos （α－β）＝ ， sin （α＋β）＝－ ，
所以 sin （α－β）＝
＝ ＝ ，
cos （α＋β）＝－
＝－ ＝－ .
所以 cos 2α＝ cos [（α＋β）＋（α－β）]
＝ cos （α＋β） cos （α－β）－ sin （α＋β） sin （α－β）
＝（－ ）× －（－ ）× ＝－ ，
cos 2β＝ cos [（α＋β）－（α－β）]
＝ cos （α＋β） cos （α－β）＋ sin （α＋β） sin （α－β）
＝（－ ）× ＋（－ ）× ＝－ .
03
PART
知识点三 给值求角问题
【例3】　已知α，β都是锐角，且 sin α＝ ， cos β＝ ，则α＋β
＝ .
解析：∵α，β都是锐角，∴0＜α＋β＜π，又∵ sin α＝ ， cos β＝ ，
∴ cos α＝ ， sin β＝ ， cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝
× － × ＝ ，∴α＋β＝ .

变式　若本例条件改为“α，β都是钝角，且tan α＝－ ， cos β＝－
”，则α＋β＝ 　 　.
解析：∵ ＜α＜π， ＜β＜π，∴π＜α＋β＜2π，∵tan α＝－ ，∴ sin α＝
， cos α＝ ，∵ cos β＝－ ，∴ sin β＝ ，∴ cos （α＋β）＝
cos α cos β－ sin α sin β＝ × － × ＝ ，∴α＋β＝ .

【规律方法】
解决给值（式）求角问题的方法
　　解决此类题目的关键是求出所求角的某一三角函数值，而三角函数的
选取一般要根据所求角的范围来确定，当所求角范围是（0，π）或（π，
2π）时，选取求余弦值，当所求角范围是（ ， ）或（－ ， ）时，
选取求正弦值.
训练3　已知 sin α－ sin β＋ sin γ＝0， cos α＋ cos β－ cos γ＝0，且α，
β，γ均为钝角，求角α＋β的值.
解：由已知，
将两个方程两边平方，并相加得：
sin 2α－2 sin α· sin β＋ sin 2β＋ cos 2α＋2 cos α· cos β＋ cos 2β＝ sin 2γ＋
cos 2γ.
整理得：2 cos （α＋β）＝－1，
∴ cos （α＋β）＝－ ，
∵ ＜α＜π， ＜β＜π，
∴π＜α＋β＜2π，
∴α＋β＝ .
1. 计算 sin 75°的值为（　　）
解析： sin 75°＝ sin （45°＋30°）＝ × ＋ × ＝ .故选B.
√
2. sin 21° cos 39°＋ cos 21° sin 39°＝（　　）
D. 1
解析：　 sin 21° cos 39°＋ cos 21° sin 39°＝ sin （21°＋39°）＝
sin 60°＝ .故选C.
√
3. 已知角θ的终边过点P（－3，1），则 sin （ －θ）＝（　　）
解析：　因为角θ的终边过点P（－3，1），所以 sin θ＝ ＝ ，
cos θ＝ ＝－ ，所以 sin （ －θ）＝ sin · cos θ－ cos sin θ＝
×（－ ）－ × ＝－ ，故选A.
√
4. ＝ 　 　.
解析：
＝
＝
＝ ＝ sin 30°＝ .

课堂小结
1.理清单
（1）两角和的余弦公式和两角和与差的正弦公式；
（2）给值求值问题；
（3）给值求角问题.
2.应体会
给值求值时需要构造已知与所求的关系.
3.避易错
求值或求角时忽视角的范围；求角时注意三角函数的选取.
课时作业
04
PART
1. 化简 sin （x＋ ）＋ sin （x－ ）＝（　　）
A. － sin x B. sin x
C. － cos x D. cos x
解析：　 sin （x＋ ）＋ sin （x－ ）＝ sin x＋ cos x＋ sin x－
cos x＝ sin x.
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√
2. sin － cos ＝（　　）
A. 0
C. 2
解析：　 sin － cos ＝2（ sin － cos ）＝2 sin （ － ）＝
2 sin （－ ）＝－ .
√
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3. 在△ABC中， sin A· sin B＜ cos A· cos B，则这个三角形为（　　）
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 等腰三角形
解析：　∵在△ABC中， sin A· sin B＜ cos A· cos B，∴ cos （A＋B）＞
0，即 cos （π－C）＞0，即－ cos C＞0，∴ cos C＜0，则C为钝角，故
△ABC是钝角三角形.
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4. 已知 cos （α＋β）＝ ， cos （α－β）＝－ ，则 cos α cos β＝（　　）
A. 0
解析：cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝ ， cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝－ ，两式相加可得2 cos α cos β＝0，即 cos α cos β＝0.
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5. 已知α，β都是锐角，且 cos α＝ ， cos β＝ ，则α＋β＝（　　）
解析：　因为α，β都是锐角，且 cos α＝ ， cos β＝ ，所以 sin α＝
， sin β＝ ，所以 cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝ －
＝－ .又α＋β∈（0，π），所以α＋β＝ ，故选B.
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6. 〔多选〕 cos α－ sin α化简的结果可以是（　　）
解析：　 cos α－ sin α＝2（ cos α－ sin α）＝2（ cos α cos － sin
α sin ）＝2 cos （α＋ ）＝2 sin （ －α）.
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7. 若 sin α＝ ，α∈（－ ， ），则 cos （ ＋α）＝ 　－ 　
解析：因为 sin α＝ ，α∈（－ ， ），所以 cos α＝ ，故 cos （α＋
）＝ cos α cos － sin α· sin ＝ ×（－ ）－ ×（－ ）＝－ .
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8. 若 cos α＝－ ， sin β＝－ ，α∈（ ，π），β∈（ ，2π），则 sin
（α＋β）＝ .
解析：∵ cos α＝－ ，α∈（ ，π），∴ sin α＝ ＝ .∵ sin
β＝－ ，β∈（ ，2π），∴ cos β＝ ＝ ，∴ sin （α＋β）
＝ sin α cos β＋ cos α sin β＝ × ＋（－ ）×（－ ）＝ .

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解析：∵ sin α＋ cos β＝1， cos α＋ sin β＝0，∴ sin 2α＋ cos 2β＋2 sin α
cos β＝1①， cos 2α＋ sin 2β＋2 cos α sin β＝0②，①②两式相加可得 sin 2α
＋ cos 2α＋ sin 2β＋ cos 2β＋2（ sin α cos β＋ cos α sin β）＝1，∴ sin （α＋
β）＝－ .
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10. 化简下列各式：
（1） sin （x＋ ）＋2 sin （x－ ）－ cos （ －x）；
解：原式＝ sin x cos ＋ cos x sin ＋2 sin x· cos －2 cos x sin － cos cos x－ sin sin x
＝ sin x＋ cos x＋ sin x－ cos x＋ cos x－ sin x＝（ ＋1－ ）· sin x
＋（ － ＋ ）· cos x＝0.
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（2） －2 cos （α＋β）.
解：原式＝
＝
＝ ＝ .
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11. 如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，
ED，则 sin ∠CED＝（　　）
解析：　由题意知 sin ∠BEC＝ ， cos ∠BEC＝ ，又∠CED＝ －
∠BEC，所以 sin ∠CED＝ sin · cos ∠BEC－ cos sin ∠BEC＝ ×
－ × ＝ .
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12. 形如 的式子叫做行列式，其运算法则为 ＝ad－bc，则行
列式 的值是 .
解析：因为 ＝ sin 15°－ cos 15°＝2（ sin 15°－
cos 15°）＝2 sin （15°－45°）＝－2 sin 30°＝－1，所以
的值是－1.
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13. （2025·北理工附中期末）若方程12x2＋πx－12π＝0的两个根分别是
α，β，则 cos α cos β－ sin α· cos β－ cos α sin β－ sin α sin β
＝ .
解析：由题意知α＋β＝－ ，所以 cos α· cos β－ sin α· cos β－ cos α
sin β－ sin α· sin β＝ cos （α＋β）－ sin （α＋β）＝2［ cos （α＋β）－
sin （α＋β）］＝2 sin ［ －（α＋β）］＝2 sin （ ＋ ）＝2 sin ＝
.

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14. 已知 cos α＝ ， sin （α－β）＝ ，且α，β∈（0， ）.
求：（1） cos （2α－β）的值；
解：因为α，β∈（0， ），所以α－β∈（－ ， ）.
又因为 sin （α－β）＝ ＞0，所以0＜α－β＜ .
所以 cos （α－β）＝ ＝ .
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所以 cos （2α－β）＝ cos [α＋（α－β）]
＝ cos α cos （α－β）－ sin α sin （α－β）
＝ × － × ＝ .
（2）β的值.
解： cos β＝ cos [α－（α－β）]＝ cos α cos （α－β）＋ sin α sin （α
－β）＝ × ＋ × ＝ ，
因为β∈（0， ），所以β＝ .
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15. （2025·廊坊联考）已知α，β∈（0， ）， cos α＝ ， cos （α＋β）＝
.
（1）求 sin β的值；
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解：∵α，β∈（0， ），∴α＋β∈（0，π），
又 cos α＝ ， cos （α＋β）＝ ，
则 sin α＝ ＝ ，
sin （α＋β）＝ ＝ ，
∴ sin β＝ sin [（α＋β）－α]＝ sin （α＋β）· cos α－ cos （α＋β） sin α＝
× － × ＝ .
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（2）求2α＋β的值.
解：cos （2α＋β）＝ cos [（α＋β）＋α]
＝ cos （α＋β） cos α－ sin α sin （α＋β）
＝ × － × ＝0.
由α，β∈（0， ），得2α＋β∈（0， ），
∴2α＋β的值为 .
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