《创新课堂》5.5.1第三课时　两角和与差的正切公式 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共52张PPT)
第三课时　两角和与差的正切公式
1. 能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式（逻辑推理）.
2. 能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明（数学运算）.
3. 熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用（数学运算）.
课标要求
情景导入
　　如图所示，每个小正方形的边长为1，tan α＝ ，tan β＝ ，∠COD＝
α－β.
　　能否求出tan（α－β）和tan（α＋β）的值？
知识点一　两角和与差的正切公式
01
知识点二　给值求值（角）
02
知识点三　两角和与差的正切公式的综合应用
03
目录
课时作业
04
知识点一
两角和与差的正切公式
01
PART
问题　（1）请同学们写出两角和与差的正弦公式、余弦公式.
提示： cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β， cos （α＋β）＝ cos α cos β
－ sin α sin β；
sin （α＋β）＝ sin α cos β＋ cos α sin β， sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α
sin β.
（2）同角三角函数中的商数关系是什么？
提示： ＝tan α（α≠ ＋kπ，k∈Z）.
（3）你能用两角和与差的正弦、余弦公式来表示两角和与差的正切公
式吗？
提示：tan（α＋β）＝ ＝ （α＋β≠ ＋kπ，
k∈Z）.
当 cos α cos β≠0时，tan（α＋β）＝ ，
用－β来代替tan（α＋β）中的β即可得到tan（α－β）＝ .
【知识梳理】
名称 公式 简记符号 条件
两角和的 正切公式 tan（α＋β）
＝
T（α＋β） α，β，α＋β≠kπ＋ （k∈Z）
两角差的 正切公式 tan（α－β）
＝
T（α－β） α，β，α－β≠kπ＋ （k∈Z）
　　提醒：（1）只有当α，β，α－β，α＋β≠kπ＋ （k∈Z）时，上述公
式才能成立；（2）公式的符号变化简记为“分子同，分母反”；（3）正
切公式的常见变形：
tan α＋tan β＝tan（α＋β）（1－tan αtan β）；
tan α－tan β＝tan（α－β）（1＋tan αtan β）；
1－tan αtan β＝ ；
1＋tan αtan β＝ .
【例1】　（1）tan 255°＝（　D　）
A. －2－ B. －2＋
C. 2－ D. 2＋
解析：tan 255°＝tan（180°＋75°）＝tan 75°＝tan（45°＋30°）＝
＝ ＝2＋ .
D
解析： ＝ ＝tan（45°－15°）＝tan 30°＝ .
（2）化简 ＝（　B　）
A. B. C. 3 D. 1
B
【规律方法】
利用正切公式化简求值的两点说明
（1）分析式子结构，正确选用公式形式：应用时先从所化简（求值）式
子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换；
（2）化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用：当所要化简（求值）
的式子中出现特殊的数值“1”“ ”时，要考虑用这些特殊值所对应的
特殊角的正切值去代换，如“1＝tan ”“ ＝tan ”，这样可以构造出
利用公式的条件，从而可以进行化简和求值.
训练1　化简求值：
（1） ；
解：原式＝tan（74°＋76°）＝tan 150°＝－ .
（2）tan 23°＋tan 37°＋ tan 23°tan 37°.
解：∵tan 60°＝ ＝ ，
∴tan 23°＋tan 37°＝ － tan 23°tan 37°，
∴tan 23°＋tan 37°＋ tan 23°tan 37°＝ .
知识点二
给值求值（角）
02
PART
【例2】　已知 sin α＝ ，α∈（ ，π），tan（π－β）＝ ，则tan（α－β）
的值为（　　）
A. － B. C. D. －
解析：　因为 sin α＝ ，α∈（ ，π），所以 cos α＝－ ，即tan α＝－
.因为tan（π－β）＝－tan β，故tan β＝－ .所以tan（α－β）＝
＝ ＝－ .
√
变式　若本例条件不变，求tan（α＋β）的值.
解：因为α∈（ ，π）， sin α＝ ，
所以 cos α＝－ ，tan α＝－ ，又tan β＝－ ，
所以tan（α＋β）＝ ＝ ＝－2.
【规律方法】
1. 关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根
据公式求解.
2. 关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确
定该角的大小.
训练2　已知tan α＝ ，分别求下列各式的值.
（1）tan（α＋ ）；
解：tan（α＋ ）＝ ＝ .
因为tan α＝ ，
所以tan（α＋ ）＝ ＝－ .
（2）tan（α－ ）.
解：tan（α－ ）＝ ＝ .
因为tan α＝ ，
所以tan（α－ ）＝ ＝ .
03
PART
知识点三
两角和与差的正切公式的综合应用
【例3】　设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的根，则tan（α＋β）的值为
（　　）
A. －3 B. －1
C. 1 D. 3
解析：由题意知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，所以tan（α＋β）＝
＝ ＝－3.
√
【规律方法】
　　当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan α·tan β”的形式时，要把
它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过
公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要
注意隐含的条件，能缩小角的范围.
训练3　〔多选〕在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝ ，下列各式
中正确的是（　　）
A. A＋B＝2C B. tan（A＋B）＝－
C. tan A＝tan B D. cos B＝ sin A
解析：　∵C＝120°，∴A＋B＝60°，∴2（A＋B）＝C，∴tan
（A＋B）＝ ，∴选项A、B错误；∵tan A＋tan B＝ （1－tan Atan
B）＝ ，∴tan Atan B＝ ①，又tan A＋tan B＝ ②，∴联立①②解得
tan A＝tan B＝ ，∴ cos B＝ sin A，故选项C、D正确.
√
√
1. 已知tan α＝2，tan β＝3，则tan（α＋β）＝（　　）
A. 1 B. 5
C. －1 D. －5
解析：　tan（α＋β）＝ ＝ ＝－1.
√
2. 已知α，β都是锐角，tan α＝ ，tan β＝ ，则α＋β的值为（　　）
A. B.
C. D.
解析：tan（α＋β）＝ ＝ ＝1，由α，β都是锐角可知α＋β＝ .
√
3. 若tan ＝ ，则tan α＝ 　 　.
解析：法一　因为tan（α－ ）＝ ，所以 ＝ ，所以tan α＝ .

法二　tan α＝tan
＝ ＝ ＝ .
4. 计算： ＝ .
解析：原式＝ ＝tan 45°＝1.
1
课堂小结
1.理清单
（1）两角和与差的正切公式；
（2）给值求值（角）；
（3）两角和与差的正切公式的综合应用.
2.应体会
出现“tan α±tan β”与“tan α·tan β”的形式时注意运用转化法，化简求
值时注意运用方程的思想.
3.避易错
公式中加减符号易记错.
课时作业
04
PART
1. tan 75°＝（　　）
A. 2＋ B. 2－
C. －2＋ D. －2－
解析：　tan 75°＝tan（45°＋30°）＝ ＝ ＝
＝ ＝2＋ .
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2. ＝（　　）
A. B. 2
C. 1 D.
解析：　 ＝tan（38°＋22°）＝tan 60°＝ ，故选A.
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3. 已知角α的终边上一点P的坐标为（－1，2），角β的终边与角α的终边
关于x轴对称，则tan（β＋ ）＝（　　）
A. － B.
C. －3 D. 3
解析：　因为角α的终边上一点P的坐标为（－1，2），角β的终边与角α
的终边关于x轴对称，所以点（－1，－2）是角β的终边上的点，所以tan β
＝2，所以tan（β＋ ）＝ ＝ ＝－3，故选C.
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4. （2025·扬州期末）已知 sin α＝ ，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝
角，则α＋β的值为（　　）
A. B.
C. D.
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解析：　因为 sin α＝ ，且α为锐角，所以 cos α＝ ，tan α＝ ，所以
tan（α＋β）＝ ＝ ＝－1.又α＋β∈（ ， ），故α＋β
＝ .
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5. 〔多选〕已知 cos α＝－ ，则tan（ －α）＝（　　）
A. － B. －7
C. D. 7
解析：因为 cos α＝－ ，所以 sin α＝± ＝± ，所以tan α＝± .当tan α＝ 时，tan（ －α）＝ ＝ ；当tan α＝－ 时，tan（ －α）＝ ＝7.
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6. 〔多选〕已知不等式x2＋16x＋2＜0的解集为（tan α，tan β），则
（　　）
A. tan α＋tan β＝16
B. tan αtan β＝2
C. tan（α＋β）＝16
D. ＝－8
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解析：　由题意得， 故A错误，B正确；由于
tan（α＋β）＝ ＝16，故C正确； ＝
＝ ＝ ＝－8，故D正确.故选B、C、D.
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7. 已知tan（α＋β）＝ ，tan α＝－2，则tan β＝ .
解析：∵β＝（α＋β）－α，∴tan β＝ ＝7.
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8. 若α＋β＝ ，则（1＋tan α）（1＋tan β）＝ .
解析：因为α＋β＝ ，所以tan（α＋β）＝1，即 ＝1，即tan α＋
tan β＝1－tan αtan β，因此（1＋tan α）（1＋tan β）＝1＋tan α＋tan β＋tan
αtan β＝1＋1－tan αtan β＋tan αtan β＝2.
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9. 已知A，B都是锐角，且tan A＝ ， sin B＝ ，则A＋B＝ 　 　.
解析：因为B为锐角， sin B＝ ，所以 cos B＝ ，所以tan B＝ ，所以
tan（A＋B）＝ ＝ ＝1.又因为0＜A＋B＜π，所以A＋B
＝ .

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10. （1）化简求值： ；
解：∵tan 60°＝tan（10°＋50°）＝ ，
∴tan 10°＋tan 50°
＝tan 60°－tan 60°tan 10°tan 50°.
∴ ＝
＝ ＝－tan 60°＝－ .
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（2）已知△ABC中， tan Atan B－tan A－tan B＝ ，求C的大小.
解：整理可得 ＝－ ，
即tan（A＋B）＝－ ，
又∵0＜A＋B＜π，
∴A＋B＝ π，∴C＝π－（A＋B）＝π－ π＝ .
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11. （2025·抚州月考）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在
《大衍历》中建立了影长l与太阳天顶距θ（0≤θ＜π）的对应数表，这
是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长l等
于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即l＝htan θ.对同一“表高”测
量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，若第一次的“晷影长”
是“表高”的3倍，且tan（α－β）＝ ，则第二次的“晷影长”是“表高”
的（　　）
A. 倍 B. 倍
C. 倍 D. 倍
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解析：　由第一次的“晷影长”是“表高”的3倍得tan α＝3，又tan（α－
β）＝ ，所以tan β＝tan[α－（α－β）]＝ ＝ ＝ ，
故第二次的“晷影长”是“表高”的 倍.故选C.
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12. （2025·诸暨期中）已知角A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，
tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是（　　）
A. 钝角三角形 B. 锐角三角形
C. 直角三角形 D. 无法确定
解析：　∵tan A＋tan B＝ ，tan A·tan B＝ ，∴tan（A＋B）＝ ，
∴tan C＝－tan（A＋B）＝－ ，∴C为钝角，即△ABC为钝角三角形.
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13. （2025·泉州期中）已知α，β，γ都是锐角，且tan α＝ ，tan β＝ ，
tan γ＝ ，则α＋β＋γ＝ 　 　.

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解析：因为tan α＝ ，tan β＝ ，所以tan（α＋β）＝ ＝ ＝
，因为tan γ＝ ，所以tan（α＋β＋γ）＝ ＝ ＝
1，因为α，β，γ∈（0， ），所以α＋β∈（0，π），因为tan（α＋β）＝
＞0，所以α＋β∈（0， ），所以α＋β＋γ∈（0，π），所以α＋β＋γ＝ .
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14. 已知tan（α＋β）＝2，tan（β－α）＝3.
（1）求tan 4α的值；
解：tan 2α＝tan[（α＋β）－（β－α）]＝ ＝
＝－ ，
故tan 4α＝tan（2α＋2α）＝ ＝－ .
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（2）求tan β的值.
解：tan 2β＝tan[（α＋β）＋（β－α）]
＝ ＝ ＝－1，
则有－1＝ ，解得tan β＝1＋ 或tan β＝1－ .
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15. 已知 sin （α－β）＝ ， sin （α＋β）＝ .
（1）证明：tan α＋5tan β＝0；
解：证明：法一　由条件 sin （α－β）＝ ， sin （α＋β）＝ ，则2
sin （α－β）＝3 sin （α＋β），
即2 sin α cos β－2 cos α sin β＝3 sin α cos β＋3 cos α sin β，
整理得 sin α cos β＝－5 cos α sin β，
也即tan α＝－5tan β，tan α＋5tan β＝0得证.
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法二　由条件 sin （α－β）＝ ， sin （α＋β）＝ ，
即 sin α cos β－ cos α sin β＝ ， sin α cos β＋ cos α sin β＝ ，
得 sin α cos β＝ ， cos α sin β＝－ ，
从而可得tan α＝－5tan β，tan α＋5tan β＝0得证.
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解：由于tan（α－β）＝
tan α－tan β＝tan（α－β）（1＋tan αtan β），
所以
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＝－ ＝－ ＝ .
（2）计算： 的值.
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