《创新课堂》5.5.1第一课时　两角差的余弦公式 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共47张PPT)
第一课时　两角差的余弦公式
1. 了解两角差的余弦公式的推导过程（逻辑推理）.
2. 掌握两角差的余弦公式的应用（数学运算）.
课标要求
　　同学们，大家知道求一个任意角的三角函数值，我们可以利用诱导公式将它转化为锐角的三角函数值，再通过查表或使用计算器，就可以得出相应的三角函数值，但在实际应用中，我们将会遇到这样一类问题：已知α，β的三角函数值，求α－β的三角函数值，为此，我们需要有解决此类问题的办法及相应的计算公式.
情景导入
知识点一　两角差的余弦公式
01
知识点二　给值求值问题
02
提能点　给值求角问题
03
目录
课时作业
04
知识点一
两角差的余弦公式
01
PART
问题　（1）如图所示，求P，A1，P1的坐标.
提示：P（ cos （α－β）， sin （α－β）），A1（ cos β， sin β），P1
（ cos α， sin α）.
（2）已知在平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），如
何求线段P1P2的长度？
提示：平面上任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的距离公式P1P2＝
.
（3）根据AP＝A1P1可以得到什么等式？
提示：[ cos （α－β）－1]2＋ sin 2（α－β）＝（ cos α－ cos β）2＋（ sin α
－ sin β）2.
【知识梳理】
两角差的余弦公式
cos （α－β）＝ ，其中α，β为任意角，简记作
C（α－β）.
　　提醒：（1）该公式对任意角都能成立；（2）公式的结构：左端为两
角差的余弦，右端为这两角的同名三角函数值积的和.
cos α cos β＋ sin α sin β　
【例1】　（1） cos 15°的值是（　　）
A. B.
C. D.
解析：　 cos 15°＝ cos （45°－30°）＝ cos 45° cos 30°＋ sin 45°
sin 30°＝ × ＋ × ＝ .
√
② cos 105°＋ sin 105°.
解：①原式＝ cos cos ＋ cos （ － ） sin
＝ cos cos ＋ sin sin
＝ cos （ － ）＝ cos ＝ .
②原式＝ cos 60° cos 105°＋ sin 60° sin 105°
＝ cos （60°－105°）＝ cos （－45°）＝ .
（2）求下列各式的值：
① cos cos ＋ cos sin ；
【规律方法】
两角差的余弦公式常见题型及解法
（1）两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解；
（2）含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两
角差的余弦公式求解；
（3）求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然
后利用两角差的余弦公式求解.
训练1　（1） cos 105°＝ ；
解析：原式＝ cos （150°－45°）＝ cos 150° cos 45°＋ sin 150° sin
45°＝－ × ＋ × ＝ .
（2）求值： cos 80°· cos 35°＋ cos 10°· cos 55°.
解：原式＝ cos 80°· cos 35°＋ sin 80°· sin 35°＝ cos （80°－35°）＝
cos 45°＝ .

知识点二
给值求值问题
02
PART
【例2】　（1）已知 sin α＝ ，α∈（ ，π），求 cos （ －α）的值；
解：因为 sin α＝ ，α∈（ ，π），
所以 cos α＝－ ＝－ ＝－ ，
所以 cos （ －α）＝ cos cos α＋ sin sin α＝ ×（－ ）＋ × ＝
.
（2）已知α，β为锐角，且 cos α＝ ， cos （α＋β）＝－ ，求 cos β的值.
解：因为0＜α，β＜ ，所以0＜α＋β＜π.
由 cos （α＋β）＝－ ，得 sin （α＋β）＝ ＝
＝ .
又因为 cos α＝ ，所以 sin α＝ .
所以 cos β＝ cos ＝ cos （α＋β） cos α＋ sin （α＋β） sin α＝
（－ ）× ＋ × ＝ .
【规律方法】
给值求值问题的解题策略
（1）从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些
角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要
灵活地进行拆角或凑角的变换；
（2）常见角的变换：①α＝（α－β）＋β；②α＝ ＋ ；③2α＝（α
＋β）＋（α－β）；④2β＝（α＋β）－（α－β）.
训练2　已知 sin α＝ ，α∈（ ，π）， cos β ＝－ ，β是第三象限角，求
cos （α－β）的值.
解：由 sin α＝ ，α∈（ ，π），得
cos α＝－ ＝－ ＝－ .
又由 cos β＝－ ，β是第三象限角，得
sin β＝－ ＝－ ＝－ .
所以 cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β
＝（－ ）×（－ ）＋ ×（－ ）＝－ .
03
PART
提能点
给值求角问题
【例3】　（1）已知α，β均为锐角，且 sin α＝ ， sin β＝ ，则α－β
＝ ；
解析：∵α，β均为锐角，∴ cos α＝ ， cos β＝ .∴ cos （α－β）＝
cos α cos β＋ sin α sin β＝ × ＋ × ＝ .又∵ sin α＞ sin β，
∴0＜β＜α＜ ，∴0＜α－β＜ ，故α－β＝ .

（2）已知 cos α＝ ， cos （α＋β）＝－ ，α，β∈（0， ），则β
＝ .
解析：∵α，β∈（0， ），∴α＋β∈（0，π）.∵ cos α＝ ， cos （α＋
β）＝－ ，∴ sin α＝ ， sin （α＋β）＝ ，∴ cos β＝ cos [（α＋β）
－α]＝ cos （α＋β） cos α＋ sin （α＋β） sin α＝（－ ）× ＋ ×
＝ .∵0＜β＜ ，∴β＝ .

变式　若本例（1）中“ sin α”变为“ cos α”，“ sin β”变为“ cos
β”，则α－β＝ .
解析：∵α，β均为锐角，∴ sin α＝ ， sin β＝ ，∴ cos （α－β）＝
cos α cos β＋ sin α sin β＝ × ＋ × ＝ .又∵ sin α＜ sin β，
∴0＜α＜β＜ ，∴－ ＜α－β＜0，故α－β＝－ .
－
【规律方法】
已知三角函数值求角的解题步骤
（1）界定角的范围，根据条件确定所求角的范围；
（2）求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在上述范围内单调
的三角函数；
（3）结合三角函数值及角的范围求角.
1. cos 20°＝（　　）
A. cos 30° cos 10°－ sin 30° sin 10°
B. cos 30° cos 10°＋ sin 30° sin 10°
C. sin 30° cos 10°－ sin 10° cos 30°
D. sin 30° cos 10°＋ sin 10° cos 30°
解析：　 cos 20°＝ cos （30°－10°）＝ cos 30° cos 10°＋ sin 30°
sin 10°.
√
2. cos （α－35°） cos （25°＋α）＋ sin （α－35°） sin （25°＋α）的
值为（　　）
A. － B.
C. － D.
解析：原式＝ cos [（α－35°）－（α＋25°）]＝ cos 60°＝ .
√
3. 已知 sin （α＋60°）＝ ，30°＜α＜120°，则 cos α＝（　　）
A. B. －
C. D. －
解析：　∵30°＜α＜120°，∴90°＜α＋60°＜180°，又 sin （α＋
60°）＝ ，∴ cos （α＋60°）＝－ ，∴ cos α＝ cos [（α＋60°）－
60°]＝ cos （α＋60°） cos 60°＋ sin （α＋60°） sin 60°＝－ × ＋
× ＝ .
√
4. 若 cos （α－β）＝ ， cos 2α＝ ，且α，β均为锐角，α＜β，则α＋β
＝ .
解析：因为0＜α＜ ，0＜β＜ ，α＜β.所以－ ＜α－β＜0.又 cos （α－
β）＝ ，所以 sin （α－β）＝－ ＝－ .又因为0＜
2α＜π， cos 2α＝ ，所以 sin 2α＝ ＝ ，所以 cos （α＋
β）＝ cos [2α－（α－β）]＝ cos 2α cos （α－β）＋ sin 2α sin （α－β）＝
× ＋ ×（－ ）＝－ ，又0＜α＋β＜π，故α＋β＝ .

课堂小结
1.理清单
（1）两角差的余弦公式（给角求值）；
（2）给值求值问题；
（3）给值求角问题.
2.应体会
运用构造法解决给值求值问题.
3.避易错
求角时忽视角的范围.
课时作业
04
PART
1. cos 56° cos 26°＋ sin 56° cos 64°＝（　　）
A. B. －
C. D. －
解析：　原式＝ cos 56° cos 26°＋ sin 56° sin 26°＝ cos （56°－
26°）＝ cos 30°＝ .
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2. 已知点P（1， ）是角α的终边上一点，则 cos （ －α）＝（　　）
A. B.
C. － D.
解析：　由题意可得 sin α＝ ， cos α＝ ，所以 cos （ －α）＝ cos
cos α＋ sin sin α＝ × ＋ × ＝ .
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3. 已知A，B，C是△ABC的三个内角，且方程x2＋x cos A cos B＋ sin A sin
B－1＝0的两根之和与两根之积相等，则△ABC是（　　）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 等边三角形 D. 钝角三角形
解析：　由题意得－ cos A cos B＝ sin A sin B－1，即 cos A cos B＋ sin A sin
B＝1，则 cos （A－B）＝1，又A，B为△ABC的内角，所以A＝B. 故
△ABC是等腰三角形.故选B.
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4. 已知 cos （x－ ）＝－ ，则 cos x＋ cos （x－ ）＝（　　）
A. － B. ±
C. －1 D. ±1
解析：　 cos x＋ cos （x－ ）＝ cos x＋ cos x＋ sin x＝ cos x＋ sin
x＝ （ cos x＋ sin x）＝ cos （x－ ）＝－1.
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5. 〔多选〕下列各式化简正确的是（　　）
A. cos 80° cos 20°＋ sin 80° sin 20°＝ cos 60°
B. cos ＝ cos cos ＋ sin sin
C. sin （α＋45°） sin α＋ cos （α＋45°） cos α＝ cos 45°
D. cos （α－ ）＝ cos α＋ sin α
解析：　根据两角差的余弦公式A、B、C都是正确的；而对于D， cos
（α－ ）＝ cos α cos ＋ sin α sin ＝ cos α＋ sin α，故D错误.
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6. 〔多选〕若 sin x＋ cos x＝ cos （x－φ），则φ的一个可能值是
（　　）
A. B. －
C. D.
解析：　因为 sin x＋ cos x＝ cos （x－φ）＝ cos x cos φ＋ sin x sin
φ，所以有 所以φ＝ ＋2kπ，k∈Z，故选A、C.
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7. 已知 cos （α－ ）＝ cos α，则tan α＝ 　 　.
解析： cos （α－ ）＝ cos α cos ＋ sin α sin ＝ cos α＋ sin α＝ cos
α，所以 sin α＝ cos α，所以 ＝ ，即tan α＝ .

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8. ＝ 　 　.
解析：原式＝ ＝
＝ ＝ cos 15°＝ cos
（60°－45°）＝ .

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9. （2025·永州期中）在△ABC中， sin A＝ ， cos B＝－ ，则 cos （A
－B）＝ .
解析：因为 cos B＝－ ，且0＜B＜π，所以 ＜B＜π，所以 sin B＝
＝ ＝ ，且0＜A＜ ，所以 cos A＝
＝ ＝ ，所以 cos （A－B）＝ cos A cos B＋ sin A
sin B＝ ×（－ ）＋ × ＝－ .
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10. 如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于
A，B两点.
（1）如果A，B两点的纵坐标分别为 ， ，求 cos α和 sin β的值；
解：∵OA＝1，OB＝1，且点A，B的纵坐标分别为
， ，
∴ sin α＝ ， sin β＝ ，
又∵α为锐角，∴ cos α＝ ＝ .
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（2）在（1）的条件下，求 cos （β－α）的值.
解：∵β为钝角，
∴由（1）知 cos β＝－ ＝－ ，
∴ cos （β－α）＝ cos β cos α＋ sin β sin α
＝－ × ＋ × ＝ .
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11. （2025·郑州一中月考）已知函数f（x）＝ sin 126°· sin （x－36°）
＋ cos 54° cos （x－36°），则函数f（x）是（　　）
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数
解析：因为函数的定义域为R，且f（x）＝ sin 126°· sin （x－36°）＋ cos 54° cos （x－36°）＝ cos 54° cos （x－36°）＋ sin 54° sin （x－36°）＝ cos [54°－（x－36°）]＝ cos （90°－x）＝ sin x，故函数f（x）为奇函数.
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12. （2025·深圳中学期末）已知 sin α－ sin β＝1－ ， cos α－ cos β＝
，则 cos （α－β）的值为（　　）
A. B.
C. D. 1
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解析：　因为 sin α－ sin β＝1－ ，所以 sin 2α－2 sin α· sin β＋ sin 2β＝
－ ①.又因为 cos α－ cos β＝ ，所以 cos 2α－2 cos α cos β＋ cos 2β＝
②.由①＋②得，2 cos （α－β）＝ ，所以 cos （α－β）＝ .
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13. 已知0＜α＜π， sin （α＋ ）＝ ，则 cos α＝ 　 　.
解析：由0＜α＜π，得 ＜α＋ ＜ ，又 sin （α＋ ）＝ ＜ ，故 ＜α
＋ ＜π，即位于第二象限，由同角三角函数关系得 cos （α＋ ）＝－
＝－ ， cos α＝ cos （α＋ － ）＝ cos （α＋ ）
cos ＋ sin （α＋ ） sin ＝－ × ＋ × ＝ .

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14. 已知α，β为锐角且 cos （α－β）＝ ， cos α＝ ，求 cos β的值.
解：∵ cos α＝ ， cos （α－β）＝ ，α，β为锐角，
∴ sin α＝ ， sin （α－β）＝± .
当 sin （α－β）＝ 时， cos β＝ cos [α－（α－β）]＝ cos α cos （α－β）＋
sin α· sin （α－β）＝ .
当 sin （α－β）＝－ 时， cos β＝ cos [α－（α－β）]＝ cos α cos （α－β）
＋ sin α· sin （α－β）＝0.
∵β为锐角，∴ cos β＝ .
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15. 已知函数f（x）＝2 cos （ωx＋ ）（其中ω＞0，x∈R）的最小正周
期为10π.
（1）求ω的值；
解：由于函数f（x）的最小正周期为10π，
所以10π＝ ，所以ω＝ .
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（2）设α，β∈［0， ］，f（5α＋ ）＝－ ，f（5β－ ）＝ ，求
cos （α－β）的值.
解：因为f（5α＋ ）＝－ ，
所以2 cos ［ （5α＋ ）＋ ］＝2 cos （α＋ ）＝－ ，所以 sin α＝ ，
又因为f（5β－ ）＝ ，
所以2 cos ［ （5β－ ）＋ ］＝2 cos β＝ ，
所以 cos β＝ ，
因为α，β∈［0， ］，所以 cos α＝ ， sin β＝ ，
所以 cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ × ＋ × ＝ .
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