《创新课堂》5.5.2　简单的三角恒等变换 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共53张PPT)
5.5.2　简单的三角恒等变换
1. 能用二倍角公式推导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想（逻辑推理）.
2. 灵活运用和差的正弦、余弦公式进行相关计算及化简、证明（数学运算）.
课标要求
　　在利用二倍角公式解决问题时，已知角α的一个三角函数值和它所在的象限就可以求出这个角的二倍角的所有三角函数值.如果已知一个角α的一个三角函数值，能否求出这个角的半角 的所有三角函数值？即由 cos 30°的值能否求出 sin 15°和 cos 15°的值？
情景导入
知识点一　半角公式
01
知识点二　三角函数式的化简
02
提能点　三角恒等变换的综合应用
03
目录
课时作业
04
知识点一
半角公式
01
PART
问题　（1）角α与 ，角α与2α有什么关系？
提示： 是α的半角，α是2α的半角；α是 的二倍角，2α是α的二倍角.
（2）半角公式是如何推导出来的？
提示：半角公式的推导是利用公式 cos 2α＝1－2 sin 2α＝2 cos 2α－1，
∴ cos α＝1－2 sin 2 ， sin 2 ＝ ，同理 cos 2 ＝ ，tan2 ＝
.
（3）半角公式中的符号是如何确定的？
提示：（1）当给出角α的具体范围时，先求 的范围，然后根据 的范围
确定符号；
（2）如果没有给出决定符号的条件，那么在根号前要保留正负号.
【知识梳理】
半角公式
sin ＝ 　± 　， cos ＝ 　± 　，tan ＝ 　± 　.
　　提醒：（1）半角公式中的“±”不能去掉，若没有给出决定符号的
条件，则在根号前保留“±”；（2）常见公式变形tan ＝ ＝
.
± 　
± 　
± 　
【例1】　已知 sin α＝ ，求下列条件下 sin ， cos ，tan 的值：
（1）0＜α＜ ；
解：当0＜α＜ 时，0＜ ＜ ，
又 sin α＝ ，
所以 cos α＝ ＝ ＝ ，
所以 sin ＝ ＝ ＝ ，
cos ＝ ＝ ＝ ，
tan ＝ ＝ ＝ .
（2）角α在第一象限.
解：当角α在第一象限时，2kπ＜α＜2kπ＋ （k∈Z），则kπ＜ ＜kπ＋
（k∈Z）.
当k为偶数时，角 在第一象限，故由（1）可得 sin ＝ ， cos ＝
，tan ＝ .
当k为奇数时，角 在第三象限，此时有 sin ＝－ ， cos ＝－ ，
tan ＝ .
【规律方法】
利用半角公式求值的思路
（1）看角：若已知角与待求角存在半角关系，求解角的三角函数值时考
虑用半角公式；
（2）明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据
角的范围，求出相应半角的范围.
训练1　已知 sin α＝－ ，α∈（π， ），则tan ＝ 　－ 　.
解析：法一　因为 sin α＝－ ，α∈（π， ），所以 cos α＝－ .所以
∈（ ， ），所以tan ＜0.所以tan ＝－ ＝－ .
－
法二　因为 sin α＝－ ，α∈（π， ），所以 cos α＝－ .所以tan ＝
＝ ＝－ ＝－ .
知识点二
三角函数式的化简
02
PART
【例2】　化简： （0＜α＜π）.
解：因为tan ＝ ，
所以tan （1＋ cos α）＝ sin α.
又因为 cos （ －α）＝－ sin α，且1－ cos α＝2 sin 2 ，所以原式＝
＝ ＝－ .
因为0＜α＜π，所以0＜ ＜ ，所以 sin ＞0，
所以原式＝－2 cos .
【规律方法】
1. 三角函数式化简的常用方法
（1）变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑
等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式；
（2）变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为
弦或统一为切；
（3）变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径.如升幂、
降幂、配方、开方等.
2. 化简的结果尽可能简单，也就是项数尽可能少，次数尽可能低，函数种
类尽可能少，式子中尽量不含根号，能求值的一定要求值.
训练2　化简：2 ＋ .
解：原式＝2 ＋ ＝
2 ＋
＝2｜ sin 4＋ cos 4｜＋2｜ cos 4｜.
由于π＜4＜ ，∴ sin 4＜0， cos 4＜0， sin 4＋ cos 4＜0，
∴原式＝－2（ sin 4＋ cos 4）－2 cos 4＝－2 sin 4－4 cos 4.
03
PART
提能点
三角恒等变换的综合应用
【例3】　已知函数f（x）＝2a sin x cos x－2 cos 2x的一个零点为 .
（1）求a的值及f（x）的最小正周期；
解：由题意知2a sin cos －2 cos 2 ＝0，化简得 a－ ＝0，解得a＝
.
故f（x）＝2 sin x cos x－2 cos 2x＝ sin 2x－ cos 2x－1＝2 sin （2x
－ ）－1，
则f（x）的最小正周期为π.
（2）若m≤f（x）≤M对x∈［0， ］恒成立，求m的最大值和M的最
小值.
解：由0≤x≤ ，可得－ ≤2x－ ≤ .
故得－ ≤ sin （2x－ ）≤1，即－2≤2 sin （2x－ ）－1≤1.
当2x－ ＝ ，即x＝ 时，f（x）取得最大值1；
当2x－ ＝－ ，即x＝0时，f（x）取得最小值－2.
由m≤f（x）≤M对x∈［0， ］恒成立，可得m≤－2，且M≥1.
即m的最大值是－2，M的最小值是1.
【规律方法】
解决三角恒等变换综合问题的思路
　　三角恒等变换的综合问题常见的题型有化简、求值、证明等，其解题
思路为“六遇六想”，即：遇切，想化弦；遇多元，想消元；遇差异，想
联系；遇高次，想降幂；遇特角，想求值；遇和式，想收缩.
训练3　已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，f（B）＝4 cos B· sin 2
（ ＋ ）＋ cos 2B－2 cos B.
（1）若f（B）＝2，求角B的大小；
解：f（B）＝2 cos B（1＋ sin B）＋ cos 2B－2 cos B＝2 sin B cos B＋
cos 2B＝ sin 2B＋ cos 2B＝2 sin （2B＋ ）.　
因为f（B）＝2，即2 sin （2B＋ ）＝2，
所以2B＋ ＝ ＋2kπ，k∈Z.
又0＜B＜π，所以B＝ .
（2）若f（B）－m＞2恒成立，求实数m的取值范围.
解：若f（B）－m＞2恒成立，
即m＜f（B）－2＝2 sin （2B＋ ）－2恒成立，
故m＜（2 sin （2B＋ ）－2）min.
因为0＜B＜π，
所以 ＜2B＋ ＜ ，
故－2≤2 sin （2B＋ ）≤2，
因此m＜－4.
故实数m的取值范围为（－∞，－4）.
和差化积、积化和差公式
　　由教材第225页例8及第226页练习第4题、第5题，探究和差化积、积
化和差公式的结构特征，证明（推导）及应用.
1. 积化和差公式
sin α cos β＝ [ sin （α＋β）＋ sin （α－β）]；
cos α sin β＝ [ sin （α＋β）－ sin （α－β）]；
cos α cos β＝ [ cos （α＋β）＋ cos （α－β）]；
sin α sin β＝－ [ cos （α＋β）－ cos （α－β）].
2. 和差化积公式
sin θ＋ sin φ＝2 sin cos ；
sin θ－ sin φ＝2 cos sin ；
cos θ＋ cos φ＝2 cos cos ；
cos θ－ cos φ＝－2 sin sin .
解析：　因为 sin A＋ sin B＝2 sin cos ＝ cos ≤ ，
当且仅当A＝B＝60°时，等号成立，所以 sin A＋ sin B的最大值为
，故选C.
A. 1 B. C. D.
【典例】　若A＋B＝120°，则 sin A＋ sin B的最大值是（　　）
√
【规律方法】
　　积化和差、和差化积的转换用到了换元的方法，如把α＋β看作θ，α
－β看作φ，从而把包含α，β的三角函数式转化为包含θ，φ的三角函数
式，或者把 sin α cos β看作x， cos α sin β看作y，把等式看作x，y的方
程，则原问题转化为解方程（组）求x，它们都体现了化归思想.
【迁移应用】
若 cos 2α－ cos 2β＝m，则 sin （α＋β） sin （α－β）＝ 　　.
－m
解析：由m＝ cos 2α－ cos 2β＝ － ＝ （ cos 2α－ cos 2β）＝
－ sin （α＋β）· sin （α－β），所以 sin （α＋β） sin （α－β）＝－m.
1. 已知 cos α＝－ ， ＜α＜π，则 sin ＝（　　）
A. － B.
C. － D.
解析：由 ＜α＜π可知 ＜ ＜ ，故 sin ＝ ＝ .
√
2. 化简： ＝ 　 cos 1　.
解析：原式＝ ＝ ，因为0＜1＜
，故原式＝ cos 1.
3. sin （ ＋α）· cos （ ＋β）化为和差的结果是 　 cos （α＋β）＋ sin
.
cos 1　
解析：原式＝ ［ sin （ ＋α＋β）＋ sin （α－β）］＝ cos （α＋β）＋
sin （α－β）.
cos （α＋β）＋ sin
（α－β）
课堂小结
1.理清单
（1）半角公式；
（2）三角函数式的化简；
（3）三角恒等变换的综合应用.
2.应体会
三角函数式的化简过程中运用转化与化归思想.
3.避易错
半角公式符号的判断.
课时作业
04
PART
1. 已知α∈（－ ，0）， cos α＝ ，则tan ＝（　　）
A. 3 B. －3
C. D. －
解析：　因为α∈（－ ，0），且 cos α＝ ，所以 ∈（－ ，0），
tan ＝－ ＝－ ＝－ .
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√
2. 若 sin （π－α）＝－ 且α∈（π， ），则 sin （ ＋ ）＝（　　）
A. － B. －
C. D.
解析：由题意知 sin α＝－ ，α∈（π， ），所以 cos α＝－ .因为
∈（ ， ），所以 sin （ ＋ ）＝ cos ＝－ ＝－ .故选B.
√
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3. 设－3π＜α＜－ ，则 ＝（　　）
A. sin ＋ cos B. － cos － sin
C. cos － sin D. sin － cos
解析：∵－3π＜α＜－ ，∴－ ＜ ＜－ .∴ sin ＞0， cos ＜
0， ＝ ＝ ＝｜ sin －
cos ｜＝ sin － cos .
√
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4. 设a＝ cos 6°－ sin 6°，b＝2 sin 13° cos 13°，c＝ ，
则有（　　）
A. c＜b＜a B. a＜b＜c
C. a＜c＜b D. b＜c＜a
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解析：　a＝ cos 6°－ sin 6°＝ sin （30°－6°）＝ sin 24°，b＝2
sin 13° cos 13°＝ sin 26°，c＝ ＝ ＝
（ cos 20°－ sin 20°）＝ sin 25°，函数y＝ sin x，x∈（0°，90°）单
调递增，所以a＜c＜b，故选C.
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5. 〔多选〕下列各式与tan α相等的是（　　）
A.
B.
C. · （α∈（0，π））
D.
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解析：　A不符合， ＝ ＝ ＝｜tan α｜；B不符
合， ＝ ＝tan ；C符合，因为α∈（0，π），所以原式＝
· ＝ ＝tan α；D符合， ＝ ＝tan α.
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6. 〔多选〕下列结论正确的是（　　）
A. 存在实数α，使tan 2α＝2tan α
B. ＝
C. 已知tan α＝－4，则tan ＝
D. tan 75°＝
√
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解析：　对于A选项，取α＝0，则tan 2α＝0＝2tan α，故A正确；对于B
选项，由半角公式可知 ＝tan 40°≠ ，故B错误；对于C选项，
由于tan α＝－4＝ ，整理得2tan2 －tan －2＝0，解得tan ＝
，故C正确；对于D选项，由正切的半角公式知tan 75°＝
，故D错误.
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7. sin ＝ 　 .　
解析： sin ＝ ＝ ＝ .

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8. 若 sin θ＝ ， ＜θ＜3π，则 sin ＝ 　－ 　.
解析：∵ sin θ＝ ， ＜θ＜3π，∴ ＜ ＜ ， cos θ＝－
＝－ ，∴ sin ＝－ ＝－ .
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9. 化简： · · ＝ 　tan 　.
解析：原式＝ · · ＝ · ＝ ·
＝ ＝tan .
tan
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10. 求证： ＝tan（ ＋ ）.
证明：左边＝
＝ ＝ ＝
＝tan（ ＋ ）＝右边.所以原等式成立.
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11. （2025·银川一中期中）函数f（x）＝ cos 2x－2 cos 2 （x∈[0，π]）
的最小值为（　　）
A. 1 B. －1
解析：由题意，得f（x）＝ cos 2x－2 cos 2 ＝ cos 2x－（1＋ cos x）
＝ cos 2x－ cos x－1，设t＝ cos x（x∈[0，π]），y＝f（x），则t∈[－
1，1]，y＝t2－t－1＝（t－ ）2－ ，所以当t＝ ，即x＝ 时，y取得
最小值，为－ ，所以函数f（x）的最小值为－ ，故选D.
C. D. －
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12. 〔多选〕已知f（x）＝ sin 2（x＋ ），若a＝f（lg 5），b＝f
（lg ），则（　　）
A. a＋b＝0 B. a－b＝0
C. a＋b＝1 D. a－b＝ sin （2lg 5）
√
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解析：　f（x）＝ sin 2（x＋ ）＝ ＝ ＝ sin 2x
＋ .因为a＝f（lg 5），b＝f（lg ）＝f（－lg 5），所以a＋b＝
＋ ＝1，a－b＝ － ＝
sin （2lg 5）.故选C、D.
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13. （2025·河东期中）若｜logπ ｜＜2，则使关于x的函数f（x）＝ sin
（x＋α）＋ cos （x－α）（x∈R）为偶函数的α的个数是 .
解析：由已知可得 ＜α＜π3.f（x）＝ sin （x＋α）＋ cos （x－α）＝2
sin （ ＋α） cos （ －x）.若f（x）为偶函数，则f（－x）＝f（x）.
则有2 sin （ ＋α）· cos （ －x）＝2 sin （ ＋α） cos （ ＋x）.由于x
为任意实数，所以 sin （ ＋α）＝0.于是α＝kπ－ （k∈Z）.解不等式
＜kπ－ ＜π3可得k＝1，2，3，…，10，于是α的个数为10.
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14. 已知 ＜α＜3π，试化简：
.
解：因为 ＜α＜3π，所以 ＜ ＜ ，
所以 cos α＜0， sin ＜0.
故原式＝ ＝ ＝ ＝－ sin .
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15. 已知 ＜α＜π，tan α＋ ＝－ .
（1）求tan α的值；
解：因为tan α＋ ＝－ ，
所以tan α＝－3或－ ，
因为 ＜α＜π，
所以tan α＞－1，
所以tan α＝－ .
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（2）求 的值.
解：
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＝ ＝ ＝ ＝－ .
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