《创新课堂》5.6第二课时　函数y＝A sin （ωx＋φ）的图象与性质 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共74张PPT)
第二课时　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质
1. 会通过函数y＝A sin （ωx＋φ）的部分图象求函数y＝A sin （ωx＋φ）的解析式（直观想象、数学运算）.
2. 结合正弦函数的性质，掌握函数y＝A sin （ωx＋φ）的性质（数学抽象、逻辑推理）.
课标要求
　　同学们，大家有没有听说过一个成语“可见一斑”，大家知道这是什么意思吗？对，它比喻见到事物的一小部分也能推知事物的整体，大家想一想，这不正是说的三角函数吗？我们知道，三角函数是周期函数，那么如果我们知道了一个周期上的三角函数的性质，这个时候是不是可以“可见一斑”了？
情景导入
知识点一　“五点法”作图
01
知识点二　由图象确定函数的解析式
02
知识点三　函数y＝A sin （ωx＋φ）的有关性质
03
目录
课时作业
05
知识点四　匀速圆周运动的数学模型
04
知识点一
“五点法”作图
01
PART
解：令X＝3x＋ ，则x＝ （X－ ），列表如下：
X 0 π 2π
x －
y 0 2 0 －2 0
描点连线，画图如下.
【例1】　用“五点法”画函数y＝2 sin （3x＋ ）在一个周期内的简图.
变式　本例中把“一个周期内”改为“［0， ］”，又如何作图？
解：因为x∈［0， ］，所以3x＋ ∈［ ， ］，
列表如下：
3x＋ π 2π
x 0
y 1 2 0 －2 0 1
描点连线，画图如下.
【规律方法】
1. “五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）的图象，实质是利用函
数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象.
2. “五点法”作图的关键
作定区间如图象的关键是列表，列表的方法是：
（1）计算x取端点值时的ωx＋φ的范围；
（2）取出ωx＋φ范围内的“五点”，并计算出相应的x值；
（3）利用ωx＋φ的值计算y值；
（4）描点（x，y），连线得到函数图象.
训练1　已知函数f（x）＝ cos ，试作出函数f（x）在[0，π]上
的图象.
解：f（x）＝ cos ，列表如下：
2x－ － 0 π π π
x 0 π π π π
f（x） 1 0 －1 0
图象如图.
知识点二
由图象确定函数的解析式
02
PART
问题1　如图为函数y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）图象的一部分，
根据图象探究下面的问题.
（1）根据函数y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如何求A
的值？
提示：根据图象的最高点（或最低点）确定A，因为最大值与最小值互为
相反数，所以A＝2.
（2）根据函数y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如何确定
ω的值？
提示：因为T＝ ，所以通过周期来确定ω， × ＝ － ，所以ω＝2.
（3）根据函数y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如何确定
φ的值？
提示：最大值对应的x值为 ，所以2× ＋φ＝2kπ＋ ，k∈Z，所以φ＝
2kπ＋ ，k∈Z.
【例2】　如图为y＝A sin （ωx＋φ）的图象的一段，其中A＞0，ω＞
0，｜φ｜＜π，求其解析式.
解：法一　以M为第一个零点，
则A＝ ，T＝2（ － ）＝π，
∴ω＝2，此时解析式为y＝ sin （2x＋φ）.
∵点M（ ，0），∴ ×2＋φ＝0，∴φ＝－ ，
所求解析式为y＝ sin （2x－ ）.
法二　由图象知A＝ ，
以M（ ，0）为第一个零点，P（ ，0）为第二个零点.
列方程组 解得
∴所求解析式为y＝ sin （2x－ ）.
变式　将本例中的图象变为如图所示，试求函数的解析式.
解：法一（最值点法）　由图象可得ω＝ ，A＝2，将最高点坐标（ ，
2）代入y＝2 sin （ x＋φ），
得2 sin （ ＋φ）＝2，所以 ＋φ＝2kπ＋ （k∈Z），
所以φ＝2kπ＋ （k∈Z）.
又因为｜φ｜＜π，所以φ＝ ，
所以此函数的解析式为y＝2 sin （ x＋ ）.
法二（起始点法）　由图象求得ω＝ ，x0＝－ ，φ＝－ωx0＝－ ×（－
）＝ .
又因为A＝2，所以此函数的解析式为
y＝2 sin （ x＋ ）.
【规律方法】
　　确定y＝A sin （ωx＋φ）＋B（A＞0，ω＞0）的解析式的步骤
（1）求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝ ，B＝
；
（2）求ω，确定函数的周期T，则ω＝ ；
（3）求φ，常用方法有以下2种：
代入法 把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入
五点法 确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口
训练2　已知函数y＝A sin （ωx＋φ）＋B的一部分图象如图所示，若A＞0，ω＞0，｜φ｜＜ ，根据图中条件，写出该函数的解析式.
解：由图象可知，对称中心不在x轴上，最大值为4，最小值为0，所以A
＝ ＝2，B＝ ＝2.
由 T＝ － ＝ ，得T＝π，故ω＝2.
因为2× ＋φ＝ ＋2kπ（k∈Z），｜φ｜＜ ，所以φ＝ .
所以该函数的解析式为y＝2 sin （2x＋ ）＋2.
03
PART
知识点三
函数y＝A sin （ωx＋φ）的有关性质
问题2　你能用正弦函数y＝ sin x的性质类比函数y＝A sin （ωx＋φ）的性
质吗？
提示：可以，利用整体代换的思想，当A＞0，ω＞0时，用ωx＋φ整体代
换正弦函数中的x即可.
【知识梳理】
函数y＝A sin （ωx＋φ），A＞0，ω＞0的有关性质
名称 性质
定义域 R
值域
周期性 T＝
对称性 对称中心（ ，0）
[－A，A]
　
名称 性质
对称轴 x＝
奇偶性 当φ＝kπ（k∈Z）时是 ；当φ＝kπ＋ （k∈Z）时是
单调性 通过整体代换可求出其单调区间
＋ 　
奇函数　
偶函数
【例3】　已知函数f（x）＝ sin （2x＋ ）＋ .
（1）求f（x）的单调增区间；
解：令－ ＋2kπ≤2x＋ ≤2kπ＋ ，k∈Z，
解得－ ＋kπ≤x≤kπ＋ ，k∈Z，
所以f（x）的单调增区间是［kπ－ ，kπ＋ ］，k∈Z.
（2）求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值集合.
解：当 sin （2x＋ ）＝－1，即当2x＋ ＝2kπ－ ，k∈Z，即x＝kπ－
，k∈Z时，f（x）取得最小值 .
变式　本例条件不变，求函数f（x）的对称轴、对称中心.
解：令2x＋ ＝kπ＋ （k∈Z），
则x＝ ＋ （k∈Z），
所以对称轴方程为x＝ ＋ （k∈Z）；
令2x＋ ＝kπ（k∈Z），
则x＝ － （k∈Z），
所以对称中心为（ － ， ）（k∈Z）.
【规律方法】
　　函数y＝A sin （ωx＋φ）（y＝A cos （ωx＋φ））（A≠0，ω≠0）
的性质
　　首先将三角函数的和差形式转化为y＝A sin （ωx＋φ）（y＝A cos
（ωx＋φ））的形式，然后再讨论性质.
（1）定义域：R；
（2）值域：[－｜A｜，｜A｜]；
（3）奇偶性：函数y＝A sin （ωx＋φ）（y＝A cos （ωx＋φ））不一定
具备奇偶性，要由φ的值确定；
（4）周期性：T＝ ；
（5）单调区间：可把ωx＋φ看作一个整体，令z＝ωx＋φ，通过y＝A sin
z（y＝A cos z）的单调区间解不等式求得；
（6）对称性：仍然以y＝A sin z（y＝A cos z）的对称轴、对称中心列方
程求解，即ωx0＋φ＝kπ＋ 或ωx0＋φ＝kπ（k∈Z）.
训练3　已知函数f（x）＝2 cos 2ωx－1＋2 sin ωx· cos ωx（0＜ω＜
1），直线x＝ 是函数f（x）的图象的一条对称轴.
（1）设h（x）＝f（－x），求函数h（x）的单调递增区间；
解：f（x）＝2 cos 2ωx－1＋2 sin ωx cos ωx＝ sin 2ωx＋ cos 2ωx＝
2 sin （2ωx＋ ），
因为直线x＝ 是函数f（x）的图象的一条对称轴，
所以 ω＋ ＝ ＋kπ，k∈Z，则ω＝ k＋ ，k∈Z，
又0＜ω＜1，所以ω＝ ，
所以f（x）＝2 sin （x＋ ），
则h（x）＝f（－x）＝2 sin （－x＋ ）＝－2 sin （x－ ），
令 ＋2kπ≤x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z，则 ＋2kπ≤x≤ ＋2kπ，
k∈Z，
所以函数h（x）的单调递增区间为［ ＋2kπ， ＋2kπ］，k∈Z.
（2）已知函数y＝g（x）的图象是由y＝f（x）的图象上各点的横坐标
伸长到原来的2倍，然后再向左平移 个单位长度得到的，若g（2α＋ ）
＝ ，α∈（0， ），求 sin α的值.
解：y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得y＝2 sin （
x＋ ）的图象，
再向左平移 个单位长度得y＝2 sin ［ （x＋ ）＋ ］＝2 sin （ x＋
）＝2 cos x的图象，
即g（x）＝2 cos x，
g（2α＋ ）＝ ，即 cos （α＋ ）＝ ，
又α∈（0， ），则α＋ ∈（ ， ），
所以 sin （α＋ ）＝ ，
所以 sin α＝ sin ［（α＋ ）－ ］＝ × － × ＝ .
04
PART
知识点四
匀速圆周运动的数学模型
【例4】　如图，一架水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知
水轮每分钟转动5圈，当水轮上一点P从水中浮现（图中点P0）时开始计算
时间.
（1）将点P距离水面的高度z（m）表示为时间t（s）的函数；
解：如图，建立直角坐标系，设角φ（－ ＜φ＜0）是以
Ox为始边，OP0为终边的角，OP每秒钟所转过的弧度数
为 ＝ .
又水轮的半径为4 m，圆心O距离水面2 m，
所以z＝4 sin （ t＋φ）＋2.
当t＝0时，z＝0，得 sin φ＝－ ，即φ＝－ .
故所求的函数表达式为z＝4 sin （ t－ ）＋2.
（2）点P第一次到达最高点需要多长时间？
解：令z＝4 sin （ t－ ）＋2＝6，
得 sin （ t－ ）＝1.
取 t－ ＝ ，得t＝4.
故点P第一次到达最高点需要4 s.
【规律方法】
　　匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式.此
类问题的切入点是初始位置及其半径、周期的值，半径决定A，周期能确
定ω，初始位置的不同对φ有影响，还要注意最大值、最小值与函数中参数
的关系.
训练4　一架风车的半径为6 m，每12 min旋转一周，它的最低点P0离地面2
m，风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面的
距离h（t）（m）与时间t（min）之间的函数关系式是（　　）
A. h（t）＝－6 sin t＋6 B. h（t）＝－6 cos t＋6
C. h（t）＝－6 sin t＋8 D. h（t）＝－6 cos t＋8
√
解析：　法一　设h（t）＝A sin （ωt－ ）＋B＝－A cos ωt＋B（A
＞0，ω＞0），因为每12 min旋转一周，所以 ＝12，得ω＝ ，所以
h（t）＝－A cos t＋B，当t＝0时，－A＋B＝2，①.当t＝6时，A＋B
＝14，②.由①②联立解得A＝6，B＝8，所以h（t）＝－6 cos t＋8，
故选D.
法二　当t＝0时，h（t）＝2，排除选项A、B、C，故选D.
1. 用“五点法”作函数y＝ cos 在一个周期内的图象时，第四个
关键点的坐标可以是（　　）
A. B.
C. D.
解析：令4x－ ＝ ，得x＝ .∴该点坐标为 .
√
2. 若函数f（x）＝3 sin （ωx＋φ）对任意x都有f（ ＋x）＝f（ －
x），则f（ ）＝（　　）
A. 3或0 B. －3或0
C. 0 D. －3或3
解析：　由f（ ＋x）＝f（ －x）得，直线x＝ 是函数图象的对称
轴，所以f（ ）＝±3.
√
3. 已知函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，－ ＜φ＜ ）的部
分图象如图所示，则φ的值为（　　）
A. － B.
C. － D.
解析：由图象可知A＝1， ＝ －（－ ），故T＝π，ω＝2，f（x）＝ sin （2x＋φ），由图象可知当x＝ 时， sin （2× ＋φ）＝1，所以φ＝ .
√
4. 在函数y＝2 sin （ωx＋φ）＋2（ω＞0）的一个周期上，当x＝ 时，有
最大值4，当x＝ 时，有最小值0，则ω＝ .
解析：由题意得 ＝ － ＝ ，所以T＝π，又T＝ ＝π，解得ω＝2.
2
课堂小结
1.理清单
（1）“五点法”作图；
（2）由图象确定函数的解析式；
（3）函数y＝A sin （ωx＋φ）的有关性质；
（4）匀速圆周运动的数学模型.
2.应体会
由图象确定函数的解析式需要数形结合，处理函数性质要巧妙运用整体
代换法，匀速圆周运动的数学模型的构建.
3.避易错
求φ值时递增区间上的零点和递减区间上的零点的区别.易忽视实际问题
中自变量的取值范围.
课时作业
05
PART
1. 若x1＝ ，x2＝ 是函数f（x）＝ sin ωx（ω＞0）两个相邻的最值
点，则ω＝（　　）
A. 2 B.
C. 1 D.
解析：由题意知 ＝x2－x1＝ － ＝ ，所以T＝π，ω＝2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
2. 函数y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜ ）的部分图象如图
所示，则（　　）
A. y＝2 sin （2x－ ） B. y＝2 sin （2x－ ）
C. y＝2 sin （x＋ ） D. y＝2 sin （x＋ ）
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：由题图可知，A＝2，T＝2［ －（－ ）］＝π，所以ω＝2.由
函数图象经过点（ ，2）可得2 sin （2× ＋φ）＝2，所以2× ＋φ＝ ＋
2kπ，k∈Z，所以φ＝－ ＋2kπ，k∈Z，因为｜φ｜＜ ，所以φ＝－ ，
所以函数的解析式为y＝2 sin （2x－ ）.　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. （2025·开封期中）若将函数y＝3 cos （2x＋ ）的图象向右平移 个单
位长度，则平移后图象的一个对称中心是（　　）
A. （ ，0） B. （－ ，0）
C. （ ，0） D. （－ ，0）
解析：　将函数y＝3 cos （2x＋ ）的图象向右平移 个单位长度，得y
＝3 cos ［2（x－ ）＋ ］＝3 cos （2x＋ ）的图象，由2x＋ ＝kπ＋
（k∈Z），得x＝ ＋ （k∈Z），当k＝0时，x＝ ，所以平移后图象
的一个对称中心是（ ，0），故选A.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 已知函数f（x）＝2 sin （ωx－ ）的最小正周期为π，则函数y＝f
（x）在区间［0， ］上的最大值和最小值分别是（　　）
A. 2和－2 B. 2和0
C. 2和－1 D. 和－
解析：　由题知T＝ ＝π，得ω＝2，即函数y＝f（x）＝2 sin （2x－
），又∵x∈［0， ］，∴2x－ ∈［－ ， ］，即 sin （2x－ ）∈
［－ ，1］，2 sin （2x－ ）∈[－1，2]，故函数f（x）的最大值为2，
最小值为－1.故选C.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. 〔多选〕已知函数f（x）＝A sin ωx（A＞0，ω＞0）与g（x）＝ cos
ωx的部分图象如图所示，则（　　）
A. A＝1 B. A＝2
C. ω＝ D. ω＝
解析：　由题图可得过点（0，1）的图象对应的函数解析式为g（x）
＝ cos ωx，即 ＝1，A＝2.过原点的图象对应的函数解析式为f（x）＝
A sin ωx.由f（x）的图象可知，T＝ ＝1.5×4，可得ω＝ .
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. 〔多选〕将函数f（x）＝ sin 2x的图象向右平移 个单位长度后得到函
数g（x）的图象，则g（x）具有性质（　　）
A. 在（0， ）上单调递增，为偶函数
B. 最大值为1，图象关于直线x＝ 对称
C. 在（－ ， ）上单调递增，为奇函数
D. 周期为π，图象关于点（ ，0）对称
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：　g（x）＝ sin ［2（x－ ）］＝ sin （2x－ ）＝－ cos 2x，因为x∈（0， ），则2x∈（0， ），所以g（x）＝－ cos 2x在 上单调递增，且为偶函数，A正确，C错误；最大值为1，当x＝ 时，2x＝3π，所以x＝ 为对称轴，B正确；T＝ ＝π，取2x＝ ＋kπ，k∈Z，所以x＝ ＋ ，k∈Z，当k＝1时满足，图象关于点（ ，0）对称，D正确.故选A、B、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 若函数f（x）＝ sin x＋a cos x关于点（ ，0）对称，则a的值
为 .
解析：∵（ ，0）为f（x）的对称中心，∴f（ ）＝0，即 sin ＋a cos
＝0，即 ＋ a＝0，∴a＝－ .
－
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. 若f（x）＝ cos （2x＋ ＋φ）（｜φ｜＜ ）是奇函数，则φ＝ 　 　
解析：由题意可知φ＋ ＝ ＋kπ，k∈Z，即φ＝ ＋kπ，k∈Z. 又｜φ｜
＜ ，故当k＝0时，得φ＝ .

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. 函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）的
部分图象如图所示，则f（0）＝ .
解析：由图象可得A＝ ，周期为4×（ － ）＝π，所以ω＝2，将
（ ，－ ）代入得2× ＋φ＝2kπ＋ ，k∈Z，即φ＝2kπ＋ ，
k∈Z，所以f（0）＝ sin φ＝ sin ＝ .

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 已知函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜ ）
的图象如图所示.
（1）求出函数f（x）的解析式；
解：由图可得 解得
又 ＝2π，得T＝ ＝4π，所以ω＝ ，
由f（ ）＝6，得 ＋φ＝2kπ＋ ，k∈Z，
而｜φ｜＜ ，故φ＝ ，
综上，f（x）＝4 sin （ x＋ ）＋2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）若将函数f（x）的图象向右平移 个单位长度，再把所有点的横坐
标变为原来的 （纵坐标不变）得到函数y＝g（x）的图象，求出函数y
＝g（x）的单调递增区间及对称中心.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解：显然g（x）＝4 sin （2x＋ ）＋2，
由2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ ，k∈Z，
得函数g（x）的单调递增区间为［kπ－ ，kπ＋ ］，k∈Z.
由2x＋ ＝kπ，k∈Z，得x＝ － ，k∈Z，所以
函数g（x）的对称中心为（ － ，2），k∈Z.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. 若函数f（x）＝ sin x＋ cos x－2 sin x cos x＋1－a在［－ ，－ ］上
有零点，则实数a的取值范围为（　　）
A. [－ ，2] B. ［－ ， ］
C. [－2， ] D. ［ ， ］
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：　∵函数f（x）＝ sin x＋ cos x－2 sin x cos x＋1－a在［－ ，
－ ］上有零点，∴方程a－1＝ sin x＋ cos x－2 sin x cos x在［－ ，－
］上有解，设t＝ sin x＋ cos x＝ sin （x＋ ），∵x∈［－ ，－
］，∴x＋ ∈［－ ，0］，∴t∈[－ ，0]，∵t2＝1＋2 sin x cos x，
∴y＝ sin x＋ cos x－2 sin x cos x＝t－t2＋1＝－（t－ ）2＋ ，t∈[－
，0]，当t＝0时，y取得最大值1；当t＝－ 时，y取得最小值－
－1，故可得－ －1≤a－1≤1，∴－ ≤a≤2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. 〔多选〕（2025·福州四中期中）函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）（A＞
0，ω＞0，｜φ｜＜ ）的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（　）
A. φ＝
B. 函数f（x）的图象关于点（－ ，0）对称
C. 函数f（x）在［－ ， ］上单调递增
D. 将函数f（x）的图象向右平移 个单位长度后得到函
数g（x）＝ sin （2x＋ ）的图象
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：由题意可得 ＝ － ＝ ，故T＝π，则ω＝ ＝2，f（ ）＝ sin （2× ＋φ）＝－1，即 ＋φ＝－ ＋2kπ（k∈Z），解得φ＝－ ＋2kπ（k∈Z），又｜φ｜＜ ，即φ＝－ ＋2π＝ ，故A正确；即f（x）＝ sin （2x＋ ），当x＝－ 时，有2x＋ ＝0，故f（x）的图象关于点（－ ，0）对称，故B正确；当x∈［－ ， ］时，2x＋ ∈［－ ， ］，故C正确；将函数f（x）的图象向右平移 个单位长度后得到y＝ sin （2x－2× ＋ ）＝ sin （2x＋ ）的图象，故D错误.故选A、B、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. （2025·重庆南开期中）某同学利用描点法画函数y＝A sin （ωx＋
φ）（其中0＜A≤2，0＜ω＜2，－ ＜φ＜ ）的图象，列出的部分数
据如下表：
x 0 1 2 3 4
y 1 0 1 －1 －2
经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数
y＝A sin （ωx＋φ）的解析式应是 .
y＝2 sin （ x＋ ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：由题意可知（0，1），（2，1）关于对称轴对称，且对称轴为x＝
1，由三角函数的对称性可知，正弦函数在对称轴处取得最值，且过（1，
A），从而可得第二组（1，0）错误，把（1，A）代入可得，ω＋φ＝ ，
（2，1），（3，－1）关于（ ，0）对称，所以可得（ ，0）是函数的对
称轴x＝1相邻一个对称中心，从而函数的周期T＝4×（ －1）＝6，根据
周期公式T＝ ＝6，所以ω＝ ，φ＝ ，函数y＝A sin （ x＋ ），把函
数图象上的点（0，1）代入函数解析式可得A sin ＝1，所以A＝2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 已知函数y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜ ）的图象过
点P（－ ，0），且图象上与P点最近的一个最低点坐标为（－ ，－
2）.
（1）求函数的解析式；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解：因为一个最低点的坐标为（－ ，－2），
所以A＝2，y＝2 sin （ωx＋φ），
因为｜－ ＋ ｜＝ T，所以最小正周期T＝π，ω＝ ＝2，y＝2 sin
（2x＋φ），
将点（－ ，－2）带入y＝2 sin （2x＋φ）中，
可得－2＝2 sin ［2×（－ ）＋φ］，解得φ＝－ ＋2kπ（k∈Z），
因为｜φ｜＜ ，所以φ＝－ ，y＝2 sin （2x－ ）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）若将此函数的图象向左平移 个单位长度后，再向上平移2个单位长
度得到g（x）的图象，求g（x）在［－ ， ］上的值域.
解：向左平移 个单位长度后得到函数y＝2 sin ［2（x＋ ）－ ］
＝2 sin （2x＋ ）的图象，
再向上平移2个单位长度得到g（x）＝2 sin （2x＋ ）＋2的图象，
因为x∈［－ ， ］，
所以2x＋ ∈［－ ， ］， sin （2x＋ ）∈［－ ，1］，g（x）
∈[1，4]，
故函数g（x）在［－ ， ］上的值域为[1，4].
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 如图为函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜ ，
x∈R）的部分图象.
（1）求函数解析式；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解：由题图知，A＝2， ＝ － ＝ ，
所以T＝π，ω＝ ＝2，
因为图象过点（ ，2），
所以2× ＋φ＝ ＋2kπ，k∈Z，
解得φ＝ ＋2kπ，k∈Z，
因为｜φ｜＜ ，所以φ＝ ，
所以函数解析式为f（x）＝2 sin （2x＋ ）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
解：令2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ ，k∈Z，
解得kπ－ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z，
所以f（x）的单调递增区间为［kπ－ ，kπ＋ ］，
k∈Z.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（3）将函数y＝f（x）的图象向右平移 个单位长度，得到函数y＝g
（x）的图象，若方程g（x）＝m在［－ ，0］上有两个不相等的实数
根，求实数m的取值范围.
解：由题意得g（x）＝2 sin （2x－ ），作出g
（x）在［－ ，0］上的图象如图所示.
当方程g（x）＝m在［－ ，0］上有两个不相等的实数根时，
由函数的图象可知，m∈[，2），故实数m的取值范围为[，2）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
THANKS
演示完毕 感谢观看