《创新课堂》5.6第一课时　函数y＝A sin （ωx＋φ）的图象及变换 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共60张PPT)
第一课时　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及变换
1. 能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响（直观想象）.
2. 会利用图象的变换解决简单的问题（数学抽象、逻辑推理）.
课标要求
情景导入
　　游客在游乐场的摩天轮上可以俯瞰整个城市的风光，摩天轮承载着游
客从底部匀速旋转到最高点，游客距离地面的高度y与时间x之间的函数解
析式为y＝A sin （ωx＋φ）＋b；再则，日常生活中家用电器使用的交流
电，它的电流I与时间t的关系一般可以写成I＝Im sin （ωt＋φ）形式，其
中，Im、ω、φ都是常数.我们本节课就研究此类函数的图象与y＝ sin x（y
＝ cos x）图象存在怎样的关系，即研究A，ω，φ对函数图象的影响.
知识点一　φ对函数y＝ sin （x＋φ）的图象的影响
01
知识点二　ω（ω＞0）对函数y＝ sin （ωx＋φ）的图象的影响
02
知识点三　A（A＞0）对函数y＝A sin （ωx＋φ）的图象的影响
03
目录
课时作业
05
提能点　图象变换法作图
04
知识点一
φ对函数y＝ sin （x＋φ）的图象的影响
01
PART
问题1　（1）函数y＝ sin x的图象与函数y＝ sin （x－ ）的图象有什么
关系？
提示：把y＝ sin x的图象向右平移 个单位长度，可得到y＝ sin （x－ ）
的图象.
（2）函数y＝ sin x的图象与函数y＝ sin （x＋ ）的图象有什么关系？
提示：把y＝ sin x的图象向左平移 个单位长度，可得到y＝ sin （x＋ ）
的图象.
【知识梳理】
φ对函数y＝ sin （x＋φ）的图象的影响
A. 向左平移 个单位长度
B. 向右平移 个单位长度
C. 向左平移 个单位长度
D. 向右平移 个单位长度
解析：　函数y＝ sin x的图象上所有的点向左平移 个单位长度得到y＝
sin （x＋ ）的图象，故选A.
【例1】　为了得到函数y＝ sin （x＋ ）的图象，只需把函数y＝ sin x的
图象上所有的点（　　）
√
【规律方法】
φ对函数y＝ sin （x＋φ）图象影响的注意点
（1）y＝ sin （x＋φ）的图象与y＝ sin x的图象形状相同，是由y＝ sin x
的图象向左（右）平移得到的，此变换称为平移变换；
（2）左右平移是对x本身而言的.若x前面的系数不是1，应先提取系数，
再向左（右）平移.即从f（ωx）到f（ωx＋φ）进行平移时，平移量为｜
｜个单位长度；
（3）对一般函数y＝f（x），若将函数图象沿x轴向左（右）平移｜a｜
个单位长度后，得到的图象对应的函数为y＝f（x＋a）（a≠0）.
　　提醒：研究三角函数的平移变换应首观察平移前后函数名称是否相
同，若不同则先化为同名函数，再进行变换.
训练1　要得到函数y＝ cos （x－ ）的图象，只需将y＝ cos （x＋ ）
的图象 　　 　　　 （平移方向和长度）.
向右平移 个单位长度
解析：将函数y＝ cos （x＋ ）的图象向右平移 个单位长度得到y＝ cos
（x＋ － ）＝ cos （x－ ）的图象.
知识点二
ω（ω＞0）对函数y＝ sin （ωx＋φ）的图象的影响
02
PART
问题2　（1）函数y＝ sin （2x＋ ），y＝ sin （x＋ ），y＝ sin （ x
＋ ），x∈R的周期分别是多少？
提示：π，2π，4π.
（2）若P（x0，y0）是函数y＝ sin （x＋ ）图象上的一点，则点P1（
x0，y0）与P2（2x0，y0）分别在哪个函数图象上？
提示：P1（ x0，y0）是y＝ sin （2x＋ ）图象上一点，P2（2x0，y0）是
y＝ sin （ x＋ ）图象上一点.
【知识梳理】
ω（ω＞0）对函数y＝ sin （ωx＋φ）的图象的影响
A. 纵坐标变为原来的 3 倍，横坐标不变
B. 横坐标变为原来的 3 倍，纵坐标不变
C. 横坐标变为原来的 ，纵坐标不变
D. 纵坐标变为原来的 ，横坐标不变
解析：　函数y＝ sin （x－ ）的图象横坐标变为原来的 ，纵坐标不
变，即可得到函数y＝ sin （3x－ ）的图象，故选C.
【例2】　为了得到函数 y＝ sin （3x－ ）的图象，需将函数 y＝ sin （x
－ ）的图象（　　）
√
【规律方法】
1. y＝ sin （x＋φ）的图象与y＝ sin （ωx＋φ）的图象形状不同，此变
换称为伸缩变换，函数y＝ sin （ωx＋φ）（ω＞0，ω≠1）的图象，若
横向伸长，则周期变大，x的系数变小；若横向缩短，则周期变小，x
的系数变大.
2. 一般地，函数y＝f（ωx）（ω＞0，ω≠1）的图象，可以看作是把函
数y＝f（x）的图象上所有点的横坐标缩短（ω＞1）或伸长（0＜ω＜1）
到原来的 倍（纵坐标不变）而得到的.
训练2　（1）要得到函数y＝ sin （2x－ ）的图象，只需将y＝ sin 2x的
图象（　D　）
A. 向左平移 个单位长度
B. 向右平移 个单位长度
C. 向左平移 个单位长度
D. 向右平移 个单位长度
解析：由y＝ sin （2x－ ）＝ sin ［2（x－ ）］，将y＝ sin 2x的图象
向右平移 个单位长度即可得到y＝ sin （2x－ ）的图象，故选D.
D
（2）将函数y＝ sin （x－ ）图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原
来的5倍，可得到函数 的图象.
解析：将函数y＝ sin （x－ ）图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为
原来的5倍，可得到函数y＝ sin （ － ）的图象.
y＝ sin （ － ）
03
PART
知识点三
A（A＞0）对函数y＝A sin （ωx＋φ）的图象的影响
问题3　（1）函数y1＝ sin （x＋ ），y＝ sin （x＋ ），y2＝2 sin （x
＋ ），x∈R图象上的所有点纵坐标有什么变化？
提示：y1＝ y，y2＝2y.
（2）若P（x0，y0）是函数y＝ sin （x＋ ）图象上的一点，则点P1
（x0， y0）与P2（x0，2y0）分别在哪个函数图象上？
提示：P1（x0， y0）是y＝ sin （x＋ ）图象上一点，P2（x0，2y0）是
y＝2 sin （x＋ ）图象上一点.
【知识梳理】
A（A＞0）对函数y＝A sin （ωx＋φ）的图象的影响
A. y＝3 sin x B. y＝ sin x
C. y＝ sin 3x D. y＝ sin x
解析：　由题，将函数y＝ sin x的图象上各点的纵坐标缩短到原来的 ，
横坐标不变，即得到y＝ sin x的图象，故选B.
【例3】　将函数y＝ sin x的图象上各点的纵坐标缩短到原来的 ，横坐标
不变，则所得图象对应的函数为（　　）
√
【规律方法】
1. 此变换也称伸缩变换，若A＞0，则函数y＝A sin （ωx＋φ）的值域为
[－A，A]，最大值为A，最小值为－A；若A＜0，则函数y＝A sin （ωx
＋φ）的值域为[A，－A]，最大值为－A，最小值为A.
2. 一般地，函数y＝Af（x）（A＞0，且A≠1）的图象，可以看作是把
函数y＝f（x）的图象上所有点的纵坐标伸长（A＞1）或缩短（0＜A＜
1）到原来的A倍（横坐标不变）而得到的.
训练3　为了得到函数y＝ cos x的图象，只需把余弦曲线y＝ cos x上所有
点的（　　）
A. 横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B. 横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变
C. 纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D. 纵坐标缩短到原来的 ，横坐标不变
解析：　将y＝ cos x图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 ，横坐标不
变，即可得到y＝ cos x的图象.
√
04
PART
提能点
图象变换法作图
【例4】　函数y＝5 sin （2x＋ ）＋1的图象可由y＝ sin x的图象经过怎
样的变换得到？
解：法一　①把函数y＝ sin x的图象向左平移 个单位长度，得到函数y＝
sin （x＋ ）的图象；
②把所得曲线上各点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变），得到函数y＝
sin （2x＋ ）的图象；
③把所得曲线上各点的纵坐标变为原来的5倍（横坐标不变），得到函数y
＝5 sin （2x＋ ）的图象；
④把所得曲线向上平移1个单位长度，得到函数y＝5 sin （2x＋ ）＋1的
图象.
法二　①把函数y＝ sin x的图象上各点的横坐标变为原来的 （纵坐标不
变），得到函数y＝ sin 2x的图象；
②把所得曲线向左平移 个单位长度，得到函数y＝ sin （2x＋ ）的图
象；
③把所得曲线上各点的纵坐标变为原来的5倍（横坐标不变），得到函数y
＝5 sin （2x＋ ）的图象；
④把所得曲线向上平移1个单位长度，得到函数y＝5 sin （2x＋ ）＋1的
图象.
【规律方法】
图象变换法作图的两个路径
训练4　已知函数y＝ sin （2x＋ ），x∈R. 该函数的图象可由y＝ sin x
（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
解：将函数y＝ sin x的图象先向左平移 个单位长度，得到函数y＝ sin
（x＋ ）的图象，
再保持纵坐标不变，把横坐标缩短为原来的 ，得到函数y＝ sin （2x＋
）的图象，
再保持横坐标不变，把纵坐标缩短为原来的 ，得到函数y＝ sin （2x＋
）的图象.
1. 要得到函数y＝3 sin （3x－ ）的图象，只需将函数y＝3 sin 3x的图象
（　　）
A. 向左平移 个单位长度
B. 向右平移 个单位长度
C. 向左平移 个单位长度
D. 向右平移 个单位长度
解析：　y＝3 sin （3x－ ）＝3 sin ［3（x－ ）］，故只需将函数y
＝3 sin 3x的图象向右平移 个单位长度即可.故选D.
√
2. 将函数y＝ sin x的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不
变，再把所得的图象上的所有点向右平移2个单位长度，得到的图象所对
应的函数解析式为（　　）
A. y＝ sin （2x－2） B. y＝ sin （2x＋2）
C. y＝ sin （ x＋1） D. y＝ sin （ x－1）
√
解析：　将函数y＝ sin x的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵
坐标不变，得到y＝ sin x的图象，再把所得的图象上的所有点向右平移2
个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为y＝ sin ＝ sin
（ x－1），故选D.
3. 已知a是实数，则函数f（x）＝1＋a sin ax的部分图象不可能是（　　）
√
解析：　当a＝0时，f（x）＝1，C符合；当0＜｜a｜＜1时，T＞2π，
且最小值为正数，A符合；当｜a｜＞1时，T＜2π，且最小值为负数，B
符合；D项，由图象知T＞2π，则0＜｜a｜＜1；最小值为负数，则｜a｜
＞1，矛盾，故D不符合.
4. 将函数f（x）＝ cos 2x的图象纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不
变），再向左平移 个单位长度后得到函数g（x）的图象，则g（ ）
＝ .
解析：将函数f（x）＝ cos 2x的图象纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标
不变），所得图象对应的解析式为y＝2 cos 2x，则g（x）＝2 cos
［2（x＋ ）］＝2 cos （2x＋ ），故g（ ）＝2 cos （2× ＋
）＝－2 .
－2
课堂小结
1.理清单
（1）平移变换；
（2）伸缩变换；
（3）“图象变换法”作图.
2.应体会
图象变换法作函数图象、数形结合法.
3.避易错
（1）左右平移变换时，忽视x的系数及对应的符号；（2）先平移后伸缩
与先伸缩后平移的平移量的区别.
课时作业
05
PART
1. 把函数y＝ sin x的图象向左平移 个单位长度后所得图象的函数解析式
为（　　）
A. y＝ sin x－ B. y＝ sin x＋
C. y＝ sin D. y＝ sin
解析：根据图象变换的方法，y＝ sin x的图象向左平移 个单位长度后
得到y＝ sin 的图象.
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2. （2025·泰安期末）为了得到函数y＝3 sin （2x＋ ）的图象，只需要将
函数y＝3 sin 2x的图象（　　）
A. 向左平移 个单位长度
B. 向左平移 个单位长度
C. 向右平移 个单位长度
D. 向右平移 个单位长度
解析：　将函数y＝3 sin 2x的图象向左平移 个单位长度得y＝3 sin ［2
（x＋ ）］＝3 sin （2x＋ ）的图象.故选B.
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3. （2025·厦门期末）函数y＝ sin （4x＋ ）图象上所有点的纵坐标不
变，横坐标变为原来的2倍，得到函数f（x）的图象；再将f（x）图象上
所有点向左平移 个单位长度，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝
（　　）
A. － sin 2x B. sin 2x
C. sin （2x－ ） D. sin （2x＋ ）
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解析：　函数y＝ sin （4x＋ ）图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变
为原来的2倍，得到函数f（x）＝ sin （2x＋ ）的图象；将f（x）图象
上所有点向左平移 个单位长度，得到函数g（x）＝ sin ［2（x＋ ）＋
］＝ sin （2x＋π）＝－ sin 2x的图象，故选A.
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4. （2025·成都期末）函数y＝ sin （2x－ ）在区间［－ ，π］上的简图
是（　　）
√
解析：　当x＝0时，y＝ sin （－ ）＝－ ＜0，故排除B、D；当x＝
时，y＝ sin （2× － ）＝ sin 0＝0，排除C.
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5. 〔多选〕（2025·潍坊期末）函数y＝3 sin （2x－ ）的图象，可由y＝
cos （x＋ ）的图象经过下列哪项变换而得（　　）
A. 向右平移 个单位长度，横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的 3倍
B. 向右平移 个单位长度，横坐标缩短到原来的 ，纵坐标伸长到原来的3倍
C. 横坐标缩短到原来的 ，向右平移 个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍
D. 横坐标缩短到原来的 ，向右平移 个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍
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解析：由诱导公式可得y＝ cos （x＋ ）＝ sin x，所以为了得到函数y＝3 sin （2x－ ）＝3 sin ［2（x－ ）］的图象，可由y＝ cos （x＋ ）的图象向右平移 个单位长度，横坐标缩短到原来的 ，纵坐标伸长到原来的3倍，B选项满足条件，也可由y＝ cos （x＋ ）的图象横坐标缩短到原来的 ，向右平移 个单位长度，纵坐标伸长到原来的3倍，C选项满足条件，故选B、C.
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6. 〔多选〕已知函数f（x）＝2 sin （2ωx＋ ）（ω＞0）图象上两相邻
最高点的距离为π，把f（x）的图象沿x轴向左平移 个单位长度得到函
数g（x）的图象，则（　　）
A. g（x）在［ ， ］上单调递增
B. （ ，0）是g（x）的一个对称中心
C. g（x）是奇函数
D. g（x）在［ ， ］上的值域为[－2，0]
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解析：　由题意可得：f（x）的最小正周期T＝ ＝π，则ω＝1，∴f（x）＝2 sin （2x＋ ），则g（x）＝f（x＋ ）＝2 sin ［2（x＋
）＋ ］＝2 sin （2x＋π）＝－2 sin 2x，对A：∵x∈［ ， ］，则
2x∈［ ，π］，则g（x）在［ ， ］上单调递增，A正确；对B：∵g
（ ）＝－2 sin （2× ）＝－2 sin ＝－2为最小值，则（ ，0）不是g
（x）的一个对称中心，B错误；对C：∵g（－x）＝－2 sin 2（－x）＝2
sin 2x＝－g（x），则g（x）是奇函数，C正确；对D：∵x∈［ ， ］，则2x∈［ ，π］，∴ sin 2x∈[0，1]，则g（x）在［ ， ］上的值域为[－2，0]，D正确.故选A、C、D.
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7. 函数y＝ sin 的图象上各点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的
，可得到函数 　　　 　的图象.
y＝ sin （x－ ）
解析：把y＝ sin 的图象上各点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来
的 ，得到y＝ sin （x－ ）的图象.
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8. 将函数y＝ sin 4x的图象向左平移 个单位长度，得到函数y＝ sin
（4x＋φ）（0＜φ＜π）的图象，则φ的值为 .
解析：将函数y＝ sin 4x的图象向左平移 个单位长度，所得图象的函数
解析式为y＝ sin ＝ sin （4x＋ ），所以φ的值为 .

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9. 已知曲线C1：y＝ cos x，C2：y＝ sin （2x＋ ），则为了得到曲线
C1，首先要把C2上各点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，再把
得到的曲线向右至少平移 个单位长度.（本题所填数字要求为正数）
解析：∵曲线C1：y＝ cos x＝ sin （x＋ ）＝ sin （2· x＋ － ），
∴先将曲线C2上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的
曲线y＝ sin （2· x＋ ）向右至少平移 个单位长度.
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10. 已知函数y＝f（x）的图象上的每一点的纵坐标伸长到原来的4倍，横
坐标伸长到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移 个单位长度，
这样得到的曲线和y＝2 sin x的图象相同，求函数y＝f（x）的解析式.
解：y＝2 sin x的图象 y＝2 sin 的图象
y＝2 sin （2x－ ）的
图象 y＝ sin （2x－ ）的图象，即f（x）＝－ cos 2x.
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11. （2025·广元期末）若将f（x）＝ sin 2x＋ cos 2x的图象向右平移φ个
单位长度，所得函数为偶函数，则φ的最小正值是（　　）
A. B.
解析：　函数f（x）＝ sin 2x＋ cos 2x＝ sin （2x＋ ）的图象向右
平移φ个单位长度，所得函数为y＝ sin （2x＋ －2φ），图象是偶函
数，即关于y轴对称，可得 －2φ＝kπ＋ ，k∈Z，即φ＝－ － ，
k∈Z，当k＝－1时，φ的最小正值是 .故选B.
C. D.
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12. 〔多选〕已知函数f（x）＝ sin 3x＋ cos 3x，则下列结论正确的是
（　　）
A. f（x）的图象可由函数y＝2 sin 3x的图象向左平移 个单位长度得到
B. f（x）的图象可由函数y＝2 cos 3x的图象向右平移 个单位长度得到
C. f（x）的图象关于直线x＝ 对称
D. f（x）的图象关于点（ ，0）中心对称
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解析：　f（x）＝ sin 3x＋ cos 3x＝2 sin （3x＋ ）＝2 cos （3x
－ ）.对于A、B选项：将函数y＝2 sin 3x的图象向左平移 个单位长度
得到y＝2 sin ＝2 sin （3x＋ ），即f（x）的图象，将y＝2
cos 3x的图象向右平移 个单位长度得到y＝2 cos ＝2 cos
（3x－ ）＝2 sin 3x，不是f（x）的图象，所以A正确，B错误；C选
项：因为f（ ）＝2 sin （3× ＋ ）＝2，所以函数f（x）的图象关于
直线x＝ 对称，所以C正确；D选项：因为f（ ）＝2 sin ＝ ≠0，所以函数f（x）的图象不关于点（ ，0）中心对称，所以D错误.故选A、C.
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13. （2025·长沙期末）下列函数中：①y＝－ sin 2x；②y＝ cos 2x；③y
＝3 sin （2x＋ ），其图象仅通过向左（或向右）平移就能与函数f（x）
＝ sin 2x的图象重合的是 .（填上符合要求的函数对应的序号）
解析：y＝－ sin 2x的图象向左平移 个单位长度，可得到y＝－ sin
＝ sin 2x的图象，故①符合要求；y＝ cos 2x＝ sin （2x＋
）的图象向右平移 个单位长度，可得到y＝ sin ［2（x－ ）＋ ］＝
sin 2x的图象，故②符合要求；对于③，y＝3 sin （2x＋ ），无论向左
还是向右，纵坐标不变，故不符合条件.
①②
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14. 已知函数f（x）＝2 sin x cos x＋2 sin 2x.
（1）若f（x）＝0，x∈（－ ，0），求x的值；
解：f（x）＝2 sin x cos x＋2 sin 2x＝ sin 2x＋1－ cos 2x＝2 sin
（2x－ ）＋1，
由f（x）＝0，得2 sin （2x－ ）＋1＝0，即 sin （2x－ ）＝－ ，
故2x－ ＝－ ＋2kπ或2x－ ＝－ ＋2kπ，k∈Z，
即x＝kπ或x＝－ ＋kπ，k∈Z，
又∵x∈（－ ，0），
∴x＝－ .
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（2）将函数f（x）的图象向左平移 个单位长度，得到函数g（x）的图
象，求函数g（x）在［ ， ］上的值域.
解：将函数f（x）的图象向左平移 个单位长度，可得函数图象的
解析式为y＝2 sin ［2（x＋ ）－ ］＋1＝2 cos 2x＋1，
∴g（x）＝2 cos 2x＋1，
∵ ≤x≤ ，∴ ≤2x≤ ，
∴－1≤ cos 2x≤ ，
∴函数g（x）在［ ， ］上的值域为[－1， ＋1].
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15. （2025·临泉期末）已知函数f（x）＝2 sin ωx，其中常数ω＞0.
（1）若y＝f（x）在［－ ， ］上单调递增，求ω的取值范围；
解：因为ω＞0，根据题意有
解得0＜ω≤ .
所以ω的取值范围是（0， ］.
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（2）令ω＝2，将函数y＝f（x）的图象向左平移 个单位长度，再向上平
移1个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，区间[a，b]（a，b∈R且
a＜b）满足：y＝g（x）在[a，b]上至少含有30个零点，在所有满足上
述条件的[a，b]中，求b－a的最小值.
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解：由f（x）＝2 sin 2x可得，
g（x）＝2 sin ＋1＝2 sin （2x＋ ）＋1，
g（x）＝0 sin （2x＋ ）＝－ x＝kπ－ 或x＝kπ－ ，k∈Z，
即g（x）的零点相邻间隔依次为 和 ，
故若y＝g（x）在[a，b]上至少含有30个零点，
则b－a的最小值为14× ＋15× ＝ .
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THANKS
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