《创新课堂》1.1第二课时　集合的表示 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共47张PPT)
第二课时　集合的表示
1. 掌握集合的两种表示方法（列举法和描述法）（数学抽象）.
2. 能够在自然语言的基础上，用符号语言刻画集合（数学抽象、逻辑推理）.
课标要求
　上节课我们学习了集合的概念，有一些特殊的集合，比如非负整数集、正整数集等，我们可以用自然语言描述一个集合，同时也可以用数学符号表示这个集合，两者虽然形式不同，但实质表示的研究对象相同，且数学符号表示的集合更简洁、准确.
情景导入
知识点一　列举法
01
知识点二　描述法
02
提能点　集合与方程的综合问题
03
目录
课时作业
04
知识点一
列举法
01
PART
问题1　观察下面两个集合：
①设集合M是“地球上的四大洋”组成的集合；
②设集合N是小于6的正整数组成的集合.
上述问题中的集合M，N中的元素能一一列举出来吗？其元素分别是什
么？
提示：能.集合M中的元素为太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋；集合N
中的元素为1，2，3，4，5.
【知识梳理】
把集合的所有元素 出来，并用花括号“{}”括起来表示集合
的方法叫做列举法.
　　提醒：用列举法表示集合时的注意点：（1）集合中的元素要列举全
面，元素之间用“，”隔开；（2）一个集合中的元素的书写一般不考虑
顺序，但不能重复.
一一列举　
【例1】　（链接教材P3例1）用列举法表示下列集合：
（1）36与60的公约数组成的集合；
解：36与60的公约数有1，2，3，4，6，12，所求集合为{1，2，3，
4，6，12}.
（2）方程x2＋x＝0的所有实数根组成的集合；
解：方程x2＋x＝0的所有实数根为0或－1，所求集合为{0，－1}.
（3）直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合.
解：将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是（0，1），所求集合为
{（0，1）}.
【规律方法】
　用列举法表示集合的3个步骤
（1）求出集合的元素；
（2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
（3）用花括号括起来.
训练1　（1）若集合A＝{（1，2），（3，4）}，则集合A中元素的个数
是（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：集合A＝{（1，2），（3，4）}中有两个元素（1，2）和（3，4）.
√
③一次函数y＝－3x＋12的图象上所有满足x∈N*，y∈N*的点所组成的
集合.
（2）用列举法表示下列给定的集合：
①大于1且小于6的整数组成的集合；
②“Welcome”中的所有字母构成的集合；
解：①因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，因此用列举法表示为
{2，3，4，5}.
②由于“Welcome”中包含的字母有W，e，l，c，o，m共6个元素，因此
用列举法表示为{W，e，l，c，o，m}.
③一次函数y＝－3x＋12的图象是一条直线且该直线上的所有正整数点分
别为（1，9），（2，6），（3，3），所以所求集合为{（1，9），（2，
6），（3，3）}.
知识点二
描述法
02
PART
问题2　（1）“大于－2且小于2的实数”构成的集合能用列举法表示吗？
为什么？
提示：不能.集合中的元素不能一一列举出来.
（2）设x为“大于－2且小于2的实数”构成的集合的元素，x有何特征？
提示：x∈R且－2＜x＜2.
【知识梳理】
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P（x）的元
素x所组成的集合表示为 ，这种表示集合的方法称
为描述法.
　　提醒：用描述法表示集合的注意点：（1）写清该集合中元素的代表
符号，如{x｜x＞1}不能写成{x＞1}；（2）不能出现未被说明的字母，
如{x∈Z｜x＝2m}中m未被说明；（3）所有描述的内容都要写在花括号
内，如“{x∈Z｜x＝2m}，m∈N*”不符合要求.
{x∈A｜P（x）}　
【例2】　（链接教材P4例2）用描述法表示下列集合：
（1）满足不等式3x＋2＞2x＋1的实数x组成的集合；
解：解不等式3x＋2＞2x＋1，可得x＞－1，所以满足不等式的实数x组成
的集合为{x｜x＞－1}，或直接写成{x｜3x＋2＞2x＋1}.
（2）平面直角坐标系中，第一象限内的点的集合；
解：因为第一象限内的点的横坐标大于零，纵坐标大于零，所以该集合为
{（x，y）｜x＞0，y＞0，且x，y∈R}.
（3）所有正奇数组成的集合.
解：可知正奇数表示为x＝2k－1（k∈N＋），故集合为{x｜x＝2k－1，
k∈N＋}.
【规律方法】
用描述法表示集合的步骤
训练2　试分别用描述法和列举法表示下列集合：
（1）方程x2－5＝0的所有实数根组成的集合A；
解：描述法表示为A＝{x∈R｜x2－5＝0}，列举法表示为A＝{－ ， }.
（2）由小于8的所有自然数组成的集合B.
解：描述法表示为B＝{x∈N｜x＜8}（形式不唯一），列举法表示为B＝
{0，1，2，3，4，5，6，7}.
03
PART
提能点
集合与方程的综合问题
【例3】　已知集合A＝{x｜ax2＋2x＋1＝0，a∈R}.
（1）若1∈A，用列举法表示A；
解：若1∈A，则1是方程ax2＋2x＋1＝0的实数根，∴a＋2＋1＝0，解得
a＝－3，
∴方程为－3x2＋2x＋1＝0，
解得x＝1或x＝－ ，
∴A＝{1，－ }.
（2）当集合A中有且仅有一个元素时，求a的值组成的集合B.
解：当a＝0时，2x＋1＝0，解得x＝－ ，此时A＝{－ }；
当a≠0时，若集合A中有且仅有一个元素，
则方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，
∴ 解得a＝1，此时A＝{－1}.
综上，当a＝0或a＝1时，集合A中有且仅有一个元素，∴B＝{0，1}.
变式　在本例条件下，集合A中有两个元素，求实数a的取值范围的集合.
解：依题意，a≠0，且Δ＝4－4a＞0，所以a＜1且a≠0，故实数a的取值
范围的集合是{a｜a＜1且a≠0}.
【规律方法】
集合与方程的综合问题的解题步骤
（1）弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的
元素就是方程的实数根；
（2）当方程中含有参数时，往往要根据方程实数根的情况来确定参数的
值或取值范围，必要时还要分类讨论；
（3）求出参数的值或取值范围后，还要检验是否满足集合中元素的互
异性.
训练3　已知集合A＝{x｜x2－ax＋b＝0}，若A＝{2，3}，则a
＝ ，b＝ .
解析：由A＝{2，3}，知方程x2－ax＋b＝0的两根为2，3，由根与系数的
关系得 因此a＝5，b＝6.
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1. 集合{x∈N｜x－2＜2}用列举法可表示为（　　）
A. {1，2，3} B. {1，2，3，4}
C. {0，1，2，3，4} D. {0，1，2，3}
√
解析：　{x∈N｜x－2＜2}＝{x∈N｜x＜4}＝{0，1，2，3}.
2. 在数轴上与原点距离不大于3的点对应的数组成的集合是（　　）
A. {x｜x≤－3或x≥3} B. {x｜－3≤x≤3}
C. {x｜x≤－3} D. {x｜x≥3}
解析：　在数轴上与原点距离不大于3的点对应的数x满足｜x｜≤3，即
－3≤x≤3，因此所求的集合为{x｜－3≤x≤3}.故选B.
√
3. 〔多选〕下列各组集合表示的不是同一个集合的是（　　）
A. M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}
B. M＝{（x，y）｜2x＋y＝1}，N＝{y｜2x＋y＝1}
C. M＝{1，2}，N＝{2，1}
D. M＝{2，4}，N＝{（2，4）}
√
√
√
解析：对于A，M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}是不同的点构成的集合，故M与N不是同一个集合；对于B，M＝{（x，y）｜2x＋y＝1}是点集，N＝{y｜2x＋y＝1}是数集，故M与N不是同一个集合；对于C，M＝{1，2}和N＝{2，1}都是由元素1，2构成的集合，故M与N是同一个集合；对于D，M＝{2，4}是数集，N＝{（2，4）}是点集，故M与N不是同一个集合.故选A、B、D.
4. 用适当的方法表示下列集合：
（1）一年中有31天的月份的全体；
解： {1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}.
（2）大于－3.5且小于12.8的整数的全体；
解：{－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}或{x∈Z｜－3.5＜x＜12.8}.
（3）二次函数y＝x2＋1的函数值.
解：函数值y的取值集合为{y｜y＝x2＋1，x∈R}.
课堂小结
1.理清单
（1）集合的表示方法：列举法、描述法；
（2）集合与方程、不等式的关系.
2.应体会
（1）元素个数有限，适合用列举法表示；元素个数无限，一般用描述法
表示；
（2）解决集合与方程问题常用分类讨论思想.
3.避易错
（1）要注意数集和点集的区别；
（2）涉及ax2＋bx＋c＝0中x2的系数不确定时，易忽略讨论该方程是一
次方程还是二次方程.
课时作业
04
PART
1. 已知集合M＝{x｜x＞1且x∈N}，则（　　）
A. 0∈M B. π∈M
D. 1 M
解析：　由集合M＝{x｜x＞1且x∈N}知，0 M，故A错误；π M，故
B错误； M，故C错误；1 M，故D正确.
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√
2. 已知集合A＝{－1，0，1，2}，集合B＝{y｜y＝｜x｜，x∈A}，则
集合B中元素的个数为（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：由题意得B＝{0，1，2}，即B中元素的个数为3.
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3. 由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是（　　）
A. {x｜－3＜x＜11，x∈Z}
B. {x｜－3＜x＜11}
C. {x｜－3＜x＜11，x＝2k}
D. {x｜－3＜x＜11，x＝2k，k∈Z}
解析：　偶数集合为{x｜x＝2k，k∈Z}，则大于－3且小于11的偶数所
组成的集合为{x｜－3＜x＜11，x＝2k，k∈Z}.
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4. 已知集合A＝{x｜3x＋2＞m}，若－1∈A，则（　　）
A. m＜－1 B. m＞－1
C. m≤－1 D. m≥－1
解析：　因为集合A＝{x｜3x＋2＞m}，－1∈A，所以－3＋2＞m，
即m＜－1.
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5. 下列选项中是集合A＝{（x，y）｜x＝ ，y＝ ，k∈Z}中的元素的
是（　　）
C. （3，4） D. （4，3）
解析：　当x＝ 时，k＝1，y＝ ＝ ，A错误.当x＝ 时，k＝2，y＝
＝ ，B错误.当x＝3时，k＝9，y＝ ＝ ，C错误.当x＝4时，k＝12，
y＝ ＝3，满足题意.
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6. 〔多选〕集合{1，3，5，7，9}用描述法可表示为（　　）
A. {x｜x是不大于9的非负奇数}
B. {x｜x＝2k＋1，k≤4且k∈N}
C. {x｜x≤9，x∈N*}
D. {x｜0≤x≤9，x∈Z}
解析：{x｜x是不大于9的非负奇数}表示的集合是{1，3，5，7，9}，A正确；{x｜x＝2k＋1，k≤4且k∈N}表示的集合是{1，3，5，7，9}，B正确；{x｜x≤9，x∈N*}表示的集合是{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，C错误；{x｜0≤x≤9，x∈Z}表示的集合是{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，D错误.
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7. 〔多选〕下列说法中正确的是（　　）
A. M＝{x｜x＞2}，N＝{t｜t＞2}是同一个集合
B. 在平面直角坐标系内，第一、第三象限的点的集合为{（x，y）｜xy
＞0}
C. 集合{（x，y）｜y＝1－x}与{x｜y＝1－x}是相等的
D. 若集合A＝{x∈Z｜－1≤x≤1}，则－1.1∈A
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解析：　对于A，根据两个集合相等的定义知M与N是同一个集合，故
A正确；对于B，因为xy＞0，所以 或 所以集合{（x，
y）｜xy＞0}表示平面直角坐标系内第一、第三象限的点的集合，故B正
确；对于C，集合{（x，y）｜y＝1－x}表示直线y＝1－x上的点，集合
{x｜y＝1－x}表示函数y＝1－x中x的取值范围，故集合{（x，y）｜y
＝1－x}与{x｜y＝1－x}不相等，故C错误；对于D，A＝{x∈Z｜－
1≤x≤1}＝{－1，0，1}，所以－1.1 A，故D错误.故选A、B.
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8. 集合{x｜x＝2m－3，m＜5，m∈N*}，用列举法表示为
.
解析：集合中的元素满足x＝2m－3，m＜5，m∈N*，则m可取值为1，
2，3，4，则满足条件的x值为－1，1，3，5.则集合用列举法表示为{－
1，1，3，5}.
{－1，1，
3，5}
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9. 被3除余数等于1的自然数集合，用描述法可表示为
.
解析：因为被3除余数等于1的自然数为x＝3k＋1，k∈N，所以其对应的
集合用描述法可表示为{x｜x＝3k＋1，k∈N}.
{x｜x＝3k＋1，
k∈N}
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10. 选择适当的方法表示下列集合：
（1）由方程x（x2－2x－3）＝0的所有实数根组成的集合；
解：方程的实数根为－1，0，3，故可以用列举法表示为{－1，0，3}，当然也可以用描述法表示为{x｜x（x2－2x－3）＝0}.
（2）大于2且小于6的有理数；
解：由于大于2且小于6的有理数有无数个，故不能用列举法表示该集合，但可以用描述法表示该集合为{x∈Q｜2＜x＜6}.
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（3）方程组 的解组成的集合.
解：解方程组 得
故用列举法表示方程组 的解组成的集合为{（0，1）}，用描
述法表示为 .　
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11. 集合A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}，C＝
{x｜x＝4n＋1，n∈Z}，若a∈A，b∈B，则必有（　　）
A. a＋b∈A
B. a＋b∈B
C. a＋b∈C
D. a＋b不属于集合A，B，C中的任何一个
解析：因为a∈A，b∈B，所以a为偶数，b为奇数，所以a＋b为奇
数，所以a＋b∈B. 注意C选项，0∈A，3∈B，但0＋3 C.
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12. 已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为 .
解析：∵集合A＝{m＋2，2m2＋m}，且3∈A，∴m＋2＝3或2m2＋m＝
3，∴m＝1或m＝－ .当m＝1时，m＋2＝3，2m2＋m＝3，不满足集合
中元素的互异性， 舍去；当m＝－ 时，m＋2＝ ，2m2＋m＝3，符合
题意.
－
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13. 用描述法表示如图中的阴影部分可以是
.
解析：由阴影部分知0≤x≤2，0≤y≤1，所以阴影部分由点集{（x，
y）｜0≤x≤2，0≤y≤1}来表示.
{（x，y）｜0≤x≤2，
0≤y≤1}
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14. 设集合B＝{x∈N｜ ∈N}.
（1）试判断元素1和2与集合B的关系；
解：当x＝1时， ＝2∈N，当x＝2时， ＝ N，所以1∈B，2 B.
（2）用列举法表示集合B.
解：因为x∈N， ∈N，所以x只能为0，1，4，故B＝{0，1，4}.
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15. 设y＝x2－ax＋b，A＝{x｜y－x＝0}，若A＝{－3，1}，求实数
a，b的值.
解：由y＝x2－ax＋b，得A＝{x｜y－x＝0}＝{x｜x2－（a＋1）x＋b
＝0}.
又A＝{－3，1}，所以关于x的方程x2－（a＋1）x＋b＝0的两个根为－
3，1.
由根与系数的关系，得 解得
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