《创新课堂》1.1第一课时　集合的概念 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共52张PPT)
第一课时　集合的概念
1. 通过实例了解集合与元素的含义，理解元素与集合的属于关系（数学抽象）.
2. 利用集合中元素的三个特征解决一些简单的问题，能判断元素与集合的
关系，并能识记常用数集的表示符号（逻辑推理）.
课标要求
　　我校2025级高一新生入学军训的时候，随着教官一声口令“高一（1）班集合”，高一（1）班的同学从四面八方聚集到教官附近，不是高一（1）班的同学会自动走开，这里的“集合”是一个动词，但教官的“集合口令”却把“一些确定的对象（高一（1）班各位同学）聚集在一起了”，这就是本节课研究的重要概念——集合.
情景导入
知识点一　元素与集合的概念
01
知识点二　集合中元素的特征
02
提能点　集合中元素特征的应用
04
目录
课时作业
05
知识点三　元素与集合之间的关系
03
知识点一
元素与集合的概念
01
PART
问题1　观察下面的几个例子：
①“小于10”的自然数；
②我校今年入学的全体高一女生；
③在平面直角坐标系中，第四象限的点的全体；
④方程x2－25＝0的所有实数根.
（1）以上各语句中所研究的对象分别是什么？
提示：①0，1，2，3，4，5，6，7，8，9.②我校今年入学的高一每位女
生.③第四象限的所有点.④±5.
（2）以上各语句有什么共同特点？
提示：以上语句描述的内容都是某种确定的、不同的研究对象的总体.
【知识梳理】
1. 元素
2. 集合
　　提醒：（1）组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方
程，也可以是人或物等；（2）组成集合的元素可以有有限个，也可以
有无限个.
【例1】 〔多选〕下面四个说法中正确的是（　　）
A. 10以内的质数组成的集合中元素有2，3，5，7
B. 由2，3组成的集合中有2个元素
C. 集合中的元素一定是数
D. 《红楼梦》不可以是集合中的元素
解析：对于A，10以内的质数组成的集合有2，3，5，7，故A正确；对于B，2和3是集合内的元素，故B正确；对于C，集合中的元素不一定是数，所以C错误；对于D，组成集合的元素可以是物体，故D错误.故选A、B.
√
√
知识点二
集合中元素的特征
02
PART
问题2　（1）英文单词good的所有字母能否组成一个集合？若能组成一个
集合，则该集合有几个元素？
提示：能组成一个集合，集合中的元素有3个.
（2）分别由元素1，2，3和3，2，1组成的两个集合有何关系？集合中的
元素有没有先后顺序？
提示：两个集合中的元素是一样的.集合中的元素没有先后顺序.
【知识梳理】
1. 集合中元素的特征： ，互异性，无序性.
2. 集合相等：只要构成两个集合的元素是 ，我们就称这两个集
合是相等的.
确定性　
一样的　
【例2】 （1）〔多选〕（链接教材P5练习1题）下列所给对象能构成集合
的是（　CD　）
A. 高中数学必修第一册课本上的所有难题
B. 比较接近1的整数的全体
C. 某校高一年级16岁以下的学生
D. 直角坐标系中横、纵坐标相等的点
解析：A、B中的对象不能构成集合，因为“难题”“比较接近1”的标准
不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；C中的对象能构成集合，因
为有确定标准，元素是“某校高一年级16岁以下的学生”；D中的对象能
构成集合，故选C、D.
CD
（2）集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和a2，若集合
P与集合Q是相等的，则a＝ .
解析：由题意得a2＝4，即a＝±2.
±2
【规律方法】
1. 一组对象能构成集合的两个条件
（1）能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不
是给定集合的元素；
（2）任何两个对象都是不同的.
2. 判断两个集合相等的注意点
若两个集合相等，则构成这两个集合的元素相同，但是要注意其中的元素
不一定按顺序对应相等.
训练1　（1）设由“我和我的祖国”中的所有汉字组成集合A，则A中元
素个数为（　D　）
A. 6 B. 3
C. 4 D. 5
解析：由集合中元素的互异性可知，集合A中的元素分别为：我、和、
的、祖、国，共5个元素.故选D.
D
（2）〔多选〕下列说法正确的是（　AC　）
A. 中国的所有直辖市可以组成一个集合
B. 高一（1）班较胖的同学可以组成一个集合
C. 正偶数的全体可以组成一个集合
D. 大于2 010且小于2 025的所有整数不能组成集合
解析：A中我国的直辖市有北京、上海、天津、重庆，是确定的，可以组
成集合，正确；B中由于“较胖”的标准不明确，不满足集合中元素的确
定性，所以B错误；C中正偶数的全体可以组成一个集合，正确；D中的所
有整数能组成集合，所以D错误.
AC
知识点三
元素与集合之间的关系
03
PART
问题3　李明是高一（1）班的一位同学，刘欣是高一（2）班的一位同学.
（1）这两名同学与高一（1）班这个班集体之间分别有什么关系？
提示：李明属于高一（1）班这个班集体；刘欣不属于高一（1）班这个班
集体.
（2）该校的其他同学与高一（1）班这个班集体的关系是否明确？
提示：关系是明确的，该校内的任意一位同学，要么属于这个班集体，要
么不属于这个班集体.
【知识梳理】
1. 元素与集合的关系
关系 概念 记法 读法
属于 如果a是集合A的元素，就说a属
于集合A a A a属于集合A
不属
于 如果a不是集合A中的元素，就说
a不属于集合A a A a不属于集合
A
　　提醒：符号“∈”“ ”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合
之间的从属关系.
∈　
　
2. 常见的数集及符号表示
数集 非负整数集 （自然数集） 正整数集 整数集 有理
数集 实数
集
符号 N N*或N＋ Z Q R
【例3】 （1）（链接教材P5练习2题）下列关系表示正确的是（　C　）
A. R B. 0∈N*
C. ∈Q D. ∈Z
解析： 是实数，故A错误；由N*是正整数集，可知0 N*，故B错误；
是有理数，故C正确； 是无理数，Z是整数集，故D错误.
C
解析：集合A中含有三个元素2，4，6，当a＝2∈A时，6－a＝4∈A，满
足条件；当a＝4∈A时，6－a＝2∈A，满足条件；当a＝6∈A时，6－a
＝0 A. 综上所述，a的值为2或4.
（2）已知集合A中含有三个元素2，4，6，且当a∈A时，6－a∈A，则a
的值为（　D　）
A. 2 B. 4
C. 6 D. 2或4
D
【规律方法】
判断元素与集合关系的两种方法
（1）直接法：首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元素在已
知集合中是否出现即可；
（2）推理法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素
是否满足集合中元素所具有的特征即可.
训练2　（1）给出下列关系式： ∈R；0.3∈Q； ∈N；－5∈Z. 其中
正确的个数是（　C　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：由各个数集的含义可知， ∈R，0.3∈Q，－5∈Z正确，故有3个
关系式正确.故选C.
C
（2）设集合D由所有满足方程y＝x2的有序数对（x，y）构成，则－1
D，（－1，1） D（填“∈”或“ ”）.
解析：因为集合D中的元素是所有满足方程y＝x2的有序数对（x，y），
所以－1 D，（－1，1）∈D.

∈
04
PART
提能点
集合中元素特征的应用
【例4】 已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值
为 .
解析：若1∈A，则a＝1或a2＝1，①当a＝1时，a2＝1，集合A有重复元
素，不符合元素的互异性，∴a≠1；②当a2＝1时，即a＝±1，由①知
a≠1，∴a＝－1，即集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异
性.∴a＝－1.
－1
变式1　本例若将条件“1∈A”改为“2∈A”，其他条件不变，求实数a
的值.
解：因为2∈A，所以a＝2或a2＝2，即a＝2或a＝ 或a＝－ .经检验
符合元素的互异性.
变式2　若去掉本例中的条件“1∈A”，则实数a的取值范围是什么？
解：因为集合A中含有两个元素a和a2，所以a≠a2，即a≠0且a≠1.
【规律方法】
根据集合中元素的特征求参数值的三个步骤
1. 下列表述正确的是（　　）
A. 0∈N B. ∈N
C. －3 Z D. π∈Q
解析：　对于A，0是自然数，即有0∈N，故A正确；对于B， 是不可约
分数，即有 N，故B错误；对于C，－3是负整数，即有－3∈Z，故C错
误；对于D，π是无理数，即有π Q，故D错误.
√
2. 若集合M中的元素a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC一定不是
（　　）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
解析：　由题可知，集合M中的元素是△ABC的三边长，则a≠b≠c，
所以△ABC一定不是等腰三角形.
√
3. 〔多选〕下列各项中，可以组成集合的是（　　）
A. 所有的正数 B. 等于2的数
C. 接近于0的数 D. 不等于0的偶数
解析：集合中的元素满足三个特征：确定性、互异性、无序性.“接近于0的数”标准不明确，故接近于0的数不能组成集合，故选A、B、D.
√
√
√
4. 集合A中有两个元素：x＋2，x2.若1∈A，求实数x的值.
解：因为1∈A，所以x＋2＝1或x2＝1.
①当x＋2＝1时，x＝－1，此时x2＝1，不满足集合中元素的互异性，
故舍去；
②当x2＝1时，x＝±1，由①知x≠－1，所以x＝1，此时x＋2＝3，满足
集合中元素的互异性.
综上可知，x＝1.
课堂小结
1.理清单
（1）元素与集合的概念；
（2）集合中元素的特征；
（3）元素与集合的关系；
（4）常用数集的记法.
2.应体会
（1）判断元素与集合的关系的方法：定义法、推理法；
（2）求集合中的参数时常用到分类讨论思想.
3.避易错
（1）自然数集中容易遗忘0这个元素；
（2）集合中易忽略元素的互异性.
课时作业
05
PART
1. 由大于3且小于11的偶数所组成的集合中元素的个数是（　　）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
解析：大于3且小于11的偶数为4，6，8，10，共4个.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
2. 设不等式3－2x＜0的解集为M，下列判断正确的是（　　）
A. 0∈M，2∈M B. 0 M，2∈M
C. 0∈M，2 M D. 0 M，2 M
解析：　当x＝0时，3－2x＝3＞0，0 M；当x＝2时，3－2x＝－1＜
0，2∈M. 故选B.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 方程x2＋2x－8＝0和方程x2＋x－12＝0的所有实数解组成的集合为
M，则M中的元素个数为（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：　这两个方程的实数解分别是2，－4和－4，3，根据集合中元素
的互异性，可知这两个方程的所有实数解组成的集合中含有3个元素.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 下列各组中，集合P与Q表示同一个集合的是（　　）
A. P是由元素1， ，π构成的集合，Q是由元素π，1，｜－ ｜构成的
集合
B. P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合
C. P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对（2，3）构成的集合
D. P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解构
成的集合
解析：由于A中P，Q的元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B、C、D中P，Q的元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合.故选A.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. 设A是由满足不等式x＜6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，则
a的值为（　　）
A. 0 B. 1
C. 0或1 D. 1或2
解析：∵a∈A且3a∈A，∴ 解得a＜2，又a∈N，∴a＝0或1.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. 〔多选〕（2025·天津南开区月考）下列给出的对象能构成集合的有
（　　）
A. 某校2025年入学的全体高一年级新生
B. 的所有近似值
C. 某个班级中学习成绩较好的所有学生
D. 不等式3x－10＜0的所有正整数解
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：某校2025年入学的全体高一年级新生确定，元素确定，能构成集合，A正确；精确度不一样得到的近似值不一样，元素不确定，不能构成集合，B错误；学习成绩较好是相对的，故这些学生不确定，不能构成集合，C错误；不等式3x－10＜0的所有正整数解为1，2，3，元素确定，能构成集合，D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 〔多选〕下列说法正确的是（　　）
A. N*中最小的数是1
B. 若－a N*，则a∈N*
C. 若a∈N*，b∈N*，则a＋b最小值是2
D. x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有2个元素
解析：因为N*表示正整数集，容易判断A、C正确；对B，若a＝ ，则满足－a N*，但a N*，B错误；对D，x2＋4＝4x的实数解为x＝2，所组成的集合中只含有1个元素，D错误.
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. 设集合M中的元素为平行四边形，p表示某个矩形，q表示某个梯形，
则p M，q M. （用“∈”或“ ”填空）
解析：矩形是平行四边形，梯形不是平行四边形，故p∈M，q M.
∈

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. 已知集合A中的元素x满足x＝3k－1，k∈Z，则－1 A，－34
A. （填“∈”或“ ”）
解析：当k＝0时，x＝－1，所以－1∈A；令－34＝3k－1，得k＝－11，
所以－34∈A.
∈
∈
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 设A是方程x2－ax－10＝0的解组成的集合.
（1）0是否是集合A中的元素？
解：将x＝0代入方程，得02－a×0－10＝－10≠0，所以0不是集合
A中的元素.
（2）若－5∈A，求实数a的值.
解：若－5∈A，则有（－5）2－（－5）a－10＝0，解得a＝－3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. 集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素（x，y）满足y＝x2＋1
（A，B中x∈R，y∈R）.则下列选项中元素与集合的关系都正确的是
（　　）
A. 2∈A，且2∈B
B. （1，2）∈A，且（1，2）∈B
C. 2∈A，且（3，10）∈B
D. （3，10）∈A，且2∈B
解析：集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点（x，y），且满足y＝x2＋1，经验证，（3，10）∈B，故选C.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. 〔多选〕已知x，y为非零实数，代数式 ＋ 的值所组成的
集合为M，则下列判断正确的是（　　）
A. 0 M B. 1∈M
C. －2∈M D. 2∈M
解析：当x，y都大于零时， ＋ ＝1＋1＝2；当x，y中一个大于零，另一个小于零时， ＋ ＝0；当x，y都小于零时， ＋ ＝－1－1＝－2.根据元素与集合的关系，可知0∈M，1 M，－2∈M，2∈M. 故选C、D.
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. 若由a， ，1组成的集合A与由a2，a＋b，0组成的集合B相等，则
a2 025＋b2 025＝ .
解析：∵由已知a≠0，∴ ＝0，∴b＝0，则集合A中的三个元素为a，
0，1，集合B中的三个元素为a2，a，0，∴a2＝1，即a＝1或－1.当a＝1
时，不成立.当a＝－1时，满足条件，此时，b＝0.∴a2 025＋b2 025＝－1.
－1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 已知集合A中含有两个元素a－3和2a－1，a∈R.
（1）若－3∈A，求实数a的值；
解：因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1.此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合
题意.
综上所述，实数a的值为0或－1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）若a∈A，求实数a的值.
解：因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1.
当a＝a－3时，有0＝－3，不成立；
当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2，1，符合题意.
综上，实数a的值为1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 设A是实数集，满足若a∈A，则 ∈A，a≠1，且1 A.
（1）若2∈A，则集合A中至少还有几个元素，求出这几个元素；
解：因为2∈A，所以 ＝－1∈A， ＝ ∈A， ＝2∈A，
因此集合A中至少还有两个元素－1和 .
（2）集合A中能否只含有一个元素？请说明理由.
解：不能.如果集合A中只含有一个元素，则a＝ ，整理得a2－a＋1＝0，该方程无实数解，故在实数范围内，集合A中不可能只含有一个元素.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
THANKS
演示完毕 感谢观看