《创新课堂》1.3第二课时　全集、补集及综合应用 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共49张PPT)
第二课时　全集、补集及综合应用
1. 在具体情境中，了解全集的含义（数学抽象）.
2. 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集（逻辑推理、数学运算）.
3. 能使用Venn图表达集合全集、子集与它的补集的关系，体会图形对理解抽象概念的作用（直观想象）.
课标要求
某人请客，6位客人到了4位，主人焦急地说：“该来的不来.”顿时气走了2位，主人遗憾地叹息：“不该走的又走了.”又气走一位，主人更遗憾了，自言自语地说：“我又不是说他.”这么一来，剩下的这位脸皮再厚，也待不下去了.在这个故事中，客人们不自觉地使用了一个数学概念——补集.
情景导入
知识点一　全集与补集
01
知识点二　集合交、并、补的综合运算
02
提能点　利用集合间的关系求参数
03
目录
课时作业
04
知识点一
全集与补集
01
PART
问题　若U＝{高一（1）班的同学}，A＝{高一（1）班参加篮球队的同
学}，B＝{高一（1）班没有参加篮球队的同学}.
（1）集合U，A，B三者有何关系？
提示：A U，B U，且A∪B＝U.
（2）集合B中的元素与U和A有何关系？
提示：集合B中的所有元素属于U，但不属于A.
【知识梳理】
1. 全集
（1）定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的
，那么就称这个集合为全集；
（2）记法：全集通常记作U.
　　提醒：全集不是固定不变的，是相对于研究的问题而言的，如在整数
范围内研究问题，Z是全集；在具体题目中，全集一般是给定的.
所有元
素　
2. 补集
（1）补集的概念
　　提醒： UA包含三层含义：①A U；② UA是一个集合，且（ UA）
U；③ UA是U中所有不属于A的元素构成的集合.
（2）补集的运算性质
UU＝ ， U ＝U； U（ UA）＝A；
A∪（ UA）＝U；A∩（ UA）＝ .
【例1】　（1）（链接教材P13例5）设U＝{x｜x是小于7的自然数}，A
＝{2，3，4}，B＝{1，5，6}，则 UA＝ ， UB
＝ ；
解析：根据题意可知，U＝{0，1，2，3，4，5，6}，所以 UA＝{0，1，
5，6}， UB＝{0，2，3，4}.
{0，1，5，6}
{0，2，3，4}
（2）若集合A＝{x｜－1≤x＜1}，当U＝{x｜x≤2}时， UA＝
；当U＝{x｜－4≤x≤1}时， UA＝
.
解析：当U＝{x｜x≤2}时，把集合U和A表示在数轴
上，如图1所示.
由图1知 UA＝{x｜x＜－1或1≤x≤2}；
当U＝{x｜－4≤x≤1}时，把集合U和A表示在数轴上，
如图2所示.
由图2知 UA＝{x｜－4≤x＜－1或x＝1}.
{x｜
x＜－1或1≤x≤2}
{x｜－4≤x
＜－1或x＝1}
【规律方法】
求集合补集的2种方法
（1）当集合是用列举法表示时，直接用定义或借助Venn图求解；
（2）当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析
求解.
训练1　（1）设全集U＝{－1，0，1，2，3，4，5}，集合M满足 UM＝
{1，3}，则（　A　）
A. 2∈M B. 3∈M
C. 4 M D. 5 M
解析：依题意得M＝{－1，0，2，4，5}，故A正确，B、C、D错误.
A
解析：画出数轴如图，可知 UM＝{x｜－2≤x≤2}.
（2）设集合U＝R，M＝{x｜x＞2，或x＜－2}，则 UM＝（　A　）
A. {x｜－2≤x≤2}
B. {x｜－2＜x＜2}
C. {x｜x＜－2，或x＞2}
D. {x｜x≤－2，或x≥2}
A
知识点二
集合交、并、补的综合运算
02
PART
【例2】　已知全集U＝{x｜x≤4}，集合A＝{x｜－2＜x＜3}，B＝
{x｜－3≤x≤2}，求（ UA）∪B，A∩（ UB）， U（A∪B）.
解：如图所示.
因为A＝{x｜－2＜x＜3}，
B＝{x｜－3≤x≤2}，U＝{x｜x≤4}，
所以 UA＝{x｜x≤－2，或3≤x≤4}，
UB＝{x｜x＜－3，或2＜x≤4}，
A∪B＝{x｜－3≤x＜3}.
所以（ UA）∪B＝{x｜x≤2，或3≤x≤4}，
A∩（ UB）＝{x｜2＜x＜3}，
U（A∪B）＝{x｜x＜－3，或3≤x≤4}.
【规律方法】
集合混合运算的一般思路
（1）明确题中含有哪些运算，依据三种运算的定义列出算式；
（2）明确运算顺序，先算括号内的，再按照从左到右的顺序依次运算；
（3）注意对运算结果进行检验.
训练2　（1）（2024·全国甲卷理2题）已知集合A＝{1，2，3，4，5，
9}，B＝{x｜ ∈A}，则 A（A∩B）＝（　D　）
A. {1，4，9} B. {3，4，9}
C. {1，2，3} D. {2，3，5}
解析：B＝{1，4，9，16，25，81}，A∩B＝{1，4，9}，则 A
（A∩B）＝{2，3，5}.故选D.
D
（2）如图，设全集U＝R，M＝{x｜x＜－1}，N＝{x｜－3＜x＜0}，
则图中的阴影部分表示的集合 .
解析：图象表示的集合为（ UM）∩N＝{x｜x≥－1}∩{x｜－3＜x＜0}
＝{x｜－1≤x＜0}.
{x｜－1≤x＜0}
03
PART
提能点
利用集合间的关系求参数
【例3】　设集合A＝{x｜x＋m≥0}，B＝{x｜－2＜x＜4}，全集U＝
R，且（ UA）∩B＝ ，求实数m的取值范围.
解：由已知得A＝{x｜x≥－m}，
得 UA＝{x｜x＜－m}，
因为B＝{x｜－2＜x＜4}，（ UA）∩B＝ ，在数
轴上画出 UA与B，如图，
所以－m≤－2，即m≥2，
所以实数m的取值范围是{m｜m≥2}.
变式　本例将条件“（ UA）∩B＝ ”改为“（ UB）∪A＝R”，其他
条件不变，则m的取值范围又是什么？
解：由已知得A＝{x｜x≥－m}， UB＝{x｜x≤－2或x≥4}，
又（ UB）∪A＝R，
所以－m≤－2，解得m≥2.
故m的取值范围为{m｜m≥2}.
【规律方法】
由集合的补集求参数的方法
（1）如果所给集合是有限集，由补集求参数时，可利用补集定义求解；
（2）如果所给集合是无限集，求解与集合交、并、补运算有关的参数问
题时，一般利用数轴分析求解.
训练3　已知全集U＝{2，4，3－x2}，M＝{2，x2－x＋2}， UM＝{－
1}，则实数x的值为（　　）
A. 2 B. －2
C. 2或－2 D. －1
解析：由题意得－1∈U且4∈M，所以3－x2＝－1且x2－x＋2＝4，解
得x＝2.故选A.
√
1. 若全集U＝{x∈R｜－2≤x≤2}，A＝{x∈R｜－2≤x≤0}，则 UA＝
（　　）
A. {x｜0＜x＜2} B. {x｜0≤x＜2}
C. {x｜0＜x≤2} D. {x｜0≤x≤2}
√
解析：　如图，由图可得 UA＝{x｜0＜x≤2}.故选C.
2. 若全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{1，2}，N＝{2，3}，则 U
（M∪N）＝（　　）
A. {1，2，3} B. {2}
C. {1，3，4} D. {4}
解析：　∵全集U＝{1，2，3，4}，集合M＝{1，2}，N＝{2，3}，
∴M∪N＝{1，2，3}，∴ U（M∪N）＝{4}.故选D.
√
3. 已知集合A＝{x∈N｜0≤x≤5}， AB＝{1，3，5}，则集合B＝
（　　）
A. {2，4} B. {0，2，4}
C. {0，1，3} D. {2，3，4}
解析：　根据题意，集合A＝{x∈N｜0≤x≤5}＝{0，1，2，3，4，
5}，由 AB＝{1，3，5}，得B＝ A（ AB）＝{0，2，4}.故选B.
√
4. 设全集为R，A＝{x｜3≤x＜7}，B＝{x｜2＜x＜10}，求 RB， R
（A∪B）.
解：把集合A，B在数轴上表示，如图.
由图知 RB＝{x｜x≤2或x≥10}，
A∪B＝{x｜2＜x＜10}，
所以 R（A∪B）＝{x｜x≤2或x≥10}.
课堂小结
1.理清单
（1）全集、补集的概念及性质；
（2）交、并、补集的综合运算；
（3）利用集合间的关系求参数范围.
2.应体会
（1）补集运算常利用另一种数学思想（正难则反）；
（2）交、并、补集的综合运算仍利用Venn图及数轴.
3.避易错
（1）解决含参的集合运算时要注意空集；
（2）利用数轴解题时，要注意端点值的取舍.
课时作业
04
PART
1. 设U＝{x∈N｜1≤x≤6}，A＝{x｜（x－2）（x－3）＝0}，则 UA
＝（　　）
A. {4，5} B. {1，2，3，4}
C. {1，4，5，6} D. {1，6}
解析：　U＝{x∈N｜1≤x≤6}＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{x｜（x
－2）（x－3）＝0}＝{2，3}，所以 UA＝{1，4，5，6}.故选C.
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2. 设集合S＝{x｜x＞－2}，T＝{x｜－4≤x≤1}，则（ RS）∪T＝
（　　）
A. {x｜－2＜x≤1} B. {x｜x≤－4}
C. {x｜x≤1} D. {x｜x≥1}
解析：　因为S＝{x｜x＞－2}，所以 RS＝{x｜x≤－2}，又T＝{x｜
－4≤x≤1}，所以（ RS）∪T＝{x｜x≤－2}∪{x｜－4≤x≤1}＝{x｜
x≤1}.故选C.
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3. 设全集U＝{2，4，a2}，集合A＝{4，a＋3}， UA＝{1}，则a的取值
为（　　）
A. －3 B. 3
C. －1 D. 1
解析：∵A∪（ UA）＝U，∴a2＝1且a＋3＝2，∴a＝－1.故选C.
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4. 已知全集U＝R，集合A＝{x｜x≥3或x≤0}，B＝{x｜1＜x≤3}，则
如图所示的阴影部分表示的集合为（　　）
A. {x｜0≤x＜1} B. {x｜0＜x≤3}
C. {x｜0＜x≤1} D. {x｜1≤x≤3}
解析：　因为A＝{x｜x≥3或x≤0}，B＝{x｜1＜x≤3}，所以A∪B
＝{x｜x＞1或x≤0}，所以图中阴影部分表示的集合为 U（A∪B）＝
{x｜0＜x≤1}.故选C.
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5. 〔多选〕设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合M＝{0，1，4}，N＝{0，
1，3}，则（　　）
A. M∩N＝{0，1} B. UN＝{4}
C. M∪N＝{0，1，3，4} D. M∩（ UN）＝{4}
解析：因为U＝{0，1，2，3，4}，M＝{0，1，4}，N＝{0，1，3}，所以M∩N＝{0，1}，故A正确； UN＝{2，4}，故B不正确；M∪N＝{0，1，3，4}，故C正确；M∩ UN＝{0，1，4}∩{2，4}＝{4}，故D正确.
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6. 〔多选〕已知全集U，A，B是U的非空子集，且B （ UA），则必
有（　　）
A. A∩B＝ B. A （ UB）
C. A （ UB） D. A B
√
√
解析：　由题意作出Venn图，根据Venn图可得，A∩B＝ ，A正确，D
错误；A （ UB），B正确，C错误.故选A、B.
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7. 设全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x｜x2
－4x＋3＝0}，则 U（A∪B）＝ .
解析：由x2－4x＋3＝0，得x1＝1，x2＝3，所以集合B＝{1，3}，则
A∪B＝{－1，1，2，3}，又全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，所以 U
（A∪B）＝{－2，0}.
{－2，0}
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8. 设全集U＝{x｜x是三角形}，A＝{x｜x是锐角三角形}，B＝{x｜x
是钝角三角形}，则（ UA）∩（ UB）＝ .
解析：根据三角形的分类可知， UA＝{x｜x是直角三角形或钝角三角
形}， UB＝{x｜x是直角三角形或锐角三角形}，所以（ UA）∩
（ UB）＝{x｜x是直角三角形}.
{x｜x是直角三角形}
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9. 已知全集U＝{x｜1≤x≤5}，A＝{x｜1≤x＜a}，若 UA＝{x｜
2≤x≤5}，则a＝ .
解析：∵A＝{x｜1≤x＜a}， UA＝{x｜2≤x≤5}，∴A∪（ UA）＝
U＝{x｜1≤x≤5}，且A∩（ UA）＝ ，∴a＝2.
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10. 设全集U＝{x｜x≥－2}，A＝{x｜2＜x＜10}，B＝{x｜2≤x≤8}.
求 UA，（ UA）∩B，A∩B， U（A∩B）.
解：因为U＝{x｜x≥－2}，A＝{x｜2＜x＜10}，B＝{x｜2≤x≤8}，
所以 UA＝{x｜－2≤x≤2，或x≥10}，
（ UA）∩B＝{2}，A∩B＝{x｜2＜x≤8}，
U（A∩B）＝{x｜－2≤x≤2，或x＞8}.
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11. 已知全集U＝{x∈N*｜x＜9}，（ UA）∩B＝{1，6}，A∩（ UB）
＝{2，3}， U（A∪B）＝{5，7，8}，则B＝（　　）
A. {2，3，4} B. {1，4，6}
C. {4，5，7，8} D. {1，2，3，6}
√
解析：　易知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，根据题
意作出Venn图，如图，可知B＝{1，4，6}.
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12. 〔多选〕已知集合A＝{x｜－1＜x≤3}，集合B＝{x｜－2≤x≤2}，
则下列关系式正确的是（　　）
A. A∩B＝
B. A∪B＝{x｜－2≤x≤3}
C. A∪（ RB）＝{x｜x≤－1或x＞2}
D. A∩（ RB）＝{x｜2＜x≤3}
√
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解析：集合A＝{x｜－1＜x≤3}，集合B＝{x｜－2≤x≤2}.对于选项A，A∩B＝{x｜－1＜x≤2}，A错误；对于选项B，A∪B＝{x｜－≤x≤3}，B正确；对于选项C， RB＝{x｜x＜－2或x＞2}，则A∪（ RB）＝{x｜x＜－2或x＞－1}，C错误；对于选项D，由选项C知，A∩（ RB）＝{x｜2＜x≤3}，D正确.
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13. 已知全集为R，集合A＝{x｜2＜x＜6}，B＝{x｜a－4≤x≤a＋
4}，且A （ RB），则实数a的取值范围是 .
解析：由题意可知 RB＝{x｜x＜a－4或x＞a＋4}.因为A （ RB），
所以6≤a－4或2≥a＋4，即a≥10或a≤－2.
{a｜a≤－2或a≥10}
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14. 设全集U＝R，集合A＝{x｜－3≤x≤5}，B＝{x｜x≤－5或x≥3}.
（1）求图中阴影部分表示的集合；
解：Venn图中的阴影部分表示的集合为 UB＝{x｜－5＜x＜3}.
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（2）已知集合C＝{x｜10－a＜x＜2a＋1}，若（ UB）∩C＝ ，求a
的取值范围.
解：当C＝ 时，10－a≥2a＋1，解得a≤3，符合题意；
当C≠ 时，可得
或
解得3＜a≤7.
综上，a的取值范围是{a｜a≤7}.
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15. 已知非空集合M，若a∈M，且－a∈M，则称集合M是一个“偶集
合”.已知集合A＝{x｜x＜－1}，B＝{x｜x≤1}，那么下列集合中为
“偶集合”的是（　　）
A. A∩B B. A∪B
C. A∩（ RB） D. （ RA）∩B
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解析：由题可得A∩B＝{x｜x＜－1}，则－2∈A∩B，但2 A∩B，故A∩B不是“偶集合”；A∪B＝{x｜x≤1}，则－3∈A∪B，但3 A∪B，故A∪B不是“偶集合”； RB＝{x｜x＞1}，则A∩（ RB）＝ ，不符合题意，故A∩（ RB）不是“偶集合”； RA＝{x｜x≥－1}，则（ RA）∩B＝{x｜－1≤x≤1}，对任意a∈（ RA）∩B，都有－a∈（ RA）∩B，故（ RA）∩B是“偶集合”.
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