《创新课堂》1.4.1　充分条件与必要条件 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共49张PPT)
1.4　充分条件与必要条件
1. 通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系（数学抽象、逻辑推理）.
2. 通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系（数学抽象、逻辑推理）.
3. 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系（数学抽象、逻辑推理）.
课标要求
我国战国时期所著《墨经》中有这样两句话：
（1）“有之则必然，无之则未必然”；
（2）“无之则必不然，有之则未必然”.
这两句话蕴含什么逻辑关系呢？这就是本节我们所要探讨的内容.
情景导入
1.4.1　充分条件与必要条件
知识点一　命题
01
知识点二　充分条件与必要条件
02
提能点　根据充分（必要）条件求参数
03
目录
课时作业
04
知识点一
命题
01
PART
问题1　阅读下列语句：
①若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；
②个位数是5的自然数能被5整除；
③直角三角形都相似；
④同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行.
（1）上述语句的表述形式有什么特点？
提示：两个特点：①均是陈述句，②都能够判断真假.
（2）判断这些语句的真假.
提示：①②④为真，③为假.
【知识梳理】
1. 定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断 的 叫
做命题.
2. 分类：判断为 的语句是真命题，判断为 的语句是假命题.
3. 结构形式：“若p，则q”形式的命题中， 称为命题的条
件， 称为命题的结论.
真假　
陈述句　
真　
假　
p　
q　
【例1】　判断下列命题的真假：
（1）已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；
解：假命题.反例：1≠4，5≠2，而1＋5＝4＋2.
（2）若x∈N，则x3＞x2成立；
解：假命题.反例：当x＝0时，x3＞x2不成立.
（3）若m＞1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；
解：真命题.因为m＞1 Δ＝4－4m＜0，
所以方程x2－2x＋m＝0无实数根.
（4）存在一个三角形没有外接圆.
解：假命题.因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆.
【规律方法】
判断命题真假的方法
　　要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时
要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是假
命题，只需举出一个反例即可.
训练1　〔多选〕下列命题是真命题的是（　　）
A. 0∈N*
B. 若a，b都是无理数，则a＋b是无理数
C. 若集合A B，则A∩B＝A
D. 1＋2＝3
解析：对于选项A，0 N*，故A不符合题意；对于选项B，设a＝ ，b＝－ ，则a，b都为无理数，而a＋b＝0不是无理数，故B不符合题意；对于选项C，若A B，即A是B的子集，故A∩B＝A，故C符合题意；选项D符合题意.
√
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知识点二
充分条件与必要条件
02
PART
问题2　电路图如图所示（图1、图2）.
（1）哪一个电路图可以说明，当p开关闭合，q灯一定亮呢？
提示：图1.
（2）对于电路图1，当q灯亮，p开关一定闭合吗？
提示：不一定，也可能是r开关闭合.
【知识梳理】
命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题
推出关系 p q p q
条件关系 p是q的 条件； q是p的 条件 p不是q的 条件；
q不是p的 条件
　
充分　
必要　
充分　
必要　
角度1　充分条件的判断
【例2】　（链接教材P18例1）下列所给的各组p，q中，p是否是q的充
分条件？
（1）已知x∈R，p：x＝1，q：（x－1）（x－2）＝0；
解：由于x＝1 （x－1）（x－2）＝0，∴p是q的充分条件.
（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
解：这是一条相似三角形的判定定理，p q，
∴p是q的充分条件.
（3）p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形；
解：∵等腰梯形的对角线相等，
∴四边形的对角线相等 / 四边形是矩形.
∴p不是q的充分条件.
（4）p：m＜－1，q：x2－x－m＝0无实根.
解：由方程x2－x－m＝0无实根，
得Δ＝1＋4m＜0.即m＜－ .
∵m＜－1 m＜－ ，即p q.
∴p是q的充分条件.
【规律方法】
充分条件的两种判断方法
（1）定义法：
（2）命题判断法：
如果命题“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件；如果命题“若p，
则q”是假命题，则p不是q的充分条件.
角度2　必要条件的判断
【例3】　（链接教材P19例2）指出下列哪些命题中q是p的必要条件？
（1）p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
解：因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件.
（2）p：A B，q：A∩B＝A；
解：因为p q，所以q是p的必要条件.
（3）p：2a＞1，q：a＞1.
解：因为2a＞1，即a＞ ，p / q，所以q不是p的必要条件.
【规律方法】
必要条件的两种判断方法
（1）定义法：
（2）命题判断法：
如果命题“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件；如果命题
“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件.
训练2　（1）若a，b∈R，则“a＝b”是“a2＝b2”的
条件；（用“充分不必要”“必要不充分”填空）
解析：由a2＝b2可得a＝b或a＝－b，所以“a＝b”是“a2＝b2”的充
分不必要条件.
（2）“－3＜x＜4”是“－2＜x≤3”的 条件.（用“充分
不必要”“必要不充分”填空）
充分不必要
解析：设集合A＝{x｜－3＜x＜4}，集合B＝{x｜－2＜x≤3}，可知
B A，所以A是B成立的必要不充分条件，即“－3＜x＜4”是“－2＜
x≤3”的必要不充分条件.
必要不充分
03
PART
提能点
根据充分（必要）条件求参数
【例4】　已知p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0；q：实数x满足－
2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围.
解：p：3a＜x＜a，即集合A＝{x｜3a＜x＜a}，
q：－2≤x≤3，即集合B＝{x｜－2≤x≤3}.
因为p q，所以A B，
所以 解得－ ≤a＜0，
所以实数a的取值范围是{a｜－ ≤a＜0}.
变式　将本例中条件p改为“实数x满足－a＜x＜3a，其中a＞0”，若p
是q的必要条件，求实数a的取值范围.
解：p：－a＜x＜3a，即集合A＝{x｜－a＜x＜3a}.
q：－2≤x≤3，即集合B＝{x｜－2≤x≤3}.
因为q p，所以B A，
所以 解得a＞2.
所以实数a的取值范围是{a｜a＞2}.
【规律方法】
利用充分（必要）条件确定参数的值（范围）的步骤
（1）记集合M＝{x｜p（x）}，N＝{x｜q（x）}；
（2）若p是q的充分不必要条件，则M N；若p是q的必要不充分条件，
则N M；
（3）根据集合的关系列不等式（组）；
（4）解不等式（组）得结果.
训练3　若x＞2m－3是－1＜x＜4的必要不充分条件，则实数m的取值范
围是 .
解析：因为x＞2m－3是－1＜x＜4的必要不充分条件，所以2m－3≤－
1，解得m≤1.
{m｜m≤1}
1. 下列语句不是命题的是（　　）
A. 5＞2
B. 3＞4
C. x－2＝0
D. 方程x2－3x＋4＝0有实根
解析：对于A，5＞2为命题且为真命题；对于B，3＞4为命题且为假命题；对于C，x－2＝0，无法判断真假，不是命题；对于D，Δ＝9－4×4＜0，故方程x2－3x＋4＝0没有实数根，故D为假命题.故选C.
√
2. 若p：a∈（M∪N），q：a∈M，则p是q的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件
D. 既是充分条件又是必要条件
解析：　由a∈（M∪N） / a∈M，但a∈M a∈（M∪N），故p
是q的必要不充分条件.
√
3. 已知p：三角形是等腰直角三角形，q：三角形是直角三角形，则p是q
的 条件.（用“充分”或“必要”填空）
解析：由图可知，p是q的充分条件.
充分
4. 若“x≥2”的必要条件是“x＞a”，则a的取值范围是 .
解析：设A＝{x｜x≥2}，B＝{x｜x＞a}，因为“x≥2”的必要条件是
“x＞a”，所以A B，所以a＜2，所以a的取值范围是{a｜a＜2}.
{a｜a＜2}
课堂小结
1.理清单
（1）充分条件、必要条件的概念及判断；
（2）根据充分（必要）条件求参数.
2.应体会
充分、必要条件的判断方法有定义法、集合法、等价转化法等，等价转
化法体现了转化化归思想.
3.避易错
（1）充分条件、必要条件不唯一；
（2）求参数范围易忽视端点值的取舍.
课时作业
04
PART
1. 已知集合A＝{3，m}，B＝{1，3，5}，则m＝1是A B的（　　）
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 既不充分也不必要条件
D. 既是充分条件又是必要条件
解析：若A B，则有m∈B且m≠3，所以m＝1或m＝5，故当m＝1时，有A B，而A B时，m不一定是1，故m＝1是A B的充分条件，不是必要条件.
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2. 下列说法正确的是（　　）
A. 命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”
B. 语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”不是命题
C. 命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题
D. “x＝2时，x2－3x＋2＝0”是真命题
解析：命题“直角相等”写成“若p，则q”的形式为：若两个角都是直角，则这两个角相等，所以选项A错误；语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是陈述句，而且可以判断真假，故该语句是命题，所以选项B错误；选项C错误，应为“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”；选项D正确.
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3. 俗语云：“好人有好报.”这句话的意思中，“好人”是“有好报”的
（　　）
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 既不充分也不必要条件 D. 既充分又必要条件
解析：　这句话的意思中，“好人” “有好报”，所以“好人”是
“有好报”的充分条件.故选A.
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4. 若“x＞5”是“x＞a”的必要不充分条件，则a的取值范围是（　　）
A. {a｜a＜5} B. {a｜a≤5}
C. {a｜a＞5} D. {a｜a≥5}
解析：由“x＞5”是“x＞a”的必要不充分条件知：x＞a x＞5且x＞5 / x＞a，即{x｜x＞a}是{x｜x＞5}的真子集，可得知a＞5.故选C.
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5. 〔多选〕使ab＞0成立的充分条件是（　　）
A. a＞0，b＞0 B. a＋b＞0
C. a＜0，b＜0 D. a＞1，b＞1
解析：因为a＞0，b＞0 ab＞0；a＜0，b＜0 ab＞0；a＞1，b＞1 ab＞0，所以选项A，C，D都是使ab＞0成立的充分条件，当a＝2，b＝－1时，a＋b＞0，ab＜0，故a＋b＞0不是ab＞0成立的充分条件.
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6. 〔多选〕下列说法中正确的是（　　）
A. “A∩B＝B”是“B＝ ”的必要不充分条件
B. “x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0”
C. “m是实数”的充分不必要条件是“m是有理数”
D. “｜x｜＝1”是“x＝1”的充分条件
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解析：由A∩B＝B，得B A，所以“B＝ ”可推出“A∩B＝B”，反之不成立，A正确；解方程x2－2x－3＝0，得x＝－1或x＝3，所以“x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0”，B正确；“m是有理数”可以推出“m是实数”，反之不一定成立，C正确；解方程｜x｜＝1，得x＝±1，则“｜x｜＝1”是“x＝1”的必要条件，D错误.故选A、B、C.
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7. “x2＝2x”是“x＝0”的 条件，“x＝0”是“x2＝2x”
的 条件（用“充分”“必要”填空）.
解析：由于x＝0 x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x
＝0”是“x2＝2x”的充分条件.
必要
充分
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8. 写出x＝－y的一个必要条件但又不是充分条件的式子
.
解析：因为x＝－y x2＝y2，所以x2＝y2是x＝－y的必要条件，但x2＝
y2 / x＝－y，所以x2＝y2不是x＝－y的充分条件，所以x＝－y的一个必
要条件但又不是充分条件的式子是x2＝y2.
x2＝y2（答案
不唯一）
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9. 若“x＝2”是“m2x2－（m＋3）x＋4＝0”的充分条件，则实数m的
值为 .
解析：由“x＝2”是“m2x2－（m＋3）x＋4＝0”的充分条件，所以
m2×22－（m＋3）×2＋4＝4m2－2m－2＝0，所以2m2－m－1＝（m－
1）（2m＋1）＝0，解得m＝1或m＝－ .
1或－
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10. 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？哪
些命题中p是q的必要条件？
（1）若x＞2，则x＞1；
解：若x＞2，则x＞1成立，反之不成立，即p是q的充分条件.
（2）若x－1＝ ，则x＝1；
解：由x－1＝ 得x＝1或x＝2，故p是q的必要条件.
（3）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等.
解：若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等不成立，反之也不成立，即p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.
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11. 设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条
件，但不是乙的必要条件，那么（　　）
A. 丙是甲的充分不必要条件
B. 丙是甲的必要不充分条件
C. 丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件
D. 丙是甲的既不充分也不必要条件
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解析：　因为甲是乙的必要条件，所以乙 甲.又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙 乙，但乙 /丙，如图.综上，有丙 甲，但甲 /丙，即丙是甲的充分不必要条件.
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12. 〔多选〕已知实数集R，集合A＝{x｜1＜x＜2}，B＝{x｜x≤2}，
则下列说法正确的是（　　）
A. “x∈A”是“x∈B”的充分条件
B. “x∈A”是“x∈B”的必要条件
C. “x∈ RA”是“x∈ RB”的充分条件
D. “x∈ RA”是“x∈ RB”的必要条件
解析：由题意得，A B，且 RB RA，所以“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但不是必要条件，且“x∈ RA”是“x∈ RB”的必要条件，但不是充分条件.故选A、D.
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13. 已知集合A＝{x｜x＜－1或x＞2}，B＝{x｜2a≤x≤a＋3}，且
B≠ .若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则实数a的取值范围
是 .
解析：因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以B A，因为B≠ ，
所以 或 解得a＜－4或1＜a≤3.综上可得，
实数a的取值范围是{a｜a＜－4或1＜a≤3}.
{a｜a＜－4或1＜a≤3}
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14. 设集合A＝{x｜x2＋3x＋2＝0}，B＝{x｜x2＋（m＋1）x＋m＝0}.
（1）用列举法表示集合A；
解：x2＋3x＋2＝0 （x＋1）（x＋2）＝0，
即x＝－1或x＝－2，A＝{－1，－2}.
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（2）若x∈B是x∈A的充分条件，求实数m的值.
解：若x∈B是x∈A的充分条件，则B A，
x2＋（m＋1）x＋m＝0 （x＋1）（x＋m）＝0，
解得x＝－1或x＝－m，
当m＝1时，B＝{－1}，满足B A，
当m＝2时，B＝{－1，－2}，同样满足B A，
所以m＝1或m＝2.
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15. （1）是否存在实数m，使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的充分条件？
解：欲使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的充分条件，
则只要{x｜x＜－ } {x｜x＜－1或x＞3}，
即只需－ ≤－1，所以m≥2.
故存在实数m≥2，使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的充分条件.
（2）是否存在实数m，使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的必要条件？
解：欲使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的必要条件，则只要{x｜x＜
－1或x＞3} {x｜x＜－ }，这是不可能的.
故不存在实数m，使2x＋m＜0是x＜－1或x＞3的必要条件.
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