《创新课堂》1.5.1　全称量词与存在量词 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共51张PPT)
1.5　全称量词与存在量词
1. 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义（数学抽象、逻辑推理）.
2. 能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定（数学抽象）.
3. 能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定（数学抽象）.
课标要求
　　某位理发师的广告词是这样写的：“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸！”你们说他能不能给他自己刮脸呢？这就是著名的“罗素理发师悖论”问题！
情景导入
1.5.1　全称量词与存在量词
知识点一　全称量词与全称量词命题
01
知识点二　存在量词与存在量词命题
02
提能点　由含量词命题的真假求参数范围
03
目录
课时作业
04
知识点一
全称量词与全称量词命题
01
PART
问题1　阅读下面的例子，并回答提出的问题：
①a＋b＝3；
②任意给定实数x，x2≥0；
③2x＋1是整数；
④每一个直角三角形的三条边长都满足勾股定理.
（1）示例中的语句是命题吗？
提示：语句①③不是命题，语句②④是命题.
（2）语句②④中“任意”“每一个”的含义相同吗？
提示：相同.
【知识梳理】
全称量词 “所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等
符号
全称量词
命题 含有 的命题
形式 “对M中任意一个x，p（x）成立”，可用符号简记为
“ ”
　　提醒：有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充
出来.
全称量词　
x∈M，p（x）　
【例1】　（链接教材P27例1）判断下列命题是否为全称量词命题，并判
断真假.
（1）在平面直角坐标系中，任意有序实数对（x，y）都对应一点；
解：含有全称量词“任意”，故是全称量词命题.因为在平面直角坐标系
中，任意有序实数对（x，y）与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所
以该命题是真命题.
（3） x∈R，有｜x＋1｜＞1.
（2）自然数的平方大于或等于零；
解：省略了全称量词，可以表示为 n∈N，n2≥0.故是全称量词命题，真
命题.
解：是全称量词命题，当x＝0时，不满足｜x＋1｜＞1，所以“ x∈R，
有｜x＋1｜＞1”为假命题.
【规律方法】
判断一个语句是全称量词命题及其真假的思路
（1）判断一个命题是否为全称量词命题，主要看命题中是否有“所有
的”“任意一个”“一切”等表示全体的量词，有些命题的全称量词是隐
藏的，要仔细辨别；
（2）判断真假时用直接法或间接法，直接法就是对陈述的集合中每一个
元素都要使结论成立，间接法就是找到一个元素使结论不成立.
训练1　（1）〔多选〕下列全称量词命题中真命题有（　BC　）
A. 负数不能开根号
B. 对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab
C. 二次函数y＝x2－ax－1的图象与x轴恒有交点
D. x∈R，y∈R，都有x2＋｜y｜＞0
BC
解析：对于A：在实数范围内，负数只是不能开偶次方根，可以开奇次方
根，故A为假命题；对于B：对任意的实数a，b，a2＋b2－2ab＝（a－
b）2≥0，即a2＋b2≥2ab，故B为真命题；对于C：因为Δ＝（－a）2－
4×（－1）＝a2＋4＞0，所以二次函数y＝x2－ax－1的图象与x轴恒有交
点，故C为真命题；对于D：当x＝y＝0时，x2＋｜y｜＝0，故D为假命
题.故选B、C.
（2）命题“对任意一个实数x，x2＋2x＋1都不小于零”，用数学符号表
示为 .
解析：含有全称量词“任意一个”，用符号“ ”表示，“不小于零”就
是“≥0”，因此该命题用数学符号表示为“ x∈R，x2＋2x＋1≥0”.
x∈R，x2＋2x＋1≥0
知识点二
存在量词与存在量词命题
02
PART
问题2　阅读下面的例子，并回答提出的问题：
①x2＋2x＋5＝0；
②存在有理数x，使得3x－2＝0；
③x能被2和3整除；
④实数范围内，至少有一个x使得 有意义.
（1）示例中的语句是命题吗？
提示：语句①③不是命题，语句②④是命题.
（2）语句③④中“存在”“至少有一个”的含义相同吗？
提示：相同.
【知识梳理】
存在量词 “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某
些”“有的”等
符号
存在量词
命题 含有 的命题
形式 “存在M中的元素x，p（x）成立”，可用符号简记为
“ ”
存在量词　
x∈M，p（x）　
　　提醒：（1）从集合的角度看，存在量词命题是陈述某集合中有或存
在一些或至少一个元素具有某种性质的命题；（2）有些命题可能没有写
出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量
词命题.
【例2】　（链接教材P28例2）下列命题是否为存在量词命题？若是，请
指出存在量词，并判断其真假.
（1）存在一个实数对（x，y），使2x＋3y＋3＜0；
解：是，存在量词是“存在一个”；
因为存在一个实数对（－1，－2），使得2×（－1）＋3×（－2）＋3＜
0，所以存在量词命题“存在一个实数对（x，y），使2x＋3y＋3＜0”是
真命题.
（2） x∈R，（2x－3）2≥0；
解：是，存在量词是“ ”；
因为 x∈R，（2x－3）2≥0，所以存在量词命题“ x∈R，（2x－3）
2≥0”是真命题.
（3）有些整数既能被2整除，又能被3整除.
解：是，存在量词是“有些”；
因为存在整数6，既能被2整除，又能被3整除，所以存在量词命题“有些
整数既能被2整除，又能被3整除”是真命题.
【规律方法】
　　　判断一个语句是存在量词命题及其真假的思路
（1）判断一个命题是否为存在量词命题，主要看命题中是否有表示部分
的量词，有些命题的存在量词是隐藏的，要仔细辨别；
（2）要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到
一个x使p（x）成立即可；否则，这个存在量词命题就是假命题.
训练2　（1）〔多选〕下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是
（　ACD　）
A. 有些菱形是正方形
B. 若x＞2，则2x＋1＞5
C. x∈R，x2－2x＋1≤0
D. x∈R，x2－2x＋1＞0
解析：对于A，命题等价于存在一个菱形是正方形，显然正方形都满足该
条件，故A正确；对于B，等价于 x＞2，则2x＋1＞5，这不是存在量词命
题，故B错误；对于C，当x＝1时x2－2x＋1＝1－2＋1＝0≤0，故C正确；
对于D，当x＝0时x2－2x＋1＝1＞0，故D正确.故选A、C、D.
ACD
（2）用量词符号“ ”“ ”表示下列命题.
①有的实数不能写成小数形式： ；
②凸n边形的外角和都等于360°：
.
解析：① x∈R，x不能写成小数形式；② x∈{x｜x是凸n边形}，x的
外角和等于360°.
x∈R，x不能写成小数形式
x∈{x｜x是凸n边形}，x的外角
和等于360°
03
PART
提能点
由含量词命题的真假求参数范围
【例3】　已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，且B≠ ，若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围.
解：由于命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，
所以B A，因为B≠ ，
所以 解得2≤m≤3.
即m的取值范围为{m｜2≤m≤3}.
变式　把本例中命题p改为“ x∈A，x∈B”，求m的取值范围.
解：p为真，则A∩B≠ ，因为B≠ ，所以m≥2.
所以 或
解得2≤m≤4.
即m的取值范围为{m｜2≤m≤4}.
【规律方法】
依据含量词命题的真假求参数范围的方法
（1）首先根据全称量词和存在量词的含义透彻理解题意；
（2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关
系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取
值范围.
训练3　若命题“ x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，求实数a的取值范
围.
解：∵命题“ x∈R，x2－4x＋a＝0”为真命题，
∴方程x2－4x＋a＝0存在实数根，
则Δ＝（－4）2－4a≥0，解得 a≤4.
即实数a的取值范围为{a｜a≤4}.
1. 下列命题是“ x∈R，x2＞3”的另一种表述方法的是（　　）
A. 存在一个实数x，使得x2＞3成立
B. 有些实数x，使得x2＞3成立
C. 对于任意实数x，都有x2＞3成立
D. 至少存在一个实数x，使得x2＞3成立
解析：“ x∈R，x2＞3”是全称量词命题，改写时应使用全称量词.
√
2. 〔多选〕下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（　　）
A. 所有的正方形都是矩形
B. 有些梯形是平行四边形
C. x∈R，3x＋2＞0
D. 至少有一个整数m，使得m2＜1
解析：A是全称量词命题，B、C、D为存在量词命题，显然B为假命题；C选项，取x＝0，则3×0＋2＞0，为真命题；D选项，取m＝0，则02＜1，为真命题.
√
√
3. 已知命题p：“ x∈R，mx2≥0”是真命题，则实数m的取值范围
是 .
解析：当x∈R时，x2≥0，若“ x∈R，mx2≥0”是真命题，则有m≥0.
{m｜m≥0}
4. 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断
真假：
（1）存在一个实数x，使等式x2＋2x－3＝0成立；
解：存在量词命题.因为x2＋2x－3＝0，所以x1＝－3，x2＝1，即存在－3或1，使等式x2＋2x－3＝0成立.所以该命题为真命题.
（2）每个二次函数的图象都与x轴相交.
解：全称量词命题.如函数y＝x2＋1的图象与x轴不相交，所以该命题为假命题.
课堂小结
1.理清单
（1）全称量词（命题）、存在量词（命题）的概念；
（2）含量词的命题的真假判断；
（3）依据含量词命题的真假求参数的取值范围.
2.应体会
含量词命题的真假问题往往转化为集合间的关系或函数的最值问题，体
现了转化思想.
3.避易错
有些命题量词可省略；全称量词命题强调“全部、任意性”；存在量词
命题强调“个别、存在性”.
课时作业
04
PART
1. 下列命题中是存在量词命题的是（　　）
A. x∈R，x2＞0
B. x∈R，x2≤0
C. 平行四边形的对边平行
D. 矩形的任一组对边相等
解析：A含有全称量词 ，为全称量词命题；B含有存在量词 ，为存在量词命题，满足条件；C省略了全称量词所有的，为全称量词命题；D省略了全称量词所有的，为全称量词命题，故选B.
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2. “关于x的不等式ax＋b＞0有解”等价于（　　）
A. x∈R，使得ax＋b＞0成立
B. x∈R，使得ax＋b≤0成立
C. x∈R，ax＋b＞0成立
D. x∈R，ax＋b≤0成立
解析：“关于x的不等式ax＋b＞0有解”等价于“ x∈R，使得ax＋b＞0成立”.故选A.
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3. 下列四个命题中，是真命题的为（　　）
A. 任意x∈R，有x2＋3＜0
B. 任意x∈N，有x2＞1
C. 存在x∈Z，使x5＜1
D. 存在x∈Q，使x2＝3
解析：由于对任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋3≥3，故A为假命题；由于0∈N，当x＝0时，x2＞1不成立，故B为假命题；由于－1∈Z，当x＝－1时，x5＜1，故C为真命题；由于使x2＝3成立的数只有± ，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方等于3，故D是假命题.
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4. 已知命题p：存在实数2≤x≤4，使2x＋5－m＜0成立，若命题p为真
命题，则实数m的取值范围为（　　）
A. m＞9 B. m＞13
C. m＞10 D. m＜－12
解析：　满足题意时，应存在实数2≤x≤4，使m＞2x＋5，令y＝2x＋
5，则m＞ymin＝9，所以m＞9.故选A.
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5. 〔多选〕下列命题中是真命题的是（　　）
A. x∈R，｜x＋1｜＞0
B. x∈{1，－1，0}，2x＋3＞0
C. x∈N，使 ≤x
D. 不存在x∈N*，使x为29的约数
解析：　 x∈R，｜x＋1｜＞0，因为当x＝－1时，｜x＋1｜＝0，故
A错误； x∈{1，－1，0}，2x＋3＞0，即x＞－ ，故B正确； x∈N，
使 ≤x，取x＝4∈N，有 ≤4成立，故C正确；1，29都是29的约数，
故D错误.故选B、C.
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6. 〔多选〕下列命题是真命题的有（　　）
A. 所有平行四边形的对角线都互相平分
B. 若x，y是无理数，则xy一定是有理数
C. 若m＜1，则关于x的方程x2＋2x＋m＝0有两个负根
D. 两个相似三角形的周长之比等于它们的对应边之比
解析：　易知A是真命题；当x＝ ，y＝ 时，xy＝ ，是无理数，所以B是假命题；由关于x的方程x2＋2x＋m＝0有两个负根，得 解得0＜m＜1，所以C是假命题；两个相似三角形的周
长之比等于它们的对应边之比，所以D是真命题.故选A、D.
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7. 命题“有些负实数满足不等式（1＋x）（1－9x）＞0”用“ ”或
“ ”可表述为 .
解析：“有些”为存在量词，因此可用存在量词命题来表述.
x＜0，（1＋x）（1－9x）＞0
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8. 若对任意x＞3，x＞a恒成立，则a的取值范围是 .
解析：对于任意x＞3，x＞a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a≤3.
{a｜a≤3}
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9. 若命题“ x＞1，使ax－3＜0”是真命题，则实数a的取值范围
是 .
解析：当a≤0时，显然存在x＞1，使ax－3＜0；当a＞0时，结合一次函
数图象知，需满足x＝1时，ax－3＜0，得a＜3，故0＜a＜3.综上所述，
实数a的取值范围是{a｜a＜3}.
{a｜a＜3}
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10. 用符号“ ”与“ ”表示下列含有量词的命题，并判断真假：
（1）有理数都能写成小数形式；
解： a∈Q，a都能写成小数形式.此命题是真命题.
（2）不论m取什么实数，方程x2＋x－m＝0必有实根；
解： m∈R，方程x2＋x－m＝0必有实根.
当m＝－1时，方程无实根，此命题是假命题.
（3）存在一个实数x，使x2＋x＋4＝0.
解： x∈R，x2＋x＋4＝0.因为x2＋x＋4＝（x＋ ）2＋ ＞0恒成
立，所以此命题是假命题.
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11. 已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使命题“ a∈M，a A”为真命
题的集合M是（　　）
A. {a｜a≥－3} B. {a｜a＞－3}
C. {a｜a≤－3} D. {a｜a＜－3}
解析：　因为x＋3≥0，所以A＝{x｜x≥－3}.又因为对 a∈M，都有
a A，所以a＜－3.故选D.
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12. 〔多选〕下列命题中是真命题的是（　　）
A. x∈R，x≤0
B. 至少有一个整数，它既不是合数也不是质数
C. x∈{x｜x是无理数}，x＋2 025是无理数
D. a，b∈R，使得a2＋b2－2a－2b＋2＜0
解析： x∈R，x≤0，A为真命题；至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，例如1满足条件，B为真命题； x∈{x｜x是无理数}，x＋2 025是无理数，例如x＝π，C为真命题；因为a2＋b2－2a－2b＋2＝（a－1）2＋（b－1）2≥0，所以D为假命题.综上可得，A、B、C为真命题.
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13. 能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab”是真命题
的一组有序实数对（a，b）为 .
解析：由a－b＝ab得出b＝ ，取a＝1，得b＝ ，所以满足题中条
件的一组有序实数对可以是（1， ）.
（1， ）（答案不唯一）
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14. 已知M＝{x｜a≤x≤a＋1}.
（1）“ x∈M，x＋1＞0”是真命题，求实数a的取值范围；
解：“ x∈M，x＋1＞0”是真命题，即a＋1＞0，解得a＞－1，
所以实数a的取值范围是{a｜a＞－1}.
（2）“ x∈M，x＋1＞0”成立，求实数a的取值范围.
解： “ x∈M，x＋1＞0”成立，即a＋1＋1＞0，解得a＞－2，
所以实数a的取值范围是{a｜a＞－2}.
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15. 已知集合A＝{x｜a－1≤x≤2a＋3}，B＝{x｜－2≤x≤4}.
（1）若 x∈A，则x∈B，求实数a的取值范围；
解：由 x∈A，则x∈B，可知A B，
①当A＝ 时，a－1＞2a＋3，解得a＜－4，符合题意；
②当A≠ 时，要使A B，则 解得－1≤a≤ .
综上，实数a的取值范围为{a｜a＜－4或－1≤a≤ }.
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（2）是否存在实数a，使命题“ x∈B，x∈A”是真命题？若存在，求
出实数a的取值范围；若不存在，说明理由.
解：存在实数a∈{a｜－ ≤a≤5}，使命题“ x∈B，x∈A”是
真命题，理由如下：
假设命题“ x∈B，x∈A”是真命题，则A∩B≠ .
当A∩B＝ 时，
①当A＝ 时，a－1＞2a＋3，解得a＜－4.
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②当A≠ 时，要使A∩B＝ ，则 或 解
得－4≤a＜－ 或a＞5，
综上，当a＜－ 或a＞5时，A∩B＝ .
所以当－ ≤a≤5时，A∩B≠ ，此时满足 x∈B，x∈A，
即存在实数a∈{a｜－ ≤a≤5}，使命题“ x∈B，x∈A”是真命题.
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