沪科版数学七年级下册10.3平行线的性质分层练习
一、基础夯实
1．（2016七下·澧县期末）过一点画已知直线的平行线（ ）
A．有且只有一条 B．不存在
C．有两条 D．不存在或有且只有一条
【答案】D
【知识点】平行线的性质；作图-平行线
【解析】【解答】解：若点在直线上，过这点不能画已知直线的平行线；
若点在直线外，根据平行公理，有且只有一条直线与已知直线平行．
故答案为：D．
【分析】本题考查了平行公理，实际解题中，要注意讨论点和直线的位置关系，分类讨论：即点在线上，点在线外两种情况。
2．（2023七下·同江期末）如图，直线，将含角的直角三角板的直角顶点放在直线上，使，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示．
∵，
∴．
∵，
∴．
故选：D．
【分析】根据平三角形外角的性质得到∠3的度数，然后根据两直线平行，同位角相等求出∠2即可求．
3．（2025七下·滨江期末） 在同一平面内，有三条不重合的直线a，b，c，（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】C
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A.若a∥b， b⊥c， 则( ，故该选项错误，不符合题意；
B.若 allb， bllc，则 allc， 故该选项错误， 不符合题意；
C.若 则 该选项正确，符合题意；
D.若 则 ，故该选项错误，不符合题意，
故答案为： C.
【分析】根据平行线的判定和性质，平行公理及推论逐一判断各选项，可得到结果.
4．（2023七下·乐平期末）如图所示，一艘轮船从地出发，沿北偏东方向航行至地，再从地出发沿南偏东，方向航行至地，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；方位角
【解析】【解答】解：如图所示，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
5．（2023七下·威县期中）生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过B作，
∵，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】如图，过B作，根据平行线的性质可得出，结合，可得出，进而得出。
6．（2025七下·杭州期中）如图，，则的度数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点C作，
，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】过点C作，易证，利用平行线的性质得到的度数，进而求得的度数.
7．（2025七下·深圳期末） 如图2，三角板ABC（其中，）和三角板DEF（其中， ) 按照如图所示的位置摆放，点 D 在边 AC 上，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；补角；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：过点D作DK∥AB
∵AB∥EF
∴DK∥EF
∴∠ADK=∠A=30°，∠EDK=∠E=45°
∴∠ADE=∠ADK+∠EDK=75°
∵∠EDF=90°
∴∠CDF=180°-90°-75°=15°
故答案为： D
【分析】过点D作DK∥AB，根据直线平行性质可得∠ADK=∠A=30°，∠EDK=∠E=45°，再根据角之间的关系可得∠ADE，再根据补角即可求出答案.
8．如图，已知AD∥BE，C是直线FG上的动点，若在点 C移动的过程中，存在某个时刻使得∠ACB=45°，∠DAC=23°，则∠EBC的度数为 .
【答案】22°或68°
【知识点】平行线的性质；平行公理；分类讨论
【解析】【解答】解：①如图，当点 C在AD，BE之间时，过点C作CH∥AD，则AD∥CH∥BE.
因为∠DAC=23°，所以∠ACH=23°.
又因为∠ACB=45°，所以∠BCH=22°，所以∠EBC=∠BCH=22°.
②如图，当点 C 在AD，BE 的外部时，过点 C 作CN∥AD，则AD∥CN∥BE.
因为∠DAC=23°，所以∠ACN=23°.
又因为∠ACB= 45°，所以∠BCN =∠ACN +∠ACB=68°，所以∠EBC=∠BCN=68°.
综上所述，∠EBC的度数为22°或68°.
【分析】分两种情况讨论：当点C在AD、BE之间时，当点C在AD、BE外部时， 分别过C作 则AD∥ 依据平行线的性质以及角的和差关系，即可得到 的度数.
9．（2025七下·龙港期中）如图，已知GF⊥AB，CD⊥AB，∠CDE和∠CGF互补.
（1）判断 DE与 BC是否平行，并说明理由；
（2）若∠CDE=36°，求∠B的度数.
【答案】（1）解：DE∥BC
理由如下：
∵FG⊥AB，CD⊥AB
∴ FG∥CD
∴∠FGC+∠DCG=180°
∵∠FGC+∠EDC=180°
∴∠DCG=∠CDE
∴DE∥BC
（2）解：∵CD⊥AB
∴∠CDA=90°
∵∠CDE=36°
∴∠ADE=∠CDA-∠CDE=54°
∵DE∥BC
∴∠B=∠ADE=54°
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，可得：FG∥CD，再由平行线的性质得到∠FGC+∠DCG=180°，结合已知 ∠CDE和∠CGF互补 ，进而可以得到∠DCG=∠CDE，再由平行线的判断方法可以得到：DE∥BC.
（2）由CD⊥AB可得∠CDA=90°，结合已知∠CDE=36°可以得到：∠ADE=∠CDA-∠CDE=54°因为DE∥BC 所以可得∠B=∠ADE=54°.
10．（2025七下·越秀期末） 完成下面的证明并填上推理根据．
如图所示，点C，F分别为三角形ABE的边BE，AE上的一点，点D在线段CF的延长线上，且，，，求证：．
证明：∵（ ），
∴（ ）．
∵（已知），
∴（ ）．
∵（已知），
∴ （ ），
即 ，
∴ （等式的基本事实），
∴（ ）．
【答案】已知；两直线平行，同位角相等；等量代换；；等式性质；；；内错角相等，两直线平行
【知识点】等式的基本性质；平行线的性质；平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等可得：∠4=∠BAF，结合∠3=∠4，等量代换可得：∠3=∠BAF，根据等式的性质可知：∠1+∠CAF=∠2+∠CAF，由角的和差运算可知：∠BAF=∠CAD，最后根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行可得：AD∥BC，由此可得出答案.
11．（2025七下·望城期末）如图，直线，被直线所截，连接，，与相交于点，，．
（1）若，求的度数；
（2）点在上，连接，若，请判定与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：因为，，
所以，
所以，
所以；
（2）解：，理由如下：
因为，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以，
因为，，
所以．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】(1)由所给角度关系，即内错角相等，两直线平行，可得AB||CD，即可得∠ACD的度数；
(2)由AB||CD得同旁内角互补即，结合可得同位角∠ACB=∠AEF，即有EF||BC，即可得∠ACB与∠ACD的关系.
12．（2025七下·福田期末） 如图，在中，点D，E分别在边AB和AC上，过点C作交DE的延长线于点F，，
（1） 试说明：（将过程补充完整，并写出每一步的推理依据）
解： ∵，（已知）
∴，（ ▲ ）
∴，（ ▲ ）
∴ ▲ ，（已知）
∴ ▲ ，（ ▲ ）
∴.（等量代换）
（2） 若，，求的度数.
【答案】（1）解：由，根据同旁内角互补，两直线平行，得 ，
因，根据两直线平行，同位角相等，得 ，
已知 ，由，根据两直线平行，内错角相等，得 ，
故（等量代换 ）.
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；CF∥AB；∠F；两直线平行，内错角相等.
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴.
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【分析】（1）利用平行线的判定（同旁内角互补 ）和性质（同位角、内错角相等 ），逐步推导角的等量关系，关键是准确识别“三线八角”及对应定理.
（2）结合（1）中平行线结论，运用平行线性质转化角，再通过角的和差计算，核心是平行线性质的连续应用与角的合成.
二、能力提升
13．如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF 折叠.若∠1=70°，则∠2的度数为（ ）
A．115° B．125° C．135° D．145°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形DEFC折叠得到四边形MEFN，
∴∠DEF=∠FEM.
∵∠1+∠DEF+∠FEM=180°，∠1=70°，
∴
∵四边形ABCE是矩形，
∴AD//BC.
∴∠DEF+∠2=180°.
∴∠2=180°－∠DEF=125°.
故答案为：B.
【分析】根据折叠和∠1度数可求出∠DEF的度数，根据矩形得到平行，根据平行线性质"l两直线平行，同旁内角互补"即可得∠2的度数.
14．（2025七下·杭州期中）将长方形纸片按图所示方式进行折叠，且满足．若增大，则（ ）
A．增大 B．减少 C．不变 D．增大
【答案】B
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）；邻补角
【解析】【解答】解：如图，作直线CD，
由题意可得，
设，
，
，
，
，
，
，
当增大，则减少.
故答案为：B.
【分析】设，利用平行线的性质可得，再通过平角的定义得到，然后由平行线的性质表示出，故当增大，则减少.
15．（2020七下·西湖期末）如图，直线AB∥CD，点F在直线AB上，点N在直线CD上，∠EFA＝25°，∠FGH＝90°，∠HMN＝25°，∠CNP＝30°，则∠GHM＝（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：延长HG交直线AB于点K，延长PM交直线AB于点S.
∵AB∥CD，
∴∠KSM＝∠CNP＝30°.
∵∠EFA＝∠KFG＝25°，∠KGF＝180°﹣∠FGH＝90°，
∠SMH＝180°﹣∠HMN＝155°，
∴∠SKH＝∠KFG+∠KGF
＝25°+90°
＝115°.
∵∠SKH+∠GHM+∠SMH+∠KSM＝360°，
∴∠GHM＝360°﹣115°﹣155°﹣30°
＝60°.
故答案为：D.
【分析】延长HG交直线AB于点K，延长PM交直线AB于点S.利用平行线的性质求出∠KSM，利用邻补角求出∠SMH，利用三角形的外角与内角的关系，求出∠SKG，再利用四边形的内角和求出∠GHM.
16．若∠1与∠2 的两边分别平行，且∠1 比∠2的4倍小30°，则∠1 的度数为 ( )
A．10° B．42° C．138°或42° D．10°或138°
【答案】D
【知识点】平行线的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：因为∠1与∠2的两边分别平行，所以∠1=∠2或∠2=180°-∠1.又因为∠1 比∠2 的4倍小30°，所以 或 解得∠1=10°或∠1=138°.
【分析】根据两边分别平行的两个角相等或互补用 表示 ，然后列方程求解.
17．（2025七下·龙港期中） 点E、F分别是长方形纸条ABCD边BC、AD上一点，分别沿AE、EF折叠，如图，点B落在B'处，点 C落在点 C'处，使得AB'// EF，若∠FEC=26°，则∠B'EC'的度数为 ．
【答案】64°
【知识点】角的运算；平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠可知：
∠FEC'=∠FEC， ∠B'=∠B=90°，
∵ ∠FEC=26°，
∴ ∠FEC'=∠FEC=26°，
∵AB'∥EF，
∴∠FEB'=∠B=90°，
∴∠B'EC'=∠FEB'-∠FEC'=90°-26°=64°.
故答案为：64°.
【分析】由折叠可知：∠FEC'=∠FEC， ∠B'=∠B=90°，结合已知得∠FEC'的度数，由AB'∥EF，可得∠B'EC'的度数.
18．（2024七下·溧阳期中）如图所示，中，AC边上有一点D，使得，将沿BD翻折得，此时A D//BC，则= 度．
【答案】75
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵
设，根据折叠性质得：
，
∵A D//BC，
∴，
∴，
即：，
解得：，
∴，
故答案为：75．
【分析】根据平行线的性质可得，折叠的性质可得，再利用三角形的内角和定理解答即可．
19．如图1，由线段AB，AM，CM，CD组成的图形像 ∑ 形，称为“∑ 形 BAMCD”.
（1）如图2，在“∑形 BAMCD”中，若 AB∥CD，∠AMC=60°，则∠A+∠C= °；
（2）如图3，连接 BD，若∠ABD+∠BDC=160°，∠AMC=α，试猜想∠BAM 与∠MCD之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图4，在(2)的条件下，当点 M 在线段BD 的延长线上从上向下移动时，请求出∠BAM与∠MCD 所有可能满足的数量关系.
【答案】（1）60
（2）解：
理由： 过A点作AP∥CD交BD于点P，
由 (1)可得
（3）解：如图， 当D， C位于AM两侧时，
5，
即
当A，C，M三点共线时，
当D，C位于AM同侧时，
∵∠ABD+∠BDC=160°，∠CDM+∠BDC=180°，
∴∠CDM-∠ABD =20°，
∵∠AMO=∠B+∠BAM， ∠CMO=∠MCD+∠CDM， ∠AMC=α，
∴α=∠CMO-∠AMO=∠MCD+∠CDM-(∠B+∠BAM)=∠MCD-∠BAM+20°，即∠MCD-∠BAM =α-20°.
综上， ∠BAM-∠MCD=α+20°或∠MCD-∠BAM =α-20°.
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；多边形内角与外角；猪蹄模型
【解析】【解答】解：(1)如图1，过点M作MN∥AB.
因为AB∥CD，所以AB∥MN∥CD，所以∠AMN=∠A，∠NMC=∠C，所以∠A+∠C=∠AMN+∠NMC=∠AMC=60°.故答案为60.
【分析】(1)过M作MN∥AB，利用平行线的性质计算可求求解；
(2)过A点作AP∥CD交BD于点P，利用平行线的性质及三角形的内角和定理可求得 结合 (1)的结论可求解；
(3)可分两种情况：当D，C位于AM两侧时，当D，C位于AM同侧时，利用平行线的性质及三角形外角的性质可分别计算求解.
三、创新拓展
20．已知∠A 与∠B(∠A，∠B 都是大于0°且小于180°的角)的两边一边平行，另一边垂直，且2∠A-∠B=18°，则∠A 的度数为( )
A．18°或66° B．66°或96° C．18°或36° D．36°或96°
【答案】D
【知识点】猪蹄模型；铅笔头模型；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：分两种情况：
①如图所示，AD∥BE，AC⊥BC，
过点C作CF∥AD，
∴∠A=∠ACF.
∵AD∥BE，
∴CF∥BE，
∴ ∠B=∠BCF
∵AC⊥BC，
∴ ∠ACB=90°，
∴ ∠ACF+∠BCF=90°，
∴ ∠A+∠B=90°.
∵2∠A-∠B=18°，
∴ ∠A=36°.
②如图所示，AD∥BE，AC⊥BC，过点C作CG∥AD，
∴ ∠A+∠ACG=180°.
∵AD∥BE，
∴ CG∥BE，
∴ ∠B+∠BCG=180°，
∴ ∠A+∠ACG+∠BCG+∠B=360°，
∴ ∠A+∠ACB+∠B=360°.
∵AC⊥BC，所以∠ACB=90°，
∴ ∠A+∠B=360°-∠ACB=270°.
∵2∠A-∠B=18°，
∴ ∠A=96°.
综上所述，∠A 的度数为36°或96°.
故选：D.
【分析】根据题意（ 两边一边平行，另一边垂直 ）作出相应的配图①②，再结合“M模型”、“铅笔模型”的结论及题中的条件作答.
21．（2025七下·普宁期末） 问题情境：如图1，，，，求度数.
小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求.
（1） 按小明的思路，易求得的度数为 度；(直接写出答案)
（2） 问题迁移：如图2，，点P在射线OM上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与，之间有何数量关系？请说明理由；
（3） 在(2)的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系.
【答案】（1）110
（2）解：，理由如下：
如图所示，过点P作PE//AB交AC于点E，
∵AB//CD，
∴AB//PE//CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β.
（3）解：当P在BD延长线上时，，当P在DB延长线上时，.
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）∵AB//CD，
∴PE//AB//CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°，
故答案为：110.
（3）如图所示，当点P在BD延长线上时，过点P作PE//AB交AC于点E，
∵AB//CD，
∴AB//PE//CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE-∠CPE=α-β，
即；
如图所示，当点P在DB延长线上时，过点P作PE//AB交AC于点E，
∵AB//CD，
∴AB//PE//CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠CPE-∠CPA=β-α，
即，
综上所述：当P在BD延长线上时，，当P在DB延长线上时，.
【分析】（1）根据题意先求出PE//AB//CD，再根据平行线的性质求出∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，最后计算求解即可；
（2）根据题意先求出AB//PE//CD，再根据平行线的性质求出α=∠APE，β=∠CPE，最后求解即可；
（3）分类两种情况：当P在BD延长线上时和当P在DB延长线上时求解即可.
22．（2025七下·珠海期末）请根据以下素材，解决问题：
自行车尾灯里的数学
素材1 如图1，当光线从入射到平面镜上时沿反射出去，其中经过入射点O且垂直于反射面的直线称为法线，根据光线反射规律可以得到．
素材2 自行车的尾灯（如图2）没有灯泡，但在汽车大灯的照射下却能反射出明亮的光，这一现象背后的奥秘源于一种叫做“角反射器”的装置，道路上的反光标志、护栏、路沿等都安装这种装置（如图3），其在雷达干扰、航海标识、卫星测距等领域有广泛应用．其背后的原理是利用了互相垂直的平面镜对光的反射作用．
问题解决
任务1 （1）如图1，若，则______°；
任务2 （2）如图4，是两面互相垂直的平面镜，当入射光线经过平面镜的反射后沿射出，求证：；
任务3 （3）如图5，为两面有一定夹角的平面镜，当光线平行于镜面入射时，经过三次反射后沿射出，若，求的度数．
【答案】（1）30；
（2）解：如图，
，
；
（3）解：如图，
由题意得：，
设，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）因为 ， ，所以==60°，又因为∠PON=∠QON，所以∠NOQ=30°；
（2）由入射角=反射角可得∠ACP=∠OCD，∠CDO=∠BDQ，因为∠O=90°，所以，所以∠ACP+∠BDQ=90°，所以
，所以CP∥DQ；
（3）由题意得：，设，根据平行线的性质以及光的反射得到，则，再表示，最后在中由三角形内角和定理建立方程求解．
23．（2025七下·上城期末） 如图1，，点E在上，点H在上，点F在直线之间，连接．
（1）求证：．
（2）如图2，点M在直线与之间，且，若，求的度数．
（3）如图3，连结，移动点M至直线上方，使得，延长交直线于点P，若（n为整数且），求的值（用含n的代数式表示）．
【答案】（1）证明：如图， 过点F作MN∥AB，
∴∠EFM=∠BEF
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠MFH=∠FHD，
∴∠EFH=∠EFM+∠HFM=∠BEF+∠DHF；
（2）解：设∠BEF =α， 而∠MEF =2∠BEF，∠FHD=42°，
∴∠MEF=2∠BEF =2α，
由 (1) 得： ∠EFH =∠BEF+∠DHF=α+42°，
∵ME∥HF，
∴∠MEF+∠EFH =180°，
∴2α+α+42=180，
解得： α= 46°，
∴∠MEF = 92°；
（3）解：设∠PHD=β， 而∠MHD=n∠PHD
∴∠MHD = nβ，
如图， 记AB，MH的交点为Q，
由 (1) 得：
，
.
【知识点】平行线的判定与性质；猪蹄模型；平行公理
【解析】【分析】(1)过点F作MN∥AB，根据两直线平行内错角相等进行求解即可；
(2) 设∠BEF =α， 而∠MEF =2∠BEF，∠FHD=42°， 可得∠MEF =2∠BEF=2α，(1) 得∠EFH =∠BEF+∠DHF=α+42°， 由∠MEF+∠EFH=180°， 再建立方程求解即可；
(3) 设∠PHD =β， 而∠MHD=n∠PHD，∠ 可得∠MHD=nβ，如图，记AB，MH的交点为Q，表示 ∠MEQ， 结合平行线的性质可得∠MQE=∠MHD=nβ， 求解∠M =180°-∠MQE-∠ME 证明∠PEF =∠M ，进一步求解即可.
1 / 1沪科版数学七年级下册10.3平行线的性质分层练习
一、基础夯实
1．（2016七下·澧县期末）过一点画已知直线的平行线（ ）
A．有且只有一条 B．不存在
C．有两条 D．不存在或有且只有一条
2．（2023七下·同江期末）如图，直线，将含角的直角三角板的直角顶点放在直线上，使，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025七下·滨江期末） 在同一平面内，有三条不重合的直线a，b，c，（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
4．（2023七下·乐平期末）如图所示，一艘轮船从地出发，沿北偏东方向航行至地，再从地出发沿南偏东，方向航行至地，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023七下·威县期中）生活中常见一种折叠拦道闸如图1所示．若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足为A，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2025七下·杭州期中）如图，，则的度数为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025七下·深圳期末） 如图2，三角板ABC（其中，）和三角板DEF（其中， ) 按照如图所示的位置摆放，点 D 在边 AC 上，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知AD∥BE，C是直线FG上的动点，若在点 C移动的过程中，存在某个时刻使得∠ACB=45°，∠DAC=23°，则∠EBC的度数为 .
9．（2025七下·龙港期中）如图，已知GF⊥AB，CD⊥AB，∠CDE和∠CGF互补.
（1）判断 DE与 BC是否平行，并说明理由；
（2）若∠CDE=36°，求∠B的度数.
10．（2025七下·越秀期末） 完成下面的证明并填上推理根据．
如图所示，点C，F分别为三角形ABE的边BE，AE上的一点，点D在线段CF的延长线上，且，，，求证：．
证明：∵（ ），
∴（ ）．
∵（已知），
∴（ ）．
∵（已知），
∴ （ ），
即 ，
∴ （等式的基本事实），
∴（ ）．
11．（2025七下·望城期末）如图，直线，被直线所截，连接，，与相交于点，，．
（1）若，求的度数；
（2）点在上，连接，若，请判定与的数量关系，并说明理由．
12．（2025七下·福田期末） 如图，在中，点D，E分别在边AB和AC上，过点C作交DE的延长线于点F，，
（1） 试说明：（将过程补充完整，并写出每一步的推理依据）
解： ∵，（已知）
∴，（ ▲ ）
∴，（ ▲ ）
∴ ▲ ，（已知）
∴ ▲ ，（ ▲ ）
∴.（等量代换）
（2） 若，，求的度数.
二、能力提升
13．如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF 折叠.若∠1=70°，则∠2的度数为（ ）
A．115° B．125° C．135° D．145°
14．（2025七下·杭州期中）将长方形纸片按图所示方式进行折叠，且满足．若增大，则（ ）
A．增大 B．减少 C．不变 D．增大
15．（2020七下·西湖期末）如图，直线AB∥CD，点F在直线AB上，点N在直线CD上，∠EFA＝25°，∠FGH＝90°，∠HMN＝25°，∠CNP＝30°，则∠GHM＝（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
16．若∠1与∠2 的两边分别平行，且∠1 比∠2的4倍小30°，则∠1 的度数为 ( )
A．10° B．42° C．138°或42° D．10°或138°
17．（2025七下·龙港期中） 点E、F分别是长方形纸条ABCD边BC、AD上一点，分别沿AE、EF折叠，如图，点B落在B'处，点 C落在点 C'处，使得AB'// EF，若∠FEC=26°，则∠B'EC'的度数为 ．
18．（2024七下·溧阳期中）如图所示，中，AC边上有一点D，使得，将沿BD翻折得，此时A D//BC，则= 度．
19．如图1，由线段AB，AM，CM，CD组成的图形像 ∑ 形，称为“∑ 形 BAMCD”.
（1）如图2，在“∑形 BAMCD”中，若 AB∥CD，∠AMC=60°，则∠A+∠C= °；
（2）如图3，连接 BD，若∠ABD+∠BDC=160°，∠AMC=α，试猜想∠BAM 与∠MCD之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图4，在(2)的条件下，当点 M 在线段BD 的延长线上从上向下移动时，请求出∠BAM与∠MCD 所有可能满足的数量关系.
三、创新拓展
20．已知∠A 与∠B(∠A，∠B 都是大于0°且小于180°的角)的两边一边平行，另一边垂直，且2∠A-∠B=18°，则∠A 的度数为( )
A．18°或66° B．66°或96° C．18°或36° D．36°或96°
21．（2025七下·普宁期末） 问题情境：如图1，，，，求度数.
小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求.
（1） 按小明的思路，易求得的度数为 度；(直接写出答案)
（2） 问题迁移：如图2，，点P在射线OM上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与，之间有何数量关系？请说明理由；
（3） 在(2)的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与，之间的数量关系.
22．（2025七下·珠海期末）请根据以下素材，解决问题：
自行车尾灯里的数学
素材1 如图1，当光线从入射到平面镜上时沿反射出去，其中经过入射点O且垂直于反射面的直线称为法线，根据光线反射规律可以得到．
素材2 自行车的尾灯（如图2）没有灯泡，但在汽车大灯的照射下却能反射出明亮的光，这一现象背后的奥秘源于一种叫做“角反射器”的装置，道路上的反光标志、护栏、路沿等都安装这种装置（如图3），其在雷达干扰、航海标识、卫星测距等领域有广泛应用．其背后的原理是利用了互相垂直的平面镜对光的反射作用．
问题解决
任务1 （1）如图1，若，则______°；
任务2 （2）如图4，是两面互相垂直的平面镜，当入射光线经过平面镜的反射后沿射出，求证：；
任务3 （3）如图5，为两面有一定夹角的平面镜，当光线平行于镜面入射时，经过三次反射后沿射出，若，求的度数．
23．（2025七下·上城期末） 如图1，，点E在上，点H在上，点F在直线之间，连接．
（1）求证：．
（2）如图2，点M在直线与之间，且，若，求的度数．
（3）如图3，连结，移动点M至直线上方，使得，延长交直线于点P，若（n为整数且），求的值（用含n的代数式表示）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线的性质；作图-平行线
【解析】【解答】解：若点在直线上，过这点不能画已知直线的平行线；
若点在直线外，根据平行公理，有且只有一条直线与已知直线平行．
故答案为：D．
【分析】本题考查了平行公理，实际解题中，要注意讨论点和直线的位置关系，分类讨论：即点在线上，点在线外两种情况。
2．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示．
∵，
∴．
∵，
∴．
故选：D．
【分析】根据平三角形外角的性质得到∠3的度数，然后根据两直线平行，同位角相等求出∠2即可求．
3．【答案】C
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：A.若a∥b， b⊥c， 则( ，故该选项错误，不符合题意；
B.若 allb， bllc，则 allc， 故该选项错误， 不符合题意；
C.若 则 该选项正确，符合题意；
D.若 则 ，故该选项错误，不符合题意，
故答案为： C.
【分析】根据平行线的判定和性质，平行公理及推论逐一判断各选项，可得到结果.
4．【答案】A
【知识点】平行线的性质；方位角
【解析】【解答】解：如图所示，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过B作，
∵，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】如图，过B作，根据平行线的性质可得出，结合，可得出，进而得出。
6．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点C作，
，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】过点C作，易证，利用平行线的性质得到的度数，进而求得的度数.
7．【答案】D
【知识点】平行线的性质；补角；平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：过点D作DK∥AB
∵AB∥EF
∴DK∥EF
∴∠ADK=∠A=30°，∠EDK=∠E=45°
∴∠ADE=∠ADK+∠EDK=75°
∵∠EDF=90°
∴∠CDF=180°-90°-75°=15°
故答案为： D
【分析】过点D作DK∥AB，根据直线平行性质可得∠ADK=∠A=30°，∠EDK=∠E=45°，再根据角之间的关系可得∠ADE，再根据补角即可求出答案.
8．【答案】22°或68°
【知识点】平行线的性质；平行公理；分类讨论
【解析】【解答】解：①如图，当点 C在AD，BE之间时，过点C作CH∥AD，则AD∥CH∥BE.
因为∠DAC=23°，所以∠ACH=23°.
又因为∠ACB=45°，所以∠BCH=22°，所以∠EBC=∠BCH=22°.
②如图，当点 C 在AD，BE 的外部时，过点 C 作CN∥AD，则AD∥CN∥BE.
因为∠DAC=23°，所以∠ACN=23°.
又因为∠ACB= 45°，所以∠BCN =∠ACN +∠ACB=68°，所以∠EBC=∠BCN=68°.
综上所述，∠EBC的度数为22°或68°.
【分析】分两种情况讨论：当点C在AD、BE之间时，当点C在AD、BE外部时， 分别过C作 则AD∥ 依据平行线的性质以及角的和差关系，即可得到 的度数.
9．【答案】（1）解：DE∥BC
理由如下：
∵FG⊥AB，CD⊥AB
∴ FG∥CD
∴∠FGC+∠DCG=180°
∵∠FGC+∠EDC=180°
∴∠DCG=∠CDE
∴DE∥BC
（2）解：∵CD⊥AB
∴∠CDA=90°
∵∠CDE=36°
∴∠ADE=∠CDA-∠CDE=54°
∵DE∥BC
∴∠B=∠ADE=54°
【知识点】垂线的概念；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，可得：FG∥CD，再由平行线的性质得到∠FGC+∠DCG=180°，结合已知 ∠CDE和∠CGF互补 ，进而可以得到∠DCG=∠CDE，再由平行线的判断方法可以得到：DE∥BC.
（2）由CD⊥AB可得∠CDA=90°，结合已知∠CDE=36°可以得到：∠ADE=∠CDA-∠CDE=54°因为DE∥BC 所以可得∠B=∠ADE=54°.
10．【答案】已知；两直线平行，同位角相等；等量代换；；等式性质；；；内错角相等，两直线平行
【知识点】等式的基本性质；平行线的性质；平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等可得：∠4=∠BAF，结合∠3=∠4，等量代换可得：∠3=∠BAF，根据等式的性质可知：∠1+∠CAF=∠2+∠CAF，由角的和差运算可知：∠BAF=∠CAD，最后根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行可得：AD∥BC，由此可得出答案.
11．【答案】（1）解：因为，，
所以，
所以，
所以；
（2）解：，理由如下：
因为，
所以，
又因为，
所以，
所以，
所以，
因为，，
所以．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】(1)由所给角度关系，即内错角相等，两直线平行，可得AB||CD，即可得∠ACD的度数；
(2)由AB||CD得同旁内角互补即，结合可得同位角∠ACB=∠AEF，即有EF||BC，即可得∠ACB与∠ACD的关系.
12．【答案】（1）解：由，根据同旁内角互补，两直线平行，得 ，
因，根据两直线平行，同位角相等，得 ，
已知 ，由，根据两直线平行，内错角相等，得 ，
故（等量代换 ）.
故答案为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；CF∥AB；∠F；两直线平行，内错角相等.
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴.
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【分析】（1）利用平行线的判定（同旁内角互补 ）和性质（同位角、内错角相等 ），逐步推导角的等量关系，关键是准确识别“三线八角”及对应定理.
（2）结合（1）中平行线结论，运用平行线性质转化角，再通过角的和差计算，核心是平行线性质的连续应用与角的合成.
13．【答案】B
【知识点】平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形DEFC折叠得到四边形MEFN，
∴∠DEF=∠FEM.
∵∠1+∠DEF+∠FEM=180°，∠1=70°，
∴
∵四边形ABCE是矩形，
∴AD//BC.
∴∠DEF+∠2=180°.
∴∠2=180°－∠DEF=125°.
故答案为：B.
【分析】根据折叠和∠1度数可求出∠DEF的度数，根据矩形得到平行，根据平行线性质"l两直线平行，同旁内角互补"即可得∠2的度数.
14．【答案】B
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）；邻补角
【解析】【解答】解：如图，作直线CD，
由题意可得，
设，
，
，
，
，
，
，
当增大，则减少.
故答案为：B.
【分析】设，利用平行线的性质可得，再通过平角的定义得到，然后由平行线的性质表示出，故当增大，则减少.
15．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：延长HG交直线AB于点K，延长PM交直线AB于点S.
∵AB∥CD，
∴∠KSM＝∠CNP＝30°.
∵∠EFA＝∠KFG＝25°，∠KGF＝180°﹣∠FGH＝90°，
∠SMH＝180°﹣∠HMN＝155°，
∴∠SKH＝∠KFG+∠KGF
＝25°+90°
＝115°.
∵∠SKH+∠GHM+∠SMH+∠KSM＝360°，
∴∠GHM＝360°﹣115°﹣155°﹣30°
＝60°.
故答案为：D.
【分析】延长HG交直线AB于点K，延长PM交直线AB于点S.利用平行线的性质求出∠KSM，利用邻补角求出∠SMH，利用三角形的外角与内角的关系，求出∠SKG，再利用四边形的内角和求出∠GHM.
16．【答案】D
【知识点】平行线的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：因为∠1与∠2的两边分别平行，所以∠1=∠2或∠2=180°-∠1.又因为∠1 比∠2 的4倍小30°，所以 或 解得∠1=10°或∠1=138°.
【分析】根据两边分别平行的两个角相等或互补用 表示 ，然后列方程求解.
17．【答案】64°
【知识点】角的运算；平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠可知：
∠FEC'=∠FEC， ∠B'=∠B=90°，
∵ ∠FEC=26°，
∴ ∠FEC'=∠FEC=26°，
∵AB'∥EF，
∴∠FEB'=∠B=90°，
∴∠B'EC'=∠FEB'-∠FEC'=90°-26°=64°.
故答案为：64°.
【分析】由折叠可知：∠FEC'=∠FEC， ∠B'=∠B=90°，结合已知得∠FEC'的度数，由AB'∥EF，可得∠B'EC'的度数.
18．【答案】75
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵
设，根据折叠性质得：
，
∵A D//BC，
∴，
∴，
即：，
解得：，
∴，
故答案为：75．
【分析】根据平行线的性质可得，折叠的性质可得，再利用三角形的内角和定理解答即可．
19．【答案】（1）60
（2）解：
理由： 过A点作AP∥CD交BD于点P，
由 (1)可得
（3）解：如图， 当D， C位于AM两侧时，
5，
即
当A，C，M三点共线时，
当D，C位于AM同侧时，
∵∠ABD+∠BDC=160°，∠CDM+∠BDC=180°，
∴∠CDM-∠ABD =20°，
∵∠AMO=∠B+∠BAM， ∠CMO=∠MCD+∠CDM， ∠AMC=α，
∴α=∠CMO-∠AMO=∠MCD+∠CDM-(∠B+∠BAM)=∠MCD-∠BAM+20°，即∠MCD-∠BAM =α-20°.
综上， ∠BAM-∠MCD=α+20°或∠MCD-∠BAM =α-20°.
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；多边形内角与外角；猪蹄模型
【解析】【解答】解：(1)如图1，过点M作MN∥AB.
因为AB∥CD，所以AB∥MN∥CD，所以∠AMN=∠A，∠NMC=∠C，所以∠A+∠C=∠AMN+∠NMC=∠AMC=60°.故答案为60.
【分析】(1)过M作MN∥AB，利用平行线的性质计算可求求解；
(2)过A点作AP∥CD交BD于点P，利用平行线的性质及三角形的内角和定理可求得 结合 (1)的结论可求解；
(3)可分两种情况：当D，C位于AM两侧时，当D，C位于AM同侧时，利用平行线的性质及三角形外角的性质可分别计算求解.
20．【答案】D
【知识点】猪蹄模型；铅笔头模型；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：分两种情况：
①如图所示，AD∥BE，AC⊥BC，
过点C作CF∥AD，
∴∠A=∠ACF.
∵AD∥BE，
∴CF∥BE，
∴ ∠B=∠BCF
∵AC⊥BC，
∴ ∠ACB=90°，
∴ ∠ACF+∠BCF=90°，
∴ ∠A+∠B=90°.
∵2∠A-∠B=18°，
∴ ∠A=36°.
②如图所示，AD∥BE，AC⊥BC，过点C作CG∥AD，
∴ ∠A+∠ACG=180°.
∵AD∥BE，
∴ CG∥BE，
∴ ∠B+∠BCG=180°，
∴ ∠A+∠ACG+∠BCG+∠B=360°，
∴ ∠A+∠ACB+∠B=360°.
∵AC⊥BC，所以∠ACB=90°，
∴ ∠A+∠B=360°-∠ACB=270°.
∵2∠A-∠B=18°，
∴ ∠A=96°.
综上所述，∠A 的度数为36°或96°.
故选：D.
【分析】根据题意（ 两边一边平行，另一边垂直 ）作出相应的配图①②，再结合“M模型”、“铅笔模型”的结论及题中的条件作答.
21．【答案】（1）110
（2）解：，理由如下：
如图所示，过点P作PE//AB交AC于点E，
∵AB//CD，
∴AB//PE//CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β.
（3）解：当P在BD延长线上时，，当P在DB延长线上时，.
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：（1）∵AB//CD，
∴PE//AB//CD，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°，
故答案为：110.
（3）如图所示，当点P在BD延长线上时，过点P作PE//AB交AC于点E，
∵AB//CD，
∴AB//PE//CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠APE-∠CPE=α-β，
即；
如图所示，当点P在DB延长线上时，过点P作PE//AB交AC于点E，
∵AB//CD，
∴AB//PE//CD，
∴α=∠APE，β=∠CPE，
∴∠APC=∠CPE-∠CPA=β-α，
即，
综上所述：当P在BD延长线上时，，当P在DB延长线上时，.
【分析】（1）根据题意先求出PE//AB//CD，再根据平行线的性质求出∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，最后计算求解即可；
（2）根据题意先求出AB//PE//CD，再根据平行线的性质求出α=∠APE，β=∠CPE，最后求解即可；
（3）分类两种情况：当P在BD延长线上时和当P在DB延长线上时求解即可.
22．【答案】（1）30；
（2）解：如图，
，
；
（3）解：如图，
由题意得：，
设，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）因为 ， ，所以==60°，又因为∠PON=∠QON，所以∠NOQ=30°；
（2）由入射角=反射角可得∠ACP=∠OCD，∠CDO=∠BDQ，因为∠O=90°，所以，所以∠ACP+∠BDQ=90°，所以
，所以CP∥DQ；
（3）由题意得：，设，根据平行线的性质以及光的反射得到，则，再表示，最后在中由三角形内角和定理建立方程求解．
23．【答案】（1）证明：如图， 过点F作MN∥AB，
∴∠EFM=∠BEF
∵AB∥CD，
∴MN∥CD，
∴∠MFH=∠FHD，
∴∠EFH=∠EFM+∠HFM=∠BEF+∠DHF；
（2）解：设∠BEF =α， 而∠MEF =2∠BEF，∠FHD=42°，
∴∠MEF=2∠BEF =2α，
由 (1) 得： ∠EFH =∠BEF+∠DHF=α+42°，
∵ME∥HF，
∴∠MEF+∠EFH =180°，
∴2α+α+42=180，
解得： α= 46°，
∴∠MEF = 92°；
（3）解：设∠PHD=β， 而∠MHD=n∠PHD
∴∠MHD = nβ，
如图， 记AB，MH的交点为Q，
由 (1) 得：
，
.
【知识点】平行线的判定与性质；猪蹄模型；平行公理
【解析】【分析】(1)过点F作MN∥AB，根据两直线平行内错角相等进行求解即可；
(2) 设∠BEF =α， 而∠MEF =2∠BEF，∠FHD=42°， 可得∠MEF =2∠BEF=2α，(1) 得∠EFH =∠BEF+∠DHF=α+42°， 由∠MEF+∠EFH=180°， 再建立方程求解即可；
(3) 设∠PHD =β， 而∠MHD=n∠PHD，∠ 可得∠MHD=nβ，如图，记AB，MH的交点为Q，表示 ∠MEQ， 结合平行线的性质可得∠MQE=∠MHD=nβ， 求解∠M =180°-∠MQE-∠ME 证明∠PEF =∠M ，进一步求解即可.
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