《创新课堂》模块综合检测 课件 高中数学必修一(人教A版)同步讲练测

(共42张PPT)
模块综合检测
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知命题p： x＞0，2x＞x2，则 p是（　　）
A. x＞0，2x≤x2 B. x＞0，2x＜x2
C. x＞0，2x≤x2 D. x＞0，2x＜x2
解析： p： x＞0，2x≤x2.故选C.
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2. 已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y｜y＝2x－1，x∈A}，则A∩B＝
（　　）
A. {1，3} B. {1，2}
C. {2，3} D. {1，2，3}
解析：　因为A＝{1，2，3}，B＝{y｜y＝2x－1，x∈A}，所以B＝
{1，3，5}，所以A∩B＝{1，3}，故选A.
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3. 若函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2－6x，
则f（－1）＝（　　）
A. －7 B. －5
C. 5 D. 7
解析：　因为f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2－6x，所以
当x＜0时，f（x）＝－f（－x）＝－[（－x）2－6（－x）]＝－x2－
6x，所以f（－1）＝－1＋6＝5，故选C.
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4. 已知点P（m，1）是角α终边上的一点，且 sin α＝ ，则m的值为
（　　）
A. 2 B. －2
C. 2 或2 D. 2 或－2
解析：　因为点P（m，1）是角α终边上的一点，且 sin α＝ ，所以 sin
α＝ ＝ ，解得m＝2 或m＝－2 ，故选D.
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5. 已知函数f（x）＝ 则f（f（ ））＝（　　）
A. － B.
C. D.
解析：由题设，f（ ）＝－ ＋3＝ ，所以f（f（ ））＝f（ ）＝2
－ ＝ ，故选B.
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6. 已知log189＝a，18b＝5，则log4581＝（　　）
A. － B.
C. D.
解析：　由log189＝a，18b＝5，所以a＝log189，b＝log185，所以log4581
＝ ＝ ＝ ，故选C.
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7. 物体冷却时的温度变化可用以下公式来刻画：设环境温度为T0 ℃，物
体的初始温度是T1 ℃，经过t min后物体的温度为T ℃，则T＝T0＋（T1－
T0）·2kt.现将一杯90 ℃的热茶放在20 ℃的房间中冷却，假设经过10 min热
茶降温到55 ℃，那么继续降温到41 ℃还需要的时间约为（结果精确到
0.1，参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477）（　　）
A. 6.4 min B. 6.6 min
C. 7.4 min D. 7.6 min
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解析：　根据题意：55＝20＋（90－20）×210k，解得k＝－ ，41＝20
＋（55－20）×2tk，即 ＝ ，t＝－10log2 ＝－10× ＝－
10× ≈7.4，故选C.
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8. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若 a，b∈[0，＋∞），且
a≠b，都有 ＜0成立，则不等式f（ ）－（2t2－t）f（2t
－1）＞0的解集为（　　）
A. （－1，0）∪（ ，＋∞）
B. （－ ，0）∪（1，＋∞）
C. （－∞，－1）∪（ ，＋∞）
D. （－∞，－ ）∪（1，＋∞）
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解析：令g（x）＝xf（x），由题意知g（x）在[0，＋∞）上单调递
减，又f（x）为R上的偶函数，所以g（x）为R上的奇函数，又g（x）
在[0，＋∞）上单调递减，g（0）＝0，所以g（x）在R上为减函数，①
当t＞0时， f（ ）＞（2t－1）f（2t－1），即g（ ）＞g（2t－1），
所以 ＜2t－1，所以1＜2t2－t，解得t＞1；②当t＜0时， f（ ）＜（2t
－1）f（2t－1），即g（ ）＜g（2t－1），所以 ＞2t－1，所以1＜2t2
－t，解得t＜－ .所以t＜－ 或t＞1.故选D.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的
四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部
分分，有选错的得0分）
9. 若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（　　）
A. a2＞b2 B. ＞
C. 2a＞2b D. lg a＞lg b
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解析：因为a＞b＞0，所以a2＞b2，故A正确；因为a＞b＞0，利用不等式性质可得 ＜ ，故B错误；因为y＝2x在R上为增函数，a＞b＞0，所以2a＞2b，故C正确；因为y＝lg x在（0，＋∞）上为增函数，a＞b＞0，所以lg a＞lg b，故D正确.故选A、C、D.
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10. 已知函数f（x）＝tan（x＋ ），则（　　）
A. f（x）的最小正周期为π
B. f（x）的定义域为{x｜x≠ ＋kπ，k∈Z}
C. 若f（θ）＝1，则θ＝kπ（k∈Z）
D. f（x）在其定义域上是增函数
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解析：A：f（x）＝tan（x＋ ），函数f（x）的最小正周期为T＝ ＝π，故A正确；B：由x＋ ≠ ＋kπ，k∈Z，得x≠ ＋kπ，k∈Z，所以函数f（x）的定义域为{x｜x≠ ＋kπ，k∈Z}，故B正确；C：f（θ）＝tan（θ＋ ）＝1，得θ＋ ＝ ＋kπ，k∈Z，解得θ＝kπ，k∈Z，故C正确；D：由－ ＋kπ＜x＋ ＜ ＋kπ，k∈Z，解得－ ＋kπ＜x＜ ＋kπ，k∈Z，所以函数f（x）在（－ ＋kπ， ＋kπ）上单调递增，故D错误.故选A、B、C.
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11. 定义：N{f（x） g（x）}表示f（x）＜g（x）的解集中整数的个
数.若f（x）＝｜log2x｜，g（x）＝a（x－1）2＋2，则下列说法正确的
是（　　）
A. 当a＞0时，N{f（x） g（x）}＝0
B. 当a＝0时，不等式f（x）＜g（x）的解集是（ ，4）
C. 当a＝0时，N{f（x） g（x）}＝3
D. 当a＜0时，若N{f（x） g（x）}＝1，则实数a的取值范围是（－
∞，－1]
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解析：根据题意，N{f（x） g（x）}可转化为
满足｜log2x｜＜a（x－1）2＋2的整数x的个数.当a＞0
时，如图1，数形结合得f（x）＜g（x）的解集中整数
的个数有无数多个，故A错误；当a＝0时，g（x）＝2，
数形结合（如图2），由f（x）＜2解得 ＜x＜4，
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所以在（ ，4）内有3个整数解，为1，2，3，故B和C
都正确；当a＜0时，作出函数f（x）＝｜log2x｜和g
（x）＝a（x－1）2＋2的图象，如图3所示，若N{f
（x） g（x）}＝1，即｜log2x｜＜a（x－1）2＋2的
整数解只有一个，
只需满足
即 解得a≤－1，所以N{f（x） g（x）}＝1时，实数
a的取值范围是（－∞，－1]，故D正确.故选B、C、D.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横
线上）
12. 不等式 ≥1的解集为 .
解析： ≥1，即 ≤0，解得1＜x≤2.
（1，2]
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13. 若函数f（x）＝ （a＞0，且a≠1）的值域是[4，
＋∞），则实数a的取值范围是 .
解析：因为f（x）＝ 所以当x≤2时，f（x）≥4.又
函数f（x）的值域为[4，＋∞），所以当x＞2时，有 解
得1＜a≤2，所以实数a的取值范围是（1，2].
（1，2]
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14. 在数学中连乘符号是“∏”，这个符号就是连续求积的意思，把满足
“∏”这个符号下面条件的所有项都乘起来，例如： i＝
1×2×3×…×n.函数f（n）＝log（n＋1）（n＋2）（n∈N*），定义使
f（i）为整数的数k（k∈N*）叫做企盼数，则在区间[1，2 025]内，
这样的企盼数共有 个.
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解析：令g（k）＝f（1）·f（2）·f（3）·…·f（k），∵f（k）＝log（k＋
1）（k＋2）＝ ，∴g（k）＝ × ×…× ＝
＝log2（k＋2），要使g（k）成为企盼数，则k＋2＝2n，
n∈N*，∵k∈[1，2 025]，∴（k＋2）∈[3，2 027]，即2n∈[3，
2 027]，∵22＝4，…，210＝1 024，211＝2 048，∴可取n＝2，3，…，10.
所以在区间[1，2 025]内，这样的企盼数共有9个.
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证
明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知f（θ）＝ .
（1）化简f（θ），并求f（ ）的值；
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解：f（θ）＝
＝
＝ ＝tan θ.
则f（ ）＝tan ＝tan ＝－tan ＝－ .
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（2）若f（θ）＝3，求2 sin 2θ－3 sin θ cos θ的值.
解：由（1）知，f（θ）＝tan θ＝3，
则2 sin 2θ－3 sin θ cos θ
＝ ＝
＝ ＝ ＝ .
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16. （本小题满分15分）已知函数f（x）＝ cos 4x＋ sin x cos x－ sin
4x＋m的最大值为 .
（1）求常数m的值，并求函数f（x）取最大值时相应x的集合；
解：f（x）＝ cos 4x＋ sin x cos x－ sin 4x＋m
＝ （ cos 2x＋ sin 2x）（ cos 2x－ sin 2x）＋ sin 2x＋m
＝ （ cos 2x－ sin 2x）＋ sin 2x＋m
＝ cos 2x＋ sin 2x＋m
＝ sin （2x＋ ）＋m.
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当 sin （2x＋ ）＝1时，函数f（x）取到最大值 ，
所以1＋m＝ ，即m＝ ，
令2x＋ ＝2kπ＋ ，k∈Z，得x＝kπ＋ ，k∈Z，
所以当函数f（x）取最大值时x的集合为{x｜x＝kπ＋ ，k∈Z}.
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（2）求函数f（x）的单调递增区间.
解：由（1）得f（x）＝ sin （2x＋ ）＋ ，
所以令2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ ，k∈Z，
得kπ－ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z，
所以函数f（x）的单调递增区间为［kπ－ ，kπ＋ ］（k∈Z）.
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17. （本小题满分15分）地铁作为城市交通的重要组成部分，以其准时、
高效的优点广受青睐.某城市新修建了一条地铁线路，经调研测算，每辆
列车的载客量h（单位：人）与发车时间间隔t（单位：分钟，且
3≤t≤30）有关：当发车时间间隔达到或超过15分钟时，列车均为满载状
态，载客量为1 700人；当发车时间间隔不超过15分钟时，地铁载客量h与
（2t－ ＋5）成正比.假设每辆列车的日均车票收入y＝ （单位：万
元）.
（1）求y关于t的函数表达式；
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解：当15≤t≤30时，h＝1 700，y＝ ＝ ；
当3≤t＜15时，h＝k（2t－ ＋5），且当t＝15时，h＝k（2×15－
＋5）＝1 700，解得k＝50，h＝50（2t－ ＋5），y＝ ＝12－ ＋ ，
故y＝
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（2）当发车时间间隔为何值时，每辆列车的日均车票收入最大？并求出
该最大值.
解：当15≤t≤30时，y＝ ，当t＝15时有最大值为 ；
当3≤t＜15时，y＝12－ ＋ ＝－90（ － ）2＋ ，当t＝6时有最大
值为 .
综上所述：当t＝6时有最大值为 .
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18. （本小题满分17分）已知函数f（x）＝log3（cx＋1）＋kx（k∈R）
是偶函数，且当k＝0时，函数y＝f（x）的图象与函数h（x）＝bx－1－1
＋log310（b＞0且b≠1）的图象都恒过同一个定点.
（1）求k和c的值；
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解：因为函数h（x）＝bx－1－1＋log310（b＞0且b≠1）的图象恒
过定点（1，log310），
当k＝0时，函数f（x）的图象与h（x）的图象过同一定点（1，
log310），
所以log310＝log3（c＋1） c＝9，
又函数f（x）为偶函数，
所以f（－x）＝f（x），
即log3（9－x＋1）－kx＝log3（9x＋1）＋kx，
即log3 ＋2kx＝0 log39x＋2kx＝0，
所以2x＋2kx＝0 x（1＋k）＝0对x∈R恒成立，
所以1＋k＝0 k＝－1，
故c＝9，k＝－1.
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（2）设函数g（x）＝log3（3a·3x－4a）（a∈R），若方程f（x）＝g
（x）＋k有且只有一个实数解，求实数a的取值范围.
解：由题意方程f（x）＝g（x）＋k有且只有一个实数解，
即方程log3（9x＋1）－x＝log3（3a·3x－4a）－1有且只有一个实数解，
化简得（3a－3）（3x）2－4a·3x－3＝0有唯一的实数解，
令3x＝t＞0，则问题转化为方程（3a－3）t2－4at－3＝0只有一个正实
数解，
则：①当3a－3＝0 a＝1时，方程化为－4t－3＝0 t＝－ 不满足题意.
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②当3a－3≠0 a≠1时，（3a－3）t2－4at－3＝0为一元二次方程，
（ⅰ）若两正根相等则Δ＝（－4a）2－4（3a－3）（－3）＝0，解得a
＝ 或a＝－3，
当a＝ 时，代入方程（3a－3）t2－4at－3＝0，
得t2＋4t＋4＝0 t＝－2不满足题意，
当a＝－3时，代入方程（3a－3）t2－4at－3＝0，得
4t2－4t＋1＝0 t＝ 满足题意.
（ⅱ）若方程有一正根一负根时，由根与系数的关系有两根之积小于0，
即－ ＜0 － ＜0 a＞1满足题意，
综上所述，实数a的取值范围是{－3}∪（1，＋∞）.
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19. （本小题满分17分）中心对称函数指的是图形关于某个定点成中心对称的函数，我们学过的奇函数便是一类特殊的中心对称函数，它的对称中心为坐标原点.类比奇函数的代数定义，我们可以定义中心对称函数：设函数y＝f（x）的定义域为D，若对 x∈D，都有f（2m－x）＋f（x）＝2n，则称函数f（x）为中心对称函数，其中（m，n）为函数f（x）的对称中心.比如，函数y＝ ＋1就是中心对称函数，其对称中心为（0，1）.
（1）判断f（x）＝ 是否为中心对称函数（不用写理由），若是，请
写出对称中心；
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解：根据题意，f（x）＝ 的定义域为{x｜x≠1}，f（x）＝
＝2＋ ，因为对 x∈{x｜x≠1}，
都有f（2－x）＋f（x）＝2＋ ＋2＋ ＝4，
所以f（x）＝ 是中心对称函数，对称中心为（1，2）.
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（2）若定义在[π，2π]上的函数f（x）＝ sin （2x＋φ）为中心对称函
数，求φ的值；
解：若定义在[π，2π]上的函数f（x）＝ sin （2x＋φ）为中心对称函数，
由定义域易知其对称中心的横坐标必为 ，
则f（x）＋f（3π－x）＝ sin （2x＋φ）＋ sin [2（3π－x）＋φ]＝ sin
（2x＋φ）＋ sin （－2x＋φ）＝ sin （2x＋φ）－ sin （2x－φ）＝ sin
2x cos φ＋ cos 2x sin φ－ sin 2x· cos φ＋ cos 2x sin φ＝2 cos 2x sin φ，
因为f（x）＝ sin （2x＋φ）为中心对称函数，
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则f（x）＋f（3π－x）为定值，则 sin φ＝0，即f（x）＋f（3π－x）＝0，
所以f（x）＝ sin （2x＋φ）关于点（ ，0）中心对称，又因为 sin φ
＝0，所以φ＝kπ（k∈Z）.
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（3）判断函数g（x）＝ 是否为中心对称函数，若是，求出其对称
中心；若不是，请说明理由.
解：函数g（x）是中心对称函数，其对称中心为点（－1，－1）.
解方程3x＋1－1＝0得x＝－1，所以函数g（x）的定义域为（－∞，－
1）∪（－1，＋∞），
明显定义域仅关于点（－1，0）对称，
所以若函数g（x）＝ 是中心对称函数，则其对称中心的横坐标
必为－1，
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设其对称中心为点（－1，n），
则由题意可知有 x∈D，g（－2－x）＋g（x）＝2n，
令x＝－2，可得2n＝g（0）＋g（－2）＝1－3＝－2，所以n＝－1，
所以若函数g（x）为中心对称函数，其对称中心必定为点（－1，－1）.
下面证明函数g（x）＝ 的图象关于点（－1，－1）成中心对称
图形：
即证明 x∈D，g（－2－x）＋g（x）＝－2，
g（－2－x）＋g（x）＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋
＝ ＝－2× ＝－2，得证.
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THANKS
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