沪科版数学八年级下册16.1二次根式分层练习
一、基础夯实
1．（2025八下·杭州月考）二次根式在实数范围内有意义，则x应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，得x-3≥0，
解得x≥3.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的有无意义条件即可求解.
2．（2021八下·定陶期末）若x，y都是实数，且 ，则xy的值是（ ）
A．0 B． C． D．不能确定
【答案】C
【知识点】代数式求值；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据二次根式有意义的条件可得：
解得：
∴
将 代入 中得：
解得：
∴
故答案为：C．
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此求出x值，再代入求出y值，从而求出结论.
3．（2025八下·贵州期中）实数在数轴上的位置如图，那么化简的结果是（ ）
A． B．b C． D．a
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由实数a、b在数轴上的位置可知，，且，
∴，
∴原式
，
故答案为：C．
【分析】根据数轴上的点所表示数的特点，可得b＜0＜a，且|b|＞|a|，然后根据有理数减法法则得出b-a＜0 ，进而根据“”及绝对值的代数意义化简，最后合并同类项即可得出答案.
4．（2025八下·诸暨期末）二次根式化简的结果是（ ）
A．4 B．±4 C．±2 D．2
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：=4.
故答案为：A.
【分析】根据算术平方根的计算方法化简，即可得出答案.
5．（2025八下·南宁期末）下列式子是二次根式的是（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：.3是整数，不含根号，不是二次根式，故该选项不符合题意；
．的根指数为2（省略未写），被开方数，符合二次根式的定义，故该选项符合题意；
．的被开方数为，在实数范围内无意义，不是二次根式，故该选项不符合题意；
．的根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式的条件，故该选项不符合题意；
故选：B．
【分析】二次根式需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数非负，根据定义判断即可．
6．（2025八下·鹤山期末）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
【答案】x＞2
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：x-2＞0，
∴x＞2.
故答案为：x＞2.
【分析】根据分式和二次根式有意义的条件，即可得出x-2＞0，解不等式，即可得出 自变量x的取值范围 。
7．（2025八下·贵州期中）根据下列条件求代数式的值；
（1）；
（2）．
【答案】解：（1）当时
原式
；
（2）当时，
原式
．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】分别把a、b、c的值代入，然后将被开方数按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序进行计算，进而根据二次根式的性质化简二次根式，最后约分即可求得答案．
8．（2024八下·东莞期中）（1）求代数式的值，其中．
如图是小亮和小芳的解答过程：
（填“小亮”或“小芳”）的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质：（填字母） ．
A． B．
（2）化简：．
【答案】（1）小亮，A；
（2），
∴当时，原式；当时，原式．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）小亮的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质；
故答案为：小亮，A。
【分析】
（1）根据二次根式的性质，，结合即可判断；
（2）根据，进行化简求值即可．
9．（2024八下·玉州期中）（1）已知a，b为实数，且，求a，b的值．
（2）已知实数m满足|2023－m|+＝m，求m－20232的值．
【答案】（1）解：∵和均有意义，
∴4﹣2a≥0且a﹣2≥0，
即a≤2且a≥2，
∴a＝2，
当a＝2时，
∴，
∴a＝2，；
（2）解：∵有意义，
∴m≥2024，
∴|2023﹣m|＝m﹣2023，
因此|2023﹣m|+＝m，可变为m﹣2023+＝m，
即＝2023，
∴m﹣2024＝20232，
即m﹣20232＝2024，
∴m﹣20232的值是2024.
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求出的值，然后代入所给式子求出b即可；
（2）根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，然后根据绝对值的意义进行化简，再把式子两边平方可得答案．
10．（2024八下·青山湖月考）（1）填空 ； ； ； ；
（2）观察第（1）题的计算结果回答：一定等于吗 你发现其中的规律了吗 请把你观察到的规律归纳出来；
（3）利用你总结的规律计算：，其中.
【答案】（1）3；；0；5
（2）解：
（3）解：
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）填空：3； ； 0； 5 ；
(2)、
（3）
=x-2-(x-3)
= x-2-x+3
=1
【分析】(1)根据二次根式的计算法则将各式进行化简即可；
(2)根据第一题的答案找出一般性的规律；
(3)根据给出的x的取值范围判断x-2和x-3的正负性，然后进行去绝对值计算，最后进行化简得出答案.
二、能力提升
11．（2024八下·连山月考）先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题，
若和在实数范围内都有意义，求的值．
解：和在实数范围内都有意义，
且．
由得：
，
．
问题，若实数满足，求的值．
【答案】解：由题意可得，和在实数范围内都有意义
∴且
由得到
∴
解得
∴将x=2代入，
∴将x=2，y=3代入可得
答：的值为5.
【知识点】二次根式有无意义的条件；求算术平方根；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】本题着重考查了二次根式有意义的条件.二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.这是解决本题的关键依据，根据二次根式有意义得到，解得，再求出，再代入进行解答即可．
12．求代数式 的值， 其中 ，下图是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是错误的， 错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：
（2） 求代数式 的值；其中 ．
【答案】（1）小亮；
（2）解：
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】（1）通过观察发现小亮的解法错误，错误的原因是在没有正确的使用二次根式的性质；
故答案为：小亮；；
【分析】（1）根据二次格式的性质“”即可判断得出答案；
（2）根据完全平方公式将被开方数分解因式，再根据二次根式性质化简，进而合并同类项得出最简结果，最后将a的值代入计算即可.
13．（2024八下·东莞期中）观察下列各式：
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）=________；
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：_____；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）．
【答案】（1）
（2）
（3）解：原式=
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【解答】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据已知算式得出规律，再根据求出的规律进行计算即可；
（2）根据已知算式得出规律即可；
（3）原式先变形为，再根据得出的规律进行计算即可．
14．（2021八下·江油期末）若是正整数，则整数n的最小值为 .
【答案】21
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵189＝21×9，
∴是整数的正整数n的最小值是21.
故答案为：21.
【分析】根据算术平方根的定义，得出189n是一个正整数数的平方，结合求整数n的最小值，即可解答.
15．（2025八下·义乌期中） 已知实数a满足，那么的值是 ．
【答案】2025
【知识点】二次根式的性质与化简；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵式子有意义，
∴，解得：，
∴，
∴可化为，
∴，两边平方，得，
移项，得
故答案为：2025.
【分析】先根据式子有意义，求出a的取值范围，再化简，求得的值.
16．（2024八下·大观期中） 观察下列各式及其验证过程：
，验证：；
，验证：；
，验证：
（1）仿照上述三个等式的变形，对下列式子进行变形：
， ．
（2）根据上述规律，写出用n（n为正整数且）表示的等式，并加以验证．
【答案】（1）；
（2）解：
证明：左式右式．
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）；验证：，
；验证：，
故答案为：，．
【分析】⑴、二次根式规律题，等式左边是大于或等于2的自然数的倒数乘以一个二次根式，该二次根式的被开方数是比该自然数大1的数的平方与1差，等式右边是一二次根式，被开方数是1加上2与该自然数的商的和，类比书写即可；
⑵、按（1）小题找到的规律书写含n的等式（通式），且利用二次根式的运算性质可论证其正确。
三、创新拓展
17．（2025八下·嘉兴期末） 形如与（a、b为正有理数）的两个代数式，它们的积不含有根号，我们称这两个代数式互为有理化因式.
例如：因为，所以与互为有理化因式.
（1） 判断与是不是有理化因式，并说明理由；
（2） 请直接写出的有理化因式；
（3） 请比较与的大小.
【答案】（1）解： 是；因为，
所以与是有理化因式
（2）解：(2) 或
（3）解：因为，
而
所以
【知识点】实数的大小比较；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）判断与的乘积是否为有理数即可；
（2）由定义，利用平方差公式进行去分母，得有理化因式为或；
（3）将两式与各自的有理化因式相乘，得到相同的结果1，易知，则可比较得到结果.
18．（2023八下·大化期中）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简：
解：隐含条件，解得：
∴
∴原式
（1） 【启发应用】
按照上面的解法，试化简；
（2） 【类比迁移】
实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：；
（3）已知a，b，c为的三边长．化简：．
【答案】（1）解：隐含条件解得：，
，
原式
；
（2）解：观察数轴得隐含条件：，，，
，，
原式
；
（3）解：由三角形三边之间的关系可得隐含条件：，，，，
，，，
原式
．
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得，从而得出x-3＜0，根据二次根式的性质化简即可；
（2）由数轴可知，，，从而得出，，根据二次根式的性质及绝对值进行化简即可；
（3）由三角形的三边关系可得，，，根据二次根式的性质化简即可.
1 / 1沪科版数学八年级下册16.1二次根式分层练习
一、基础夯实
1．（2025八下·杭州月考）二次根式在实数范围内有意义，则x应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021八下·定陶期末）若x，y都是实数，且 ，则xy的值是（ ）
A．0 B． C． D．不能确定
3．（2025八下·贵州期中）实数在数轴上的位置如图，那么化简的结果是（ ）
A． B．b C． D．a
4．（2025八下·诸暨期末）二次根式化简的结果是（ ）
A．4 B．±4 C．±2 D．2
5．（2025八下·南宁期末）下列式子是二次根式的是（ ）
A．3 B． C． D．
6．（2025八下·鹤山期末）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
7．（2025八下·贵州期中）根据下列条件求代数式的值；
（1）；
（2）．
8．（2024八下·东莞期中）（1）求代数式的值，其中．
如图是小亮和小芳的解答过程：
（填“小亮”或“小芳”）的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质：（填字母） ．
A． B．
（2）化简：．
9．（2024八下·玉州期中）（1）已知a，b为实数，且，求a，b的值．
（2）已知实数m满足|2023－m|+＝m，求m－20232的值．
10．（2024八下·青山湖月考）（1）填空 ； ； ； ；
（2）观察第（1）题的计算结果回答：一定等于吗 你发现其中的规律了吗 请把你观察到的规律归纳出来；
（3）利用你总结的规律计算：，其中.
二、能力提升
11．（2024八下·连山月考）先阅读下面提供的材料，再解答相应的问题，
若和在实数范围内都有意义，求的值．
解：和在实数范围内都有意义，
且．
由得：
，
．
问题，若实数满足，求的值．
12．求代数式 的值， 其中 ，下图是小亮和小芳的解答过程．
（1） 的解法是错误的， 错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：
（2） 求代数式 的值；其中 ．
13．（2024八下·东莞期中）观察下列各式：
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）=________；
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：_____；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）．
14．（2021八下·江油期末）若是正整数，则整数n的最小值为 .
15．（2025八下·义乌期中） 已知实数a满足，那么的值是 ．
16．（2024八下·大观期中） 观察下列各式及其验证过程：
，验证：；
，验证：；
，验证：
（1）仿照上述三个等式的变形，对下列式子进行变形：
， ．
（2）根据上述规律，写出用n（n为正整数且）表示的等式，并加以验证．
三、创新拓展
17．（2025八下·嘉兴期末） 形如与（a、b为正有理数）的两个代数式，它们的积不含有根号，我们称这两个代数式互为有理化因式.
例如：因为，所以与互为有理化因式.
（1） 判断与是不是有理化因式，并说明理由；
（2） 请直接写出的有理化因式；
（3） 请比较与的大小.
18．（2023八下·大化期中）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题：
化简：
解：隐含条件，解得：
∴
∴原式
（1） 【启发应用】
按照上面的解法，试化简；
（2） 【类比迁移】
实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：；
（3）已知a，b，c为的三边长．化简：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，得x-3≥0，
解得x≥3.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式的有无意义条件即可求解.
2．【答案】C
【知识点】代数式求值；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据二次根式有意义的条件可得：
解得：
∴
将 代入 中得：
解得：
∴
故答案为：C．
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此求出x值，再代入求出y值，从而求出结论.
3．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由实数a、b在数轴上的位置可知，，且，
∴，
∴原式
，
故答案为：C．
【分析】根据数轴上的点所表示数的特点，可得b＜0＜a，且|b|＞|a|，然后根据有理数减法法则得出b-a＜0 ，进而根据“”及绝对值的代数意义化简，最后合并同类项即可得出答案.
4．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：=4.
故答案为：A.
【分析】根据算术平方根的计算方法化简，即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】二次根式的概念
【解析】【解答】解：.3是整数，不含根号，不是二次根式，故该选项不符合题意；
．的根指数为2（省略未写），被开方数，符合二次根式的定义，故该选项符合题意；
．的被开方数为，在实数范围内无意义，不是二次根式，故该选项不符合题意；
．的根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式的条件，故该选项不符合题意；
故选：B．
【分析】二次根式需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数非负，根据定义判断即可．
6．【答案】x＞2
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：x-2＞0，
∴x＞2.
故答案为：x＞2.
【分析】根据分式和二次根式有意义的条件，即可得出x-2＞0，解不等式，即可得出 自变量x的取值范围 。
7．【答案】解：（1）当时
原式
；
（2）当时，
原式
．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】分别把a、b、c的值代入，然后将被开方数按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序进行计算，进而根据二次根式的性质化简二次根式，最后约分即可求得答案．
8．【答案】（1）小亮，A；
（2），
∴当时，原式；当时，原式．
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）小亮的解法是错误的，错误的原因在于未能正确的运用二次根式的性质；
故答案为：小亮，A。
【分析】
（1）根据二次根式的性质，，结合即可判断；
（2）根据，进行化简求值即可．
9．【答案】（1）解：∵和均有意义，
∴4﹣2a≥0且a﹣2≥0，
即a≤2且a≥2，
∴a＝2，
当a＝2时，
∴，
∴a＝2，；
（2）解：∵有意义，
∴m≥2024，
∴|2023﹣m|＝m﹣2023，
因此|2023﹣m|+＝m，可变为m﹣2023+＝m，
即＝2023，
∴m﹣2024＝20232，
即m﹣20232＝2024，
∴m﹣20232的值是2024.
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）根据二次根式有意义的条件求出的值，然后代入所给式子求出b即可；
（2）根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，然后根据绝对值的意义进行化简，再把式子两边平方可得答案．
10．【答案】（1）3；；0；5
（2）解：
（3）解：
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：（1）填空：3； ； 0； 5 ；
(2)、
（3）
=x-2-(x-3)
= x-2-x+3
=1
【分析】(1)根据二次根式的计算法则将各式进行化简即可；
(2)根据第一题的答案找出一般性的规律；
(3)根据给出的x的取值范围判断x-2和x-3的正负性，然后进行去绝对值计算，最后进行化简得出答案.
11．【答案】解：由题意可得，和在实数范围内都有意义
∴且
由得到
∴
解得
∴将x=2代入，
∴将x=2，y=3代入可得
答：的值为5.
【知识点】二次根式有无意义的条件；求算术平方根；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】本题着重考查了二次根式有意义的条件.二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.这是解决本题的关键依据，根据二次根式有意义得到，解得，再求出，再代入进行解答即可．
12．【答案】（1）小亮；
（2）解：
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】（1）通过观察发现小亮的解法错误，错误的原因是在没有正确的使用二次根式的性质；
故答案为：小亮；；
【分析】（1）根据二次格式的性质“”即可判断得出答案；
（2）根据完全平方公式将被开方数分解因式，再根据二次根式性质化简，进而合并同类项得出最简结果，最后将a的值代入计算即可.
13．【答案】（1）
（2）
（3）解：原式=
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【解答】
（1）
（2）
【分析】
（1）根据已知算式得出规律，再根据求出的规律进行计算即可；
（2）根据已知算式得出规律即可；
（3）原式先变形为，再根据得出的规律进行计算即可．
14．【答案】21
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵189＝21×9，
∴是整数的正整数n的最小值是21.
故答案为：21.
【分析】根据算术平方根的定义，得出189n是一个正整数数的平方，结合求整数n的最小值，即可解答.
15．【答案】2025
【知识点】二次根式的性质与化简；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵式子有意义，
∴，解得：，
∴，
∴可化为，
∴，两边平方，得，
移项，得
故答案为：2025.
【分析】先根据式子有意义，求出a的取值范围，再化简，求得的值.
16．【答案】（1）；
（2）解：
证明：左式右式．
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）；验证：，
；验证：，
故答案为：，．
【分析】⑴、二次根式规律题，等式左边是大于或等于2的自然数的倒数乘以一个二次根式，该二次根式的被开方数是比该自然数大1的数的平方与1差，等式右边是一二次根式，被开方数是1加上2与该自然数的商的和，类比书写即可；
⑵、按（1）小题找到的规律书写含n的等式（通式），且利用二次根式的运算性质可论证其正确。
17．【答案】（1）解： 是；因为，
所以与是有理化因式
（2）解：(2) 或
（3）解：因为，
而
所以
【知识点】实数的大小比较；二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）判断与的乘积是否为有理数即可；
（2）由定义，利用平方差公式进行去分母，得有理化因式为或；
（3）将两式与各自的有理化因式相乘，得到相同的结果1，易知，则可比较得到结果.
18．【答案】（1）解：隐含条件解得：，
，
原式
；
（2）解：观察数轴得隐含条件：，，，
，，
原式
；
（3）解：由三角形三边之间的关系可得隐含条件：，，，，
，，，
原式
．
【知识点】实数在数轴上表示；二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简；三角形三边关系
【解析】【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得，从而得出x-3＜0，根据二次根式的性质化简即可；
（2）由数轴可知，，，从而得出，，根据二次根式的性质及绝对值进行化简即可；
（3）由三角形的三边关系可得，，，根据二次根式的性质化简即可.
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