《创新课堂》培优课　对称问题 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测

(共60张PPT)
培优课　对称问题
1.理解轴对称与中心对称的几何性质与代数性质（直观想象）.
2.灵活利用对称性求解反射问题与最值问题（数学运算）.
重点解读
中心对称问题
一
轴对称问题
二
对称问题的应用
三
课时作业
04
目录
一
PART
中心对称问题
【例1】（1）求点P（x0，y0）关于点A（a，b）的对称点P'的坐标；
解：根据题意可知点A（a，b）为PP'的中点，设点P'的坐标为（x，y），
则根据中点坐标公式，得 所以
所以点P'的坐标为（2a－x0，2b－y0）.
（2）求直线3x－y－4＝0关于点（2，－1）的对称直线l的方程.
解：法一　设直线l上任意一点M的坐标为（x，y），则此点关于点
（2，－1）的对称点为M1（4－x，－2－y），
且M1在直线3x－y－4＝0上，
所以3（4－x）－（－2－y）－4＝0，即3x－y－10＝0.
所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0.
法二　在直线3x－y－4＝0上取两点A（0，－4），B（1，－1），
则点A（0，－4）关于点（2，－1）的对称点为A1（4，2），
点B（1，－1）关于点（2，－1）的对称点为B1（3，－1）.
可得直线A1B1的方程为3x－y－10＝0，
即所求直线l的方程为3x－y－10＝0.
法三　由平面几何知识易知所求直线l与直线3x－y－4＝0平行，
则可设l的方程为3x－y＋c＝0（c≠－4）.
在直线3x－y－4＝0上取一点（0，－4），
则点（0，－4）关于点（2，－1）的对称点（4，2）在直线3x－y＋c
＝0上，
所以3×4－2＋c＝0，所以c＝－10.
所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0.
【规律方法】
1. 解决点关于点对称问题的方法
点P（x0，y0）关于点A（m，n）的对称点P'（x'，y'）可利用中点坐标
公式求得，由 得
2. 解决直线关于点对称问题的方法
方法一：在已知直线上取两点，根据点的中心对称的求法求出对称点，再
由对称点确定对称直线；
方法二：在已知直线上取一点，求出它关于已知点的对称点，再利用对称
直线与原直线平行求直线方程；
特别地，直线Ax＋By＋C＝0关于原点对称的直线方程是A（－x）＋B
（－y）＋C＝0.
训练1　（1）（2025·济宁月考）若点P（3，4）是线段AB的中点，且点
A的坐标为（－1，2），则点B的坐标为 ；
解析：设点B（x，y），∵点P（3，4）是线段AB的中点，且点A的坐
标为（－1，2），∴ 解得x＝7，y＝6，∴点B的坐标为（7，
6）.
（7，6）
（2）已知直线l1：2x＋y＋2＝0与l2：4x＋by＋c＝0关于点P（1，0）对
称，则b＋c＝ .
解析：在直线l1：2x＋y＋2＝0上取点M（－1，0），N（0，－2），
M，N关于点P（1，0）对称的点分别为M1（3，0），N1（2，2）.∵点
M1（3，0），N1（2，2）在直线l2：4x＋by＋c＝0上，∴12＋c＝0，8＋
2b＋c＝0，解得c＝－12，b＝2，∴b＋c＝－10.
－10
二
PART
轴对称问题
【例2】（2025·湛江月考）已知直线l：y＝3x＋3，求：
（1）点P（4，5）关于直线l的对称点的坐标；
解：设点P关于直线l的对称点为P'（x'，y'），则线段PP'的中点在直线l
上，且直线PP'垂直于直线l，
即 解得
所以点P'的坐标为（－2，7）.
（2）直线y＝x－2关于直线l的对称直线的方程.
解：解方程组 得
则点（－ ，－ ）在所求直线上.
在直线y＝x－2上取点M（2，0），
设点M关于直线l的对称点为M'（x0，y0），
则
解得
点M'（－ ， ）也在所求直线上.
由两点式得直线方程为 ＝ ，
化简得7x＋y＋22＝0，即为所求直线方程.
【规律方法】
1. 解决点关于直线对称问题的方法
已知P（x，y），直线l：Ax＋By＋C＝0，求点P关于直线l的对称点P'
（x'，y'）可以分三步：
第一步，直线PP'和l垂直，故kPP'·kl＝－1（kl≠0）；
第二步，PP'的中点在直线l上，即（ ， ）满足直线方程Ax＋
By＋C＝0，得到A· ＋B· ＋C＝0；
第三步，联立两式可解出x'，y'.
2. 解决直线关于直线对称问题的方法
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，求直线l1关于
直线l2的对称直线的方程：
（1）如果l1∥l2，则设所求直线方程为A1x＋B1y＋m＝0（m≠C1），然
后在l1上找一点P，求出点P关于直线l2的对称点P'（x'，y'），再代入A1x
＋B1y＋m＝0即可解出m；
（2）如果l1不平行于l2，则先找出l1与l2的交点P，然后在l1上确定一点
（不同于交点），找出这一点关于l2的对称点P'，由直线方程的两点式确
定所求直线方程.
训练2　（2025·南通月考）已知直线l1：x－y＋3＝0，直线l：x－y－1
＝0.若直线l1关于直线l的对称直线为l2，求直线l2的方程.
解：法一　因为l1∥l，所以l2∥l，设直线l2的方程为x－y＋m＝0
（m≠3，m≠－1）.
因为直线l1，l2关于直线l对称，所以l1与l间的距离等于l2与l间的距离.
由两条平行直线间的距离公式，得 ＝ ，解得m＝－5或
m＝3（舍去）.
所以直线l2的方程为x－y－5＝0.
法二　由题意知l1∥l2，设直线l2的方程为x－y＋m＝0（m≠3，m≠－
1）.
在直线l1上取点M（0，3），设点M关于直线l的对称点为M'（a，b），
于是有 解得 即点M'的坐标为（4，－1）.
把点M'的坐标代入l2的方程，得m＝－5，所以直线l2的方程为x－y－5
＝0.
三
PART
对称问题的应用
角度1　光的反射问题
【例3】已知光线从点A（－2，1）射出，经直线2x－y＋10＝0反射，且
反射光线所在直线过点B（－8，－3），则反射光线所在直线的方程是
（　　）
A. x－3y－1＝0 B. 3x－y＋21＝0
C. x＋3y＋17＝0 D. 3x＋y＋15＝0
√
解析：设A（－2，1）关于直线2x－y＋10＝0的对称点为C（x，y），则 解得 即C（－6，3），所以反射光线所在直线方程为y－3＝ ·（x＋6），即3x－y＋21＝0.故选B.
【规律方法】
利用对称解决光线反射问题的方法
根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线所在的直线关于法线
对称，即入射光线、反射光线上对应的点关于法线对称.利用点的对称关
系可以求解.
角度2　利用对称解决有关最值问题
【例4】　在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q，使得：
（1）P到A（4，1）与B（0，4）的距离之差的绝对值最大；
解：如图，设点B关于l的对称点B'的坐标为（a，b），
连接BB'，则kBB'·kl＝－1，
即 ×1＝－1，
所以a＋b－4＝0，　①
因为BB'的中点（ ， ）在直线l上，
所以 － －1＝0，即a－b－6＝0.　②
由①②得
所以点B'的坐标为（5，－1）.
于是AB'所在直线的方程为 ＝ ，即2x＋y－9＝0.
易知｜｜PB｜－｜PA｜｜＝｜｜PB'｜－｜PA｜｜，
当且仅当P，B'，A三点共线时，｜｜PB'｜－｜PA｜｜最大.
所以联立直线l与AB'的方程，
解得x＝ ，y＝ ，
即l与AB'的交点坐标为（ ， ）.
故点P的坐标为（ ， ）.
（2）Q到A（4，1）与C（3，0）的距离之和最小.
解：如图，设点C关于l的对称点为C'，可求得C'的坐标为
（1，2），所以AC'所在直线的方程为x＋3y－7＝0.
易知｜QA｜＋｜QC｜＝｜QA｜＋｜QC'｜，当且仅当
Q，A，C'三点共线时，｜QA｜＋｜QC'｜最小.
所以联立直线AC'与l的方程，解得x＝ ，y＝ ，
即AC'与l的交点坐标为（ ， ）.
故点Q的坐标为（ ， ）.
【规律方法】
利用对称求距离最值问题的方法
要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之和（差）的最值
问题，一般借助平面几何知识（三角形任意两边之和大于第三边，任意两
边之差的绝对值小于第三边）及对称性解决.即：
（1）若两点A，B位于直线l的同侧，要求直线l上到A，B距离之和最小
的点，只需作A（或B）关于直线l的对称点A'（或B'），得直线A'B（或
AB'）的方程，再求其与直线l的交点即可；
（2）若两点A，B位于直线l的同侧，要求直线l上到A，B距离之差最大
的点，则只需求出直线AB的方程，再求其与直线l的交点即可；
（3）若两点A，B位于直线l的异侧，要求直线l上到A，B距离之差最大
的点，则只需作A（或B）关于直线l的对称点A'（或B'），得直线A'B（或
AB'）的方程，再求其与直线l的交点即可.
训练3　（1）一条光线从点A（－1，3）射向x轴，经过x轴上的点P反射
后经过点B（3，1），则点P的坐标为（　　）
A. （0，0） B. （1，0）
C. （2，0） D. （3，0）
解析：　由题可得B（3，1）关于x轴的对称点为B'（3，－1），则直线
AB'的方程为 ＝ ，可得y＝－x＋2，令y＝0，可得x＝2，所
以点P（2，0）.
√
（2）（2025·宁波月考）已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A（2，0），B
（－2，－4），在直线l上求一点P，使｜PB－PA｜最大.
解：易知A，B两点在直线l的同侧，
当且仅当A，B，P三点共线时，｜PB－PA｜取得最大值，
又直线AB的方程为y＝x－2，
则 解得
故所求的点P的坐标为（12，10）.
1. 点A（－3，1），C（1，y）关于点B（－1，－3）对称，则y的值为
（　　）
A. －5 B. －6
C. －7 D. －8
解析：由已知得 ＝－3，解得y＝－7.
√
2. 点（3，9）关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标是（　　）
A. （－1，－3） B. （17，－9）
C. （－1，3） D. （－17，9）
解析：设点（3，9）关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标为（a，b），则由 解得 即得该点坐标为（－1，－3）.故选A.
√
3. 直线x－2y＋1＝0 关于直线x＝1对称的直线方程是（　　）
A. x＋2y－1＝0 B. 2x＋y－1＝0
C. 2x＋y－3＝0 D. x＋2y－3＝0
解析：　在直线x－2y＋1＝0上任取两点，不妨取点（1，1），（0，
），这两点关于直线x＝1对称的点分别为（1，1），（2， ），两对称
点所在直线的方程为y－1＝－ （x－1），即x＋2y－3＝0.
√
4. 已知点A（3，－1），B（5，－2），且点P在直线x＋y＝0上，若
使｜PA｜＋｜PB｜取最小值，则点P的坐标是 .
解析：点A（3，－1）关于直线x＋y＝0的对称点为A'（1，－3），直线
A'B与直线x＋y＝0的交点即为所求的点.直线A'B的方程为 ＝ ，即
y＝ x－ ，与x＋y＝0联立解得x＝ ，y＝－ ，∴点P（ ，－
）.
（ ，－ ）
课堂小结
1.理清单
（1）中心对称问题；
（2）轴对称问题；
（3）对称问题的应用.
2.应体会
（1）解中心对称与轴对称问题，常利用数形结合思想；
（2）利用对称性求距离之和或距离之差的绝对值的最值问题，常利用化
归与转化思想转化为三点共线问题求解.
3.避易错
求一条直线关于另一条直线的对称直线时，要区分相交线与平行线两种
情形，两者不能混为一谈.
04
PART
课时作业
1. 若点P（3，4）和点Q（a，b）关于直线x－y－1＝0对称，则（　　）
A. a＝1，b＝－2 B. a＝2，b＝－1
C. a＝4，b＝3 D. a＝5，b＝2
解析：由 解得
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√
2. 已知点A（x，5）关于点（1，y）的对称点为（－2，－3），则点P
（x，y）到原点的距离是（　　）
A. 2 B. 4 C. 5 D.
解析：　由题可知： 所以点P（x，y）到原点
的距离是 .故选D.
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3. 与直线2x＋3y－6＝0关于点（1，－1）对称的直线方程是（　　）
A. 3x－2y＋2＝0 B. 2x＋3y＋7＝0
C. 3x－2y－12＝0 D. 2x＋3y＋8＝0
解析：由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x＋3y－6＝0平行，则可设所求直线方程为2x＋3y＋C＝0（C≠－6）.在直线2x＋3y－6＝0上任取一点（3，0），关于点（1，－1）的对称点为（－1，－2），则点（－1，－2）必在所求直线上，所以2×（－1）＋3×（－2）＋C＝0，解得C＝8.所以所求直线方程为2x＋3y＋8＝0.
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4. 两直线l1：3x－2y－6＝0，l2：3x－2y＋8＝0，则直线l1关于直线l2对
称的直线方程为（　　）
A. 3x－2y＋24＝0 B. 3x－2y－10＝0
C. 3x－2y－20＝0 D. 3x－2y＋22＝0
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解析：　设所求直线方程为3x－2y＋c＝0（c≠－6，c≠8），由题意
可知，所求直线到直线l2的距离等于直线l1，l2间的距离，∴
＝ .解得c＝22或c＝－6（舍去），∴所求直线的方程为3x－
2y＋22＝0.故选D.
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5. 已知A（3，0），B（0，3），从点P（0，2）射出的光线经x轴反射
到直线AB上，又经过直线AB反射回到P点，则光线所经过的路程为（　）
A. 2 B. 6
C. 3 D.
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解析：　由题意知直线AB的方程为x＋y＝3，点
P（0，2）关于x轴的对称点为P1（0，－2），设
点P（0，2）关于直线AB的对称点为P2（a，b），
如图，∴ 解得 ∴P2（1，3），∴光
线所经过的路程为｜PQ｜＋｜QM｜＋｜MP｜＝｜P1P2｜＝
＝ .
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6. 若函数y＝ 的图象上存在两点P，Q关于点（1，0）对称，则直线
PQ的方程为（　　）
A. x－4y＋1＝0 B. x－4y－1＝0
C. 4x－y＋1＝0 D. 4x－y－1＝0
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解析：　根据题意，设P（p， ），Q（q， ），因为线段PQ
的中点是（1，0），所以 整理得 所以p，
q为方程x2－2x－1＝0的根，解得x＝1± ，所以P（1＋ ， ），
Q（1－ ，－ ）或P（1－ ，－ ），Q（1＋ ， ）.由两点
式得直线PQ的方程为x－4y－1＝0.
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7. 〔多选〕已知直线l：y＝x，点A（0，－1），则（　　）
A. 过点A与l平行的直线的方程为y＝x－1
B. 点A关于l对称的点的坐标为（0，1）
C. 点A到直线l的距离为
D. 过点A与l垂直的直线的方程为y＝－x－1
√
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√
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解析：与直线y＝x平行的直线方程可设为y＝x＋m，代入点A（0，－1）得－1＝0＋m，即m＝－1，即平行线方程为y＝x－1，A正确；点A关于l的对称点坐标为（－1，0），B错；点A到直线l的距离为d＝ ＝ ，C正确；与直线l垂直的直线方程可设为y＝－x＋n，代入A点坐标得－1＝0＋n，n＝－1，即直线方程为y＝－x－1，D正确.故选A、C、D.
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8. 〔多选〕已知点M（－1，1），N（2，1），且点P在直线l：x＋y＋
2＝0上，则（　　）
A. 存在点P，使得PM⊥PN
B. 存在点P，使得2｜PM｜＝｜PN｜
C. ｜PM｜＋｜PN｜的最小值为
D. ｜｜PM｜－｜PN｜｜的最大值为3
√
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√
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解析：　对于选项A，设P（a，－a－2），若a＝－1时P（－1，－1），此时PM的斜率不存在，kPN＝ ≠0，PM与PN不垂直，同理a＝2时PM与PN不垂直，当a≠－1且a≠2时kPM＝ ，kPN＝ ，若
PM⊥PN，则kPM·kPN＝ · ＝－1，去分母整理得2a2＋5a＋7＝0，Δ＝52－4×2×7＜0，方程无实数解，故PM与PN不垂直，故A错误；对于选项B，设P（a，－a－2），若2｜PM｜＝｜PN｜，则
2 ＝ ，即2a2＋10a＋9＝0，由Δ＝102－4×2×9＝28＞0，所以方程有解，则存在点P，
使得2｜PM｜＝｜PN｜，故B正确；
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对于选项C，如图1设M（－1，1）关于直线l的对称
点为M'（m，n），则
解得 即M'（－3，－1），｜M'N｜＝ ＝ ，所以｜PM｜＋｜PN｜＝｜PM'｜
＋｜PN｜≥｜M'N｜＝ ，当且仅当M'，P，N三点共线时取等号
（P在线段M'N之间），故C正确；
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对于选项D，如图2，｜｜PM｜－｜PN｜｜≤｜MN｜＝3，当且仅当P在NM的延长线与直线l的交点时取等号，故D正确.故选B、C、D.
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9. 在原点O处发射一束激光，经过直线l：x＋y－4＝0反射后撞击Q处的
一个中子.已知Q的坐标为（3，0），光束射到l的位置为点P，则P的坐
标为 .
（ ， ）
解析：设点Q关于直线l对称的点为Q'（x0，y0），则由 解得 所以Q'（4，1），则直线OQ'的方程为y＝ ，联立直线y＝ 与x＋y－4＝0，可得x＝ ，y＝ ，即P（ ， ）.
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10. 已知直线l：3x＋2y－1＝0与直线l1关于直线x＋y＝0对称，则l1的方
程为 .
解析：x＋y＝0与l：3x＋2y－1＝0不平行，故l1经过x＋y＝0与l：3x＋
2y－1＝0的交点，联立 解得 即（1，－1）
在l1上，取l：3x＋2y－1＝0上另一点（3，－4），设（3，－4）关于直线x＋y＝0的对称点为（m，n），则有 解得 l1过两点（1，－1）和（4，－3），故方程为 ＝ ，即2x＋3y＋1＝0.
2x＋3y＋1＝0
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11. 已知点M（3，5），在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和
Q，使△MPQ的周长最小，并求出P，Q两点的坐标.
解：设点M（3，5）关于直线l的对称点为M1（a，b），
则
解得 即M1（5，1），
点M（3，5）关于y轴的对称点为M2（－3，5），
则直线M1M2的方程为 ＝ ，即x＋2y－7＝0.
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当P，Q分别为直线M1M2与直线l，y轴的交点时，△MPQ的周长最小.
令x＝0，得到直线M1M2与y轴的交点Q（0， ）.
由 解得
所以直线M1M2与直线l的交点为P（ ， ）.
故点P（ ， ），Q（0， ）即为所求.
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12. 已知直线l：x－y＋3＝0，一束光线从点A（1，2）处射向x轴上一点
B，又从点B反射到l上的一点C，最后从点C反射回点A.
（1）试判断由此得到的△ABC的个数；
解：如图，设B（m，0），点A关于x轴的对称点
为A'（1，－2），点B关于直线x－y＋3＝0的对称点为
B'（－3，m＋3）.
根据光学知识，直线AB'与直线BC关于直线l对称，点C
在直线A'B上，点C又在直线B'A上，又直线A'B的方程为
y＝ （x－m），
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由 得x＝ .
又直线AB'的方程为y－2＝ ·（x－1），
由
得x＝ .
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所以 ＝ ，即3m2＋8m－3＝0，
解得m＝ 或m＝－3.
当m＝ 时，符合题意；
当m＝－3时，点B在直线x－y＋3＝0上，不能构成三角形.
综上，符合题意的△ABC只有1个.
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（2）求直线BC的方程.
解：由（1）得m＝ ，则直线A'B的方程为3x＋y－1＝0，
即直线BC的方程为3x＋y－1＝0.
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