《创新课堂》章末检测（二）　直线和圆的方程 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测

(共37张PPT)
章末检测（二）　直线和圆的方程
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知直线的倾斜角为45°，在x轴上的截距为2，则直线的方程为（　）
A. y＝－x－2 B. y＝x－2
C. y＝x＋2 D. y＝－x＋2
解析：因为直线的倾斜角为45°，在x轴上的截距为2，所以该直线的斜率k＝tan 45°＝1，且过点（2，0），所以该直线的方程为y＝x－2.故选B.
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2. 若直线l1：x＋3y＋m＝0（m＞0）与直线l2：x＋3y－3＝0间的距离
为 ，则m＝（　　）
A. 17 B.
C. 14 D. 7
解析：因为l1∥l2，所以直线l1与直线l2间的距离为 ＝ ，
解得m＝7或m＝－13，因为m＞0，所以m＝7.
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3. 已知圆C的方程为x2＋y2－2mx＋2my＋2m2－m－5＝0，若点（1，
2）在圆外，则m的取值范围是（　　）
A. （－∞，－ ）∪（0，＋∞）
B. （0，＋∞）
C. （－∞，－ ）
D. （－5，－ ）∪（0，＋∞）
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解析：　将圆C：x2＋y2－2mx＋2my＋2m2－m－5＝0化为标准方程，
得（x－m）2＋（y＋m）2＝m＋5，则m＋5＞0，即m＞－5.又∵点
（1，2）在圆外，5－2m＋4m＋2m2－m－5＝2m2＋m＞0，解得m＜－
或m＞0.综上，m的取值范围为（－5，－ ）∪（0，＋∞）.
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4. 已知直线x＋y＝0与圆C：x2＋（y－2）2＝8相交于A，B两点，则｜
AB｜＝（　　）
A. 2 B. 4
C. D. 2
解析：　圆C：x2＋（y－2）2＝8的圆心C（0，2），半径r＝2 ，圆
心C到直线x＋y＝0的距离为 ＝ ，则弦AB的长｜AB｜＝
2 ＝2 .
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5. 直线x－2y＋2＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（　　）
A. 2x＋y－4＝0
B. x＋2y－1＝0
C. 2x＋y－3＝0
D. x＋2y－4＝0
解析：　直线x－2y＋2＝0上的点（－2，0）关于直线x＝1对称的点为
A（4，0），直线x－2y＋2＝0上的点（0，1）关于直线x＝1对称的点为
B（2，1），故直线x－2y＋2＝0关于直线x＝1对称的直线方程，即直线
AB的方程，为 ＝ ，即x＋2y－4＝0，故选D.
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6. 已知圆C经过A（0，0），B（2，0），且圆心在第一象限，△ABC为
直角三角形，则圆C的方程为（　　）
A. （x－1）2＋（y－1）2＝4
B. （x－ ）2＋（y－ ）2＝2
C. （x－1）2＋（y－1）2＝2
D. （x－1）2＋（y－2）2＝5
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解析：　因为圆心在弦AB的垂直平分线上，所以可设C（1，m），
又圆心在第一象限，所以∠ACB为直角，所以△ABC为等腰直角三角
形，所以｜AC｜＝ ＝ .因为m＞0，所以m＝1，所以圆心坐
标为（1，1），圆的半径为 ，所以圆C的方程为（x－1）2＋（y－
1）2＝2.
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7. 已知大圆O1与小圆O2相交于A（2，1），B（1，2）两点，且两圆都与
两坐标轴相切，则｜O1O2｜＝（　　）
A. 4 B. 4
C. 6 D. 6
解析：　由题意，设与两坐标轴都相切的圆的圆心为（a，a）（a＞
0），其方程为（x－a）2＋（y－a）2＝a2，将点（1，2）或（2，1）的
坐标代入，解得a＝5或a＝1，所以O1：（x－5）2＋（y－5）2＝25，
O2：（x－1）2＋（y－1）2＝1，可得O1（5，5），O2（1，1），所以｜
O1O2｜＝ ＝4 .
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8. 已知M（3，4）是半径为1的动圆C上一点，P为圆O：x2＋y2＝1上一
动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则当｜AB｜取最大值
时，△PAB的外接圆的方程为（　　）
A. x2＋y2－3x－4y－6＝0
B. x2＋y2－3x－4y＋6＝0
C. x2＋y2－3x－4y＝0
D. x2＋y2－4x－3y＝0
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解析：　如图，∵｜MC｜＝1，∴圆心C的轨迹方程为
（x－3）2＋（y－4）2＝1.∵P为圆O：x2＋y2＝1上的
动点，又｜OM｜＝5，∴3≤｜PC｜≤7.∵｜PC｜·｜
AB｜＝2｜AC｜·｜PA｜，｜AC｜＝1，｜PC｜2＝｜
PA｜2＋｜AC｜2，∴｜AB｜＝ ＝2 ，∴当｜PC｜最小时，｜AB｜最小；当｜PC｜最大时，｜AB｜最大，当｜PC｜＝｜OM｜＋2＝7时，｜AB｜取最大值，△PAB的外接圆以线段PC为直径，而PC的中点，即OM的中点为（ ，2），∴外接圆的方程为（x－ ）2＋（y－2）2＝ ，即x2＋y2－3x－4y－6＝0.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的
四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部
分分，有选错的得0分）
9. 已知直线l1：x＋ay－a＝0和直线l2：ax－（2a－3）y－1＝0，下列
说法正确的是（　　）
A. l2始终过定点（ ， ）
B. 若l1∥l2，则a＝1或－3
C. 若l1⊥l2，则a＝0或2
D. 当a＞0时，l1始终不过第三象限
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解析：　对于选项A，l2：ax－（2a－3）y－1＝0 a（x－2y）＋
3y－1＝0，由 解得 所以l2始终过定点（ ， ），
故A正确；对于选项B，若l1∥l2，则有
解得a＝－3，故B错误；对于选项
C，若l1⊥l2，则有1×a＋a×（3－2a）＝0，得a＝0或2，故C正确；
对于选项D，l1：y＝－ x＋1始终过（0，1），因为a＞0，所以直线斜率
－ ＜0，不会过第三象限，故D正确.故选A、C、D.
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10. 已知圆C1：（x－2 cos θ）2＋（y－2 sin θ）2＝1与圆C2：x2＋y2＝
1，则下列说法正确的是（　　）
A. 对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切
B. 对于任意的θ，圆C1与圆C2始终有四条公切线
C. 当θ＝ 时，直线l： x－y－1＝0被圆C1截得的弦长为
D. P，Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则｜PQ｜的最大值为4
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解析：　由已知得C1（2 cos θ，2 sin θ），C2（0，0），r1＝1，r2
＝1，所以｜C1C2｜＝ ＝2＝r1＋r2，故两圆始
终相切，所以A中说法正确，B中说法错误；当θ＝ 时，C1（ ，1），
所以C1到直线l的距离为 ＝ ，则弦长为
2× ＝ ，所以C中说法正确；因为｜C1C2｜＝2，所以｜
PQ｜max＝｜C1C2｜＋1＋1＝4，所以D中说法正确.
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11. 已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0和直线l：kx－y＋3－4k＝0，则
（　　）
A. 直线l与圆C的位置关系无法判定
B. 当k＝1时，圆C上的点到直线l的最大距离为 ＋2
C. 当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时，k＝0
D. 若直线l与圆C交于M，N两点，则MN的中点的轨迹是一个圆
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解析：由x2＋y2－6x－8y＋21＝0，得（x－3）2＋（y－4）2＝4，所以圆心C的坐标为（3，4），半径为2.由直线l的方程可得y－3＝k（x－4），则直线l恒过定点（4，3），易得此点在圆C内，故直线l与圆C相交，故A错误；当k＝1时，直线l的方程为x－y－1＝0，设圆心C（3，4）到直线l的距离为d，则d＝ ＝ ，所以圆C上的点到直线l的最大距离为 ＋2，故B正确；当圆C上有且仅有3个点到直线l的距离等于1时，圆心C（3，4）到直线l的距离为1，由 ＝1，得k＝0，故C正确；设直线l恒过的定点为A，MN的中点为P，由垂径定理知PC⊥PA，故点P的轨迹是以AC为直径的圆，故D正确.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横
线上）
12. 点M到x轴和到点N（－4，2）的距离都等于10，则点M的坐标
为 .
解析：设M（x，y），则｜y｜＝ ＝10.解得
或
（2，10）或（－10，10）
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13. 已知直线l的斜率为 ，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l
的方程为 .
解析：设直线l的方程为 ＋ ＝1，∴ ｜ab｜＝3，且－ ＝ ，解得a＝
－6，b＝1或a＝6，b＝－1，∴直线l的方程为 ＋y＝1或 －y＝1，即
x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0
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解析：根据题意，直线l：mx－y－2m－1＝0，即m（x－2）＝y＋1.由
解得 即直线l经过定点（2，－1），记点（2，－
1），（1，0）分别为点M，点C，则｜MC｜＝
＝ .以点（1，0）为圆心且与l相切的所有圆
中，半径最大时，r＝｜MC｜＝ .故半径最大的圆的标准方程为（x－
1）2＋y2＝2.
14. 在平面直角坐标系xOy中，直线l：mx－y－2m－1＝0（m∈R）过
定点 ，以点（1，0）为圆心且与l相切的所有圆中，半径
最大的圆的标准方程为 .
（2，－1）
（x－1）2＋y2＝2
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证
明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知直线l经过点P（－2，5），且斜率为－ .
（1）求直线l的方程；
解：由直线的点斜式方程，得y－5＝－ （x＋2），
整理得所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
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（2）若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程.
解：由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋C＝0
（C≠－14），
由点到直线的距离公式得 ＝3，
即 ＝3，解得C＝1或C＝－29，
故所求直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.
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16. （本小题满分15分）已知圆心为C的圆经过点A（－1，1）和B（－
2，－2），且圆心在直线l：x＋y－1＝0上.
（1）求圆C的标准方程；
解：设圆C的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），因
为圆C经过点A（－1，1）和B（－2，－2），
且圆心在直线l：x＋y－1＝0上，
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所以
解得
所以圆C的标准方程为（x－3）2＋（y＋2）2＝25.
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（2）设点P在圆C上，点Q在直线x－y＋5＝0上，求｜PQ｜的最小值.
解：因为圆心C到直线x－y＋5＝0的距离为d＝ ＝5 ＞5，
所以直线x－y＋5＝0与圆C相离，
所以｜PQ｜的最小值为d－r＝5 －5.
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17. （本小题满分15分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，圆M：x2
＋y2－12x－14y＋60＝0，圆上一点A（2，4）.
（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的
标准方程；
解：由点N在直线x＝6上，设N（6，n），
因为圆N与x轴相切，则圆N为（x－6）2＋（y－n）2＝
n2，n＞0，
又圆N与圆M：（x－6）2＋（y－7）2＝25外切，则｜7－
n｜＝｜n｜＋5，解得n＝1，
即圆N的标准方程为（x－6）2＋（y－1）2＝1.
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（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且｜BC｜＝｜
OA｜，求直线l的方程.
解：由题意得｜OA｜＝2 ，kOA＝2.
设l：y＝2x＋b，则圆心M到直线l的距离d＝ ＝ ，
则｜BC｜＝2 ＝2 ，
｜BC｜＝｜OA｜＝2 ，
即2 ＝2 ，解得b＝5或b＝－15，
即l：y＝2x＋5或y＝2x－15.
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18. （本小题满分17分）已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）
的距离的比为 ，动点M的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程，并说明其形状；
解：设M（x，y），
由 ＝ ，得 ＝ .
化简得x2＋y2＋2x－3＝0，即（x＋1）2＋y2＝4.
故曲线C是以（－1，0）为圆心，2为半径的圆.
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（2）过直线x＝3上的动点P（3，p）（p≠0）分别作C的两条切线
PQ，PR（Q，R为切点），证明：直线QR过定点，并求该定点坐标.
解：证明：由题意知，PQ，PR与圆C相切，Q，R为切点，C（－1，0）是曲线C的圆心，则CQ⊥PQ，CR⊥PR，则C，R，P，Q四点共圆，Q，R在以CP为直径的圆上（如图）.
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CP的中点为（1， ），｜CP｜＝ ，
以线段CP为直径的圆的方程为（x－1）2＋（y－ ）2＝（ ）2，
整理得x2＋y2－2x－py－3＝0.　①
又Q，R在圆x2＋y2＋2x－3＝0上，　②
由两圆方程作差即②－①，得4x＋py＝0，
所以直线QR的方程为4x＋py＝0.
则QR恒过坐标原点O（0，0）.
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19. （本小题满分17分）某市公园内的人工湖上有一个以点C为圆心的圆
形喷泉，沿湖有一条小径AB，在AB的另一侧建有控制台O，OA和OB之
间均有小径连接（小径均为直路），且∠AOB＝ π，喷泉中心C点距离B
点60米，且CB连线恰与OA平行，在小径AB上有一休息亭Q，现测得｜
OB｜＝40 米，｜OQ｜＝20米，且OQ⊥OA.
（1）请计算小径AB的长度；
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由｜OB｜＝40 米，∠AOB＝ π，可知B（40，40），
则直线OB的方程为y＝x，又Q（0，20），
所以直线AB的方程为y＝ x＋20，
令y＝0，得x＝－40，故A（－40，0），
所以｜AB｜＝40 米.
解：以O为坐标原点，AO所在直线为x轴，OQ所在直线
为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
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（2）现打算改建控制台O的位置（记为O'），使其离喷泉尽可能近，在
点A，B，C的位置及∠AOB大小均不变的前提下，请计算O'C长度的最
小值；
解： 易知O，A，B三点共圆，且易求得此圆的方程为
（x＋20）2＋（y－60）2＝4 000，其圆心为（－20，
60），半径为20 .
易得C（－20，40）在圆内，则｜O'C｜min＝20 －
20，此时点O'为直线x＝8－20与点A及坐标原点之间劣弧
的交点.
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（3）一人从小径一端A处向B处匀速前进时，喷泉恰好同时开启，喷泉开
启t分钟后的水幕是一个以C为圆心，半径r＝10 米的圆形区域（含边
界），此人的行进速度是v＝10 米/分钟，在这个人行进的过程中他会
被水幕沾染，试求实数a的最小值.
解：人从A处行驶到B处所需要的时间为 ＝4（分钟），
假设在t（0＜t＜4）时刻人所在的位置为M，
则｜AM｜＝10 t米，所以M（20t－40，10t），
则｜CM｜2＝（20t－20）2＋（10t－40）2＝100（5t2－16t＋20），
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又在t（0＜t＜4）时刻，r2＝100at，故欲使这个人在行进
的过程中被水幕沾染，
则存在t∈（0，4），使得r2≥｜CM｜2，即100at≥100（5t2－16t＋20）
成立，
所以存在t∈（0，4），使得a≥5（t＋ ）－16成立，
当t∈（0，4）时，5（t＋ ）－16≥5×2 －16＝4，
当且仅当t＝ ，即t＝2时取等号，
所以a≥4，即实数a的最小值为4.
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