《创新课堂》章末整合提升 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测

(共27张PPT)
体系构建
01
素养提升
02
目录
01
PART
体系构建
02
PART
素养提升
一、两直线的平行与垂直
　理解两直线平行与垂直的条件；能用斜率判定两直线的平行或垂直，并
能利用两直线平行或垂直的条件解决相关问题.
【例1】（1）设不同直线l1：2x－my－1＝0，l2：（m－1）x－y＋1＝
0，则“m＝2”是“l1∥l2”的（　C　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析：当m＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立.
当l1∥l2时，显然m≠0，从而有 ＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但当m
＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立.
C
（2）若点A（4，－1）在直线l1：ax－y＋1＝0上，则l1与l2：2x－y－3
＝0的位置关系是 ；
解析：将点A（4，－1）的坐标代入ax－y＋1＝0，得a＝－ ，则 ·
＝－ ×2＝－1，∴l1⊥l2.
（3）若直线m1：x＋3by－5＝0与直线m2：2bx＋y＋2＝0平行，则b
＝ .
解析：直线m1：x＋3by－5＝0与直线m2：2bx＋y＋2＝0平行，∴1＝
6b2，∴b2＝ ，∴b＝± ，同时截距不等，直线不重合.
垂直
±
【反思感悟】
1. 判定两条直线平行、垂直的方法
（1）若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2 k1＝k2，
l1⊥l2 k1k2＝－1（注意斜率不存在时的特殊情形）；
（2）一般式方程下的平行与垂直：l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且B1C2－
B2C1≠0，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
2. 解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想”
二、两直线的交点与距离问题
能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标；掌握平面上两点间的距离、
点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.
【例2】（1）若点（1，a）到直线y＝x＋1的距离是 ，则实数a的值
为（　C　）
A. －1 B. 5 C. －1或5 D. －3或3
解析：因为点（1，a）到直线y＝x＋1的距离是 ，所以 ＝
，即｜a－2｜＝3，解得a＝－1或a＝5，所以实数a的值为－1或5.
C
（2）若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：（a－2）x＋3y＋2a＝0平行，则l1
与l2间的距离为（　B　）
A. B.
B
解析：因为直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：（a－2）x＋3y＋2a＝0平行，
所以3－a（a－2）＝0且2a2－18≠0，解得a＝－1.所以直线l1：x－y＋
6＝0，l2：x－y＋ ＝0，所以直线l1与l2间的距离d＝ ＝
.故选B.
C. D.
（3）（2025·苏州月考）已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x
＋3y－8＝0的交点，且点P（0，4）到直线l的距离为2，则这样的直线l
的条数为（　C　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析：法一　由 得 即直线l过点（1，2）.设
点Q（1，2），因为｜PQ｜＝ ＝ ＞2，所以
满足条件的直线l有2条.
C
法二　依题意，设经过直线l1与l2交点的直线l的方程为2x＋3y－8＋λ
（x－2y＋3）＝0（λ∈R），即（2＋λ）x＋（3－2λ）y＋3λ－8＝
0.由题意得 ＝2，化简得5λ2－8λ－36＝0，解得λ
＝－2或λ＝ ，代入得直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0，所以直线l
有2条.
【反思感悟】
两种距离的求解思路
（1）点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意
此时直线方程必须为一般式；
（2）两平行直线间的距离：①利用“转化法”将两条平行线间的距离转
化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离
公式（利用公式前需把两平行线方程中x，y的系数化为对应相等的形
式）.
三、圆的方程
　理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中掌握圆的标准方程与一般
方程，能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
【例3】（1）已知a∈R，方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示
圆，则圆心坐标与半径分别为（　D　）
A. （2，4）， B. （2，4），5
C. （－2，－4）， D. （－2，－4），5
解析：由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.当a＝2时，方程不表示
圆，舍去.当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，表示圆，圆心坐
标为（－2，－4），半径为5.
D
（2）设点M在直线2x＋y－1＝0上，点（3，0）和（0，1）均在☉M
上，则☉M的方程为 .
解析：法一　设☉M的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，则
解得 ∴☉M的方程为（x－1）2＋（y
＋1）2＝5.
（x－1）2＋（y＋1）2＝5
法二　设☉M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），则
M ，
∴
解得
∴☉M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即（x－1）2＋（y＋1）2＝5.
法三　设A（3，0），B（0，1），☉M的半径为r，则kAB＝ ＝－ ，
AB的中点坐标为 ，∴AB的垂直平分线方程为y－ ＝3 ，
即3x－y－4＝0.联立得 解得M（1，－1），∴r2＝｜
MA｜2＝（3－1）2＋[0－（－1）]2＝5，∴☉M的方程为（x－1）2＋（y
＋1）2＝5.
【反思感悟】
求圆的方程的两种方法
四、直线与圆的位置关系
能根据给定直线与圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能用直线与圆的
方程解决与圆有关的切线、弦长问题，并能解决一些简单的实际问题.
【例4】　（1）已知实数x，y满足方程（x＋2）2＋y2＝2，则 的最大值
为 ；
解析：原方程表示以点（－2，0）为圆心， 为半径的圆，设 ＝k，即
y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时
＝ ，解得k＝±1.故 的最大值为1.
1
（2）（2025·泰州月考）已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2
－6x＋12y＋20＝0.
①当m∈R时，证明l与圆C总相交；
②m取何值时，l被圆C截得的弦长最短？并求此弦长.
解：①证明：直线l的方程可化为y＋3＝2m（x－4），
由点斜式可知，直线恒过点P（4，－3）.
由于42＋（－3）2－6×4＋12×（－3）＋20＝－15＜0，
所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交.
②圆的方程可化为（x－3）2＋（y＋6）2＝25.
如图，当圆心C（3，－6）到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短.
此时PC⊥l，又kPC＝ ＝3，
所以直线l的斜率为－ ，
则2m＝－ ，所以m＝－ .
在Rt△APC中，｜PC｜＝ ，｜AC｜＝r＝5.
所以｜AB｜＝2 ＝2 .
故当m＝－ 时，l被圆C截得的弦长最短，最短弦长为2 .
【反思感悟】
1. 判断直线与圆的位置关系的方法
2. 直线被圆截得的弦长的两种求法
3. 解决直线与圆相切问题的策略
五、圆与圆的位置关系
　能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系（外离、外切、相交、内
切、内含）.
【例5】　（2025·潍坊质检）已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2
＋y2－2y－4＝0.
（1）求证：两圆相交；
解：证明：圆C1的方程可化为（x－2）2＋（y＋1）2＝5，圆C2的方程可
化为x2＋（y－1）2＝5，
∴C1（2，－1），C2（0，1），两圆的半径均为 ，
∵｜C1C2｜＝ ＝2 ＜2 ，∴两圆相交.
（2）求两圆公共弦所在直线的方程.
解：将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程为x2＋y2－4x
＋2y－（x2＋y2－2y－4）＝0，即x－y－1＝0.
【反思感悟】
圆与圆位置关系相关问题的求解策略
（1）判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与
两圆半径之间的关系；
（2）若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消
去x2，y2项得到.
THANKS
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