《创新课堂》2.1.1　倾斜角与斜率 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测

(共58张PPT)
2.1.1　倾斜角与斜率
1. 在平面直角坐标系中，结合具体图形探索确定直线位置的几何要素（直观想象）.
2. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式（数学运算）.
课标要求
情境导入
　　如图，斜拉桥的桥梁一般跨度较大，有利于跨越很宽的障碍物，这些
大桥的斜拉索的陡缓程度不一，我们如何建立恰当的数学模型来解释斜索
的陡缓程度呢？这就是这节课我们要学习的内容.
知识点一　直线的倾斜角
01
知识点二　直线的斜率
02
提能点　直线斜率与倾斜角的应用
03
课时作业
04
目录
01
PART
知识点一
直线的倾斜角
问题1　（1）在平面中，确定一条直线的几何要素是什么？
提示：两点确定一条直线，一点和一个方向也可以确定一条直线.
（2）在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的
方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？
提示：直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同.
【知识梳理】
1. 概念：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴 与直线
l 的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
2. 范围：当直线l与x轴 或 时，规定直线的倾斜角为
0°.因此，直线倾斜角α的取值范围为 .
　　提醒：在倾斜角的定义中，要注意三个条件：①直线向上的方向；②
x轴的正向；③小于平角的非负角.
正向　
向上　
平行　
重合　
0°≤α＜180°　
【例1】（1）〔多选〕下列命题中正确的是（　AD　）
A. 任意一条直线都有唯一的倾斜角
B. 一条直线的倾斜角可以为－30°
C. 当倾斜角为0°时，直线平行于x轴
D. 在平面直角坐标系中，只需知道直线上一个定点和它的倾斜角就可以
确定这条直线
解析：任意一条直线都有唯一的倾斜角，故A正确；倾斜角不可能为负，
故B错误；当倾斜角为0°时，直线可能与x轴重合，故C错误；D显然正
确.故选A、D.
AD
（2）若直线l向上的方向与y轴正向之间所成的角为30°，则直线l的倾斜
角为（　D　）
A. 30° B. 60°
C. 30°或150° D. 60°或120°
解析：如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°.
D
【规律方法】
直线倾斜角的求法及注意点
（1）直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找
准倾斜角，有时要根据情况分类讨论；
（2）注意倾斜角的范围.
训练1　（1）（2025·丽水月考）已知直线l1的倾斜角α1＝60°，直线l2与
l1垂直，则直线l2的倾斜角α2为（　D　）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
解析：画出示意图如图所示.因为直线l2与l1垂直，所以α2＝α1＋90°＝150°，即直线l2的倾斜角为150°.
D
解析：根据题意，画出图形，如图所
示，通过图象可知：当0°≤α＜135°
时，l1的倾斜角为α＋45°；当
135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为
45°＋α－180°＝α－135°.
（2）〔多选〕设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原
点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为（　AB　）
A. α＋45° B. α－135°
C. 135°－α D. α－45°
AB
02
PART
知识点二
直线的斜率
问题2　（1）日常生活中常用“坡度”表示倾斜面的倾斜程度，如
图，坡度＝ ，与三角函数联系，你能得到坡度与倾斜角α的
什么关系式？
提示：坡度＝tan α＝ .
（2）结合上面的结论，试借助向量的方法求解以下直线倾斜角的正切
值：
①直线过O（0，0），P（ ，1）；②直线过P1（－1，1），P2
（ ，0）；③直线过P1（x1，y1），P2（x2，y2），x1≠x2.
提示：对于①，向量 ＝（ ，1），由正切函数的定义，tan α1＝
＝ .
对于②，向量 ＝（ ＋1，－1），可平移使 '＝ ＝（ ＋
1，－1），于是tan α2＝ ＝1－ .
对于③，类比②可知tan α＝ .
【知识梳理】
1. 定义：把一条直线的倾斜角α的 值叫做这条直线的斜率.斜率
常用小写的字母k表示，即k＝ （α≠90°）.
2. 公式：如果直线经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2），那
么斜率公式k＝ .当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率.
正切　
tan α　
　
（1）直线P1P2的方向向量 ＝（x2－x1，y2－y1），当x1≠x2时，直线
P1P2与x轴不垂直，其一个方向向量为 ＝（1，k），其中k为直
线P1P2的斜率；
（2）当x1＝x2时，直线P1P2与x轴垂直，直线没有斜率，其一个方向向量
为（0，1）.
3. 直线的方向向量与斜率的关系
【例2】（1）下列说法正确的是（　　）
A. 任何一条直线都有倾斜角和斜率
B. 斜率公式中k的值与直线上两点的位置无关
C. 若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α
D. 若直线的倾斜角为α，则其方向向量为（1，tan α）
解析：　任何一条直线都有倾斜角，但倾斜角为90°的直线没有斜率，
故A错误；易知B正确；若α＝－30°，则tan（－30°）＝－ ，此直线
的倾斜角为150°，故C错误；当α＝90°时，直线的斜率不存在，其一个
方向向量为（0，1），故D错误.
√
（2）（链接教材P54例1）经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存
在，求出直线的斜率及一个方向向量，并确定其倾斜角α.
①A（2，3），B（4，5）；
②C（－2，3），D（2，3）；
③P（3，2），Q（3，6）.
解：①存在，直线AB的斜率kAB＝ ＝1，方向向量为（1，1）（答案不
唯一，与（1，1）平行的非零向量即可），tan α＝1，又0°≤α＜
180°，所以倾斜角α＝45°.
②存在，直线CD的斜率kCD＝ ＝0，方向向量为（1，0）（答案不唯
一，与（1，0）平行的非零向量即可），tan α＝0，又0°≤α＜180°，
所以倾斜角α＝0°.
③斜率不存在，方向向量为（0，1）（答案不唯一，与（0，1）平行的非
零向量即可），倾斜角α＝90°.
【规律方法】
求直线斜率的3种方法
（1）已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k＝tan α；
（2）已知直线上两点坐标，则k＝ （x1≠x2）；
（3）已知直线的一个方向向量为（x，y），则k＝ （x≠0）.
训练2　（1）已知经过点A（2，3），B（a，－3）的直线的倾斜角为
，则实数a＝ ；
解析：由tan ＝－1，则 ＝－1，解得a＝8.
（2）已知直线l的一个方向向量为v＝（－1， ），则直线l的斜率
为 　－ 　，直线l的倾斜角为 　 　.
8
解析：因为直线l的一个方向向量为v＝（－1， ），令 ＝v＝（－
1， ），则直线l的斜率为－ ，直线l的倾斜角α满足tan α＝－
，且α∈[0，π），所以α＝ .
－

03
PART
提能点
直线斜率与倾斜角的应用
角度1　斜率的范围问题
问题3　设直线的倾斜角为α，斜率为k，当直线的倾斜角α由0逐渐增大
时，其斜率k如何变化？
提示：如图，由正切函数的图象可知，倾斜角α与斜率k有如下关系：
α的大小 0
k的范围 k＝0 k＞0
k的增减性 随α的增大而增大
α的大小
k的范围 不存在 k＜0
k的增减性 随α的增大而增大
【例3】直线l过点P（1，0），且与以A（2，1），B（0， ）为端点
的线段有公共点，则直线l的斜率的范围为
，倾斜角的范围为 .
（－∞，－ ]∪[1，＋
∞）
［ ， ］
解析：如图所示.因为kAP＝ ＝1，kBP＝ ＝－ .
所以k∈（－∞，－ ]∪[1，＋∞）.所以 ≤α≤ .
解析：如图，设C（3，－1），易知 的几何意义是直
线PC的斜率，且kAC＝ ＝－2，kBC＝ ，所以
的最大值为 ，最小值为－2.
变式　若点P（x，y）在以A（2，1），B（0， ）为端点的线段上，则 的最大值与最小值分别为 .
，－2
【规律方法】
1. 涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解.
2. 代数式 的几何意义是过P（x，y）与P'（a，b）两点的直线的斜率.
角度2　三点共线问题
【例4】　（1）〔多选〕下列选项中所给的三点共线的是（　AC　）
A. A（1，2），B（2，3），C（3，4）
B. E（－1，2），F（2，－3），G（－3，4）
C. M（－1，2），N（2，－4），P（－3，6）
D. X（－3，2），Y（－2，3），Z（3，6）
AC
解析：计算斜率，得kAB＝ ＝1，kAC＝ ＝1，因为kAB＝kAC，所以
A，B，C三点共线，选项A正确；kEF＝ ＝－ ，kEG＝
＝－1，因为kEF≠kEG，所以E，F，G三点不共线，选项B错误；同理，
kMN＝kMP＝－2，所以M，N，P三点共线，选项C正确；kXY≠kYZ，所以
X，Y，Z三点不共线，选项D错误.故选A、C.
（2）若A（－2，3），B（m，－2），C（4，－3）三点共线，则实数
m＝ .
解析：因为A（－2，3），B（m，－2），C（4，－3）三点共线，且
kAB＝ ，kAC＝－1，所以直线AB，AC的斜率存在，且kAB＝kAC，即
＝－1，解得m＝3.
3
【规律方法】
用斜率公式解决三点共线的方法
训练3　（1）已知直线l经过点A（1，2），且不经过第四象限，则直线l
的斜率k的取值范围是（　　）
A. （－1，0] B. [0，1]
C. [1，2] D. [0，2]
√
解析：　如图，当直线l位于如图阴影部分所示的区域内时（含边界），满足题意，所以直线l的斜率满足0≤k≤2.故选D.
证明如下：因为a，b，c是两两不等的实数，
且kAB＝ ＝1，kAC＝ ＝1，
所以kAB＝kAC，
所以A，B，C三点共线.
（2）已知a，b，c是两两不等的实数，判断A（a，c＋a），B（b，b
＋c），C（c，2c）三点是否共线？若三点共线，给出证明；若三点不
共线，请说明理由.
解：A，B，C三点共线，
1. 直线y＝1－2x的斜率为（　　）
A. 1 B. －1
C. 2 D. －2
√
解析：　y＝1－2x，即y＝－2x＋1，k＝－2，选D.
2. 已知直线l的倾斜角为α－15°，则下列结论中正确的是（　　）
A. 0°≤α＜180° B. 15°＜α＜180°
C. 15°≤α＜180° D. 15°≤α＜195°
解析：　直线l的倾斜角α－15°的取值范围为0°≤α－15°＜180°，
解得15°≤α＜195°.
√
3. 〔多选〕下列选项中，两点确定的直线存在斜率的是（　　）
A. （4，2）与（－4，1） B. （0，3）与（3，0）
C. （3，－1）与（2，－1） D. （5，3）与（5，6）
√
√
√
解析：当两点所在直线与x轴垂直，即横坐标相等时，直线的斜率不存在，如选项D. 否则，直线的斜率存在，故选A、B、C.
4. 已知A（－1，－2），B（2，1），C（x，2）三点共线，则x
＝ ，直线AB的倾斜角为 .
解析：因为A（－1，－2），B（2，1），C（x，2）三点共线，所以kAB
＝kBC，即 ＝ ，解得x＝3，设直线AB的倾斜角为θ，由tan θ＝1
且θ∈[0，π），得θ＝ ，所以直线AB的倾斜角为 .
3

课堂小结
1.理清单
（1）直线的倾斜角；
（2）直线的斜率；
（3）直线斜率与倾斜角的应用.
2.应体会
在研究直线的倾斜角和斜率时常用到数形结合思想.
3.避易错
（1）每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有直线都有斜率，倾斜角为
90°的直线没有斜率；
（2）忽视倾斜角范围，对斜率和倾斜角的关系理解不到位，不能结合图
形处理问题.
04
PART
课时作业
1. （2025·宿迁质检）图中α能表示直线l的倾斜角的是（　　）
解析：结合直线l的倾斜角的定义可知A正确.
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2. 若直线过坐标平面内两点（4，2），（1，2＋ ），则此直线的倾斜
角是（　　）
A. 30° B. 150° C. 60° D. 120°
解析：由题意知k＝ ＝－ ，∴直线的倾斜角为150°.
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3. （2025·佛山月考）已知直线PQ的斜率为－ ，将直线PQ绕点P顺时
针旋转60°，所得的直线的斜率是（　　）
A. 0
解析：　由题意，知直线PQ的倾斜角为120°，直线PQ绕点P顺时针旋
转60°，所得直线的倾斜角为60°，所以斜率为 .
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4. 若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的范围是（　　）
D. [0，π）
解析：　直线的倾斜角的取值范围是0≤α＜π，又直线l经过第二、四象
限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是 ＜α＜π.
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5. “直线l的斜率不小于0”是“直线l的倾斜角为锐角”的（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析：　若直线l的斜率不小于0，则该直线的倾斜角为锐角或0°，若直
线l的倾斜角为锐角，则该直线l的斜率为正数，即大于0，所以“直线l的
斜率不小于0”是“直线l的倾斜角为锐角”的必要不充分条件.故选B.
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6. 〔多选〕已知点A的坐标为（3，4），在坐标轴上有一点B，若kAB＝
4，则点B的坐标可能为（　　）
A. （0，－4） B. （4，0）
C. （2，0） D. （0，－8）
解析：设B（x，0）或（0，y），因为kAB＝ 或kAB＝ ，所以 ＝4或 ＝4，所以x＝2或y＝－8，所以点B的坐标为（2，0）或（0，－8）.
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7. 〔多选〕如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为
α1，α2，α3，则下列选项正确的是（　　）
A. k1＜k3＜k2
B. k3＜k2＜k1
C. α1＜α3＜α2
D. α3＜α2＜α1
解析：由题图可知k2＞k3＞0，k1＜0，故 ＞α2＞α3＞0，且α1为钝角，即k1＜k3＜k2，α3＜α2＜α1，故选A、D.
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8. （2025·福州质检）如图，已知直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为
B. l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角
为 .
解析：因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA＝30°，所以l3的倾斜角
为 ×（90°－30°）＝30°.
30°
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9. 过A（4，y），B（2，－3）两点的直线的一个方向向量为n＝（－
1，－1），则y＝ .
解析：法一　由直线的方向向量为n＝（－1，－1），得直线的斜率为
＝1，所以 ＝1，解得y＝－1.
－1
法二　由题意得 ＝（－2，－3－y）.又直线AB的一个方向向量为n＝
（－1，－1），所以n∥ ，所以（－2）×（－1）－（－3－y）×
（－1）＝0，解得y＝－1.
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10. 已知直线l经过两点A（－1，m），B（m，1），问：当m取何值
时：
（1）直线l与x轴平行；
解：若直线l与x轴平行，则直线l的斜率k＝0，所以m＝1.
（2）直线l的方向向量的坐标为（3，1）；
解：直线l的方向向量的坐标为（3，1），故k＝ ，即 ＝ ，解得m＝ .
（3）直线的倾斜角为45°.
解：由题意可知，直线l的斜率k＝1，即 ＝1， 解得m＝0.
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11. 过点A（2，1），B（m，3）的直线的倾斜角α的取值范围是（ ，
），则实数m的取值范围是（　　）
A. （0，2] B. （0，4）
C. [2，4） D. （0，2）∪（2，4）
解析：　由直线的倾斜角α的取值范围是（ ， ），得直线的斜率存
在时，k＜－1或k＞1.当m≠2时，k＝ ＝ ，∴ ＜－1或 ＞
1，解得0＜m＜2或2＜m＜4.当直线的斜率不存在时，m＝2符合题意.综
上，实数m的取值范围是（0，4）.
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12. （2025·泉州月考）函数y＝f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上
可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，xn，使得 ＝
＝…＝ ，则n的取值范围是（　　）
A. {3，4} B. {2，3，4}
C. {3，4，5} D. {2，3}
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解析：　由题意，函数y＝f（x）的图象上的任一点坐标
为（x，f（x）），故 表示曲线上任一点与坐标原点
连线的斜率.若 ＝ ＝…＝ ，则曲线上存在n个点与原点连线的斜率相等，即过原点的直线与曲线y＝f（x）有n个交点.如图，数形结合可得n的取值可为2，3，4.
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13. （2025·枣庄期中）已知直线l上的两点A（－2，3），B（3，－2），
若C（a，b），a＞0，b＞0在直线l上，则ab的最大值为 .
解析：由直线的斜率公式得kAB＝ ＝－1.∵C在直线l上，∴kBC＝
＝kAB＝－1，∴a＋b＝1.当a＞0，b＞0时， ≤ ＝ ，
∴ab≤ ，当且仅当a＝b＝ 时取等号，故ab的最大值为 .

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14. 已知坐标平面内三点A（－1，1），B（1，1），C（2， ＋1）.
（1）求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；
解：由斜率公式得kAB＝ ＝0，
kBC＝ ＝ ，kAC＝ ＝ .
又倾斜角的取值范围为[0°，180°），
∵tan 0°＝0，∴直线AB的倾斜角为0°.
∵tan 60°＝ ，∴直线BC的倾斜角为60°.
∵tan 30°＝ ，∴直线AC的倾斜角为30°.
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（2）若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的取值范围.
解：如图，直线CD绕点C旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，此时k由kCA增大到kCB，∴k的取值范围为 .
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15. （1）已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，求 的取
值范围；
解： 的几何意义是过M（x，y），N（2，1）两点的直线的斜率.
因为点M在函数x＋2y＝6的图象上，且1≤x≤3，
所以可设该线段为AB，且A（1， ），B（3， ），
又kNA＝－ ，kNB＝ ，
所以 的取值范围是（－∞，－ ］∪［ ，＋∞）.
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（2）设0＜a＜b＜c，试利用斜率的几何意义，比较 ， ， 的
大小.
解：令y＝2x，而 ， ， 可理解为k＝
时，x＝a，x＝b，x＝c的值，
即k＝ 表示函数y＝2x上的点（x，2x）与点（0，1）
连线的斜率，
结合图象与条件0＜a＜b＜c，则构造的斜率都是正数，所以直线的倾斜角越大，斜率越大，即原式的值越大，可得 ＜ ＜ .
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