《创新课堂》2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测

(共52张PPT)
2.1.2　两条直线平行和垂直的判定
1. 能根据斜率判定两条直线平行或垂直（数学运算、逻辑推理）.
2. 能应用两条直线平行或垂直解决有关问题（数学运算、逻辑推理）.
课标要求
情境导入
过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上，过山车的运动包含了
许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着
一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为了使设备安全，柱子之间还有一些小的
钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直，你能感受到过山车中
的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？本节课我们就
来研究一下.
知识点一　两条直线平行的判定
01
知识点二　两条直线垂直的判定
02
提能点　两条直线平行与垂直的综合应用
03
课时作业
04
目录
01
PART
知识点一
两条直线平行的判定
问题1　（1）我们知道，在平面几何中两条直线有两种位置关系相交和平
行，当两条直线l1与l2平行时，它们的斜率满足什么关系？
提示：如图，由l1∥l2 α1＝α2 tan α1＝tan α2 k1＝k2.
（2）当两条直线l1与l2斜率相等时，这两条直线平行吗？
提示：由k1＝k2 tan α1＝tan α2 α1＝α2 l1∥l2.
（3）若直线的斜率不存在，则l1与l2有什么位置关系？
提示：由直线的斜率不存在，则α1＝α2＝90° l1∥l2.
【知识梳理】
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，有l1∥l2 .
　　提醒：（1）l1∥l2 k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都
存在；②l1与l2不重合.（2）k1＝k2 l1∥l2或l1与l2重合（斜率存在）；
（3）l1∥l2 k1＝k2或两条直线的斜率都不存在.
k1＝k2　
【例1】判断下列直线l1与l2是否平行：
（1）l1经过点E（－1，2），F（－1，5），l2经过点P（0，－2），Q
（0，5）；
解：由题意知，l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2.
（2）l1经过点E（0，1），斜率为 ，l2经过点F（3，4），G（2，3）；
解：由题意知，k1＝ ，k2＝ ＝1，
kEF＝ ＝1，显然点E，F，G三点共线，所以直线l1与l2相交，交于点
E.
（3）l1经过点E（0，1），F（－2，－1），l2经过点G（3，4），H
（2，3）.
解：由题意知，k1＝ ＝1，k2＝ ＝1，所以k1＝k2，且kEG＝ ＝
1，所以E，F，G，H四点共线，所以l1与l2重合.
【规律方法】
判断两条不重合直线是否平行的步骤
　　提醒：在证明（判断）两直线平行时，要区分平行与重合，必须强调
不共线才能确定平行，因为两直线重合也可以推出两条直线的斜率相等.
训练1　（1）（2025·云浮月考）若过点A（m＋1，0），B（－5，m）
的直线与过点C（－4，3），D（0，5）的直线平行，则m＝ ；
解析：由题易知直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存
在.kAB＝ ＝ ，kCD＝ ＝ ，由于AB∥CD，所以
kAB＝kCD，即 ＝ ，得m＝－2.经验证m＝－2时直线AB的斜率存
在，所以m＝－2.
－2
（2）（链接教材P56例3）已知A（2，3），B（－4，0），P（－3，
1），Q（－1，2），求证：四边形ABPQ为梯形.
证明：由已知可得，直线AB的斜率kAB＝ ＝ ，
直线PQ的斜率kPQ＝ ＝ ，
直线AQ的斜率kAQ＝ ＝ ，
直线BP的斜率kBP＝ ＝1，
因为kAB＝kPQ，且kAB≠kAQ，所以直线AB，PQ不重合，所以直线
AB∥PQ.
因为kAQ≠kBP，所以AQ，BP不平行，所以四边形ABPQ为梯形.
02
PART
知识点一
两条直线垂直的判定
问题2　（1）平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的
方向向量分别为a＝（1，k1），b＝（1，k2），当两条直线互相垂直时，
其斜率有什么关系？
提示：由l1⊥l2 a⊥b a·b＝0 1×1＋k1k2＝0，即k1k2＝－1.
（2）当直线l1的倾斜角为0°时，若l1⊥l2，则直线l2的倾斜角为多少度？
其斜率存在吗？
提示：如图，当直线l1的倾斜角为0°时，若l1⊥l2，则l2的倾
斜角为90°，其斜率不存在.
【知识梳理】
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于
；反之，如果两条直线的斜率之积等于 ，那么它们互相垂直，
即l1⊥l2 .
　　提醒：（1）l1⊥l2 k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在；
（2）当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直
线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2.
－
1　
－1　
k1k2＝－1　
【例2】根据下列给定的条件，分别判断直线l1与l2是否垂直：
（1）l1经过点A（1，3），B（－1，－1），l2经过点C（2，1），D
（4，0）；
解：由题意知，k1＝ ＝2，
k2＝ ＝－ ，由于k1k2＝－1，故两条直线互相垂直.
（2）l1经过点E（－1，3），F（－1，－5），l2经过点G（2，4），H
（－1，4）；
解：由题意知，l1的斜率不存在，l2的斜率为0，故两条直线互相垂直.
（3）l1的倾斜角为30°，l2经过点M（1， ），N（2，0）；
解：由题意知，k1＝ ，k2＝ ＝－ ，由于k1k2＝－1，故两条直线
互相垂直.
（4）l1经过点P（2， －1），Q（3，4），l2经过点R（5，2），S（0，
1）.
解：由题意知，k1＝ ＝5，k2＝ ＝ ，由于k1k2≠－1，故两条直线
不垂直.
【规律方法】
判断两直线是否垂直的策略
在两条直线的斜率都存在的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1
即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，
这两条直线也垂直.
训练2　（1）（2025·洛阳月考）直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的
两根，则l1与l2的位置关系是（　　）
A. 平行 B. 重合
C. 相交但不垂直 D. 垂直
解析：　设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.∵直线l1，l2的斜率是方程x2
－3x－1＝0的两根，∴k1k2＝－1，∴l1⊥l2.故选D.
√
（2）已知△ABC的顶点为A（5，－1），B（1，1），C（2，m），若
△ABC为直角三角形，求m的值.
解：若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，
即 · ＝－1，解得m＝－7；
若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，
即 · ＝－1，解得m＝3；
若∠C为直角，则AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1，
即 · ＝－1，解得m＝±2.
综上所述，m＝－7或m＝3或m＝±2.
03
PART
提能点
两条直线平行与垂直的综合应用
【例3】（2025·济南质检）已知A（－4，3），B（2，5），C（6，
3），D（－3，0）四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判断四边形
ABCD的形状.
解：由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如
图所示，由斜率公式可得kAB＝ ＝ ，kCD＝
＝ ，kAD＝ ＝－3，kBC＝ ＝－ .
所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD.
由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行.
又因为kAB·kAD＝ ×（－3）＝－1，所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形.
【规律方法】
利用两直线平行或垂直来判定图形形状的步骤
训练3　（2025·福州月考）已知 ABCD中，A（1，2），B（5，0），C
（3，4）.
（1）求点D的坐标；
解：设D点坐标为（a，b），因为四边形ABCD为平行四边形，所
以kAB＝kCD，kAD＝kBC，
所以 解得 所以D（－1，6）.
（2）试判断 ABCD是否为菱形？
解：因为kAC＝ ＝1，kBD＝ ＝－1，
所以kAC·kBD＝－1，
所以AC⊥BD，所以 ABCD为菱形.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2. （　×　）
（2）若直线l1的斜率为a，且l1⊥l2，则l2的斜率为－ . （　×　）
（3）若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行. （　√　）
2. 过点A（2，5）和点B（－4，5）的直线与直线y＝3的位置关系是
（　　）
A. 相交 B. 平行
C. 重合 D. 以上都不对
解析：易知两直线斜率都为0且不重合，所以两直线平行.
×
×
√
√
3. 已知三角形三个顶点的坐标分别为A（4，2），B（1，－2），C（－
2，4），则BC边上的高的斜率为（　　）
A. 2 B. －2
解析：∵B（1，－2），C（－2，4），∴kBC＝ ＝－2，设
BC边上的高的斜率为k，则k·kBC＝－1，∴k＝ .
√
4. 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行或垂直：
（1）l1经过点A（2，1），B（－3，5），l2经过点C（3，－3），D
（8，－7）；
解：设两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2.
由题意知k1＝ ＝－ ，k2＝ ＝－ ，
则k1＝k2，又因为kAC＝ ＝－4，所以k1≠kAC，
所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线，所以l1∥l2.
（2）l1的倾斜角为150°，l2经过点M（3，2 ），N（－2，－3 ）.
解：设两直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，由题意知k1＝tan 150°＝－tan 30°＝－ ，
k2＝ ＝ ，所以k1k2＝－1，所以l1⊥l2.
课堂小结
1.理清单
（1）两直线平行的判定；
（2）两直线垂直的判定；
（3）两直线平行、垂直的综合应用.
2.应体会
探究及应用两直线平行、垂直的条件体现了数形结合、分类讨论的思想
方法.
3.避易错
（1）研究两直线平行、垂直关系时不要忽略直线斜率为0或不存在的情况；
（2）当两直线的斜率相等时，这两条直线可能平行，也可能重合.
04
PART
课时作业
1. 下列说法正确的是（　　）
A. 若l1∥l2，则k1＝k2
B. 若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1
C. 若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2
D. 只有斜率相等的两条直线才平行
解析：　对于A，若直线l1∥l2，则直线的倾斜角相等，但斜率不一定存
在，所以A错误；对于B，当一条直线与x轴垂直时，斜率不存在，所以B
错误；对于C，由两直线平行得倾斜角一定相等，所以C正确；对于D，斜
率不存在的两直线也平行，所以D错误.
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√
2. 已知直线l1经过A（2，7），B（3，8）两点，且直线l2⊥l1，则直线l2
的倾斜角为（　　）
A. 30° B. 45°
C. 135° D. 150°
解析：　设直线l2的倾斜角为α，因为直线l1的斜率k1＝ ＝1，由
l1⊥l2，得k1·k2＝－1，所以k2＝－1，即tan α＝－1，又因为0°≤α＜
180°，所以α＝135°，所以直线l2的倾斜角为135°.
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3. 已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A（1， ），B（－2，－
2 ），则直线l1，l2的位置关系是（　　）
A. 平行或重合 B. 平行
C. 垂直 D. 重合
解析：　由题意可知直线l1的斜率k1＝tan 60°＝ ，直线l2的斜率k2＝
＝ .因为k1＝k2，所以l1∥l2或l1，l2重合.
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4. 已知两点M（2，2）和N（5，－2），点P在x轴上，且∠MPN为直
角，则点P的坐标为（　　）
A. （1，0） B. （6，0）
C. （1，0）或（6，0） D. 不存在
解析：　设P点坐标为（x0，0），易知x0≠2且x0≠5，则kPM＝ ，
kPN＝ ，由于∠MPN＝90°，故kPM·kPN＝－1，即 · ＝－1，
解得x0＝1或x0＝6，故P点坐标为（1，0）或（6，0）.
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5. 已知点A（m，3），B（2m，m＋4），C（m＋1，2），D（1，
0），且直线AB与直线CD平行，则m的值为（　　）
A. －1 B. 0
C. 0或1 D. －1或0
解析：　当m＝0时，直线AB与直线CD的斜率均不存在且不重合，此时
AB∥CD. 当m≠0时，kAB＝ ，kCD＝ ，则kAB＝kCD，
即 ＝ ，得m＝1，∴m＝0或1.
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6. 〔多选〕设平面内四点P（－4，2），Q（6，－4），R（12，6），S
（2，12），下面四个结论正确的是（　　）
A. PQ∥SR B. PQ⊥PS
C. PS∥QS D. PR⊥QS
√
√
√
解析：由斜率公式知，kPQ＝ ＝－ ，kSR＝ ＝－ ，kPS＝ ＝ ，kQS＝ ＝－4，kPR＝ ＝ ，∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS. 而kPS≠kQS，∴PS与QS不平行，故A、B、D正确.
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7. 〔多选〕已知点A（0，2），B（－1，0），下列结论正确的是（　　）
A. 若直线l的方向向量为（1，1），则l∥AB
C. 若C（1，－1），则△ABC为直角三角形
D. 若C（1，－1），D（3，3），则四边形ABCD是平行四边形
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解析：对于A，直线l的斜率k＝1，又kAB＝ ＝2，故直线l与直线AB不平行，A错误；对于B，因为－ kAB＝－1，所以l⊥AB，B正确；对于C，因为kBC＝ ＝－ ，kBC·kAB＝－1，所以AB⊥BC，C正确；对于D，因为kCD＝ ＝2＝kAB，kAD＝ ＝ ，kBC＝－ ，kAD≠kBC，所以四边形ABCD不是平行四边形，D错误.故选B、C.
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解析：由点A（－1，2），B（3，－4），可得kAB＝ ＝－ ，设直
线l的斜率为k，因为点A，B关于直线l对称，可得k·kAB＝－1，解得k＝
.

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9. （2025·许昌月考）已知直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k
＋m＝0的两实数根，若l1∥l2，则m＝ ；若l1⊥l2，则m＝ .
解析：若l1∥l2，则k1＝k2，即关于k的一元二次方程2k2－4k＋m＝0有两
个相等的实根，∴Δ＝（－4）2－4×2×m＝0，∴m＝2.由一元二次方程
根与系数的关系得k1·k2＝ ，若l1⊥l2，则 ＝－1，∴m＝－2.
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10. 当m为何值时，过两点A（1，1），B（2m2＋1，m－2）的直线：
（1）倾斜角为135°；
解：由kAB＝ ＝tan 135°＝－1，
得2m2＋m－3＝0，解得m＝－ 或m＝1.
（2）与过两点（3，2），（0，－7）的直线垂直；
解：由 ＝3及垂直关系，得 ＝－ ，
解得m＝ 或m＝－3.
（3）与过两点（2，－3），（－4，9）的直线平行.
解：由 ＝ ＝－2，解得m＝ 或m＝－1.
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11. 已知点A（－2，2），B（6，4），H（5，2），H是△ABC的垂心，
则点C的坐标为（　　）
A. （6，2） B. （－2，2）
C. （－4，－2） D. （6，－2）
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解析：　设点C的坐标为（x，y），如图，∵直线AH
的斜率kAH＝ ＝0，且BC⊥AH，点B的横坐标为6，
∴x＝6，∵直线BH的斜率kBH＝ ＝2，BH⊥AC，∴
直线AC的斜率kAC＝ ＝－ ，解得y＝－2，
∴点C的坐标为（6，－2）.故选D.
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12. 〔多选〕如图所示，在平面直角坐标系中，以O（0，0），A（1，
1），B（3，0）为顶点构造平行四边形，下列各点中能作为平行四边形顶
点坐标的是（　　）
A. （－3，1） B. （4，1）
C. （－2，1） D. （2，－1）
√
√
√
解析：如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即 AOBC1， ABOC2， AOC3B. 根据平行四边形的性质，可知选项B、C、D中的点分别是点C1，C2，C3的坐标.
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解析：由题易知OC⊥OA，即AC为圆的直径，∴AB⊥BC，∴kAB·kBC＝
－1，即 × ＝－1，解得y＝ .

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14. 已知M（1，－1），N（2，2），P（3，0）.
（1）求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ；
解：设Q（x，y），由已知得kMN＝3，
由PQ⊥MN，可得kPQ·kMN＝－1，
即 ×3＝－1.　①
由已知得kPN＝－2，
由PN∥MQ，可得kPN＝kMQ，
即 ＝－2.　②
联立①②解得 即Q（0，1）.
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（2）若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角.
解：设Q（x，0），∵∠NQP＝∠NPQ，
∴kNQ＝－kNP.
又∵kNQ＝ ，kNP＝－2，∴ ＝2，即x＝1，
∴Q（1，0）.又∵M（1，－1），∴MQ⊥x轴，
故直线MQ的倾斜角为90°.
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15. 已知点A，B，C，D依次按逆时针方向排列，A（0，3），B（－
1，0），C（3，0），求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形.
解：设所求点D的坐标为（x，y），如图.
由于kAB＝3，kBC＝0，∴kAB·kBC＝0≠－1即AB与BC不垂直，
故AB，BC都不可作为直角梯形的直角边.
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①若CD是直角梯形的直角边，
则BC⊥CD，AD⊥CD.
∵kBC＝0，∴CD的斜率不存在，从而有x＝3，
又kAD＝0，∴ ＝0，即 y＝3，
此时AB与CD不平行，故所求点D的坐标为（3，3）.
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②若AD是直角梯形的直角边，
则AD⊥AB，AD⊥CD，
∵kAD＝ ，kCD＝ ，又由于AD⊥AB，
∴ ×3＝－1，又AB∥CD，∴ ＝3，
解上述两式可得
此时AD与BC不平行，所求点D的坐标为（ ， ）.
综上可知，使四边形ABCD为直角梯形的点D的坐标为（3，3）或（ ， ）.
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