《创新课堂》2.2.1　直线的点斜式方程 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测

(共54张PPT)
2.2.1　直线的点斜式方程
1. 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程和斜截式方程（数学抽象、数学运算）.
2. 会用直线的斜截式方程解决直线的平行与垂直问题（数学运算、逻辑推理）.
课标要求
　　射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向.若把子弹飞行的轨迹看作一条直线，并且射击手达到了上述的两个动作要求.试从数学角度分析子弹是否会命中目标？
情境导入
知识点一　直线的点斜式方程
01
知识点二　直线的斜截式方程
02
提能点　直线斜截式方程的应用
03
课时作业
04
目录
01
PART
知识点一
直线的点斜式方程
问题1　（1）经过原点的直线有多少条？经过原点且斜率为1的直线唯一
确定吗？由此你能得到什么结论？
提示：无数条；唯一确定；平面内一点和斜率确定一条直线.
（2）由上述结论，经过点P0（x0，y0）且斜率为k的直线与直线上任一点
P（x，y）有什么关系？试建立它们的代数关系式.
提示：如图所示，当P与P0不重合时，由斜率公式k＝
得y－y0＝k（x－x0）.当P与P0重合，即x＝x0，y＝y0
时，同样满足上式，这说明任意P（x，y）均满足：y－
y0＝k（x－x0）.
【知识梳理】
1. 方程 由直线上一定点（x0，y0）及该直线的斜
率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称 .
2. 特别地，当k＝0时（如图1），过P0（x0，y0）的直线可以写成
；当k不存在时（如图2），过P0（x0，y0）的直线可以写成 .
y－y0＝k（x－x0）　
点斜式　
y＝
y0　
x＝x0　
　　提醒：（1）点斜式应用的前提条件是直线的斜率存在，若斜率不存
在，则不能用此种形式；（2） ＝k与y－y0＝k（x－x0）是不同的，
前者缺少一个点（x0，y0），后者才是整条直线.
【例1】根据下列给定的条件，分别求直线的方程：
（1）直线过点（2，－3），倾斜角为135°；
解：因为直线过点（2，－3），倾斜角为135°，所以直线的斜率k＝tan
135°＝－1，所以直线的点斜式方程为y－（－3）＝－（x－2），即y＋
3＝－（x－2）.
（2）直线经过点A（1，2），B（－3，5）；
解：因为直线经过点A（1，2），B（－3，5），所以直线的斜率为k＝
＝－ ，所以直线的点斜式方程为y－2＝－ （x－1）.
（3）直线经过原点，倾斜角为0°；
解：因为直线经过原点，倾斜角为0°，所以斜率为0，所以直线方程为y
＝0.
（4）直线经过点P（2，－1），倾斜角为90°.
解：因为直线经过点P（2，－1），倾斜角为90°，所以斜率不存在，直
线方程为x＝2.
【规律方法】
求直线的点斜式方程的思路
训练1　（1）已知直线的方程为y＋2＝－x－1，则（　C　）
A. 该直线过点（－1，2），斜率为－1
B. 该直线过点（－1，2），斜率为1
C. 该直线过点（－1，－2），斜率为－1
D. 该直线过点（－1，－2），斜率为1
解析：直线的方程可化为点斜式y－（－2）＝－[x－（－1）]，故直线过
点（－1，－2），斜率为－1.
C
（2）（2025·龙岩月考）已知过定点（4，5）的直线m的一个方向向量是
d＝（3，2），则直线m的点斜式方程为 .
解析：因为直线的一个方向向量是d＝（3，2），所以直线的斜率为 .又
因为直线过点（4，5），所以直线的点斜式方程为y－5＝ （x－4）.
y－5＝ （x－4）
02
PART
知识点二
直线的斜截式方程
问题2　（1）如果直线过点P0（0，b），斜率为k，如何求直线的方程？
提示：由直线的点斜式方程，得y－b＝k（x－0），即y＝kx＋b.
（2）如果直线方程为y＝kx＋b，则实数b的符号与经过的点P（0，b）
的位置有什么联系？
提示：当b＞0时，点P（0，b）在y轴的正半轴上；当b＝0时，点P
（0，b）为坐标原点；当b＜0时，点P（0，b）在y轴的负半轴上.
【知识梳理】
我们把直线l与y轴的交点（0，b）的纵坐标b叫做直线l在y轴上的
.方程y＝kx＋b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，所以方
程 叫做直线的斜截式方程，简称 .
　　提醒：（1）直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况，只
能在直线斜率存在的前提下使用；（2）截距是一个实数，它是直线与坐
标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它
在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.
截
距　
y＝kx＋b　
斜截式　
【例2】写出下列直线的斜截式方程：
（1）斜率为2，在y轴上的截距是5；
解：由直线方程的斜截式可知，
所求直线方程为y＝2x＋5.
（2）倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
解：∵倾斜角α＝150°，
∴斜率k＝tan 150°＝－ .
由斜截式可得方程为y＝－ x－2.
（3）倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
解：∵直线的倾斜角为60°，
∴斜率k＝tan 60°＝ .
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，
∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
∴所求直线的斜截式方程为y＝ x＋3或y＝ x－3.
变式　若本例（2）条件不变，试求直线与两坐标轴围成的三角形的面积.
解：由直线的方程为y＝－ x－2，又其在y轴上的截距为－2，令y＝0，
得其在x轴上的截距为－2 ，所以所求三角形的面积S＝ ×｜－2｜
×｜－2 ｜＝2 .
【规律方法】
直线的斜截式方程的求解策略
（1）求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距，代
入方程即可；
（2）当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先求出斜率和截距，再写
出直线的斜截式方程.
训练2　（1）已知直线l：y＝x sin θ＋ cos θ的图象如图所示，则角θ是
（　D　）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
解析：结合图象易知， sin θ＜0， cos θ＞0，则角θ为第四象限角.
D
（2）如果直线l的斜率和在y轴上的截距分别为直线y＝ x＋2的斜率的一
半和在y轴上截距的两倍，那么直线l的斜截式方程是 .
解析：直线y＝ x＋2的斜率为 ，在y轴上的截距为2，则直线l的斜率为
，在y轴上的截距为2×2＝4，故直线l的方程为y＝ x＋4.
y＝ x＋4
03
PART
提能点
直线斜截式方程的应用
问题3　上一节课我们已经讨论过斜率对于直线平行、垂直的影响，设l1：
y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，思考一下什么时候：（1）l1∥l2；（2）
l1，l2重合；（3）l1⊥l2.
提示：（1）k1＝k2且b1≠b2.
（2）k1＝k2且b1＝b2.
（3）k1k2＝－1.
【例3】已知直线l1：y＝－ x＋ 和l2：6my＝－x＋4，问m为何
值时，l1与l2平行或垂直？
解：当m＝0时，l1：4y－5＝0；l2：x－4＝0，l1与l2垂直；
当m≠0时，l2的方程可化为y＝－ x＋ .
由－ ＝－ ，得m＝± .
由 ≠ ，得m≠ 且m≠ ，
所以当m＝－ 时，l1与l2平行；
又－ ·（－ ）＝－1无解.
故当m＝－ 时，l1与l2平行；
当m＝0时，l1与l2垂直.
【规律方法】
两条直线平行和垂直的判定
（1）平行的判定
（2）垂直的判定
训练3　（1）以A（1，3），B（－5，1）为端点的线段的垂直平分线的
斜截式方程为（　A　）
A. y＝－3x－4 B. y＝3x－4
C. y＝3x＋4 D. y＝－3x＋4
解析：因为直线AB的斜率kAB＝ ＝ ，则垂直平分线的斜率k＝－
3，又因为线段AB的中点为M（－2，2），所以所求直线方程为y－2＝－
3（x＋2），即y＝－3x－4.故选A.
A
（2）已知直线l：y＝－ x＋ 与直线l'：y＝ x－ 平行，且直线l与y轴
的交点为（0，1），则a＝ ，b＝ .
解析：由直线l：y＝－ x＋ 与直线l'：y＝ x－ 平行，且直线l与y轴
的交点为（0，1），得 解得
－
2
1. 已知直线l的方程是y－2＝3（1－x），则直线l的斜率是（　　）
A. 2 B. －1 C. 3 D. －3
解析：　将直线的方程化为点斜式方程为y－2＝－3（x－1），所以直
线的斜率为－3.
√
2. 直线y＝kx＋b经过第一、三、四象限，则有（　　）
A. k＞0，b＞0 B. k＞0，b＜0
C. k＜0，b＞0 D. k＜0，b＜0
√
解析：　∵直线经过第一、三、四象限，∴图象如图所示，由图知，k＞0，b＜0.
3. 直线y＝6－3x的斜率为 ，在坐标轴上的截距之和等于 .
解析：由直线的斜截式方程y＝6－3x＝－3x＋6，直线的斜率为－3，在
坐标轴上的截距之和等于6＋2＝8.
4. （1）求经过点（2，－3），且斜率为－4的直线方程；
解：由直线的点斜式方程得，过点（2，－3），斜率为－4的直线方
程为y－（－3）＝－4（x－2），即y＋3＝－4（x－2）.
（2）求经过直线y＝3－2x与y轴的交点且与该直线垂直的直线方程.
解：直线y＝3－2x与y轴的交点为（0，3），直线的斜率为－2，故
与该直线垂直的直线的斜率为 ，所求的直线的斜截式方程为y＝ x＋3.
－3
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课堂小结
1.理清单
直线的点斜式方程与斜截式方程：
2.应体会
利用斜截式求直线方程时，要注意分类讨论思想的应用.
3.避易错
（1）求直线的点斜式与斜截式方程时忽略斜率不存在的情况；
（2）混淆直线的截距和距离.
点斜式 斜截式
条件 过点（x0，y0），斜率为k 过点（0，b），斜率为k
方程 y－y0＝k（x－x0） y＝kx＋b
04
PART
课时作业
1. 已知某直线的倾斜角为30°，在y轴上的截距为2，则此直线的方程为
（　　）
A. y＝ x＋2 B. y＝－ x＋2
C. y＝－ x－2 D. y＝ x－2
解析：　由题意得，直线的斜率k＝tan 30°＝ ，又直线在y轴上的截
距为2，故直线的方程为y＝ x＋2.故选A.
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√
2. 直线y－2＝－ （x＋1）的倾斜角及在y轴上的截距分别为（　　）
A. 60°，2 B. 120°，2－
C. 60°，2－ D. 120°，2
解析：该直线的斜率为－ ，当x＝0时，y＝2－ ，所以其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－ .
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3. （2025·商丘月考）经过点（－1，1），斜率是直线y＝ x－2的斜率
的2倍的直线方程是（　　）
A. x＝－1 B. y＝1
C. y－1＝ （x＋1） D. y－1＝2 （x＋1）
解析：　由方程知，已知直线的斜率为 ，所以所求直线的斜率是 ，
由直线的点斜式方程可得方程为y－1＝ （x＋1）.
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4. 过点（1，0）且与直线y＝ x－1垂直的直线方程是（　　）
A. y＝ x－ B. y＝ x＋
C. y＝－2x＋2 D. y＝－ x＋
解析：　由于直线y＝ x－1的斜率为 ，故所求直线的斜率等于－2，故
所求直线的方程为y－0＝－2（x－1），即y＝－2x＋2，故选C.
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5. （2025·苏州月考）若直线y＝ax＋b经过第一、二、三象限，则点（－
a，－b）位于（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：　因为直线y＝ax＋b经过第一、二、三象限，所以a＞0，b＞
0，所以（－a，－b）位于第三象限，故选C.
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6. 〔多选〕给出下列四个结论，正确的是（　　）
A. 方程k＝ 与方程y－2＝k（x＋1）可表示同一直线
B. 直线l过点P（x1，y1），倾斜角为90°，则其方程是x＝x1
C. 直线l过点P（x1，y1），斜率为0，则其方程是y＝y1
D. 所有的直线都有点斜式和斜截式方程
解析：A不正确，方程k＝ 不含点（－1，2）；B正确；C正确；D不正确，只有k存在时成立.
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7. 〔多选〕已知两条直线l1：y－3＝k（x－1），l2：y－3＝－ （x－
2），则下列说法正确的是（　　）
A. l1与l2一定相交 B. l1与l2一定平行
C. l1与l2一定垂直 D. l1与l2不可能平行
解析：两直线的斜率之积为－1，故l1与l2一定垂直并相交，A、C正确；当k＝－ 时，无实数解，故l1与l2不可能平行，D正确，B错误.故选A、C、D.
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8. （2025·宁德质检）在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直
线的斜截式方程是 .
解析：因为直线与y轴相交成30°角，所以直线的倾斜角为60°或120°，
所以直线的斜率为 或－ ，又因为在y轴上的截距为－6，所以直线的
斜截式方程为y＝ x－6或y＝－ x－6.
y＝ x－6或y＝－ x－6
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9. （2025·云浮质检）已知直线l的斜率为 ，且与坐标轴所围成的三角形
的周长是30，则直线l的方程为 .
解析：由直线l的斜率为 ，可设直线l的方程为y＝ x＋b.令x＝0，得
y＝b；令y＝0，得x＝－ b.由题意得｜b｜＋ ＋
＝30.∴｜b｜＋ ｜b｜＋ ｜b｜＝30，∴b＝
±5.∴所求直线l的方程为y＝ x±5.
y＝ x±5
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10. 分别求下列直线的方程：
（1）经过点A（2，－3），且与直线y＝2x－6平行；
解：由题意知，直线的斜率为2，所以其点斜式方程为y＋3＝2（x－2）.
（2）经过点B（－1，2），且与x轴平行；
解：由题意知，直线的斜率k＝tan 0°＝0，所以直线的方程为y－2
＝0（x＋1），即y＝2.
（3）经过点C（0，－3），且与直线y＝x＋2垂直；
解：由题意知，所求直线的斜率为－1，在y轴上的截距为－3，所以
直线的方程为y＝－x－3.
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（4）经过点（2，2），且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2.
解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝2，经检验符合题目
的要求；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为y－2＝k（x－2），
令y＝0，得x＝ ，
由三角形的面积为2，得 ×｜ ｜×2＝2.
解得k＝ .
可得直线的方程为y－2＝ （x－2）.
综上可知，直线的方程为x＝2或y＝ x＋1.
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11. （2025·常州月考）直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a
（ab≠0，a≠b）在同一平面直角坐标系内的图象可能是（　　）
解析：　对于A，由l1得a＞0，b＜0，而由l2得a＞0，b＞0，矛盾；对
于B，由l1得a＜0，b＞0，而由l2得a＞0，b＞0，矛盾；对于C，由l1得a
＞0，b＜0，而由l2得a＜0，b＞0，矛盾；对于D，由l1得a＞0，b＞0，
而由l2得a＞0，b＞0.故选D.
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12. 在同一平面直角坐标系中，直线y＝kx＋b总是在直线y＝2x－3的上
方，则实数k，b的取值应该满足的条件是（　　）
A. k＞2，b＞－3 B. k＞2，b＝－3
C. k＝2，b＞－3 D. k＝2，b＝－3
解析：　若两直线相交，则一定不满足题意，所以两直线平行，则k＝2.
因为直线y＝kx＋b总是在直线y＝2x－3的上方，所以直线y＝kx＋b在y
轴上的截距必大于直线y＝2x－3在y轴上的截距，即b＞－3.
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13. 〔多选〕已知直线l：y＝kx＋3k＋4，k∈R，则下列说法正确的是
（　　）
A. 直线恒过一定点
B. 直线可以平行于x轴
C. 直线可以垂直于x轴
D. 若直线不过第四象限，则k＞0
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解析：　直线l：y＝kx＋3k＋4即l：y－4＝k（x＋3），k∈R，所
以直线经过定点P（－3，4），选项A正确；当k＝0时，直线平行于x
轴，选项B正确；由于直线的斜率k存在且为任意实数，故直线不能垂直
于x轴，选项C错误；若直线l不过第四象限，则 即k≥0，
故D错误.故选A、B.
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14. 已知在平面直角坐标系中的两点A（8，－6），B（2，2）.
（1）求线段AB的中垂线的方程；
解：易知线段AB的中点的坐标为（5，－2），
∵kAB＝ ＝－ ，
∴线段AB的中垂线的斜率为 ，
∴由直线的点斜式方程可得线段AB的中垂线的方程为y＋2＝ （x－
5），即y＝ x－ .
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（2）求以向量 为方向向量且过点P（2，－3）的直线l的方程.
解：由已知得 ＝（－6，8），则直线l的斜率为－ ，又直线过点
P（2，－3），
由直线的点斜式方程得直线l的方程为y＋3＝－ （x－2），即y＝－ x
－ .
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15. 已知直线l的方程为y－1＝k（x－2）（k∈R）.
（1）证明：直线l恒过第一象限；
解：证明：由点斜式方程y－1＝k（x－2）可知，直线l恒过点
（2，1），该点位于第一象限，所以直线l恒过第一象限.
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解：存在，理由如下：
若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，则k＜0，A（2－ ，
0），B（0，1－2k），
所以△ABO的面积S＝ （1－2k）·（2－ ）＝ ［4＋（－4k）＋（－
）］≥ ×（4＋4）＝4，当且仅当－4k＝－ ，即k＝－ 时，等号成
立，故存在使△ABO面积最小的直线l，其方程为y－1＝－ （x－2），
即y＝－ x＋2.
（2）若直线l分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，是否
存在使△ABO面积最小的直线l？若存在，求出直线l方程；若不存在，请
说明理由.
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