《创新课堂》2.2.3　直线的一般式方程 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测

(共59张PPT)
2.2.3　直线的一般式方程
1. 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的一般式方程（数学抽象、逻辑推理）.
2. 理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）都表示直线（逻辑推理）.
3. 会进行直线方程的五种形式间的转化（逻辑推理、数学运算）.
课标要求
　　前面我们学习了直线方程的四种形式，但它们各自有自己的适用条件，也就是说上述方程形式不是对任何直线都适用.是否存在一种方程形式，对任何直线都适用呢？这就是这节课我们要学习的内容.
情境导入
知识点一　直线的一般式方程
01
知识点二　一般式下两直线的平行或垂直
02
提能点　含参一般式方程的应用
03
课时作业
04
目录
01
PART
知识点一
直线的一般式方程
问题1　（1）平面直角坐标系中任意一条直线都可以用一个关于x，y的二
元一次方程表示吗？
提示：可以.直线斜率存在时，由点斜式y－y0＝k（x－x0），方程为二元
一次方程；斜率不存在时，x－x0＝0也可以认为是y的系数为0的二元一次
方程.
（2）任意一个关于x，y的二元一次方程都可以表示一条直线吗？
提示：可以.任意一个二元一次方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为
0），B≠0时，y＝－ x－ ；B＝0时，x＝－ 均表示直线.
【知识梳理】
1. 定义：关于x，y的二元一次方程 （其中A，B不
同时为0）叫做直线的一般式方程，简称 .
　　提醒：系数的几何意义：①当B≠0时，则－ ＝k（斜率），－ ＝b
（y轴上的截距）；②当B＝0，A≠0时，则－ ＝a（x轴上的截距），
此时斜率不存在.
Ax＋By＋C＝0　
一般式　
2. 一般式与其他形式的互化
【例1】（链接教材P65例5）根据下列条件求直线的一般式方程：
（1）直线的斜率为2，且经过点A（1，3）；
解：因为k＝2，且经过点A（1，3），由直线的点斜式方程可得y－3＝2
（x－1），整理可得2x－y＋1＝0，所以直线的一般式方程为2x－y＋1
＝0.
（2）斜率为 ，且在y轴上的截距为4；
解：由直线的斜率k＝ ，且在y轴上的截距为4，得直线的斜截式方程
为y＝ x＋4.
整理可得直线的一般式方程为 x－y＋4＝0.
（3）经过两点A（2，－3），B（－1，－5）；
解：由直线的两点式方程可得 ＝ ，整理得直线的一般式方程
为2x－3y－13＝0.
（4）在x，y轴上的截距分别为2，－4.
解：由直线的截距式方程可得 ＋ ＝1，整理得直线的一般式方程为2x
－y－4＝0.
【规律方法】
1. 由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转
化为直线的一般式方程（化为一般式方程后原方程的限制条件就消失
了）.
2. 反过来，也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程，注意斜
截式、截距式方程的适用条件.
训练1　（1）与直线y＝2x－6交于点（a，0）且倾斜角为135°的直线的
一般式方程为 ；
解析：依题意，a＝3，直线斜率k＝－1，所以直线的点斜式方程为y＝－
（x－3），即x＋y－3＝0.
x＋y－3＝0
解：①将原方程移项，得2y＝x＋6，
两边同除以2，得斜截式方程为y＝ x＋3，
因此它的斜率k＝ ，在y轴上的截距为3.
②将原方程移项，得x－2y＝－6，两边同除以－6，得截距式方程为 ＋
＝1.
所以直线在x轴、y轴上的截距分别为－6，3.
（2）将直线方程x－2y＋6＝0作如下转换：
①化成斜截式，并指出它的斜率与在y轴上的截距；
②化成截距式，并指出它在x轴、y轴上的截距.
02
PART
知识点二
一般式下两直线的平行或垂直
问题2　（1）已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.若
B1，B2≠0，则由l1∥l2，l1⊥l2可得出什么结论？
提示：l1∥l2时， ＝ 且 ≠ ，即A1B2＝A2B1且B1C2≠B2C1；
l1⊥l2时，（－ ）（－ ）＝－1，即A1A2＋B1B2＝0.
（2）在问题（1）中若B1＝0，则由l1∥l2，l1⊥l2可得出什么结论？
提示：l1∥l2时，B1＝B2＝0且 ≠ ，即B1＝B2＝0且A1C2≠A2C1；
l1⊥l2时，A2＝0，A1≠0.
【知识梳理】
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0（A1，B1不同时为0），l2：A2x＋B2y＋
C2＝0（A2，B2不同时为0）.
（1）l1∥l2 ＝0，且B1C2－B2C1≠0（或A1C2－
A2C1≠0）；
（2）l1⊥l2 ＝0.
A1B2－A2B1　
A1A2＋B1B2　
角度1　由平行、垂直求直线方程
【例2】已知直线l：x－2y－2＝0，则过点（0，1）与l平行的直线的方
程是 ；过点（－1，3）与l垂直的直线的方程是
.
解析：法一　直线l：x－2y－2＝0的斜率为 ，所以平行于直线l的直线
的斜率等于 ，又因为直线经过点（0，1），故直线的斜截式方程为y＝
x＋1，所求直线的一般式方程为x－2y＋2＝0.垂直于直线l的直线的斜率
为－2，又因为直线经过点（－1，3），故直线的点斜式方程为y－3＝－2
（x＋1），所求直线方程为2x＋y－1＝0.
x－2y＋2＝0
2x＋y
－1＝0
法二　设平行于直线l的直线方程为x－2y＋c＝0（c≠－2），又因为直
线经过点（0，1），得c＝2，所求直线方程为x－2y＋2＝0.设垂直于直
线l的直线方程为2x＋y＋m＝0，又因为直线经过点（－1，3），得m＝
－1，所求直线方程为2x＋y－1＝0.
【规律方法】
与已知直线平行（垂直）的直线方程的求法
（1）由已知直线求出斜率，再利用平行（垂直）的直线斜率之间的关系
确定所求直线的斜率，由点斜式写出方程；
（2）可利用待定系数法：与直线Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0）平
行的直线方程可设为Ax＋By＋C1＝0（C1≠C）；与直线Ax＋By＋C＝0
（A，B不同时为0）垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0.
角度2　由直线的平行或垂直求参数
【例3】已知直线l1：x＋2ay－1＝0与l2：（a－1）x＋ay＋1＝0，
a∈R. 分别求a的值，使（1）l1∥l2；（2）l1⊥l2.
解：（1）由直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行
A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0，
得a－2a（a－1）＝0，且－（a－1）≠1，
解得a＝ .
（2）由直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直 A1A2
＋B1B2＝0，
得a－1＋2a2＝0，解得a＝ 或a＝－1.
【规律方法】
1. 平行问题
（1）如果直线的斜率存在，可将一般式化成斜截式进行判断；
（2）如果一般式中y的系数含参数，需根据系数是否为0分类讨论，或利
用l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0（或A1C2－A2C1≠0）求解.
2. 垂直问题
（1）如果直线的斜率存在且不为0，那么l1⊥l2 k1k2＝－1；
（2）l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
训练2　（1）直线l过点（－1，2），且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l
的方程是（　A　）
A. 3x＋2y－1＝0 B. 3x＋2y＋7＝0
C. 2x－3y＋5＝0 D. 2x－3y＋8＝0
解析：依题意可设所求直线方程为3x＋2y＋c＝0，又直线l过点（－1，
2），代入可得c＝－1，故所求直线方程为3x＋2y－1＝0.
（2）（2025·梅州月考）已知直线l1：x＋my－2m－2＝0，直线l2：mx
＋y－1－m＝0，则当l1⊥l2时，m＝ ；当l1∥l2时，m＝ .
A
解析：若l1⊥l2，则1×m＋m×1＝0，得m＝0；若l1∥l2，则m2－1＝0，
且（－1－m）×1－m（－2m－2）≠0，解得m＝1.
0
1
03
PART
提能点
含参一般式方程的应用
【例4】　设直线l的方程为（a＋1）x＋y＋2－a＝0 （a∈R）.
（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
解：当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，显然相等.∴a
＝2时满足条件，此时直线方程为3x＋y＝0；
当a＝－1时，直线平行于x轴，在x轴无截距，不符合题意；
当a≠－1，且a≠2时，由 ＝a－2，即a＋1＝1.∴a＝0时，直线在x
轴，y轴截距都为－2，直线方程为x＋y＋2＝0.∴a＝2或a＝0时，l在两
坐标轴上的截距相等，直线方程分别为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
（2）是否存在实数a，使直线l不经过第二象限？若存在，求实数a的取
值范围；若不存在，请说明理由.
解：假设存在实数a，使直线l不经过第二象限，将直线l的方程化为斜截
式方程为y＝－（a＋1）x＋a－2，∴ 或
解得a≤－1，
故实数a的取值范围为（－∞，－1].
变式　若直线l的方程为（a2－1）x＋y＋2－a＝0（a∈R），求直线倾
斜角的取值范围.
解：因为直线的斜截式方程为y＝（1－a2）x＋a－2，（a∈R），所以
直线的斜率k＝1－a2≤1，
当0≤k≤1时，直线的倾斜角的取值范围是［0， ］；
当k＜0时，直线的倾斜角的取值范围是（ ，π），
综上所述，直线的倾斜角的取值范围是［0， ］∪（ ，π）.
【规律方法】
由含参一般式求参数的值（范围）的策略
（1）要掌握各种形式的直线方程的基本类型和对应的限制条件；
（2）已知直线过（不过）某个象限，求参数值（范围）时，常用直线的
斜截式方程进行求解，但要注意斜率为0或不存在的情况.
训练3　已知直线l的方程是（2a－3）x＋（a＋5）y－3＝0.根据下列条
件，分别求实数a的值.
（1）l在y轴上的截距为1；
解：因为直线l的方程是（2a－3）x＋（a＋5）y－3＝0，令x＝0，得到
y＝ ，又因为l在y轴上的截距为1，所以 ＝1，解得a＝－2.
（2）l在x轴上的截距为－3；
解：由题意知，令y＝0，得x＝ ，由l在x轴上的截距是－3，故
＝－3，解得a＝1.
（3）l的倾斜角为 .
解：因为l的倾斜角为 ，所以直线l的斜率k＝1，故－ ＝1，解得a＝
－ .
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一
次方程Ax＋By＋C＝0来表示. （　√　）
（2）垂直于x轴的直线方程可表示为Ax＋C＝0（A≠0）. （　√　）
（3）直线l：Ax＋By＋C＝0的斜率为－ . （　×　）
√
√
×
2. 在直角坐标系中，直线x＋ y－3＝0的倾斜角是（　　）
A. 30° B. 60°
C. 150° D. 120°
√
解析：直线斜率k＝－ ，所以倾斜角为150°，故选C.
3. （2025·东营月考）两条直线x＋2y＋m＝0和2x－y＋n＝0的位置关系
是（　　）
A. 平行 B. 垂直
C. 不平行也不垂直 D. 与m，n的取值有关
解析：　因为A1A2＋B1B2＝1×2－2×1＝0，所以两直线垂直.
√
4. 分别写出满足下列条件的直线方程，并化成一般式：
（1）经过点B（－ ，2），倾斜角是30°；
解：因为直线经过点B（－ ，2），倾斜角是30°，所以斜率为 ，所以直线的点斜式方程为y－2＝ （x＋ ），即 x－y＋2＋ ＝0.
（2）经过点（1，2）且与直线x－y＋1＝0垂直.
解：设所求直线方程为y＝－x＋b，
将点（1，2）的坐标代入可得b＝1＋2＝3，
所以所求的直线方程为y＝－x＋3，即x＋y－3＝0.
课堂小结
1.理清单
（1）直线的一般式方程；
（2）直线五种形式方程的互化；
（3）利用直线的方程判定直线的平行或垂直；
（4）含参一般式方程的应用.
2.应体会
利用直线方程的一般式解决直线平行与垂直问题，体现了分类讨论、转
化与化归的思想方法.
3.避易错
忽视直线斜率不存在的情况；忽视两直线重合的情况.
04
PART
课时作业
1. 直线3x－2y－4＝0的截距式方程是（　　）
解析：　由3x－2y－4＝0，得3x－2y＝4，即 x－ y＝1，即 ＋ ＝
1，所以直线的截距式方程为 ＋ ＝1.
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2. 过点A（2，3）且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为（　　）
A. x－2y＋4＝0 B. 2x＋y－7＝0
C. x－2y＋3＝0 D. x－2y＋5＝0
解析：过点A（2，3）且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线的斜率为 ，由点斜式求得直线的方程为y－3＝ （x－2），化简可得x－2y＋4＝0.
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3. 已知直线l1：ax＋（a＋2）y＋2＝0与l2：x＋ay＋1＝0平行，则实数
a的值为（　　）
A. －1或2 B. 0或2
C. 2 D. －1
解析：　由l1∥l2知，a×a＝1×（a＋2），即a2－a－2＝0，∴a＝2
或a＝－1.当a＝2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去；当a＝－1时，
l1∥l2.∴a＝－1.
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4. 已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线
x－y－ ＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为（　　）
解析：　原方程化为 ＋ ＝1，∴ ＝－1，∴b＝－1.又∵ax＋by－1
＝0的斜率k＝－ ＝a，且 x－y－ ＝0的倾斜角为60°，∴k＝tan
120°＝－ ，∴a＝－ .
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5. 直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0（a≠0，b≠0，a≠b）在
同一坐标系中的图形大致是（　　）
√
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解析：　将l1与l2的方程分别化为斜截式得l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx＋
a，根据直线的斜率和纵截距的符号判断，选项A中，若两直线平行，则a
＝b，与条件矛盾，A错误；选项B中，由直线l1得a＜0，b＞0，则直线l2
的纵截距为负数，与图形矛盾，B错误；选项C中，由直线l1得a＞0，b＞
0，则直线l2的斜率与纵截距都大于0，符合题意，C正确；选项D中，由直
线l1得a＞0，b＜0，则直线l2的斜率为负数，与图形矛盾，D错误.故选C.
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6. 〔多选〕关于直线l： x＋y＋2＝0，下列说法正确的有（　　）
C. 在y轴上的截距为2
D. 直线l经过第二、三、四象限
√
√
解析：因为直线l： x＋y＋2＝0，令x＝－ ，可得y＝1，即直线经过点（－ ，1），故B正确；由 x＋y＋2＝0可得y＝－ x－2，所以直线的斜率为－ ，直线在y轴上的截距为－2，直线l经过第二、三、四象限，故A、C错误，D正确.故选B、D.
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7. 〔多选〕已知直线l：Ax＋By＋C＝0，其中A，B不全为0，则下列说
法正确的是（　　）
A. 当C＝0时，l过坐标原点
B. 当AB＞0时，l的倾斜角为锐角
C. 当B＝0，C≠0时，l和x轴平行
D. 若直线l过点P（x0，y0），直线l的方程可化为A（x－x0）＋B（y
－y0）＝0
√
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解析：　选项A，当C＝0时， 是方程Ax＋By＝0的解，即l
过坐标原点，故A正确；选项B，当AB＞0时，直线l：Ax＋By＋C＝0的
方程可化为y＝－ x－ ，则直线l的斜率k＝－ ＜0，l的倾斜角为钝
角，故B错误；选项C，当B＝0，C≠0时，由A，B不全为0，得A≠0，
直线l：Ax＋By＋C＝0的方程可化为x＝－ ，故直线l和x轴垂直，不平
行，故C错误；选项D，直线l过点P（x0，y0），则Ax0＋By0＋C＝0，可
得C＝－Ax0－By0，代入直线方程l：Ax＋By＋C＝0，得Ax＋By－Ax0
－By0＝0，即A（x－x0）＋B（y－y0）＝0，故D正确.故选A、D.
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8. 若直线（2m2－5m＋2）x－（m2－4）y＋5m＝0的倾斜角是45°，则
实数m＝ .
解析：由已知得 ∴m＝3.
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9. 三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3构成三角形，则a的取值范围
为 .
解析：直线x＋y＝0与x－y＝0都经过原点，而无论a为何值，直线x＋
ay＝3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x＋
ay＝3与另两条直线不平行，所以a≠±1.
a≠±1
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10. 根据下列条件分别求直线的方程，并化为一般式方程：
（1）经过点A（5，3），且倾斜角为120°；
解：直线的斜率为－ ，由点斜式方程得y－3＝－ （x－5），
即 x＋y－3－5 ＝0.
（2）过点B（－3，0），且垂直于x轴；
解：x＝－3，即x＋3＝0.
（3）在y轴上的截距为3，且平行于x轴；
解：y＝3，即y－3＝0.
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（4）过点P（－1，2），且与直线x－2y－3＝0平行；
解：根据题意可设直线l的方程为x－2y＋C＝0（C≠－3），将点P（－1，2）代入可得C＝5，可得直线l的方程为x－2y＋5＝0.
（5）过点B（1，2），且在两坐标轴上的截距互为相反数.
解：当直线过原点时满足题意，
此时设直线方程为y＝ax，由直线过点B（1，2），
得a＝2，故直线方程为y＝2x，化为一般式为2x－y＝0.
当直线不过原点时，设直线方程为 － ＝1，即 － ＝1，解得a＝－1，
故直线方程为x－y＋1＝0.
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11. 已知点P（a，b），Q（c，d），若（2a－b）（2c－d）＜0，则
下列结论正确的是（　　）
A. P，Q在直线2x－y＝0上
B. P，Q在直线2x－y＝0同侧
C. P，Q在直线2x－y＝0异侧
D. P，Q在直线x－2y＝0异侧
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解析：　如图，直线2x－y＝0将坐标平面分为两个半平
面区域，直线上的点M（m，n）的坐标满足方程2m－
n＝0，如点（1，2）；直线左上方的点M（m，n）的坐
标满足不等式2m－n＜0，如点（1，3）；直线右下方的
点M（m，n）的坐标满足不等式2m－n＞0，如点（1，1），若点P（a，b），Q（c，d）在直线2x－y＝0上，则必有（2a－b）（2c－d）＝0；若点P（a，b），Q（c，d）在直线2x－y＝0的同侧，则必有（2a－b）·（2c－d）＞0；若点P（a，b），Q（c，d）在直线2x－y＝0的异侧，则必有（2a－b）（2c－d）＜0.
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12. 〔多选〕将直线3x－y＝0绕原点逆时针旋转90°，再向右平移m
（m∈N*）个单位长度，所得直线的方程可能为（　　）
A. 3x－y＋1＝0 B. x＋3y－1＝0
C. x＋3y－3＝0 D. x＋3y＋3＝0
解析：　将直线3x－y＝0绕原点逆时针旋转90°，得到直线y＝－ x，再向右平移m（m∈N*）个单位长度，所得直线的方程为y＝－ （x－m），即x＋3y－m＝0（m∈N*）.故选B、C.
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13. （2025·盐城月考）已知直线l1∥l2，其方程分别为l1：x＋2y＋2＝0，
l2：mx＋（1－n）y＋1＝0，其中m＞0，n＞0，则 ＋ 的最小值
为 .
解析：因为直线l1：x＋2y＋2＝0和l2：mx＋（1－n）y＋1＝0（m＞0，
n＞0）平行，所以n≠1且它们的斜率相等，在y轴上的截距不相等，所以
＝－ ，且 ≠－1，所以2m＋n＝1（m＞0，n＞0），所以 ＋
＝（2m＋n）（ ＋ ）＝4＋ ＋ ≥4＋2 ＝8，当且仅当 ＝
，即m＝ ，n＝ 时，等号成立，所以 ＋ 的最小值是8.
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14. 若方程（m2－3m＋2）x＋（m－2）y－2m＋5＝0表示直线.
（1）求实数m需满足的条件；
解：由
解得m＝2.
又方程表示直线时，m2－3m＋2与m－2不同时为0，故m≠2.
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（2）若该直线经过第二、三、四象限，求实数m的取值范围；
解：由题意可知直线的斜率为负值，且在y轴上的截距为负值.
即
解得2＜m＜ ，
故m的取值范围为（2， ）.
（3）若该直线与直线4x＋（m－2）y－16＝0垂直，试求m的值.
解：由题意知4（m2－3m＋2）＋（m－2）2＝0，
解得m＝2或m＝ .
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15. 已知t∈R，且t∈（0，10），由t确定两个任意点P（t，t），Q
（10－t，0）.
（1）直线PQ是否经过点M（6，1）？
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解：由题意，当直线PQ的斜率不存在时，
t＝10－t，故t＝5，此时P（5，5），Q（5，0），
直线PQ不经过点M（6，1）；
当直线PQ的斜率存在时，t≠5，kPQ＝ ，
直线PQ的方程为（2t－10）y＝t（x＋t－10）.
假设直线PQ过点M（6，1），
则2t－10＝t（6＋t－10），即t2－6t＋10＝0，
Δ＝－4＜0，方程无实根，故直线PQ不经过点M（6，1）.
综上，直线PQ不经过点M（6，1）.
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（2）在△OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A，B在边OQ上，顶点D在
边OP上.
①求证：顶点C一定在直线y＝ x上；
②求图中阴影部分面积的最大值，并求此时顶点A，B，C，D的坐标.
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解：①证明：由题意设点A（a，0），B（2a，0），C（2a，a），D（a，a），点C（2a，a）满足y＝ x，
故顶点C一定在直线y＝ x上.
②直线PQ的方程为（2t－10）y＝t（x＋t－10），
因为P（t，t），Q（10－t，0），
设阴影部分的面积为S，
则S＝S△OPQ－S正方形ABCD＝ t（10－t）－a2（0＜t＜10）.
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因为点C（2a，a）在直线PQ上，
则（2t－10）a＝t（2a＋t－10），
所以a＝ t（10－t）.
所以S＝5a－a2＝－（a－ ）2＋ .
所以当a＝ ，即t＝5时，
图中阴影部分的面积取得最大值，Smax＝ ，
此时点A（ ，0），B（5，0），C（5， ），D（ ， ）.
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THANKS
演示完毕 感谢观看