《创新课堂》2.3.1 两条直线的交点坐标 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测
文档属性
| 名称 | 《创新课堂》2.3.1 两条直线的交点坐标 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-07 00:00:00 | ||
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文档简介
(共58张PPT)
2.3.1 两条直线的交点坐标
1. 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标（数学运算）.
2. 会根据方程组的解的个数判定两条直线的位置关系（逻辑推理）.
课标要求
在平面几何中，我们对直线作了定性研究.引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式.这样，我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点坐标，平面内与点、直线相关的距离问题等.
情境导入
知识点一 两条直线的交点坐标
01
知识点二 两条直线位置关系的判断
02
提能点 过定点的直线问题
03
课时作业
04
目录
01
PART
知识点一
两条直线的交点坐标
问题1 已知两条直线l1：x＋y－5＝0，l2：x－y－3＝0，画出两条直线
的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系？
提示：直线l1，l2的图象如图所示.点M既在直线l1
上，也在直线l2上.满足直线l1的方程x＋y－5＝
0，也满足直线l2的方程x－y－3＝0.即交点坐标
是方程组 的解.
【知识梳理】
已知两条直线的方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设
这两条直线的交点为P，则点P既在直线 上，也在直线 上.
所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的
方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组
的解.
l1
l2
【例1】（链接教材P70例1）两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11
＝0的交点坐标为（ ）
A. （3，2） B. （2，3）
C. （－2，－3） D. （－3，－2）
解析：联立 解得 ∴两条直线的交点坐标
为（2，3）.
√
【规律方法】
1. 求两直线的交点坐标可直接建立方程组，利用加减消元法或代入消元法
求解即可.
2. 当多条直线相交于同一点时，先选两直线求交点，再利用此点必在其他
直线上解决问题.
训练1 （1）已知直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：2x－by－1＝0相交于点M
（1，1），则a＋b＝ ；
解析：∵直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：2x－by－1＝0相交于点M（1，
1），∴ ∴a＋b＝－2
＋1＝－1.
－1
（2）已知三条直线mx＋2y＋7＝0，y＝14－4x和2x－3y＝14相交于一
点，则m的值为 .
解析：解方程组 得 所以这两条直线的交点坐
标为（4，－2）.由题意知点（4，－2）在直线mx＋2y＋7＝0上，将
（4，－2）代入，得4m＋2×（－2）＋7＝0，解得m＝－ .
－
02
PART
知识点二
两条直线位置关系的判断
问题2 如果两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，那
么两条直线的位置关系与方程组 的解有什么关系？
提示：l1与l2相交 方程组有唯一解；
l1与l2平行 方程组无解；
l1与l2重合 方程组有无数个解.
【知识梳理】
方程解的个数与两条直线的位置关系
直线位置关系 方程组的解 方程系数关系
l1与l2 相交
l1与l2 平行
l1与l2 重合 无数个解
有唯一解
A1B2≠A2B1
无解
A1B2＝A2B1，且A1C2≠A2C1
A1B2＝A2B1，且A1C2＝A2C1
【例2】（链接教材P71例2）判断下列各对直线的位置关系.如果直线相
交，求出交点的坐标：
（1）l1：2x－y＝7和l2：3x－4y＝18；
解：解方程组 得
所以直线l1和l2相交，交点坐标为（2，－3）.
（2）l1：2x－3y＋6＝0和l2：4x－6y＋1＝0；
解：解方程组 无解，所以直线l1和l2没有公共点，即
l1∥l2.
（3）l1：2x＋3y－3＝0和l2：y＝1－ x.
解：l1：2x＋3y－3＝0即l1：y＝－ x＋1，
与l2：y＝1－ x为同一个方程，即l1与l2表示同一条直线，所以l1与l2重合.
【规律方法】
判断两条直线位置关系的方法
（1）判断两条直线的位置关系，关键是看两条直线的方程组成的方程组
的解的情况；
（2）利用方程系数的关系进行判断；
（3）利用直线的斜率进行判断：①当k1≠k2时，l1与l2相交.当两直线
斜率都不存在时，两直线平行或重合.当一条直线斜率存在而另一条直
线斜率不存在时，两直线相交；②当k1＝k2时，不能判断两直线平行，
还可能重合.
训练2 （1）（2025·镇江月考）下列直线中，与直线x＋y－1＝0相交的
是（ D ）
A. 2x＋2y＝6 B. x＋y＝0
C. y＝－x－3 D. y＝x－1
解析：直线x＋y－1＝0的斜率为－1，选项A，B，C中的直线斜率均为－
1，只有D选项中的直线的斜率为1，所以两直线相交，故选D.
D
（2）若关于x，y的方程组 （m，n∈R）有无穷多组
解，则mn＝ .
解析：若方程组 有无穷多组解，即两条直线重合，即
＝ ＝ ，所以m＝－2，n＝－2，则mn＝（－2）×（－2）＝4.
4
03
PART
提能点
过定点的直线问题
【例3】求证：不论m为何值，直线（m＋3）x＋（2m＋1）y＝9m－3恒
过一个定点.
证明：法一 取m＝0，得直线3x＋y＋3＝0；
取m＝1，得直线4x＋3y－6＝0，
解方程组 得
故两条直线的交点为（－3，6）.
下面验证直线（m＋3）x＋（2m＋1）y＝9m－3恒过点（－3，6）.
将x＝－3，y＝6代入方程，左边＝9m－3＝右边，
故直线恒过点（－3，6）.
角度1 定点的求解
法二 直线方程可变形为（3x＋y＋3）＋m（x＋2y－9）＝0.
∵对任意m该方程恒成立，
∴ 解得
故直线恒过点（－3，6）.
【规律方法】
解直线恒过定点问题的策略
（1）将方程化为点斜式y－y0＝k（x－x0），其中k为参数，求得直线恒
过定点（x0，y0）；
（2）赋值法：因为参数可取任意实数，所以给参数任取两次值，得到
关于x，y的二元一次方程组，解方程组可得x，y的值，即为直线过的
定点；
（3）分离参数法：将方程变形，把x，y作为参数的系数，即有参数的放
在一起，没参数的放在一起，因为此式子对任意参数的值都成立，所以需
系数为零，解方程组可得x，y的值，即为直线过的定点.
角度2 过定点的直线系问题
【例4】 （2025·河源月考）求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的
交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程.
解：法一 解方程组 得
所以两直线的交点坐标为 .又所求直线与直线3x＋y－1＝0平
行，所以所求直线的斜率为－3.
故所求直线方程为y＋ ＝－3（x＋ ），即15x＋5y＋16＝0.
法二 设所求直线方程为（2x－3y－3）＋λ（x＋y＋2）＝0，即（2＋
λ）x＋（λ－3）y＋（2λ－3）＝0.（*）
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以有
得λ＝ ，代入（*）式得 x＋ y＋（2× －3）＝0，即
15x＋5y＋16＝0.
变式 本例中若将“平行”改为“垂直”，其他条件不变，如何求解？
解：设所求直线方程为（2x－3y－3）＋λ（x＋y＋2）＝0，即（2＋
λ）x＋（λ－3）y＋（2λ－3）＝0，
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，则3（2＋λ）＋（λ－3）×1＝
0，得λ＝－ ，
所以所求直线方程为5x－15y－18＝0.
【规律方法】
过两条直线交点的直线方程的求法
（1）常规解法（方程组法）：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合
其他条件写出直线方程；
（2）特殊解法（直线系法）：先设出过两条直线交点的直线系方程，再
结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程.
提醒：过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的
直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（不包括直线
A2x＋B2y＋C2＝0）.
训练3 （1）直线l经过点（1，2），且经过直线2x＋3y＋8＝0与x－y－
1＝0的交点，则直线l的方程为（ ）
A. 2x＋y＝0 B. 2x－y＝0
C. x＋2y＝0 D. x－2y＝0
解析： 设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ（x－y－1）＝0，即（2＋
λ）x＋（3－λ）y＋8－λ＝0.因为l过点（1，2），所以（2＋λ）＋2
（3－λ）＋8－λ＝0，解得λ＝8.则直线l的方程为2x－y＝0.故选B.
√
（2）若a＋b＋c＝0，且a，b不同时为0，求证：直线ax＋by＋c＝0必
过一个定点.
证明：因为a＋b＋c＝0，且a，b不同时为0，
不妨设b≠0，则a＝－（b＋c）.
代入直线方程ax＋by＋c＝0，得－（b＋c）x＋by＋c＝0，
即（x－y）＋ （x－1）＝0，
此方程可视为过直线x－y＝0与x－1＝0的交点的直线系方程（不包括直
线x－1＝0）.
解方程组 得
即两条直线的交点的坐标为（1，1）.
故直线ax＋by＋c＝0必过定点（1，1）.
1. 直线l1：x－y＝5与l2：3x－2y＝12的交点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：解方程组 得 所以两条直线的交点为
（2，－3），在第四象限.
√
2. 直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k＝
（ ）
A. －24 B. 24
C. 6 D. ±6
解析： 因为直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，
可设交点坐标为（a，0），所以 解得 故选A.
√
3. （2025·焦作月考）直线（a－1）x－y＋2a＋1＝0恒过定点 .
解析：由题意得a（x＋2）＋（－x－y＋1）＝0，令
解得 ∴该直线恒过定点（－2，3）.
（－2，3）
4. 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点坐标：
（1）l1：4x＋2y＋4＝0，l2：y＝－2x＋3；
解：方程组 无解，
这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.
（2）l1：5x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0.
解：解方程组 得
所以l1与l2相交，且交点坐标为（－ ， ）.
课堂小结
1.理清单
（1）两条直线的交点坐标；
（2）两条直线位置关系的判断；
（3）过定点的直线问题.
2.应体会
（1）求两直线交点坐标时常用到方程思想；
（2）对于含有参数的直线恒过定点问题，通常利用特殊到一般思想对参
数赋值，转化为具体直线的交点求定点坐标，再回代直线方程证明即可.
3.避易错
对两直线位置关系的判断所满足的条件认识模糊.
04
PART
课时作业
1. 已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点
是（ ）
A. B.
C. D.
解析：由 得 故交点为 .
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2. 下列直线中与直线2x－y－3＝0相交的是（ ）
A. 2ax－ay＋6＝0（a≠0） B. y＝2x
C. 2x－y＋5＝0 D. 2x＋y－3＝0
解析：选项B、C中的直线与直线2x－y－3＝0平行；当a≠0时，选项A中的直线的斜率为2，与直线2x－y－3＝0也平行，只有与选项D中直线相交.
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3. （2025·枣庄质检）已知方程kx－y－1＝3k，当实数k变化时，方程表
示的所有直线经过的定点坐标为（ ）
A. （0，0） B. （0，1）
C. （3，1） D. （3，－1）
解析：将直线方程化为y＋1＝k（x－3），可得直线过定点（3，－1）.
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4. 直线x＋a2y＋6＝0和（a－2）x＋3ay＋2a＝0无公共点，则a的值为
（ ）
A. －1或2 B. 0或3
C. －1或0 D. －1或3
解析： 两直线无公共点，即两直线平行.当a＝0时，这两条直线分别
为x＋6＝0和x＝0，无公共点.当a≠0时， ＝ ≠ ，解得a＝－1.
综上，a＝0或a＝－1.
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5. 过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方
程为（ ）
A. 3x－19y＝0 B. 3x＋19y＝0
C. 19x＋3y＝0 D. 19x－3y＝0
解析： 设过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ（2x＋y＋5）
＝0（λ为常数），代入原点坐标，求得λ＝－ ，故所求直线方程为x－
3y＋4－ （2x＋y＋5）＝0，即3x＋19y＝0，故选B.
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6. 〔多选〕已知两条直线l1：2x＋3y－m＝0与l2：x－my＋12＝0的交点
在y轴上，那么m的值为（ ）
A. －24 B. 6
C. －6 D. 0
√
√
解析：因为两条直线2x＋3y－m＝0和x－my＋12＝0的交点在y轴上，设交点为（0，b），所以 消去b，可得m＝±6.故选B、C.
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7. 〔多选〕已知直线l1：3x＋y－1＝0与l2：x＋2y－7＝0，则下列说法
正确的是（ ）
A. l1的倾斜角是锐角
B. l1与l2的交点坐标是（－1，4）
C. l1，l2与x轴围成的三角形的面积是
D. 过l1与l2的交点与l1垂直的直线方程为x－3y＋13＝0
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解析：直线l1的斜率k1＝－3＜0，所以l1的倾斜角是钝角，所以A错误；联立3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0解得交点坐标为（－1，4），所以B正确；结合图形（图略）得直线l1，l2与x轴围成的三角形的面积S＝ ×（7－ ）×4＝ ，所以C正确；因为所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，所以所求直线的斜率为 ，由点斜式得y－4＝ （x＋1），即x－3y＋13＝0，所以D正确.故选B、C、D.
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8. 已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点（1，
m），则m＝ .
解析：由两直线垂直得2a－10＝0，解得a＝5.又点（1，m）在直线上，
所以a＋2m－1＝0，所以m＝－2.
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9. 已知直线l1：mx－y＋m－1＝0与射线l2：x－y－2＝0（x≥0）恒有
公共点，则m的取值范围是 .
解析：由 得x＝ ，因为直线l1：mx－y＋m－
1＝0与射线l2：x－y－2＝0（x≥0）恒有公共点，所以x＝ ≥0，解
得－1≤m＜1.
[－1，1）
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10. 已知两直线l1：x＋2y－6＝0和l2：x－2y＋2＝0的交点为P. 求：
（1）过点P与Q（1，4）的直线方程；
解：设过直线l1和l2交点的直线方程为x＋2y－6＋m（x－2y＋2）＝0，即（m＋1）x＋（2－2m）y＋2m－6＝0. ①
把点Q（1，4）代入方程①，化简得3－5m＝0，
解得m＝ ，所以过点P与Q的直线方程为 x＋ y－ ＝0，即2x＋y－6
＝0.
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（2）过点P且与直线x－3y－1＝0平行的直线方程.
解：结合（1）中所设的方程①，由两直线平行，得－3（m＋1）＝2－2m，且2m－6≠－（m＋1），得m＝－5，所以所求直线的方程为－4x＋12y－16＝0，即x－3y＋4＝0.
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11. 已知直线kx－y＋2k＋1＝0与直线x＋2y－4＝0的交点在第四象限，
则实数k的取值范围为（ ）
A. （－6，2） B. （－ ，0）
C. （－ ，－ ） D. （ ，＋∞）
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解析：联立 解得 由直线kx－y＋
2k＋1＝0与x＋2y－4＝0的交点在第四象限可得 解得－
＜k＜－ ，即实数k的取值范围为（－ ，－ ）.故选C.
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12. （2025·广州月考）已知直线y－1＝k（x－1）恒过定点A，且点A在
直线mx＋ny－2＝0（m＞0，n＞0）上，则mn的最大值为 .
解析：已知直线y－1＝k（x－1），令 得 ∴直线y
－1＝k（x－1）恒过定点A（1，1）.将点A（1，1）的坐标代入mx＋ny
－2＝0，得m＋n＝2.又m＞0，n＞0，∴mn≤（ ）2＝1（当且仅当
m＝n＝1时，等号成立）.∴mn的最大值为1.
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13. （2025·周口月考）已知两直线l1：x－2y＋4＝0，l2：4x＋3y＋5＝0.
若直线l3：ax＋2y－6＝0与l1，l2不能构成三角形，则满足条件的实数a
＝ .
－1或 或－2
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解析：由题意可得，①当l3∥l1时，不能构成三角形，此时a×（－2）＝
1×2，且a×4≠1×（－6），解得a＝－1；②当l3∥l2时，不能构成三角
形，此时a×3＝4×2，且a×5≠4×（－6），解得a＝ ；③当l3过l1与l2
的交点时，不能构成三角形，此时联立l1与l2的方程，得
解得 所以l1与l2过点（－2，1），将（－
2，1）代入ax＋2y－6＝0得a×（－2）＋2×1－6＝0，解得a＝－2.综
上，当a＝－1， ，－2时，不能构成三角形.
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14. 已知直线l：（m－2）x－（m＋1）y＋3m＝0（m∈R），直线l1：
4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0.
（1）求证：直线l恒过定点；
解：证明：（m－2）x－（m＋1）y＋3m＝0可化为m（x－y＋3）－（2x＋y）＝0，
由于m∈R，则 解得
即直线l恒过定点（－1，2）.
所以直线l恒过定点.
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（2）设（1）中的定点为P，l与l1，l2的交点分别为A，B，若P恰为AB
的中点，求m.
解：由（1）知P（－1，2），不妨设A（x0，y0），
因为P恰为AB的中点，所以B（－2－x0，4－y0）.
因为A，B分别在直线l1和直线l2上，
所以
解得 所以A（－2，5）.
将A（－2，5）代入直线l的方程，解得m＝－ .
所以m的值为－ .
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15. 已知△ABC的顶点B（3，4），AB边上的高所在的直线方程为x＋y
－3＝0，E为BC的中点，且AE所在的直线方程为x＋3y－7＝0.
（1）求顶点A的坐标；
解：由已知得kAB＝1，∴直线AB的方程为y－4＝x－3，即x－y＋1＝0.
由 解得
∴点A的坐标为（1，2）.
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（2）求过点E且在x轴，y轴上的截距相等的直线l的方程.
解：设E（x0，y0），则C（2x0－3，2y0－4），
则
解得 ∴E（4，1）.
∵直线l在x轴，y轴上的截距相等，
∴当直线l经过原点时，设直线l的方程为y＝kx，把点E（4，1）代入，
得1＝4k，解得k＝ ，此时直线l的方程为x－4y＝0.
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当直线l不经过原点时，设直线l的方程为 ＋ ＝1，把点E（4，1）代
入，得 ＋ ＝1，解得a＝5，此时直线l的方程为x＋y－5＝0.
∴直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.
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演示完毕 感谢观看
2.3.1 两条直线的交点坐标
1. 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标（数学运算）.
2. 会根据方程组的解的个数判定两条直线的位置关系（逻辑推理）.
课标要求
在平面几何中，我们对直线作了定性研究.引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足的一个关系式.这样，我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点坐标，平面内与点、直线相关的距离问题等.
情境导入
知识点一 两条直线的交点坐标
01
知识点二 两条直线位置关系的判断
02
提能点 过定点的直线问题
03
课时作业
04
目录
01
PART
知识点一
两条直线的交点坐标
问题1 已知两条直线l1：x＋y－5＝0，l2：x－y－3＝0，画出两条直线
的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系？
提示：直线l1，l2的图象如图所示.点M既在直线l1
上，也在直线l2上.满足直线l1的方程x＋y－5＝
0，也满足直线l2的方程x－y－3＝0.即交点坐标
是方程组 的解.
【知识梳理】
已知两条直线的方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设
这两条直线的交点为P，则点P既在直线 上，也在直线 上.
所以点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的
方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标就是方程组
的解.
l1
l2
【例1】（链接教材P70例1）两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11
＝0的交点坐标为（ ）
A. （3，2） B. （2，3）
C. （－2，－3） D. （－3，－2）
解析：联立 解得 ∴两条直线的交点坐标
为（2，3）.
√
【规律方法】
1. 求两直线的交点坐标可直接建立方程组，利用加减消元法或代入消元法
求解即可.
2. 当多条直线相交于同一点时，先选两直线求交点，再利用此点必在其他
直线上解决问题.
训练1 （1）已知直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：2x－by－1＝0相交于点M
（1，1），则a＋b＝ ；
解析：∵直线l1：ax＋y＋1＝0与l2：2x－by－1＝0相交于点M（1，
1），∴ ∴a＋b＝－2
＋1＝－1.
－1
（2）已知三条直线mx＋2y＋7＝0，y＝14－4x和2x－3y＝14相交于一
点，则m的值为 .
解析：解方程组 得 所以这两条直线的交点坐
标为（4，－2）.由题意知点（4，－2）在直线mx＋2y＋7＝0上，将
（4，－2）代入，得4m＋2×（－2）＋7＝0，解得m＝－ .
－
02
PART
知识点二
两条直线位置关系的判断
问题2 如果两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，那
么两条直线的位置关系与方程组 的解有什么关系？
提示：l1与l2相交 方程组有唯一解；
l1与l2平行 方程组无解；
l1与l2重合 方程组有无数个解.
【知识梳理】
方程解的个数与两条直线的位置关系
直线位置关系 方程组的解 方程系数关系
l1与l2 相交
l1与l2 平行
l1与l2 重合 无数个解
有唯一解
A1B2≠A2B1
无解
A1B2＝A2B1，且A1C2≠A2C1
A1B2＝A2B1，且A1C2＝A2C1
【例2】（链接教材P71例2）判断下列各对直线的位置关系.如果直线相
交，求出交点的坐标：
（1）l1：2x－y＝7和l2：3x－4y＝18；
解：解方程组 得
所以直线l1和l2相交，交点坐标为（2，－3）.
（2）l1：2x－3y＋6＝0和l2：4x－6y＋1＝0；
解：解方程组 无解，所以直线l1和l2没有公共点，即
l1∥l2.
（3）l1：2x＋3y－3＝0和l2：y＝1－ x.
解：l1：2x＋3y－3＝0即l1：y＝－ x＋1，
与l2：y＝1－ x为同一个方程，即l1与l2表示同一条直线，所以l1与l2重合.
【规律方法】
判断两条直线位置关系的方法
（1）判断两条直线的位置关系，关键是看两条直线的方程组成的方程组
的解的情况；
（2）利用方程系数的关系进行判断；
（3）利用直线的斜率进行判断：①当k1≠k2时，l1与l2相交.当两直线
斜率都不存在时，两直线平行或重合.当一条直线斜率存在而另一条直
线斜率不存在时，两直线相交；②当k1＝k2时，不能判断两直线平行，
还可能重合.
训练2 （1）（2025·镇江月考）下列直线中，与直线x＋y－1＝0相交的
是（ D ）
A. 2x＋2y＝6 B. x＋y＝0
C. y＝－x－3 D. y＝x－1
解析：直线x＋y－1＝0的斜率为－1，选项A，B，C中的直线斜率均为－
1，只有D选项中的直线的斜率为1，所以两直线相交，故选D.
D
（2）若关于x，y的方程组 （m，n∈R）有无穷多组
解，则mn＝ .
解析：若方程组 有无穷多组解，即两条直线重合，即
＝ ＝ ，所以m＝－2，n＝－2，则mn＝（－2）×（－2）＝4.
4
03
PART
提能点
过定点的直线问题
【例3】求证：不论m为何值，直线（m＋3）x＋（2m＋1）y＝9m－3恒
过一个定点.
证明：法一 取m＝0，得直线3x＋y＋3＝0；
取m＝1，得直线4x＋3y－6＝0，
解方程组 得
故两条直线的交点为（－3，6）.
下面验证直线（m＋3）x＋（2m＋1）y＝9m－3恒过点（－3，6）.
将x＝－3，y＝6代入方程，左边＝9m－3＝右边，
故直线恒过点（－3，6）.
角度1 定点的求解
法二 直线方程可变形为（3x＋y＋3）＋m（x＋2y－9）＝0.
∵对任意m该方程恒成立，
∴ 解得
故直线恒过点（－3，6）.
【规律方法】
解直线恒过定点问题的策略
（1）将方程化为点斜式y－y0＝k（x－x0），其中k为参数，求得直线恒
过定点（x0，y0）；
（2）赋值法：因为参数可取任意实数，所以给参数任取两次值，得到
关于x，y的二元一次方程组，解方程组可得x，y的值，即为直线过的
定点；
（3）分离参数法：将方程变形，把x，y作为参数的系数，即有参数的放
在一起，没参数的放在一起，因为此式子对任意参数的值都成立，所以需
系数为零，解方程组可得x，y的值，即为直线过的定点.
角度2 过定点的直线系问题
【例4】 （2025·河源月考）求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的
交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程.
解：法一 解方程组 得
所以两直线的交点坐标为 .又所求直线与直线3x＋y－1＝0平
行，所以所求直线的斜率为－3.
故所求直线方程为y＋ ＝－3（x＋ ），即15x＋5y＋16＝0.
法二 设所求直线方程为（2x－3y－3）＋λ（x＋y＋2）＝0，即（2＋
λ）x＋（λ－3）y＋（2λ－3）＝0.（*）
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以有
得λ＝ ，代入（*）式得 x＋ y＋（2× －3）＝0，即
15x＋5y＋16＝0.
变式 本例中若将“平行”改为“垂直”，其他条件不变，如何求解？
解：设所求直线方程为（2x－3y－3）＋λ（x＋y＋2）＝0，即（2＋
λ）x＋（λ－3）y＋（2λ－3）＝0，
由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，则3（2＋λ）＋（λ－3）×1＝
0，得λ＝－ ，
所以所求直线方程为5x－15y－18＝0.
【规律方法】
过两条直线交点的直线方程的求法
（1）常规解法（方程组法）：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合
其他条件写出直线方程；
（2）特殊解法（直线系法）：先设出过两条直线交点的直线系方程，再
结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程.
提醒：过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的
直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（不包括直线
A2x＋B2y＋C2＝0）.
训练3 （1）直线l经过点（1，2），且经过直线2x＋3y＋8＝0与x－y－
1＝0的交点，则直线l的方程为（ ）
A. 2x＋y＝0 B. 2x－y＝0
C. x＋2y＝0 D. x－2y＝0
解析： 设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ（x－y－1）＝0，即（2＋
λ）x＋（3－λ）y＋8－λ＝0.因为l过点（1，2），所以（2＋λ）＋2
（3－λ）＋8－λ＝0，解得λ＝8.则直线l的方程为2x－y＝0.故选B.
√
（2）若a＋b＋c＝0，且a，b不同时为0，求证：直线ax＋by＋c＝0必
过一个定点.
证明：因为a＋b＋c＝0，且a，b不同时为0，
不妨设b≠0，则a＝－（b＋c）.
代入直线方程ax＋by＋c＝0，得－（b＋c）x＋by＋c＝0，
即（x－y）＋ （x－1）＝0，
此方程可视为过直线x－y＝0与x－1＝0的交点的直线系方程（不包括直
线x－1＝0）.
解方程组 得
即两条直线的交点的坐标为（1，1）.
故直线ax＋by＋c＝0必过定点（1，1）.
1. 直线l1：x－y＝5与l2：3x－2y＝12的交点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：解方程组 得 所以两条直线的交点为
（2，－3），在第四象限.
√
2. 直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，则k＝
（ ）
A. －24 B. 24
C. 6 D. ±6
解析： 因为直线2x＋3y－k＝0和直线x－ky＋12＝0的交点在x轴上，
可设交点坐标为（a，0），所以 解得 故选A.
√
3. （2025·焦作月考）直线（a－1）x－y＋2a＋1＝0恒过定点 .
解析：由题意得a（x＋2）＋（－x－y＋1）＝0，令
解得 ∴该直线恒过定点（－2，3）.
（－2，3）
4. 分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点坐标：
（1）l1：4x＋2y＋4＝0，l2：y＝－2x＋3；
解：方程组 无解，
这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2.
（2）l1：5x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0.
解：解方程组 得
所以l1与l2相交，且交点坐标为（－ ， ）.
课堂小结
1.理清单
（1）两条直线的交点坐标；
（2）两条直线位置关系的判断；
（3）过定点的直线问题.
2.应体会
（1）求两直线交点坐标时常用到方程思想；
（2）对于含有参数的直线恒过定点问题，通常利用特殊到一般思想对参
数赋值，转化为具体直线的交点求定点坐标，再回代直线方程证明即可.
3.避易错
对两直线位置关系的判断所满足的条件认识模糊.
04
PART
课时作业
1. 已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交，则它们的交点
是（ ）
A. B.
C. D.
解析：由 得 故交点为 .
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2. 下列直线中与直线2x－y－3＝0相交的是（ ）
A. 2ax－ay＋6＝0（a≠0） B. y＝2x
C. 2x－y＋5＝0 D. 2x＋y－3＝0
解析：选项B、C中的直线与直线2x－y－3＝0平行；当a≠0时，选项A中的直线的斜率为2，与直线2x－y－3＝0也平行，只有与选项D中直线相交.
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3. （2025·枣庄质检）已知方程kx－y－1＝3k，当实数k变化时，方程表
示的所有直线经过的定点坐标为（ ）
A. （0，0） B. （0，1）
C. （3，1） D. （3，－1）
解析：将直线方程化为y＋1＝k（x－3），可得直线过定点（3，－1）.
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4. 直线x＋a2y＋6＝0和（a－2）x＋3ay＋2a＝0无公共点，则a的值为
（ ）
A. －1或2 B. 0或3
C. －1或0 D. －1或3
解析： 两直线无公共点，即两直线平行.当a＝0时，这两条直线分别
为x＋6＝0和x＝0，无公共点.当a≠0时， ＝ ≠ ，解得a＝－1.
综上，a＝0或a＝－1.
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5. 过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方
程为（ ）
A. 3x－19y＝0 B. 3x＋19y＝0
C. 19x＋3y＝0 D. 19x－3y＝0
解析： 设过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ（2x＋y＋5）
＝0（λ为常数），代入原点坐标，求得λ＝－ ，故所求直线方程为x－
3y＋4－ （2x＋y＋5）＝0，即3x＋19y＝0，故选B.
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6. 〔多选〕已知两条直线l1：2x＋3y－m＝0与l2：x－my＋12＝0的交点
在y轴上，那么m的值为（ ）
A. －24 B. 6
C. －6 D. 0
√
√
解析：因为两条直线2x＋3y－m＝0和x－my＋12＝0的交点在y轴上，设交点为（0，b），所以 消去b，可得m＝±6.故选B、C.
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7. 〔多选〕已知直线l1：3x＋y－1＝0与l2：x＋2y－7＝0，则下列说法
正确的是（ ）
A. l1的倾斜角是锐角
B. l1与l2的交点坐标是（－1，4）
C. l1，l2与x轴围成的三角形的面积是
D. 过l1与l2的交点与l1垂直的直线方程为x－3y＋13＝0
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解析：直线l1的斜率k1＝－3＜0，所以l1的倾斜角是钝角，所以A错误；联立3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0解得交点坐标为（－1，4），所以B正确；结合图形（图略）得直线l1，l2与x轴围成的三角形的面积S＝ ×（7－ ）×4＝ ，所以C正确；因为所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，所以所求直线的斜率为 ，由点斜式得y－4＝ （x＋1），即x－3y＋13＝0，所以D正确.故选B、C、D.
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8. 已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点（1，
m），则m＝ .
解析：由两直线垂直得2a－10＝0，解得a＝5.又点（1，m）在直线上，
所以a＋2m－1＝0，所以m＝－2.
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9. 已知直线l1：mx－y＋m－1＝0与射线l2：x－y－2＝0（x≥0）恒有
公共点，则m的取值范围是 .
解析：由 得x＝ ，因为直线l1：mx－y＋m－
1＝0与射线l2：x－y－2＝0（x≥0）恒有公共点，所以x＝ ≥0，解
得－1≤m＜1.
[－1，1）
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10. 已知两直线l1：x＋2y－6＝0和l2：x－2y＋2＝0的交点为P. 求：
（1）过点P与Q（1，4）的直线方程；
解：设过直线l1和l2交点的直线方程为x＋2y－6＋m（x－2y＋2）＝0，即（m＋1）x＋（2－2m）y＋2m－6＝0. ①
把点Q（1，4）代入方程①，化简得3－5m＝0，
解得m＝ ，所以过点P与Q的直线方程为 x＋ y－ ＝0，即2x＋y－6
＝0.
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（2）过点P且与直线x－3y－1＝0平行的直线方程.
解：结合（1）中所设的方程①，由两直线平行，得－3（m＋1）＝2－2m，且2m－6≠－（m＋1），得m＝－5，所以所求直线的方程为－4x＋12y－16＝0，即x－3y＋4＝0.
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11. 已知直线kx－y＋2k＋1＝0与直线x＋2y－4＝0的交点在第四象限，
则实数k的取值范围为（ ）
A. （－6，2） B. （－ ，0）
C. （－ ，－ ） D. （ ，＋∞）
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解析：联立 解得 由直线kx－y＋
2k＋1＝0与x＋2y－4＝0的交点在第四象限可得 解得－
＜k＜－ ，即实数k的取值范围为（－ ，－ ）.故选C.
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12. （2025·广州月考）已知直线y－1＝k（x－1）恒过定点A，且点A在
直线mx＋ny－2＝0（m＞0，n＞0）上，则mn的最大值为 .
解析：已知直线y－1＝k（x－1），令 得 ∴直线y
－1＝k（x－1）恒过定点A（1，1）.将点A（1，1）的坐标代入mx＋ny
－2＝0，得m＋n＝2.又m＞0，n＞0，∴mn≤（ ）2＝1（当且仅当
m＝n＝1时，等号成立）.∴mn的最大值为1.
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13. （2025·周口月考）已知两直线l1：x－2y＋4＝0，l2：4x＋3y＋5＝0.
若直线l3：ax＋2y－6＝0与l1，l2不能构成三角形，则满足条件的实数a
＝ .
－1或 或－2
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解析：由题意可得，①当l3∥l1时，不能构成三角形，此时a×（－2）＝
1×2，且a×4≠1×（－6），解得a＝－1；②当l3∥l2时，不能构成三角
形，此时a×3＝4×2，且a×5≠4×（－6），解得a＝ ；③当l3过l1与l2
的交点时，不能构成三角形，此时联立l1与l2的方程，得
解得 所以l1与l2过点（－2，1），将（－
2，1）代入ax＋2y－6＝0得a×（－2）＋2×1－6＝0，解得a＝－2.综
上，当a＝－1， ，－2时，不能构成三角形.
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14. 已知直线l：（m－2）x－（m＋1）y＋3m＝0（m∈R），直线l1：
4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0.
（1）求证：直线l恒过定点；
解：证明：（m－2）x－（m＋1）y＋3m＝0可化为m（x－y＋3）－（2x＋y）＝0，
由于m∈R，则 解得
即直线l恒过定点（－1，2）.
所以直线l恒过定点.
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（2）设（1）中的定点为P，l与l1，l2的交点分别为A，B，若P恰为AB
的中点，求m.
解：由（1）知P（－1，2），不妨设A（x0，y0），
因为P恰为AB的中点，所以B（－2－x0，4－y0）.
因为A，B分别在直线l1和直线l2上，
所以
解得 所以A（－2，5）.
将A（－2，5）代入直线l的方程，解得m＝－ .
所以m的值为－ .
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15. 已知△ABC的顶点B（3，4），AB边上的高所在的直线方程为x＋y
－3＝0，E为BC的中点，且AE所在的直线方程为x＋3y－7＝0.
（1）求顶点A的坐标；
解：由已知得kAB＝1，∴直线AB的方程为y－4＝x－3，即x－y＋1＝0.
由 解得
∴点A的坐标为（1，2）.
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（2）求过点E且在x轴，y轴上的截距相等的直线l的方程.
解：设E（x0，y0），则C（2x0－3，2y0－4），
则
解得 ∴E（4，1）.
∵直线l在x轴，y轴上的截距相等，
∴当直线l经过原点时，设直线l的方程为y＝kx，把点E（4，1）代入，
得1＝4k，解得k＝ ，此时直线l的方程为x－4y＝0.
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当直线l不经过原点时，设直线l的方程为 ＋ ＝1，把点E（4，1）代
入，得 ＋ ＝1，解得a＝5，此时直线l的方程为x＋y－5＝0.
∴直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.
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