《创新课堂》2.4.1 圆的标准方程 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测
文档属性
| 名称 | 《创新课堂》2.4.1 圆的标准方程 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-07 00:00:00 | ||
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文档简介
(共55张PPT)
2.4.1 圆的标准方程
1. 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程（数学抽象、直观想象）.
2. 会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系（数学运算、逻辑推理）.
课标要求
情境导入
月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月
亮，在文学作品中也大量描写月亮，如果把天空看作一个平面，月亮当作
一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆的坐标方程如何表示？
知识点一 圆的标准方程
01
知识点二 点与圆的位置关系
02
提能点 求圆的标准方程
03
课时作业
04
目录
01
PART
知识点一
圆的标准方程
问题1 （1）回忆一下，圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各
要素与圆有怎样的关系？
提示：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，
定长称为圆的半径.确定圆的要素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半
径确定圆的大小.
（2）已知圆心为A（a，b），半径为r，你能推导出圆的方程吗？
提示：设圆上任一点M（x，y），则｜MA｜＝r，由两点间的距离公
式，得 ＝r，两边平方，得（x－a）2＋（y－
b）2＝r2.
【知识梳理】
确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径.
提醒：（1）当圆心在原点O（0，0），半径长r＝1时，圆的方程为
x2＋y2＝1，称为单位圆；（2）相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐
标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的；（3）圆上的点的坐标
都满足圆的方程，满足圆的方程的点都在圆上.
【例1】（1）〔多选〕下列关于圆的标准方程（x－1）2＋（y＋2）2＝3
的叙述正确的是（ AD ）
A. 圆心坐标为（1，－2），半径r＝
B. 圆心坐标为（－1，2），半径r＝3
C. 圆上任意一点M与圆心C的距离满足｜CM｜＝3
D. 圆上任意一点M与圆心C的距离满足｜CM｜＝
解析：由圆的标准方程（x－1）2＋（y＋2）2＝3可知，圆心C（1，－
2），半径r＝ ，故选A、D.
AD
（2）以两点A（－3，－1）和B（5，5）为直径端点的圆的标准方程
是 .
解析：∵AB为直径，∴AB的中点（1，2）为圆心， ｜AB｜＝
＝5为半径，∴该圆的标准方程为（x－1）2＋
（y－2）2＝25.
（x－1）2＋（y－2）2＝25
【规律方法】
直接法求圆的标准方程的策略
确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点
间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两
条不平行的弦的中垂线的交点必为圆心”等.
训练1 （2025·清远月考）分别求下列圆的标准方程：
（1）圆心为C（4，0），且过点（5，2）；
解：圆心为C（4，0），且过点（5，2），
∴半径r＝ ＝ ，
∴圆的标准方程为（x－4）2＋y2＝5.
（2）圆心在y轴上，半径为5，且过点（3，－4）.
解：设圆心为C（0，b），
∴r＝ ＝5，
∴（4＋b）2＝16＝42，
∴4＋b＝4或4＋b＝－4，∴b＝0或b＝－8，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋（y＋8）2＝25.
02
PART
知识点二
点与圆的位置关系
问题2 平面内的点与圆有哪几种位置关系？如何判断？
提示：分为点在圆外、点在圆上、点在圆内，可以用圆心与点的距离与圆
的半径相比较判断位置.
【知识梳理】
点M （x0，y0）与圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2的位置关系及判断
方法
位置关系 用距离判断 用方程、不等式判断
M在圆上 ｜CM｜ r （x0－a）2＋（y0－b）2＝r2
M在圆外 ｜CM｜＞r （x0－a）2＋（y0－b）2 r2
M在圆内 ｜CM｜ r （x0－a）2＋（y0－b）2＜r2
＝
＞
＜
【例2】（1）〔多选〕下列点在圆（x＋1）2＋（y－2）2＝4的内部的是
（ CD ）
A. （－1，0） B. （0，－1）
C. （－1，1） D. （－1，3）
解析：将点的坐标分别代入只有选项C、D满足（x＋1）2＋（y－2）2＜
4，故选C、D.
（2）若点（1，a）不在圆（x＋2）2＋（y－3）2＝13的外部，则实数a
的取值范围为 .
CD
解析：因为点（1，a）不在圆（x＋2）2＋（y－3）2＝13的外部，所以
（1＋2）2＋（a－3）2≤13，解得1≤a≤5.
[1，5]
变式 若本例（2）变为若点P（3，3）与Q（5，3）有一点在圆O：（x
－5）2＋（y－6）2＝a2（a＞0）内，另一点在圆O外，则实数a的取值范
围为 .
解析：由已知，得圆心O（5，6）.∵｜PO｜＝
＝ ，｜QO｜＝ ＝3，∴｜PO｜＞｜
QO｜，故点P在圆外，点Q在圆内，∴a的取值范围是3＜a＜ ，即
a∈（3， ）.
（3， ）
【规律方法】
判断点与圆位置关系的两种方法
（1）几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小；
（2）代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，比较式子两边的大小，并
作出判断.
训练2 （1）若圆的标准方程是（x－2）2＋（y－3）2＝4，则点（1，
5）（ D ）
A. 是圆心 B. 在圆上
C. 在圆内 D. 在圆外
解析：由题意可得，圆心坐标为（2，3），半径为2，圆心到点（1，5）
的距离为 ＝ ＞2，故点（1，5）在圆外.
D
（2）（链接教材P83例1）已知圆心为A（2，－3），半径为r，点M（－
1，1），若点M在圆上，则圆的周长为 ；若点M在圆内，则圆的
周长的范围是 .
解析：圆心为A（2，－3），半径为r的圆的标准方程为（x－2）2＋（y
＋3）2＝r2，若点M（－1，1）在圆上，则r2＝（－1－2）2＋（1＋3）2＝
25，得r＝5，所以圆的周长为2πr＝10π；若点M（－1，1）在圆内，则r2
＞（－1－2）2＋（1＋3）2＝25，得r＞5，所以圆的周长为2πr＞10π.
10π
（10π，＋∞）
03
PART
提能点
求圆的标准方程
【例3】求经过点P（1，1）和坐标原点O，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝
0上的圆的标准方程.
解：法一（待定系数法） 设圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝
r2，
则有
解得
即圆的标准方程是（x－4）2＋（y＋3）2＝25.
法二（几何法） 由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴ 得
即圆心坐标为（4，－3），
半径为r＝ ＝5.
即圆的标准方程是（x－4）2＋（y＋3）2＝25.
【规律方法】
求圆的标准方程的两种方法
（1）几何法：利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心
和半径，从而得到圆的标准方程；
（2）待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标
准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程.
训练3 （1）过A（5，1），B（1，3）两点且圆心在x轴上的圆的标准
方程是 ；
解析：线段AB的垂直平分线为y－2＝2（x－3），令y＝0，则x＝2，所
以圆心坐标为（2，0），半径r＝ ＝ ，所以
圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝10.
（x－2）2＋y2＝10
（2）已知△ABC的三个顶点分别为A（0，5），B（1，－2），C（－
3，－4），则该三角形的外接圆的方程为
.
解析：设所求圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2.因为A（0，
5），B（1，－2），C（－3，－4）都在圆上，所以它们的坐标都满足圆
的标准方程，于是有
解得 故所求圆的标准方程是（x＋3）2＋（y－1）2＝25.
（x＋3）2＋（y－1）2＝
25
1. 已知原点O（0，0），A（－6，8），则以OA为直径的圆的标准方程
为（ ）
A. （x＋3）2＋（y＋4）2＝25
B. （x－3）2＋（y＋4）2＝25
C. （x＋3）2＋（y－4）2＝25
D. （x＋3）2＋（y－4）2＝100
解析：因为原点O（0，0），A（－6，8），得｜OA｜＝10，所以圆心C（－3，4），半径r＝5，所以圆的标准方程为（x＋3）2＋（y－4）2＝25.
√
2. 点P（m2，5）与圆x2＋y2＝24的位置关系是（ ）
A. 点P在圆内 B. 点P在圆外
C. 点P在圆上 D. 不确定
√
解析：由（m2）2＋52＝m4＋25＞24，得点P在圆外.
3. 已知圆C：（x＋1）2＋y2＝3，则圆的面积为 ，经过圆心C且与
直线x＋y＝0垂直的直线方程是 .
解析：由圆的方程（x＋1）2＋y2＝3，得r2＝3，所以圆的面积S＝πr2＝
3π.因为圆心C的坐标为（－1，0），所求直线的斜率k＝1，所求直线的
方程是y＝x＋1，即x－y＋1＝0.
3π
x－y＋1＝0
4. 求圆心在直线x＝2上，且与y轴交于点A（0，－4），B（0，－2）的
圆的标准方程.
解：法一 因为圆心在直线x＝2上，
所以设圆心为C（2，y），
又圆经过A，B两点，所以｜AC｜＝｜BC｜，
即 ＝ ，
解得y＝－3，
所以圆心C（2，－3），半径r＝ ，
所以圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝5.
法二 因为圆与y轴交于点A（0，－4），B（0，－2），所以圆心在直
线y＝－3上.
又圆心在直线x＝2上，所以圆心的坐标为（2，－3），所以圆的半径r＝
＝ ，故圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋
3）2＝5.
课堂小结
1.理清单
（1）圆的标准方程；
（2）点与圆的位置关系.
2.应体会
求圆的标准方程有待定系数法和几何法，要注意方程思想和数形结合思
想的应用.
3.避易错
几何法求圆的标准方程易出现漏解的情况.
04
PART
课时作业
1. 若直线x＋y＋a＝0过圆（x－1）2＋（y＋2）2＝2的圆心，则实数a的
值为（ ）
A. －1 B. 1
C. 0 D. 2
解析： 由圆的标准方程（x－1）2＋（y＋2）2＝2，可得圆心坐标为
（1，－2），因为直线x＋y＋a＝0过圆心（1，－2），所以1－2＋a＝
0，解得a＝1.
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2. （2025·汕头月考）若圆C与圆（x＋2）2＋（y－1）2＝1关于原点对
称，则圆C的方程是（ ）
A. （x－2）2＋（y＋1）2＝1
B. （x－2）2＋（y－1）2＝1
C. （x－1）2＋（y＋2）2＝1
D. （x＋1）2＋（y－2）2＝1
解析： 由两圆关于原点对称可知圆C的圆心坐标为（2，－1），半径
为1，所以圆C的方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝1.
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3. 已知圆（x－a）2＋（y－1）2＝2a（0＜a＜1），则原点O在（ ）
A. 圆内 B. 圆外
C. 圆上 D. 圆上或圆外
解析：由圆的标准方程（x－a）2＋（y－1）2＝2a，知圆心为（a，1），则原点与圆心的距离为 .∵0＜a＜1，∴ ＞ ＝r，即原点在圆外.
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4. 已知一圆的圆心为点A（2，－3），一条直径的端点分别在x轴和y轴
上，则圆的标准方程为（ ）
A. （x＋2）2＋（y－3）2＝13
B. （x－2）2＋（y＋3）2＝13
C. （x－2）2＋（y＋3）2＝52
D. （x＋2）2＋（y－3）2＝52
√
解析： 如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，圆的半
径为r＝ ＝ .故所求圆的标准
方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝13.
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5. 已知圆C过点A（2，5），B（4，3），则圆心C到坐标原点的距离的
最小值为（ ）
A. 4 B. 5 C. D.
解析： 依题意，可知圆心C在线段AB的中垂线上，AB的斜率为－1，
线段AB的中点为（3，4），故线段AB的中垂线的方程为y＝x＋1，故圆
心C到坐标原点的距离的最小值为 ＝ .故选C.
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6. 〔多选〕以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个
交点的圆的标准方程可能为（ ）
A. x2＋（y－4）2＝20
B. （x－4）2＋y2＝20
C. x2＋（y－2）2＝20
D. （x－2）2＋y2＝20
解析：令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝2.所以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A（0，4），B（2，0），｜AB｜＝ ＝2 ，以A为圆心，过B点的圆的标准方程为x2＋（y－4）2＝20.以B为圆心，过A点的圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝20.
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7. 〔多选〕若圆C与x轴和y轴均相切，且过点（1，2），则圆C的半径
长可能为（ ）
A. 1 B. 2
C. 4 D. 5
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解析：根据题意，若圆C与x轴和y轴均相切，则圆心C在直线y＝x或y＝－x上，当圆心C在直线y＝x上时，设圆心C的坐标为（a，a），此时圆的标准方程为（x－a）2＋（y－a）2＝a2，将（1，2）代入可得（1－a）2＋（2－a）2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，此时圆的半径长为1或5；当圆心C在直线y＝－x上时，设圆心C的坐标为（a，－a），此时圆的标准方程为（x－a）2＋（y＋a）2＝a2，将（1，2）代入可得（1－a）2＋（2＋a）2＝a2，即a2＋2a＋5＝0，方程无解，综上所述，圆的半径长为1或5.
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8. 已知点P（x，y）为圆x2＋y2＝1上的动点，则x2－4y的最小值为 .
解析：∵点P（x，y）为圆x2＋y2＝1上的动点，∴x2－4y＝1－y2－4y＝
－（y＋2）2＋5.∵y∈[－1，1]，∴当y＝1时，－（y＋2）2＋5有最小
值－4.
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9. 写出经过A（1，3），B（4，2）两点，且周长最小的圆的标准方程
为 .
解析：当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最
小，即所求圆以线段AB的中点D（ ， ）为圆心， ｜AB｜＝
＝ 为半径，故所求圆的标准方程为（x－
）2＋（y－ ）2＝ .
（x－ ）2＋（y－ ）2＝
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10. 根据下列条件，求圆的标准方程：
（1）过点（0，1）和点（2，1），半径为 ；
解：设圆心坐标为（a，b），则圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝5.
因为（0，1），（2，1）是圆上的点，
所以
解得 或
因此所求圆的标准方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5或（x－1）2＋（y－
3）2＝5.
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（2）以P（2，－1）为圆心作一个圆，使得A（3，2），B（5，－3），
C（－1，3）三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外.
解：由题设知｜PA｜＝ ，｜PB｜＝ ，
｜PC｜＝5，所以｜PA｜＜｜PB｜＜｜PC｜，
要使A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，
所以圆以｜PB｜为半径，
故圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝13.
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11. 大约在2 000年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思
是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.这个定义比希腊数学家欧
几里得给圆下的定义要早100多年.现有一动点P满足｜OP｜＝2，其中O
为坐标原点，若M（ ，－ ），则｜PM｜的最小值为（ ）
A. B. 1
C. D. 2
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解析： 动点P的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，即x2＋y2＝4，而｜OM｜＝ ＝1＜2，故点M（ ，－ ）在圆内，所以当O，M，P三点共线且M在O，P之间时，｜PM｜最小，即｜PM｜min＝2－｜OM｜＝2－1＝1.
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12. 〔多选〕（2025·珠海月考）设圆Ck：（x－k）2＋（y－k）2＝4
（k∈R），则下列说法正确的是（ ）
A. 无论k如何变化，圆心Ck都在一条直线上
B. 所有圆Ck均不经过点（3，0）
C. 经过点（2，2）的圆Ck有且只有一个
D. 所有圆Ck的面积均为4π
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解析：易知圆心Ck（k，k）在直线y＝x上，∴A中说法正确；令（3－k）2＋（0－k）2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴方程2k2－6k＋5＝0无解，∴B中说法正确；令（2－k）2＋（2－k）2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，∴k2－4k＋2＝0有两个不相等的实数根，∴经过点（2，2）的圆Ck有两个，∴C中说法错误；易知圆Ck的半径为2，∴圆Ck的面积为4π，∴D中说法正确.
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13. 曲线y＝－ （x≤0）的长度为 .
解析：由y＝－ 得x2＋y2＝4（x≤0，y≤0），所以曲线y＝－
（x≤0）的图形是以原点为圆心，以2为半径的圆在第三象限的弧
长，所以曲线y＝－ （x≤0）的长度是 ×4π＝π.
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14. 已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的
方程为x－3y－6＝0，点T（－1，1）在AD边所在的直线上.
（1）求AD边所在直线的方程；
解：因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，
所以直线AD的斜率为－3.
又点T（－1，1）在直线AD上，
所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3（x＋1），
即3x＋y＋2＝0.
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（2）求矩形ABCD外接圆的标准方程.
解：由 解得点A的坐标为（0，－2），
因为矩形ABCD的两条对角线的交点为点M（2，0），
所以点M为矩形ABCD外接圆的圆心.
又r＝｜AM｜＝ ＝2 ，
所以矩形ABCD外接圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝8.
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15. 已知圆心为C的圆经过O（0，0），A（0，2 ）两点，且圆心C在
直线l：y＝ x上.
（1）求圆C的标准方程；
解：由圆经过O（0，0），A（0，2 ）两点，得圆心在OA的中垂
线y＝ 上，
又圆心C在直线l：y＝ x上，联立直线方程有 得
即圆心坐标为C（1， ），又r2＝｜CO｜2＝4，
故圆C的标准方程为（x－1）2＋（y－ ）2＝4.
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（2）点P在圆C上运动，求｜PO｜2＋｜PA｜2的取值范围.
解：设P（x0，y0），易知x0∈[－1，3]，
则｜PO｜2＋｜PA｜2＝ ＋ ＋ ＋（y0－2 ）2＝2 ＋2（y0－
）2＋6，（*）
因为点P在圆C上运动，则（x0－1）2＋（y0－ ）2＝4，
故（*）式可化简为｜PO｜2＋｜PA｜2＝2 ＋2[4－（x0－1）2]＋6＝
4x0＋12，
由x0∈[－1，3]得｜PO｜2＋｜PA｜2的取值范围为[8，24].
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THANKS
演示完毕 感谢观看
2.4.1 圆的标准方程
1. 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程（数学抽象、直观想象）.
2. 会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系（数学运算、逻辑推理）.
课标要求
情境导入
月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月
亮，在文学作品中也大量描写月亮，如果把天空看作一个平面，月亮当作
一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆的坐标方程如何表示？
知识点一 圆的标准方程
01
知识点二 点与圆的位置关系
02
提能点 求圆的标准方程
03
课时作业
04
目录
01
PART
知识点一
圆的标准方程
问题1 （1）回忆一下，圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各
要素与圆有怎样的关系？
提示：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，
定长称为圆的半径.确定圆的要素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半
径确定圆的大小.
（2）已知圆心为A（a，b），半径为r，你能推导出圆的方程吗？
提示：设圆上任一点M（x，y），则｜MA｜＝r，由两点间的距离公
式，得 ＝r，两边平方，得（x－a）2＋（y－
b）2＝r2.
【知识梳理】
确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径.
提醒：（1）当圆心在原点O（0，0），半径长r＝1时，圆的方程为
x2＋y2＝1，称为单位圆；（2）相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐
标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的；（3）圆上的点的坐标
都满足圆的方程，满足圆的方程的点都在圆上.
【例1】（1）〔多选〕下列关于圆的标准方程（x－1）2＋（y＋2）2＝3
的叙述正确的是（ AD ）
A. 圆心坐标为（1，－2），半径r＝
B. 圆心坐标为（－1，2），半径r＝3
C. 圆上任意一点M与圆心C的距离满足｜CM｜＝3
D. 圆上任意一点M与圆心C的距离满足｜CM｜＝
解析：由圆的标准方程（x－1）2＋（y＋2）2＝3可知，圆心C（1，－
2），半径r＝ ，故选A、D.
AD
（2）以两点A（－3，－1）和B（5，5）为直径端点的圆的标准方程
是 .
解析：∵AB为直径，∴AB的中点（1，2）为圆心， ｜AB｜＝
＝5为半径，∴该圆的标准方程为（x－1）2＋
（y－2）2＝25.
（x－1）2＋（y－2）2＝25
【规律方法】
直接法求圆的标准方程的策略
确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点
间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两
条不平行的弦的中垂线的交点必为圆心”等.
训练1 （2025·清远月考）分别求下列圆的标准方程：
（1）圆心为C（4，0），且过点（5，2）；
解：圆心为C（4，0），且过点（5，2），
∴半径r＝ ＝ ，
∴圆的标准方程为（x－4）2＋y2＝5.
（2）圆心在y轴上，半径为5，且过点（3，－4）.
解：设圆心为C（0，b），
∴r＝ ＝5，
∴（4＋b）2＝16＝42，
∴4＋b＝4或4＋b＝－4，∴b＝0或b＝－8，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋（y＋8）2＝25.
02
PART
知识点二
点与圆的位置关系
问题2 平面内的点与圆有哪几种位置关系？如何判断？
提示：分为点在圆外、点在圆上、点在圆内，可以用圆心与点的距离与圆
的半径相比较判断位置.
【知识梳理】
点M （x0，y0）与圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2的位置关系及判断
方法
位置关系 用距离判断 用方程、不等式判断
M在圆上 ｜CM｜ r （x0－a）2＋（y0－b）2＝r2
M在圆外 ｜CM｜＞r （x0－a）2＋（y0－b）2 r2
M在圆内 ｜CM｜ r （x0－a）2＋（y0－b）2＜r2
＝
＞
＜
【例2】（1）〔多选〕下列点在圆（x＋1）2＋（y－2）2＝4的内部的是
（ CD ）
A. （－1，0） B. （0，－1）
C. （－1，1） D. （－1，3）
解析：将点的坐标分别代入只有选项C、D满足（x＋1）2＋（y－2）2＜
4，故选C、D.
（2）若点（1，a）不在圆（x＋2）2＋（y－3）2＝13的外部，则实数a
的取值范围为 .
CD
解析：因为点（1，a）不在圆（x＋2）2＋（y－3）2＝13的外部，所以
（1＋2）2＋（a－3）2≤13，解得1≤a≤5.
[1，5]
变式 若本例（2）变为若点P（3，3）与Q（5，3）有一点在圆O：（x
－5）2＋（y－6）2＝a2（a＞0）内，另一点在圆O外，则实数a的取值范
围为 .
解析：由已知，得圆心O（5，6）.∵｜PO｜＝
＝ ，｜QO｜＝ ＝3，∴｜PO｜＞｜
QO｜，故点P在圆外，点Q在圆内，∴a的取值范围是3＜a＜ ，即
a∈（3， ）.
（3， ）
【规律方法】
判断点与圆位置关系的两种方法
（1）几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小；
（2）代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，比较式子两边的大小，并
作出判断.
训练2 （1）若圆的标准方程是（x－2）2＋（y－3）2＝4，则点（1，
5）（ D ）
A. 是圆心 B. 在圆上
C. 在圆内 D. 在圆外
解析：由题意可得，圆心坐标为（2，3），半径为2，圆心到点（1，5）
的距离为 ＝ ＞2，故点（1，5）在圆外.
D
（2）（链接教材P83例1）已知圆心为A（2，－3），半径为r，点M（－
1，1），若点M在圆上，则圆的周长为 ；若点M在圆内，则圆的
周长的范围是 .
解析：圆心为A（2，－3），半径为r的圆的标准方程为（x－2）2＋（y
＋3）2＝r2，若点M（－1，1）在圆上，则r2＝（－1－2）2＋（1＋3）2＝
25，得r＝5，所以圆的周长为2πr＝10π；若点M（－1，1）在圆内，则r2
＞（－1－2）2＋（1＋3）2＝25，得r＞5，所以圆的周长为2πr＞10π.
10π
（10π，＋∞）
03
PART
提能点
求圆的标准方程
【例3】求经过点P（1，1）和坐标原点O，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝
0上的圆的标准方程.
解：法一（待定系数法） 设圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝
r2，
则有
解得
即圆的标准方程是（x－4）2＋（y＋3）2＝25.
法二（几何法） 由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴ 得
即圆心坐标为（4，－3），
半径为r＝ ＝5.
即圆的标准方程是（x－4）2＋（y＋3）2＝25.
【规律方法】
求圆的标准方程的两种方法
（1）几何法：利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心
和半径，从而得到圆的标准方程；
（2）待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标
准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程.
训练3 （1）过A（5，1），B（1，3）两点且圆心在x轴上的圆的标准
方程是 ；
解析：线段AB的垂直平分线为y－2＝2（x－3），令y＝0，则x＝2，所
以圆心坐标为（2，0），半径r＝ ＝ ，所以
圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝10.
（x－2）2＋y2＝10
（2）已知△ABC的三个顶点分别为A（0，5），B（1，－2），C（－
3，－4），则该三角形的外接圆的方程为
.
解析：设所求圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2.因为A（0，
5），B（1，－2），C（－3，－4）都在圆上，所以它们的坐标都满足圆
的标准方程，于是有
解得 故所求圆的标准方程是（x＋3）2＋（y－1）2＝25.
（x＋3）2＋（y－1）2＝
25
1. 已知原点O（0，0），A（－6，8），则以OA为直径的圆的标准方程
为（ ）
A. （x＋3）2＋（y＋4）2＝25
B. （x－3）2＋（y＋4）2＝25
C. （x＋3）2＋（y－4）2＝25
D. （x＋3）2＋（y－4）2＝100
解析：因为原点O（0，0），A（－6，8），得｜OA｜＝10，所以圆心C（－3，4），半径r＝5，所以圆的标准方程为（x＋3）2＋（y－4）2＝25.
√
2. 点P（m2，5）与圆x2＋y2＝24的位置关系是（ ）
A. 点P在圆内 B. 点P在圆外
C. 点P在圆上 D. 不确定
√
解析：由（m2）2＋52＝m4＋25＞24，得点P在圆外.
3. 已知圆C：（x＋1）2＋y2＝3，则圆的面积为 ，经过圆心C且与
直线x＋y＝0垂直的直线方程是 .
解析：由圆的方程（x＋1）2＋y2＝3，得r2＝3，所以圆的面积S＝πr2＝
3π.因为圆心C的坐标为（－1，0），所求直线的斜率k＝1，所求直线的
方程是y＝x＋1，即x－y＋1＝0.
3π
x－y＋1＝0
4. 求圆心在直线x＝2上，且与y轴交于点A（0，－4），B（0，－2）的
圆的标准方程.
解：法一 因为圆心在直线x＝2上，
所以设圆心为C（2，y），
又圆经过A，B两点，所以｜AC｜＝｜BC｜，
即 ＝ ，
解得y＝－3，
所以圆心C（2，－3），半径r＝ ，
所以圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝5.
法二 因为圆与y轴交于点A（0，－4），B（0，－2），所以圆心在直
线y＝－3上.
又圆心在直线x＝2上，所以圆心的坐标为（2，－3），所以圆的半径r＝
＝ ，故圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋
3）2＝5.
课堂小结
1.理清单
（1）圆的标准方程；
（2）点与圆的位置关系.
2.应体会
求圆的标准方程有待定系数法和几何法，要注意方程思想和数形结合思
想的应用.
3.避易错
几何法求圆的标准方程易出现漏解的情况.
04
PART
课时作业
1. 若直线x＋y＋a＝0过圆（x－1）2＋（y＋2）2＝2的圆心，则实数a的
值为（ ）
A. －1 B. 1
C. 0 D. 2
解析： 由圆的标准方程（x－1）2＋（y＋2）2＝2，可得圆心坐标为
（1，－2），因为直线x＋y＋a＝0过圆心（1，－2），所以1－2＋a＝
0，解得a＝1.
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2. （2025·汕头月考）若圆C与圆（x＋2）2＋（y－1）2＝1关于原点对
称，则圆C的方程是（ ）
A. （x－2）2＋（y＋1）2＝1
B. （x－2）2＋（y－1）2＝1
C. （x－1）2＋（y＋2）2＝1
D. （x＋1）2＋（y－2）2＝1
解析： 由两圆关于原点对称可知圆C的圆心坐标为（2，－1），半径
为1，所以圆C的方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝1.
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3. 已知圆（x－a）2＋（y－1）2＝2a（0＜a＜1），则原点O在（ ）
A. 圆内 B. 圆外
C. 圆上 D. 圆上或圆外
解析：由圆的标准方程（x－a）2＋（y－1）2＝2a，知圆心为（a，1），则原点与圆心的距离为 .∵0＜a＜1，∴ ＞ ＝r，即原点在圆外.
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4. 已知一圆的圆心为点A（2，－3），一条直径的端点分别在x轴和y轴
上，则圆的标准方程为（ ）
A. （x＋2）2＋（y－3）2＝13
B. （x－2）2＋（y＋3）2＝13
C. （x－2）2＋（y＋3）2＝52
D. （x＋2）2＋（y－3）2＝52
√
解析： 如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，圆的半
径为r＝ ＝ .故所求圆的标准
方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝13.
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5. 已知圆C过点A（2，5），B（4，3），则圆心C到坐标原点的距离的
最小值为（ ）
A. 4 B. 5 C. D.
解析： 依题意，可知圆心C在线段AB的中垂线上，AB的斜率为－1，
线段AB的中点为（3，4），故线段AB的中垂线的方程为y＝x＋1，故圆
心C到坐标原点的距离的最小值为 ＝ .故选C.
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6. 〔多选〕以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个
交点的圆的标准方程可能为（ ）
A. x2＋（y－4）2＝20
B. （x－4）2＋y2＝20
C. x2＋（y－2）2＝20
D. （x－2）2＋y2＝20
解析：令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝2.所以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的交点分别为A（0，4），B（2，0），｜AB｜＝ ＝2 ，以A为圆心，过B点的圆的标准方程为x2＋（y－4）2＝20.以B为圆心，过A点的圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝20.
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7. 〔多选〕若圆C与x轴和y轴均相切，且过点（1，2），则圆C的半径
长可能为（ ）
A. 1 B. 2
C. 4 D. 5
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解析：根据题意，若圆C与x轴和y轴均相切，则圆心C在直线y＝x或y＝－x上，当圆心C在直线y＝x上时，设圆心C的坐标为（a，a），此时圆的标准方程为（x－a）2＋（y－a）2＝a2，将（1，2）代入可得（1－a）2＋（2－a）2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5，此时圆的半径长为1或5；当圆心C在直线y＝－x上时，设圆心C的坐标为（a，－a），此时圆的标准方程为（x－a）2＋（y＋a）2＝a2，将（1，2）代入可得（1－a）2＋（2＋a）2＝a2，即a2＋2a＋5＝0，方程无解，综上所述，圆的半径长为1或5.
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8. 已知点P（x，y）为圆x2＋y2＝1上的动点，则x2－4y的最小值为 .
解析：∵点P（x，y）为圆x2＋y2＝1上的动点，∴x2－4y＝1－y2－4y＝
－（y＋2）2＋5.∵y∈[－1，1]，∴当y＝1时，－（y＋2）2＋5有最小
值－4.
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9. 写出经过A（1，3），B（4，2）两点，且周长最小的圆的标准方程
为 .
解析：当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最
小，即所求圆以线段AB的中点D（ ， ）为圆心， ｜AB｜＝
＝ 为半径，故所求圆的标准方程为（x－
）2＋（y－ ）2＝ .
（x－ ）2＋（y－ ）2＝
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10. 根据下列条件，求圆的标准方程：
（1）过点（0，1）和点（2，1），半径为 ；
解：设圆心坐标为（a，b），则圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝5.
因为（0，1），（2，1）是圆上的点，
所以
解得 或
因此所求圆的标准方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5或（x－1）2＋（y－
3）2＝5.
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（2）以P（2，－1）为圆心作一个圆，使得A（3，2），B（5，－3），
C（－1，3）三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外.
解：由题设知｜PA｜＝ ，｜PB｜＝ ，
｜PC｜＝5，所以｜PA｜＜｜PB｜＜｜PC｜，
要使A，B，C三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，
所以圆以｜PB｜为半径，
故圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝13.
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11. 大约在2 000年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思
是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.这个定义比希腊数学家欧
几里得给圆下的定义要早100多年.现有一动点P满足｜OP｜＝2，其中O
为坐标原点，若M（ ，－ ），则｜PM｜的最小值为（ ）
A. B. 1
C. D. 2
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解析： 动点P的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，即x2＋y2＝4，而｜OM｜＝ ＝1＜2，故点M（ ，－ ）在圆内，所以当O，M，P三点共线且M在O，P之间时，｜PM｜最小，即｜PM｜min＝2－｜OM｜＝2－1＝1.
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12. 〔多选〕（2025·珠海月考）设圆Ck：（x－k）2＋（y－k）2＝4
（k∈R），则下列说法正确的是（ ）
A. 无论k如何变化，圆心Ck都在一条直线上
B. 所有圆Ck均不经过点（3，0）
C. 经过点（2，2）的圆Ck有且只有一个
D. 所有圆Ck的面积均为4π
√
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解析：易知圆心Ck（k，k）在直线y＝x上，∴A中说法正确；令（3－k）2＋（0－k）2＝4，化简得2k2－6k＋5＝0，∵Δ＝36－40＝－4＜0，∴方程2k2－6k＋5＝0无解，∴B中说法正确；令（2－k）2＋（2－k）2＝4，化简得k2－4k＋2＝0，∵Δ＝16－8＝8＞0，∴k2－4k＋2＝0有两个不相等的实数根，∴经过点（2，2）的圆Ck有两个，∴C中说法错误；易知圆Ck的半径为2，∴圆Ck的面积为4π，∴D中说法正确.
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13. 曲线y＝－ （x≤0）的长度为 .
解析：由y＝－ 得x2＋y2＝4（x≤0，y≤0），所以曲线y＝－
（x≤0）的图形是以原点为圆心，以2为半径的圆在第三象限的弧
长，所以曲线y＝－ （x≤0）的长度是 ×4π＝π.
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14. 已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的
方程为x－3y－6＝0，点T（－1，1）在AD边所在的直线上.
（1）求AD边所在直线的方程；
解：因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，
所以直线AD的斜率为－3.
又点T（－1，1）在直线AD上，
所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3（x＋1），
即3x＋y＋2＝0.
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（2）求矩形ABCD外接圆的标准方程.
解：由 解得点A的坐标为（0，－2），
因为矩形ABCD的两条对角线的交点为点M（2，0），
所以点M为矩形ABCD外接圆的圆心.
又r＝｜AM｜＝ ＝2 ，
所以矩形ABCD外接圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝8.
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15. 已知圆心为C的圆经过O（0，0），A（0，2 ）两点，且圆心C在
直线l：y＝ x上.
（1）求圆C的标准方程；
解：由圆经过O（0，0），A（0，2 ）两点，得圆心在OA的中垂
线y＝ 上，
又圆心C在直线l：y＝ x上，联立直线方程有 得
即圆心坐标为C（1， ），又r2＝｜CO｜2＝4，
故圆C的标准方程为（x－1）2＋（y－ ）2＝4.
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（2）点P在圆C上运动，求｜PO｜2＋｜PA｜2的取值范围.
解：设P（x0，y0），易知x0∈[－1，3]，
则｜PO｜2＋｜PA｜2＝ ＋ ＋ ＋（y0－2 ）2＝2 ＋2（y0－
）2＋6，（*）
因为点P在圆C上运动，则（x0－1）2＋（y0－ ）2＝4，
故（*）式可化简为｜PO｜2＋｜PA｜2＝2 ＋2[4－（x0－1）2]＋6＝
4x0＋12，
由x0∈[－1，3]得｜PO｜2＋｜PA｜2的取值范围为[8，24].
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