《创新课堂》2.4.2 圆的一般方程 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测
文档属性
| 名称 | 《创新课堂》2.4.2 圆的一般方程 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-07 00:00:00 | ||
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文档简介
(共61张PPT)
2.4.2 圆的一般方程
1. 在平面直角坐标系中，探索掌握圆的一般方程（数学抽象、逻辑推理）.
2. 掌握待定系数法求圆的方程，能求与圆有关的轨迹方程（数学运算、直观想象）.
课标要求
前面我们已学习了圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，现将其展开可得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式.请大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程都表示圆吗？下面我们来探讨这一方面的问题.
情境导入
知识点一 圆的一般方程的概念
01
知识点二 000
02
提能点 与圆有关的轨迹问题
03
课时作业
04
目录
01
PART
知识点一
圆的一般方程的概念
问题 （1）如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需要满足什么条
件？
提示：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方可得，（x＋ ）2＋（y＋
）2＝ ，当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
表示圆.
（2）当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图
形？当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？
提示：①当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点（－
，－ ）.
②当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形.
【知识梳理】
1. 概念：当 时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F
＝0叫做圆的一般方程.
2. 圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的圆的圆
心为 （－ ，－ ） ，半径长为 .
提醒：二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需x2
和y2的系数相同且不为0，xy的系数为0.
D2＋E2－4F＞0
（－ ，－ ）
【例1】判断下列二元二次方程是否表示圆.如果是，请求出圆的圆心坐标
及半径：
（1）2x2＋y2－7y＋5＝0；
解：2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，故原方程不表示圆.
（2）x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
解：x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy项，故原方程不表示圆.
（3）x2＋y2－4x＝0；
解：方程可变形为（x－2）2＋y2＝4，表示圆心坐标是（2，0），半径是2
的圆.
（4）x2＋y2－4ax－2 ay＋6a2＝0；
解：方程可变形为（x－2a）2＋（y－ a）2＝a2.
当a＝0时，方程表示点（0，0），不表示圆；
当a≠0时，方程表示圆心坐标是（2a， a），半径是｜a｜的圆.
（5）4x2＋4y2－4x＋12y＋11＝0.
解：方程可变形为x2＋y2－x＋3y＋ ＝0，
法一 由D2＋E2－4F＝（－1）2＋32－4× ＝－1＜0，不表示任何图形.
法二 方程可变形为（x－ ）2＋（y＋ ）2＝－ ，故方程不表示任何
图形.
【规律方法】
圆的一般方程的辨析
（1）配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配
方变形为“标准”形式后，观察是否表示圆；
（2）运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F与0的
关系，确定它是否表示圆.
训练1 （1）（2025·许昌月考）若方程x2＋y2－2y－m＝0表示的图形是
圆，则实数m的取值范围为（ D ）
A. （－∞，1） B. （1，＋∞）
C. （－∞，－1） D. （－1，＋∞）
解析：法一 因为方程表示的图形是圆，所以4＋4m＞0，解得m＞－1.
故实数m的取值范围为（－1，＋∞）.
D
法二 方程x2＋y2－2y－m＝0可化为x2＋（y－1）2＝m＋1，因为方程
表示的图形是圆，所以m＋1＞0，解得m＞－1.故实数m的取值范围为
（－1，＋∞）.故选D.
（2）〔多选〕已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0的直径为4，则（BD ）
A. m＝－1
B. m＝1
C. 圆心为（－1，－2）
D. 圆心为（1，－2）
BD
解析：根据题意，圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0，即（x－1）2＋（y＋
2）2＝5－m，其圆心为（1，－2），半径为 ，若其直径为4，则
＝2，解得m＝1.故选B、D.
02
PART
知识点二
求圆的一般方程
【例2】（链接教材P86例4）求满足下列条件的圆的一般方程：
（1）过点A（－4，0），B（0，2）和原点；
解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由已知条件得
解得
故所求圆的方程为x2＋y2＋4x－2y＝0.
（2）圆心在直线y＝x上，与x轴相交于（－1，0），（3，0）两点.
解：法一 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为（－ ，－
）.
因为圆心在直线y＝x上，且圆过（－1，0），（3，0）两点，
所以 解得
所以圆的方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0.
法二 因为圆与x轴相交于（－1，0），（3，0）两点，
所以圆心在直线x＝1上.
又圆心在直线y＝x上，所以圆心坐标为（1，1）.
所以圆的半径为 ＝ ，
所以圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝5.
所以圆的一般方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0.
【规律方法】
待定系数法求圆的一般方程的步骤
（1）根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；
（2）根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组；
（3）解此方程组，求出D，E，F的值；
（4）将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程.
训练2 求满足下列条件的圆的一般方程：
（1）已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0的圆心在直线x＋y－1＝0上，且
圆心在第二象限，半径为 ；
解：由题意得圆心C（－ ，－ ），
∵圆心在直线x＋y－1＝0上，
∴－ － －1＝0，即D＋E＝－2， ①
又半径r＝ ＝ ，
∴D2＋E2＝20， ②
由①②可得 或
又圆心在第二象限，∴－ ＜0，－ ＞0，即D＞0，E＜0.
∴ ∴圆C的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
（2）已知圆经过点（4，2）和（－2，－6），该圆与坐标轴的四个截距
之和为－2.
解：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）.
∵圆经过点（4，2）和（－2，－6），
∴
设圆在x轴上的截距为x1，x2，则它们是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根，故
x1＋x2＝－D.
设圆在y轴上的截距为y1，y2，则它们是方程y2＋Ey＋F＝0的两个根，故
y1＋y2＝－E.
由已知，得－D＋（－E）＝－2，
即D＋E－2＝0. ③
联立①②③，解得D＝－2，E＝4，F＝－20.
∴所求圆的一般方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
03
PART
提能点
与圆有关的轨迹问题
角度1 直接法求轨迹方程
【例3】求到点O（0，0）的距离是到点A（3，0）的距离的2倍的点M的
轨迹方程.
解：设点M的坐标是（x，y），
则 ＝2.∴ ＝2.
化简，得x2＋y2－8x＋12＝0，
即所求轨迹方程为x2＋y2－8x＋12＝0.
角度2 定义法求轨迹方程
【例4】 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A（－1，0），B（3，0），求
直角顶点C的轨迹方程.
解：设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D（1，0）.
由直角三角形的性质，知｜CD｜＝ ｜AB｜＝2.
由圆的定义，知动点C的轨迹是以D（1，0）为圆心，以2为半径长的圆
（因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点）.
设C（x，y），则直角顶点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（x≠3，
且x≠－1）.
角度3 代入法求轨迹方程
【例5】 已知点A（2，0）是圆x2＋y2＝4上的定点，P是圆上的动点，
求线段AP的中点M的轨迹方程.
解：设线段AP的中点为M（x，y），
由中点坐标公式，得点P的坐标为（2x－2，2y）.
∵点P在圆x2＋y2＝4上，
∴（2x－2）2＋（2y）2＝4，
故线段AP的中点M的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝1.
变式 若本例条件不变，如图，点B（1，1）是圆内一点，Q为圆上的动
点，若∠PBQ＝90°，如何求线段PQ的中点N的轨迹方程？
解：设线段PQ的中点为N（x，y），
在Rt△PBQ中，｜PN｜＝｜BN｜，
连接ON（图略），
则ON⊥PQ，
∴｜OP｜2＝｜ON｜2＋｜PN｜2＝｜ON｜2＋｜BN｜2，
∴x2＋y2＋（x－1）2＋（y－1）2＝4，
故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
【规律方法】
求与圆有关的轨迹方程的3种方法
提醒：（1）弄清题中所求问题是动点的轨迹方程还是动点的轨迹，
若求的是动点轨迹，则求出轨迹方程后应说明最后是什么样的图形；
（2）要考虑轨迹上应去掉的点及轨迹不存在的情形.
训练3 （2025·徐州月考）已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B
（8，0）的距离的一半.
（1）求动点M的轨迹方程；
解：设动点M的坐标为（x，y）.
因为A（2，0），B（8，0），
｜MA｜＝ ｜MB｜.
所以（x－2）2＋y2＝ [（x－8）2＋y2].
化简得x2＋y2＝16.
即动点M的轨迹方程为x2＋y2＝16.
（2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹.
解：设点N的坐标为（x0，y0），
因为A（2，0），N为线段AM的中点，
所以点M的坐标为（2x0－2，2y0）.
又点M在圆x2＋y2＝16上，
所以（2x0－2）2＋4 ＝16，
即得（x0－1）2＋ ＝4.
所以点N的轨迹是以（1，0）为圆心，2为半径的圆.
1. 已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则实数k的取值范围是（ ）
A. （－∞，－1） B. （－1，＋∞）
C. （－1，0） D. （－1，1）
解析：方程可化为（x－1）2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即k
＜－1时才能表示圆.
√
2. 已知圆C：x2＋y2－4x＋6y＋9＝0，则下列直线中必过圆心C的是
（ ）
A. 3x－2y＋1＝0
B. 3x＋2y＋1＝0
C. 3x＋2y＝0
D. 3x－2y＝0
解析：圆心为C（2，－3）在直线3x＋2y＝0上.故选C.
√
3. （2025·威海质检）已知两定点A（－2，0），B（1，0），若动点P满
足｜PA｜＝2｜PB｜，则P的轨迹为（ ）
A. 直线 B. 线段 C. 圆 D. 半圆
解析： 设点P的坐标为（x，y），∵A（－2，0），B（1，0），动
点P满足｜PA｜＝2｜PB｜，∴ ＝2 ，
两边平方得（x＋2）2＋y2＝4[（x－1）2＋y2]，即（x－2）2＋y2＝
4.∴P的轨迹为圆.故选C.
√
4. 已知△ABC的三个顶点为A（1，4），B（－2，3），C（4，－5），
求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径.
解：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵点A，B，C在圆上，
∴
解得
∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，
即（x－1）2＋（y＋1）2＝25.
∴外心坐标为（1，－1），外接圆半径为5.
课堂小结
1.理清单
（1）圆的一般方程；
（2）与圆有关的轨迹方程.
2.应体会
（1）求圆的一般方程常用待定系数法；
（2）求动点的轨迹方程的常用的方法有定义法、直接法、代入法等.
3.避易错
（1）忽视一般方程表示圆的条件；
（2）轨迹方程求出后，忽视点及轨迹不存在的情形.
04
PART
课时作业
1. 已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为（－2，3），则D，E分
别为（ ）
A. D＝4，E＝－6 B. D＝－4，E＝－6
C. D＝－4，E＝6 D. D＝4，E＝6
解析：圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为（－ ，－ ），又知该圆的圆心坐标为（－2，3），∴－ ＝－2，－ ＝3，∴D＝4，E＝－6.
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2. 与圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0同圆心，且过点（1，－1）的圆的方程是
（ ）
A. x2＋y2－4x＋6y－8＝0
B. x2＋y2－4x＋6y＋8＝0
C. x2＋y2＋4x－6y－8＝0
D. x2＋y2－4x－6y－4＝0
解析： 依题意，设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋m＝0，由于所求
圆过点（1，－1），所以1＋1－4－6＋m＝0，解得m＝8，所以所求圆的
方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0.故选B.
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3. 若点P（1，1）在圆x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，则实数k的取值范围
是（ ）
A. （－2，＋∞） B. ［－2，－ ］
C. （－2， ） D. （－2，2）
解析： 因为点P（1，1）在圆x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，所以需满
足 解得－2＜k＜ .
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4. 圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋
y2－4x＋3＝0，则a的值为（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析： 由于圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0的圆心为M（ ，1），圆x2＋y2
－4x＋3＝0的圆心为N（2，0），又两圆关于直线x－y－1＝0对称，故
有 ×1＝－1，解得a＝2.
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5. 已知圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝1过点A（1，0），则圆C的圆心
的轨迹是（ ）
A. 点 B. 直线
C. 线段 D. 圆
解析： ∵圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝1过点A（1，0），∴（1－
a）2＋（0－b）2＝1，∴（a－1）2＋b2＝1，∴圆C的圆心的轨迹是圆心
为（1，0），半径为1的圆.
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6. 〔多选〕已知圆的方程为x2＋y2－4x－1＝0，则下列说法正确的有
（ ）
A. 关于点（2，0）对称
B. 关于直线y＝0对称
C. 关于直线x＋3y－2＝0对称
D. 关于直线x－y＋2＝0对称
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解析：x2＋y2－4x－1＝0 （x－2）2＋y2＝5，所以圆心的坐标为（2，0），半径为 .选项A，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点（2，0）是圆心，所以A正确；选项B，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，所以B正确；选项C，直线x＋3y－2＝0过圆心，所以C正确；选项D，直线x－y＋2＝0不过圆心，所以D不正确.故选A、B、C.
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7. 〔多选〕若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以（2，－4）为圆心，4
为半径的圆，则下列结论正确的是（ ）
A. F＝4
B. 点（0，1）在圆外
C. 圆与y轴相切
D. 点（2，1）与圆上任一点距离的最大值为9
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解析： 由题知 解得D＝－4，E＝8，F＝
4，A正确；由A知圆的一般方程为x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，将（0，1）代
入得0＋1－0＋8＋4＝13＞0，故点（0，1）在圆外，B正确；由题知圆心
纵坐标的绝对值等于半径，故该圆与x轴相切，与y轴相交，C错误；因为
圆心（2，－4）到点（2，1）的距离为5，所以圆上动点（x，y）到定点
（2，1）的距离的最大值为5＋4＝9，D正确.
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8. 当圆C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0的面积最小时，m＝ .
解析：由圆C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0，得圆C的标准方程为（x－
2）2＋（y－m）2＝m2－2m＋4，从而对于圆C的半径r有r2＝m2－2m＋
4＝（m－1）2＋3≥3，所以当m＝1时，r2取得最小值，此时圆C的面积
最小.
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9. 长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段
AB的中点M的轨迹方程为 .
解析：设M（x，y），因为△AOB是直角三角形，所以｜OM｜＝ ｜
AB｜＝3为定值，故M的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆，故x2＋y2＝9
即为所求.
x2＋y2＝9
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10. 已知方程x2＋y2－2（t＋3）x＋2（1－4t2）y＋16t4＋9＝0表示一
个圆.
（1）求t的取值范围；
解：圆的方程可化为[x－（t＋3）]2＋[y＋（1－4t2）]2＝1＋6t－7t2.
由1＋6t－7t2＞0，即7t2－6t－1＜0，得－ ＜t＜1.
故t的取值范围是（－ ，1）.
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（2）求该圆的圆心坐标和半径；
解：由（1）知，圆的圆心坐标为（t＋3，4t2－1），半径为
.
（3）求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程.
解：r＝
＝ ≤ .
所以r的最大值为 ，此时t＝ ，
故此时圆的标准方程为（x－ ）2＋（y＋ ）2＝ .
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11. （2025·淄博月考）若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有
的点均在第二象限内，则a的取值范围为（ ）
A. （－∞，－2） B. （－∞，－1）
C. （1，＋∞） D. （2，＋∞）
解析：由题意得，曲线C的标准方程为（x＋a）2＋（y－2a）2＝4，因此曲线C是圆心为（－a，2a），半径为2的圆.∵曲线C上所有的点均
在第二象限内，∴ 解得a＞2，∴a的取值范围是（2，＋∞）.
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12. 已知圆C：x2＋y2－4x＋2y＋m＝0与y轴交于A，B两点，圆心为C.
若∠ACB＝ ，则实数m＝ .
解析：∵x2＋y2－4x＋2y＋m＝0可化为（x－2）2＋（y＋1）2＝5－m，
∴圆心C的坐标为（2，－1），圆C的半径r＝ .由∠ACB＝ 可
得△ACB为等腰直角三角形，∴2＝ r，解得r＝2 ，∴ ＝
2 ，解得m＝－3.
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13. 已知A（－2，0），B（0，2），实数k是常数，M，N是圆x2＋y2＋
kx＝0上两个不同点，P是圆上的动点，如果M，N关于直线x－y－1＝0
对称，则△PAB面积的最大值是 .
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解析：依题意得圆x2＋y2＋kx＝0的圆心（－ ，0）位于直线x－y－1＝0
上，于是有－ －1＝0，即k＝－2，因此圆心坐标是（1，0），半径是1.
由题意可得｜AB｜＝2 ，直线AB的方程是 ＋ ＝1，即x－y＋2＝
0，圆心（1，0）到直线AB的距离等于 ＝ ，点P到直线AB
的距离的最大值是 ＋1，△PAB面积的最大值为 ×2 × ＝3＋
.
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14. 已知圆C经过（0，2），（1， ），（ ， ）三点.
（1）求圆C的方程；
解：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意得
解得
则圆C的方程为x2＋y2＝4.
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（2）设定点M（－3，4），动点N在圆C上运动，以OM，ON为邻边作
平行四边形MONP（O为坐标原点），求点P的轨迹.
解：法一（定义法） 设点P（x，y）.由题意知｜MP｜＝｜
ON｜＝2，所以动点P在以M为圆心，半径为2的圆上，即（x＋3）2＋
（y－4）2＝4.又因为四边形MONP为平行四边形，所以O，M，P三点
不共线.当点P在直线OM上时有 或
因此所求轨迹为以（－3，4）为圆心，2为半径的圆除去点（－ ， ）和
点（－ ， ）.
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法二（代入法） 如图所示，
设点P（x，y），N（x0，y0），则线段OP的中点
坐标为（ ， ），线段MN的中点坐标为（ ， ）.
由于平行四边形的对角线互相平分，故 从而
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又点N（x＋3，y－4）在圆x2＋y2＝4上，
故（x＋3）2＋（y－4）2＝4.
当点P在直线OM上时，
有 或
因此所求轨迹为以（－3，4）为圆心，2为半径的圆并除去点（－ ， ）
和点（－ ， ）.
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15. 已知曲线C：（1＋a）x2＋（1＋a）y2－4x＋8ay＝0，a∈R.
（1）当a取何值时，方程表示圆；
解：当a＝－1时，方程为x＋2y＝0，表示一条直线；当a≠－1时，方程为（x－ ）2＋（y＋ ）2＝ ，因为 ＞0，所以a≠－1时方程表示圆.
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（2）求证：不论a为何值，曲线C必过两定点；
解：证明：方程变形为x2＋y2－4x＋a（x2＋y2＋8y）＝0.
对于a取任何值，上式成立，则有
解得 或
所以C过定点A（0，0），B（ ，－ ）.
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（3）当曲线C表示圆时，求圆的面积最小时a的值.
解：由（2）知曲线C过定点A，B，在这些圆中，当以AB为直径时，圆的面积最小，
从而得以AB为直径圆的方程为
（x－ ）2＋（y＋ ）2＝ ，
所以 ＝ ， ＝ ， ＝ ，
解得a＝ .
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2.4.2 圆的一般方程
1. 在平面直角坐标系中，探索掌握圆的一般方程（数学抽象、逻辑推理）.
2. 掌握待定系数法求圆的方程，能求与圆有关的轨迹方程（数学运算、直观想象）.
课标要求
前面我们已学习了圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，现将其展开可得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式.请大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程都表示圆吗？下面我们来探讨这一方面的问题.
情境导入
知识点一 圆的一般方程的概念
01
知识点二 000
02
提能点 与圆有关的轨迹问题
03
课时作业
04
目录
01
PART
知识点一
圆的一般方程的概念
问题 （1）如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需要满足什么条
件？
提示：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方可得，（x＋ ）2＋（y＋
）2＝ ，当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
表示圆.
（2）当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图
形？当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？
提示：①当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点（－
，－ ）.
②当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形.
【知识梳理】
1. 概念：当 时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F
＝0叫做圆的一般方程.
2. 圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的圆的圆
心为 （－ ，－ ） ，半径长为 .
提醒：二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，需x2
和y2的系数相同且不为0，xy的系数为0.
D2＋E2－4F＞0
（－ ，－ ）
【例1】判断下列二元二次方程是否表示圆.如果是，请求出圆的圆心坐标
及半径：
（1）2x2＋y2－7y＋5＝0；
解：2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，故原方程不表示圆.
（2）x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
解：x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy项，故原方程不表示圆.
（3）x2＋y2－4x＝0；
解：方程可变形为（x－2）2＋y2＝4，表示圆心坐标是（2，0），半径是2
的圆.
（4）x2＋y2－4ax－2 ay＋6a2＝0；
解：方程可变形为（x－2a）2＋（y－ a）2＝a2.
当a＝0时，方程表示点（0，0），不表示圆；
当a≠0时，方程表示圆心坐标是（2a， a），半径是｜a｜的圆.
（5）4x2＋4y2－4x＋12y＋11＝0.
解：方程可变形为x2＋y2－x＋3y＋ ＝0，
法一 由D2＋E2－4F＝（－1）2＋32－4× ＝－1＜0，不表示任何图形.
法二 方程可变形为（x－ ）2＋（y＋ ）2＝－ ，故方程不表示任何
图形.
【规律方法】
圆的一般方程的辨析
（1）配方法：对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程可以通过配
方变形为“标准”形式后，观察是否表示圆；
（2）运用圆的一般方程的判断方法求解，即通过判断D2＋E2－4F与0的
关系，确定它是否表示圆.
训练1 （1）（2025·许昌月考）若方程x2＋y2－2y－m＝0表示的图形是
圆，则实数m的取值范围为（ D ）
A. （－∞，1） B. （1，＋∞）
C. （－∞，－1） D. （－1，＋∞）
解析：法一 因为方程表示的图形是圆，所以4＋4m＞0，解得m＞－1.
故实数m的取值范围为（－1，＋∞）.
D
法二 方程x2＋y2－2y－m＝0可化为x2＋（y－1）2＝m＋1，因为方程
表示的图形是圆，所以m＋1＞0，解得m＞－1.故实数m的取值范围为
（－1，＋∞）.故选D.
（2）〔多选〕已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0的直径为4，则（BD ）
A. m＝－1
B. m＝1
C. 圆心为（－1，－2）
D. 圆心为（1，－2）
BD
解析：根据题意，圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0，即（x－1）2＋（y＋
2）2＝5－m，其圆心为（1，－2），半径为 ，若其直径为4，则
＝2，解得m＝1.故选B、D.
02
PART
知识点二
求圆的一般方程
【例2】（链接教材P86例4）求满足下列条件的圆的一般方程：
（1）过点A（－4，0），B（0，2）和原点；
解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由已知条件得
解得
故所求圆的方程为x2＋y2＋4x－2y＝0.
（2）圆心在直线y＝x上，与x轴相交于（－1，0），（3，0）两点.
解：法一 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为（－ ，－
）.
因为圆心在直线y＝x上，且圆过（－1，0），（3，0）两点，
所以 解得
所以圆的方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0.
法二 因为圆与x轴相交于（－1，0），（3，0）两点，
所以圆心在直线x＝1上.
又圆心在直线y＝x上，所以圆心坐标为（1，1）.
所以圆的半径为 ＝ ，
所以圆的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝5.
所以圆的一般方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0.
【规律方法】
待定系数法求圆的一般方程的步骤
（1）根据题意设所求的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；
（2）根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组；
（3）解此方程组，求出D，E，F的值；
（4）将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程.
训练2 求满足下列条件的圆的一般方程：
（1）已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0的圆心在直线x＋y－1＝0上，且
圆心在第二象限，半径为 ；
解：由题意得圆心C（－ ，－ ），
∵圆心在直线x＋y－1＝0上，
∴－ － －1＝0，即D＋E＝－2， ①
又半径r＝ ＝ ，
∴D2＋E2＝20， ②
由①②可得 或
又圆心在第二象限，∴－ ＜0，－ ＞0，即D＞0，E＜0.
∴ ∴圆C的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
（2）已知圆经过点（4，2）和（－2，－6），该圆与坐标轴的四个截距
之和为－2.
解：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）.
∵圆经过点（4，2）和（－2，－6），
∴
设圆在x轴上的截距为x1，x2，则它们是方程x2＋Dx＋F＝0的两个根，故
x1＋x2＝－D.
设圆在y轴上的截距为y1，y2，则它们是方程y2＋Ey＋F＝0的两个根，故
y1＋y2＝－E.
由已知，得－D＋（－E）＝－2，
即D＋E－2＝0. ③
联立①②③，解得D＝－2，E＝4，F＝－20.
∴所求圆的一般方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.
03
PART
提能点
与圆有关的轨迹问题
角度1 直接法求轨迹方程
【例3】求到点O（0，0）的距离是到点A（3，0）的距离的2倍的点M的
轨迹方程.
解：设点M的坐标是（x，y），
则 ＝2.∴ ＝2.
化简，得x2＋y2－8x＋12＝0，
即所求轨迹方程为x2＋y2－8x＋12＝0.
角度2 定义法求轨迹方程
【例4】 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A（－1，0），B（3，0），求
直角顶点C的轨迹方程.
解：设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D（1，0）.
由直角三角形的性质，知｜CD｜＝ ｜AB｜＝2.
由圆的定义，知动点C的轨迹是以D（1，0）为圆心，以2为半径长的圆
（因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点）.
设C（x，y），则直角顶点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（x≠3，
且x≠－1）.
角度3 代入法求轨迹方程
【例5】 已知点A（2，0）是圆x2＋y2＝4上的定点，P是圆上的动点，
求线段AP的中点M的轨迹方程.
解：设线段AP的中点为M（x，y），
由中点坐标公式，得点P的坐标为（2x－2，2y）.
∵点P在圆x2＋y2＝4上，
∴（2x－2）2＋（2y）2＝4，
故线段AP的中点M的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝1.
变式 若本例条件不变，如图，点B（1，1）是圆内一点，Q为圆上的动
点，若∠PBQ＝90°，如何求线段PQ的中点N的轨迹方程？
解：设线段PQ的中点为N（x，y），
在Rt△PBQ中，｜PN｜＝｜BN｜，
连接ON（图略），
则ON⊥PQ，
∴｜OP｜2＝｜ON｜2＋｜PN｜2＝｜ON｜2＋｜BN｜2，
∴x2＋y2＋（x－1）2＋（y－1）2＝4，
故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
【规律方法】
求与圆有关的轨迹方程的3种方法
提醒：（1）弄清题中所求问题是动点的轨迹方程还是动点的轨迹，
若求的是动点轨迹，则求出轨迹方程后应说明最后是什么样的图形；
（2）要考虑轨迹上应去掉的点及轨迹不存在的情形.
训练3 （2025·徐州月考）已知动点M到点A（2，0）的距离是它到点B
（8，0）的距离的一半.
（1）求动点M的轨迹方程；
解：设动点M的坐标为（x，y）.
因为A（2，0），B（8，0），
｜MA｜＝ ｜MB｜.
所以（x－2）2＋y2＝ [（x－8）2＋y2].
化简得x2＋y2＝16.
即动点M的轨迹方程为x2＋y2＝16.
（2）若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹.
解：设点N的坐标为（x0，y0），
因为A（2，0），N为线段AM的中点，
所以点M的坐标为（2x0－2，2y0）.
又点M在圆x2＋y2＝16上，
所以（2x0－2）2＋4 ＝16，
即得（x0－1）2＋ ＝4.
所以点N的轨迹是以（1，0）为圆心，2为半径的圆.
1. 已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则实数k的取值范围是（ ）
A. （－∞，－1） B. （－1，＋∞）
C. （－1，0） D. （－1，1）
解析：方程可化为（x－1）2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即k
＜－1时才能表示圆.
√
2. 已知圆C：x2＋y2－4x＋6y＋9＝0，则下列直线中必过圆心C的是
（ ）
A. 3x－2y＋1＝0
B. 3x＋2y＋1＝0
C. 3x＋2y＝0
D. 3x－2y＝0
解析：圆心为C（2，－3）在直线3x＋2y＝0上.故选C.
√
3. （2025·威海质检）已知两定点A（－2，0），B（1，0），若动点P满
足｜PA｜＝2｜PB｜，则P的轨迹为（ ）
A. 直线 B. 线段 C. 圆 D. 半圆
解析： 设点P的坐标为（x，y），∵A（－2，0），B（1，0），动
点P满足｜PA｜＝2｜PB｜，∴ ＝2 ，
两边平方得（x＋2）2＋y2＝4[（x－1）2＋y2]，即（x－2）2＋y2＝
4.∴P的轨迹为圆.故选C.
√
4. 已知△ABC的三个顶点为A（1，4），B（－2，3），C（4，－5），
求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径.
解：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵点A，B，C在圆上，
∴
解得
∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，
即（x－1）2＋（y＋1）2＝25.
∴外心坐标为（1，－1），外接圆半径为5.
课堂小结
1.理清单
（1）圆的一般方程；
（2）与圆有关的轨迹方程.
2.应体会
（1）求圆的一般方程常用待定系数法；
（2）求动点的轨迹方程的常用的方法有定义法、直接法、代入法等.
3.避易错
（1）忽视一般方程表示圆的条件；
（2）轨迹方程求出后，忽视点及轨迹不存在的情形.
04
PART
课时作业
1. 已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为（－2，3），则D，E分
别为（ ）
A. D＝4，E＝－6 B. D＝－4，E＝－6
C. D＝－4，E＝6 D. D＝4，E＝6
解析：圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为（－ ，－ ），又知该圆的圆心坐标为（－2，3），∴－ ＝－2，－ ＝3，∴D＝4，E＝－6.
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2. 与圆x2＋y2－4x＋6y＋3＝0同圆心，且过点（1，－1）的圆的方程是
（ ）
A. x2＋y2－4x＋6y－8＝0
B. x2＋y2－4x＋6y＋8＝0
C. x2＋y2＋4x－6y－8＝0
D. x2＋y2－4x－6y－4＝0
解析： 依题意，设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋m＝0，由于所求
圆过点（1，－1），所以1＋1－4－6＋m＝0，解得m＝8，所以所求圆的
方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0.故选B.
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3. 若点P（1，1）在圆x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，则实数k的取值范围
是（ ）
A. （－2，＋∞） B. ［－2，－ ］
C. （－2， ） D. （－2，2）
解析： 因为点P（1，1）在圆x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，所以需满
足 解得－2＜k＜ .
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4. 圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋
y2－4x＋3＝0，则a的值为（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析： 由于圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0的圆心为M（ ，1），圆x2＋y2
－4x＋3＝0的圆心为N（2，0），又两圆关于直线x－y－1＝0对称，故
有 ×1＝－1，解得a＝2.
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5. 已知圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝1过点A（1，0），则圆C的圆心
的轨迹是（ ）
A. 点 B. 直线
C. 线段 D. 圆
解析： ∵圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝1过点A（1，0），∴（1－
a）2＋（0－b）2＝1，∴（a－1）2＋b2＝1，∴圆C的圆心的轨迹是圆心
为（1，0），半径为1的圆.
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6. 〔多选〕已知圆的方程为x2＋y2－4x－1＝0，则下列说法正确的有
（ ）
A. 关于点（2，0）对称
B. 关于直线y＝0对称
C. 关于直线x＋3y－2＝0对称
D. 关于直线x－y＋2＝0对称
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解析：x2＋y2－4x－1＝0 （x－2）2＋y2＝5，所以圆心的坐标为（2，0），半径为 .选项A，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点（2，0）是圆心，所以A正确；选项B，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，所以B正确；选项C，直线x＋3y－2＝0过圆心，所以C正确；选项D，直线x－y＋2＝0不过圆心，所以D不正确.故选A、B、C.
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7. 〔多选〕若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以（2，－4）为圆心，4
为半径的圆，则下列结论正确的是（ ）
A. F＝4
B. 点（0，1）在圆外
C. 圆与y轴相切
D. 点（2，1）与圆上任一点距离的最大值为9
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解析： 由题知 解得D＝－4，E＝8，F＝
4，A正确；由A知圆的一般方程为x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，将（0，1）代
入得0＋1－0＋8＋4＝13＞0，故点（0，1）在圆外，B正确；由题知圆心
纵坐标的绝对值等于半径，故该圆与x轴相切，与y轴相交，C错误；因为
圆心（2，－4）到点（2，1）的距离为5，所以圆上动点（x，y）到定点
（2，1）的距离的最大值为5＋4＝9，D正确.
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8. 当圆C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0的面积最小时，m＝ .
解析：由圆C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0，得圆C的标准方程为（x－
2）2＋（y－m）2＝m2－2m＋4，从而对于圆C的半径r有r2＝m2－2m＋
4＝（m－1）2＋3≥3，所以当m＝1时，r2取得最小值，此时圆C的面积
最小.
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9. 长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段
AB的中点M的轨迹方程为 .
解析：设M（x，y），因为△AOB是直角三角形，所以｜OM｜＝ ｜
AB｜＝3为定值，故M的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆，故x2＋y2＝9
即为所求.
x2＋y2＝9
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10. 已知方程x2＋y2－2（t＋3）x＋2（1－4t2）y＋16t4＋9＝0表示一
个圆.
（1）求t的取值范围；
解：圆的方程可化为[x－（t＋3）]2＋[y＋（1－4t2）]2＝1＋6t－7t2.
由1＋6t－7t2＞0，即7t2－6t－1＜0，得－ ＜t＜1.
故t的取值范围是（－ ，1）.
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（2）求该圆的圆心坐标和半径；
解：由（1）知，圆的圆心坐标为（t＋3，4t2－1），半径为
.
（3）求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程.
解：r＝
＝ ≤ .
所以r的最大值为 ，此时t＝ ，
故此时圆的标准方程为（x－ ）2＋（y＋ ）2＝ .
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11. （2025·淄博月考）若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有
的点均在第二象限内，则a的取值范围为（ ）
A. （－∞，－2） B. （－∞，－1）
C. （1，＋∞） D. （2，＋∞）
解析：由题意得，曲线C的标准方程为（x＋a）2＋（y－2a）2＝4，因此曲线C是圆心为（－a，2a），半径为2的圆.∵曲线C上所有的点均
在第二象限内，∴ 解得a＞2，∴a的取值范围是（2，＋∞）.
√
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12. 已知圆C：x2＋y2－4x＋2y＋m＝0与y轴交于A，B两点，圆心为C.
若∠ACB＝ ，则实数m＝ .
解析：∵x2＋y2－4x＋2y＋m＝0可化为（x－2）2＋（y＋1）2＝5－m，
∴圆心C的坐标为（2，－1），圆C的半径r＝ .由∠ACB＝ 可
得△ACB为等腰直角三角形，∴2＝ r，解得r＝2 ，∴ ＝
2 ，解得m＝－3.
－3
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13. 已知A（－2，0），B（0，2），实数k是常数，M，N是圆x2＋y2＋
kx＝0上两个不同点，P是圆上的动点，如果M，N关于直线x－y－1＝0
对称，则△PAB面积的最大值是 .
3＋
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解析：依题意得圆x2＋y2＋kx＝0的圆心（－ ，0）位于直线x－y－1＝0
上，于是有－ －1＝0，即k＝－2，因此圆心坐标是（1，0），半径是1.
由题意可得｜AB｜＝2 ，直线AB的方程是 ＋ ＝1，即x－y＋2＝
0，圆心（1，0）到直线AB的距离等于 ＝ ，点P到直线AB
的距离的最大值是 ＋1，△PAB面积的最大值为 ×2 × ＝3＋
.
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14. 已知圆C经过（0，2），（1， ），（ ， ）三点.
（1）求圆C的方程；
解：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意得
解得
则圆C的方程为x2＋y2＝4.
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（2）设定点M（－3，4），动点N在圆C上运动，以OM，ON为邻边作
平行四边形MONP（O为坐标原点），求点P的轨迹.
解：法一（定义法） 设点P（x，y）.由题意知｜MP｜＝｜
ON｜＝2，所以动点P在以M为圆心，半径为2的圆上，即（x＋3）2＋
（y－4）2＝4.又因为四边形MONP为平行四边形，所以O，M，P三点
不共线.当点P在直线OM上时有 或
因此所求轨迹为以（－3，4）为圆心，2为半径的圆除去点（－ ， ）和
点（－ ， ）.
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法二（代入法） 如图所示，
设点P（x，y），N（x0，y0），则线段OP的中点
坐标为（ ， ），线段MN的中点坐标为（ ， ）.
由于平行四边形的对角线互相平分，故 从而
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又点N（x＋3，y－4）在圆x2＋y2＝4上，
故（x＋3）2＋（y－4）2＝4.
当点P在直线OM上时，
有 或
因此所求轨迹为以（－3，4）为圆心，2为半径的圆并除去点（－ ， ）
和点（－ ， ）.
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15. 已知曲线C：（1＋a）x2＋（1＋a）y2－4x＋8ay＝0，a∈R.
（1）当a取何值时，方程表示圆；
解：当a＝－1时，方程为x＋2y＝0，表示一条直线；当a≠－1时，方程为（x－ ）2＋（y＋ ）2＝ ，因为 ＞0，所以a≠－1时方程表示圆.
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（2）求证：不论a为何值，曲线C必过两定点；
解：证明：方程变形为x2＋y2－4x＋a（x2＋y2＋8y）＝0.
对于a取任何值，上式成立，则有
解得 或
所以C过定点A（0，0），B（ ，－ ）.
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（3）当曲线C表示圆时，求圆的面积最小时a的值.
解：由（2）知曲线C过定点A，B，在这些圆中，当以AB为直径时，圆的面积最小，
从而得以AB为直径圆的方程为
（x－ ）2＋（y＋ ）2＝ ，
所以 ＝ ， ＝ ， ＝ ，
解得a＝ .
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THANKS
演示完毕 感谢观看