《创新课堂》章末检测（三）　圆锥曲线的方程 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测

(共40张PPT)
章末检测（三）　圆锥曲线的方程
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知抛物线的准线方程为y＝－ ，则该抛物线的标准方程为（　　）
A. x2＝8y B. y2＝ x
C. y2＝3x D. x2＝ y
解析：　因为抛物线的准线方程为y＝－ ，所以 ＝ ，即p＝ ，所以
所求抛物线的标准方程为x2＝ y.
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2. 双曲线 － ＝1与椭圆 ＋ ＝1的焦点相同，则a＝（　　）
A. 1 B. －2
C. 1或－2 D. 2
解析：　因为双曲线 － ＝1的焦点在x轴上，所以椭圆 ＋ ＝1的
焦点在x轴上，依题意得 解得a＝1.
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3. 直线y＝kx＋1与椭圆 ＋ ＝1总有公共点，则m的取值范围是（　）
A. （1，＋∞）
B. （0，1）∪（1，＋∞）
C. [1，5）∪（5，＋∞）
D. （0，1）∪（1，5）
解析：　直线y＝kx＋1过定点（0，1），只需该点落在椭圆内或椭圆
上，∴ ＋ ≤1，解得m≥1，又m≠5，∴m的取值范围是[1，5）∪
（5，＋∞）.
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4. 过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B
（x2，y2）两点，如果x1＋x2＝6，且｜AB｜＝8，那么抛物线方程为
（　　）
A. y2＝2x B. y2＝4x
C. y2＝8x D. y2＝6x
解析：　因为直线AB过焦点F（ ，0），所以｜AB｜＝x1＋x2＋p＝6
＋p＝8，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.
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5. 已知抛物线y2＝16x的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：（x－
6）2＋（y－2）2＝4上，则｜PQ｜＋｜PF｜的最小值为（　　）
A. 4 B. 6
C. 8 D. 10
解析：　如图，过点P向准线作垂线，垂足为A，则｜
PF｜＝｜PA｜，当CP垂直于抛物线的准线时，｜CP｜
＋｜PA｜最小，此时线段CP与圆C的交点为Q，因为准
线方程为x＝－4，C（6，2），半径为2，所以｜PQ｜
＋｜PF｜的最小值为｜AQ｜＝｜CA｜－2＝10－2＝8.
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6. 在椭圆 ＋ ＝1中，以点M（1， ）为中点的弦所在直线的斜率为
（　　）
A. － B. －4
C. － D. －2
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解析：　设弦的两端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方
程得 两式相减得 ＋ ＝
0，即 ＝－ ，又x1＋x2＝2，y1＋y2＝1，所以 ＝－
，即 ＝－ ，所以以点M（1， ）为中点的弦所在的直线的斜
率为－ .
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7. 已知F是双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作双曲线
一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，且满足2 ＝
，则双曲线的离心率为（　　）
A. B.
C. D.
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解析：　F是双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，则F（c，0），设过右焦点F（c，0）的直线与y＝ x垂直，则该直线为y＝－ （x－c），联立 解得 所以A（ ， ），同理，联立 可得B（ ，－ ），因为2 ＝ ，则2（c－ ）＝ －c，b2＝c2－a2，因为e＞1，故e＝ .故选A.
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8. 已知双曲线C：x2－ ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C上的
一点（不同于左、右顶点），且 sin ∠PF2F1＝2 sin ∠PF1F2，则△PF1F2
的面积是（　　）
A. 2 B. 3
C. 2 D.
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解析：　在△PF1F2中，由正弦定理，得 ＝ ，又 sin
∠PF2F1＝2 sin ∠PF1F2，所以｜PF1｜＝2｜PF2｜.又｜PF1｜－｜
PF2｜＝2，所以｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2.由余弦定理，得 cos
∠F1PF2＝ ＝ ＝ ，所以 sin
∠F1PF2＝ ，所以 ＝ ｜PF1｜·｜PF2｜ sin ∠F1PF2＝
×2×4× ＝ .故选D.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的
四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部
分分，有选错的得0分）
9. 已知曲线mx2＋y2＝1，则（　　）
A. m＝－1表示两条直线
B. m＝1表示圆
C. m＜0表示焦点在x轴上的双曲线
D. 0＜m＜1表示焦点在x轴上的椭圆
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解析：对于A选项，当m＝－1时，y2－x2＝1表示焦点在y轴上的双曲线，故错误；对于B选项，当m＝1时，x2＋y2＝1表示圆心为原点，半径为1的圆，故正确；对于C选项，当m＜0时，y2＋mx2＝1表示焦点在y轴上的双曲线，故错误；对于D选项，当0＜m＜1时，方程为 ＋y2＝1，由于 ＞1，故表示焦点在x轴上的椭圆，故正确.故选B、D.
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10. 已知双曲线 － ＝1（a＞0）的左焦点F1与抛物线y2＝－4 x的焦
点重合，F2是双曲线的右焦点，则下列说法正确的有（　　）
A. 抛物线的准线方程为x＝1
B. 双曲线的实轴长为4
C. 双曲线的离心率为2
D. P为双曲线上一点，若｜PF1｜＝ ，则｜PF2｜＝
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解析：对于A，抛物线y2＝－4 x的准线方程是x＝ ，A选项错误.对于B，抛物线y2＝－4 x的焦点是（－ ，0），所以F1（－ ，0），F2（ ，0），c＝ .在双曲线中，c2＝a2＋b2，则a2＋3＝7，解得a＝2或a＝－2（舍去），所以双曲线的实轴长为2a＝4，B选项正确.对于C，双曲线的离心率e＝ ＝ ，C选项错误.对于D，由双曲线定义｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，即 ＝4，解得｜PF2｜＝ 或｜PF2｜＝ ＜ －2（舍去），D选项正确.故选B、D.
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11. 法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之
父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆
中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆Γ： ＋ ＝1（a
＞b＞0）的蒙日圆为C：x2＋y2＝ a2，过C上的动点M作Γ的两条切线，
分别与C交于P，Q两点，直线PQ交Γ于A，B两点，则下列结论正确的
是（　　）
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A. 椭圆Γ的离心率为
B. △MPQ面积的最大值为 a2
C. M到Γ的左焦点的距离的最小值为
D. 若动点D在Γ上，将直线DA，DB的斜率分别记为k1，k2，则k1k2＝－
则下列结论正确的是（　　）
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解析：　依题意，过椭圆Γ的上顶点作y轴的垂线，过椭圆Γ的右顶
点作x轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆C上，所以a2＋b2＝ a2，即
a2＝2b2，所以椭圆Γ的离心率e＝ ＝ ＝ ，故A正确.因为点
M，P，Q都在圆C上，且∠PMQ＝90°，所以PQ为圆C的直径，所
以｜PQ｜＝2× ＝ a，所以△MPQ面积的最大值为 ｜PQ｜
× ＝ × ＝ a2，故B错误.设M（x0，y0），Γ的左焦点为
F（－c，0），连接MF（图略），因为c2＝a2－b2＝ a2，所以｜MF｜
2＝（x0＋c）2＋ ＝ ＋ ＋2x0c＋c2＝ a2＋2x0× a＋ a2＝2a2＋
ax0.又－ a≤x0≤ a，所以｜MF｜2≥（2－ ）a2，
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则M到Γ的左焦点的距离的最小值为 ，故C正确.由直线PQ
经过坐标原点，易得点A，B关于原点对称.设A（x1，y1），D（x2，
y2），则B（－x1，－y1），k1＝ ，k2＝ .又
所以 ＋ ＝0，所以 ＝ · ＝－ ，所以k1k2＝
－ ，故D正确.故选A、C、D.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横
线上）
12. 已知双曲线W： － ＝1（其中a＞0）的两条渐近线互相垂直，则
a＝ .
解析：双曲线W： － ＝1的渐近线方程为y＝± x，因为双曲线W的
两条渐近线互相垂直，所以 ×（－ ）＝－1，又a＞0，所以a＝2.
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13. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1 000多年的历史.为宣传和推广
这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如
图所示.该伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为 ，当阳光
与地面夹角为60°时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位
于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率为 .

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解析：因为伞沿是半径为2的圆，圆心到伞柄底端的距离为 ，设伞柄与
地面的夹角为θ，则tan θ＝ ＝ ，所以θ＝60°，阳光光线与伞柄平
行，所以椭圆长半轴a＝ ＝ ，短半轴b＝2，离心率e＝
＝ .
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14. 已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在y轴上，F1，F2为C的两个焦
点，C的短轴长为4，且C上存在一点P，使得｜PF1｜＝6｜PF2｜，写出
C的一个标准方程： .
＋ ＝1（答案不唯一）
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解析：因为｜PF1｜＝6｜PF2｜，所以｜PF1｜＋｜PF2｜＝7｜PF2｜＝
2a，则｜PF2｜＝ ，又因为a－c≤｜PF2｜≤a＋c，所以 ≥a－c，
即 ≥ .根据题意可设C的方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0），因为椭圆C
的短轴长为4，则2b＝4，可得b＝2，又由 ≥ ，可得 ＝
≥ ，解得a2≥ ，所以椭圆C的一个标准方程为 ＋ ＝1.
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证
明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知动点M与点F（2，0）的距离与其到直线x＝
－2的距离相等.
（1）求动点M的轨迹方程；
解：由题意知动点M到点F（2，0）的距离与它到直线x＝－2的距离相等，所以动点M的轨迹为以F（2，0）为焦点，以直线x＝－2为准线的抛物线，因此动点M的轨迹方程为y2＝8x.
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（2）求点M与点A（6，0）的距离的最小值，并指出此时M的坐标.
解：设M（ ，m），
由两点间的距离公式得｜MA｜＝ ＝ ＝
，
当m2＝16，即m＝±4时，｜MA｜min＝4 ，
即当M（2，4）或M（2，－4）时，点M与点A的距离最小，最小值为4 .
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16. （本小题满分15分）已知点F1，F2分别为双曲线C：x2－ ＝1（b＞
0）的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴的上方交双曲线C于
点M，且∠MF1F2＝30°.
（1）求双曲线C的方程；
解：在Rt△MF1F2中，因为∠MF1F2＝30°，所以tan∠MF1F2＝ ＝ ＝ ，又a＝1，a2＋b2＝c2，联立解得c＝ ，b＝ ，所以双曲线C的方程是x2－ ＝1.
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（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为
P1，P2，求 ， 的值.
解：设P（x0，y0）是双曲线C上任意一点，故有2 － ＝2，
两条渐近线方程为l1： x－y＝0，l2： x＋y＝0，设l1： x－y＝0
的倾斜角为α，
故tan α＝ ，设两条渐近线在第一、四象限的夹角为θ，
所以 cos θ＝ cos 2α＝ ＝－ ，于是有 cos ＜ ， ＞＝－ cos
θ＝ .
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因为P到双曲线两条渐近线的距离为｜PP1｜＝ ，
｜PP2｜＝ ，
所以 · ＝ · · cos ＜ ， ＞＝
· ＝ .
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17. （本小题满分15分）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右
焦点分别为F1，F2，离心率为 ，且点P（ ， ）在C上.
（1）求椭圆C的标准方程；
解：由椭圆C离心率为 ，得 ＝ ，即 ＝ ，所以b2＝ a2，
故椭圆C的方程为 ＋ ＝1，代入点P（ ， ），得 ＋ ＝1，
故a2＝4，b2＝3，所以椭圆C的标准方程为 ＋ ＝1.
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（2）过左焦点F1且斜率为 的直线l与椭圆C交于A，B两点，求△ABF2
内切圆的面积.
解：法一　由题意得，直线l的方程为y＝ （x＋1），设A（x1，y1），B（x2，y2），
由 消去y，得5x2＋4x－10＝0，所以Δ＝16－4×5×（－
10）＝216，x1＋x2＝－ ，x1x2＝－2，
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则｜AB｜＝ ｜x1－x2｜＝ ＝ × ＝ ，
又F2（1，0），直线l的方程为x－ y＋1＝0，则点F2到直线AB的距离
d＝ ＝ ，所以 ＝ ｜AB｜·d＝ × × ＝ ，
设△ABF2内切圆的半径为r，由 ×4ar＝ ＝ ，
解得r＝ ，故△ABF2内切圆的面积为πr2＝ .
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法二　由题意得，直线l的方程为x＝ y－1，设A（x1，y1），B（x2，
y2），由 消去x，得10y2－6 y－9＝0，所以y1＋y2＝
，y1y2＝－ ，
则 ＝ ｜F1F2｜·｜y1－y2｜＝ ×2× ＝
＝ .
设△ABF2内切圆的半径为r，由 ×4ar＝ ＝ ，
解得r＝ ，故△ABF2内切圆的面积为πr2＝ .
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18. （本小题满分17分）已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且线
段AB恰好被点P（2，2）平分.
（1）求直线l的方程；
解：由题意，可得直线AB的斜率存在，且不为0.设直线AB：x－2＝m（y－2），
代入抛物线方程可得y2－8my＋16m－16＝0.判别式Δ＝（－8m）2－4
（16m－16）＝64［（m－ ）2＋ ］＞0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则有y1＋y2＝8m，由8m＝4，得m＝ .
所以直线l的方程为2x－y－2＝0.
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（2）抛物线上是否存在点C和D，使得C，D关于直线l对称？若存在，
求出直线CD的方程；若不存在，请说明理由.
解：假设存在点C，D，则可设lCD：y＝－ x＋n，与抛物线y2＝8x联立，
消去y得 x2－（n＋8）x＋n2＝0，其中Δ＝（n＋8）2－n2＝16n＋64＞
0，则n＞－4.（*）
又xC＋xD＝4（n＋8），所以CD的中点为（2（n＋8），－8），代入
直线l的方程，得n＝－ ，不满足（*）式.所以满足题意的点C，D不
存在.
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19. （本小题满分17分）焦距为2c的椭圆Г： ＋ ＝1（a＞b＞0），如
果满足“2b＝a＋c”，则称此椭圆为“等差椭圆”.
（1）如果椭圆Г： ＋ ＝1（a＞b＞0）是“等差椭圆”，求 的值；
解：因为椭圆Г： ＋ ＝1（a＞b＞0）是“等差椭圆”，所以2b＝a＋c，所以c＝2b－a，又c2＝a2－b2，所以（2b－a）2＝a2－b2，化简得 ＝ .
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（2）对于焦距为12的“等差椭圆”，点A为椭圆短轴的上顶点，P为椭圆
上异于A点的任一点，Q为P关于原点O的对称点（Q也异于A），直线
AP，AQ分别与x轴交于M，N两点，判断以线段MN为直径的圆是否过
定点？说明理由.
解：过定点（0，±10），理由如下：
由2c＝12得c＝6，由 得a＝10，b＝8，
椭圆方程为 ＋ ＝1，所以A（0，8），
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设P（x0，y0）（x0≠0），则Q（－x0，－y0），
所以直线AP的方程为y＝ x＋8，令y＝0，得x＝－ ，所以M
（－ ，0），
同理可得N（－ ，0），所以以MN为直径的圆的方程为（x＋
）·（x＋ ）＋（y－0）·（y－0）＝0，
结合 ＋ ＝1，化简得x2＋y2－ x－100＝0，令x＝0，得y＝±10，
所以该圆恒过定点（0，±10）.
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