《创新课堂》章末整合提升 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测

(共37张PPT)
章末整合提升
体系构建
01
素养提升
02
目录
01
PART
体系构建
02
PART
素养提升
一、圆锥曲线的定义及应用
厘清椭圆、双曲线、抛物线的定义，会应用椭圆、双曲线、抛物线的定义
解决有关轨迹方程、焦点三角形、最值（范围）等问题.
【例1】（1）已知双曲线C的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2，点
A在C上.若｜F1A｜＝2｜F2A｜，则 cos ∠AF2F1＝（　B　）
A. B. C. D.
B
解析：由e＝ ＝2，得c＝2a，如图，由双曲线的定义得｜F1A｜－｜
F2A｜＝2a，又｜F1A｜＝2｜F2A｜，故｜F1A｜＝4a，｜F2A｜＝2a.
又｜F1F2｜＝2c＝4a，所以 cos ∠AF2F1＝
＝ ＝ .故选B.
（2）平面内有两个定点F1（－5，0）和F2（5，0），动点P满足｜PF1｜
－｜PF2｜＝6，则动点P的轨迹方程是 ；
解析：｜PF1｜－｜PF2｜＝6＜｜F1F2｜＝10，根据双曲线的定义可知点
P的轨迹为双曲线的右支，且a＝3，c＝5，故b2＝16，故动点P的轨迹方
程为 － ＝1（x≥3）.
－ ＝1（x≥3）
（3）已知点P是抛物线C：y2＝4x上的动点，过点P向y轴作垂线，垂足
记为点N，点M（3，4），则｜PM｜＋｜PN｜的最小值是 .
解析：由抛物线C：y2＝4x知，焦点F（1，0），准线方
程为x＝－1，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为Q，如
图，由抛物线定义知｜PN｜＋｜PM｜＝｜PQ｜－1
＋｜PM｜＝｜PF｜＋｜PM｜－1，当F，P，M三点共
线时，｜PM｜＋｜PN｜取得最小值，则最小值为｜
MF｜－1＝ －1＝2 －1.
2 －1
【反思感悟】
1. 在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲
线的定义，写出所求的轨迹方程.
2. 涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常用定义结合
解三角形的知识解决.
3. 与圆锥曲线有关的最值问题，常利用定义转化，结合几何图形，利用几
何意义去解决.
　　提醒：应用定义解题时注意圆锥曲线定义中的限制条件.
二、圆锥曲线的标准方程
求圆锥曲线方程的常用方法
（1）直接法：动点满足的几何条件本身就是几何量的等量关系，只需把
这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程；
（2）定义法：动点满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的
基本量；
（3）待定系数法：根据条件能确定曲线的类型，可设出方程形式，再根
据条件确定待定的系数.
【例2】（1）在平面直角坐标系中，经过点P（2 ，－ ）且离心率
为 的双曲线的标准方程为 　 － ＝1　；
解析：由e＝ ＝ ，得 ＝ ，当焦点在x轴时，设双曲线方程为 －
＝1（a＞0，b＞0），代入P（2 ，－ ），得 － ＝1，解得a2
＝7，b2＝14.当焦点在y轴时，设双曲线方程为 － ＝1（a＞0，b＞
0），代入P（2 ，－ ），得 － ＝1，无解.所以a2＝7，b2＝
14，即双曲线的标准方程为 － ＝1.
－ ＝1
（2）已知点P在椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）上，点F1，F2分别为椭
圆C的左、右焦点，满足PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为12，椭圆C的焦距
为8，则椭圆C的标准方程为 ；
解析：椭圆C的焦距为8，则｜F1F2｜＝2c＝8，由PF1⊥PF2，△PF1F2的
面积为12，得 ｜PF1｜·｜PF2｜＝12，即｜PF1｜·｜PF2｜＝24，又｜
PF1｜2＋｜PF2｜2＝ ＝64，所以（｜PF1｜＋｜PF2｜）2＝｜
PF1｜2＋｜PF2｜2＋2｜PF1｜｜PF2｜＝112，即4a2＝112，a2＝28，又c
＝4，则b2＝a2－c2＝12，则椭圆C的标准方程为 ＋ ＝1.
＋ ＝1
（3）已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为
C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上
一点，且PQ⊥OP. 若｜FQ｜＝6，则C的标准方程为 .
解析：法一　由题易得｜OF｜＝ ，｜PF｜＝p，∠OPF＝∠PQF，所
以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以 ＝ ，即 ＝ ，解得p＝3，
所以C的标准方程为y2＝6x.
y2＝6x
法二　由题易得｜OF｜＝ ，｜PF｜＝p，｜PF｜2＝｜OF｜·｜FQ｜，即p2＝ ×6，解得p＝3或p＝0（舍去），所以C的标准方程为y2＝6x.
【反思感悟】
求圆锥曲线方程的一般步骤
　一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定
量”的步骤：
（1）定形：指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置；
（2）定式：根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭
圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n
＞0，且m≠n）；双曲线方程常设为mx2－ny2＝1（mn＞0）；抛物线方
程常设为y2＝2ax或x2＝2ay（a≠0）；
（3）定量：由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解
方程得到量的大小.
三、圆锥曲线的几何性质（考教衔接）
圆锥曲线的几何性质主要包括范围、对称性、顶点、焦点、离心率、渐近
线等，通常考查由方程求性质，或由性质求方程.
【例3】（2024·新高考Ⅰ卷12题）设双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）
的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两
点，若｜F1A｜＝13，｜AB｜＝10，则C的离心率为 .

解析：由双曲线的对称性，不妨设点A为双曲线C与直线AB在第一象限的
交点.由题意知，｜AF2｜＝5，2a＝｜F1A｜－｜AF2｜＝8，所以a＝4，
易知AF2⊥F1F2，所以在Rt△AF2F1中，｜F1F2｜＝
＝ ＝12，即c＝6，所以双曲线C的离心率e＝ ＝ .
变式1　由双曲线定义求渐近线方程
设双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，
过F2作平行于y的直线交曲线C于A，B两点，若｜F1A｜＝13，｜AB｜
＝10，则双曲线C的渐近线方程为 .
y＝± x
解析：由双曲线的对称性，不妨设点A为双曲线C与直线AB在第一象限的
交点.由题意知，｜AF2｜＝5，2a＝｜F1A｜－｜AF2｜＝8，所以a＝4，
易知AF2⊥F1F2，所以在Rt△AF2F1中，｜F1F2｜＝
＝ ＝12，即c＝6，则b＝ ＝2 ，所以双曲线C的渐
近线方程为y＝± x.
变式2　双曲线与抛物线结合
已知双曲线C1： － ＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2.若抛物线C2：
x2＝2py（p＞0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的
方程为 .
解析：由e2＝1＋ ＝4得 ＝ ，则双曲线的渐近线方程为y＝± x，
即 x±y＝0，抛物线C2的焦点坐标为（0， ），则有 ＝2，解得p＝
8，故抛物线C2的方程为x2＝16y.
x2＝16y
变式3　求离心率的范围
已知双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F1，F2，在双曲
线上存在点P满足2｜ ＋ ｜≤｜ ｜，则此双曲线的离心率e的
取值范围是 .
[2，＋∞）
解析：当P不是双曲线与x轴的交点时，连接OP（图略），因为OP为
△PF1F2的边F1F2上的中线，所以 ＝ （ ＋ ）；当P是双曲线
与x轴的交点时，同样满足上述等式.因为双曲线上存在点P满足2｜
＋ ｜≤｜ ｜，所以4｜ ｜≤2c，由｜ ｜≥a，所以a≤｜
｜≤ ，所以a≤ ，所以e≥2.
【反思感悟】
1. 椭圆、双曲线的离心率（范围）的求法
求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，
b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求 的值.
2. 双曲线的渐近线的求法及用法
（1）求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得；
（2）用法：①可得 或 的值；②利用渐近线方程设所求双曲线的方程.
四、直线与圆锥曲线的位置关系
1. 直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的
方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y（或x）得到关于
变量x（或y）的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式.
2. 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是考查热点，常涉及焦半径、焦点
弦、一般弦长、中点弦以及面积问题，对于计算能力的要求较高.
【例4】　（1）（2025·济南月考）已知椭圆 ＋y2＝1上存在两点M，N
关于直线y＝－x＋t对称，且MN的中点在抛物线y2＝x上，则实数t的值
为 ；
0
解析：设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为E（x0，y0），则
由点差法可得（y2－y1）·（y2＋y1）＝－ （x2－x1）（x2
＋x1），即 · ＝－ ①，显然x1≠x2.又因为
②，将②代入①可得kMN· ＝－ ，由M，N两点关于直线y＝－x＋t对
称，可得kMN＝1，所以y0＝－ x0，又因为y0＝－x0＋t，所以x0＝2t，y0
＝－t，代入抛物线方程得（－t）2＝2t，解得t＝0或t＝2.当t＝2时，y
＝－x＋2与椭圆相离，不符合题意.
（2）已知椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）经过点（0， ），离心率为 ，
左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0）.
①求椭圆的方程；
②若直线l：y＝－ x＋m与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交
于C，D两点，且满足 ＝ ，求直线l的方程.
解：①由题设知 解得 ∴椭圆的方程为 ＋
＝1.
②由①知，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1，∴圆心到直线l的距离
d＝ ，
由d＜1得｜m｜＜ .
∴｜CD｜＝2 ＝2 ＝ .设A（x1，y1），B
（x2，y2），
由 得x2－mx＋m2－3＝0，Δ＝m2－4（m2－3）＝12－
3m2＞0.
由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3.
∴｜AB｜＝ ＝ .由
＝ ，得 ＝1，解得m＝± ，经检验满足｜m｜＜ 且12－
3m2＞0.
∴直线l的方程为y＝－ x＋ 或y＝－ x－ .
【反思感悟】
1. 直线与圆锥曲线位置关系的判定方法
（1）判定直线与圆锥曲线的位置关系，一般用代数法；
（2）对于过定点的直线，可通过定点与曲线的位置关系进行判断.
2. 求圆锥曲线中弦长的常用方法
（1）“设而不求法”，利用弦长公式 ·｜x1－x2｜＝
· 或 ·｜y1－y2｜＝
· （k≠0）求弦长；
（2）特别地，圆中求弦长用垂径定理，抛物线y2＝2px（p＞0）求焦点弦
弦长可用抛物线的焦点弦弦长公式｜AB｜＝x1＋x2＋p.
3. 用“点差法”求解中点弦问题的解题步骤
五、圆锥曲线的综合问题
圆锥曲线的综合问题包括位置关系的证明及定点、定值、最值、探索性问
题，解决的基本思路是利用代数法，通过直线与圆锥曲线的方程求解.
【例5】　如图，过抛物线E：y2＝2px（p＞0）焦点F的直线l交抛物线
于点A，B，｜AB｜的最小值为4，直线x＝－4分别交直线AO，BO于点
C，D（O为原点）.
（1）求抛物线E的方程；
解：当直线AB斜率不存在时，此时A ，B（ ，－p），∴｜
AB｜＝2p，
当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k ，
联立抛物线方程得k2x2－（k2p＋2p）x＋ ＝0，Δ＝（k2p＋2p）2－
k4p2＝4p2（k2＋1）＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），x1＋x2＝ ＝ ＋p，
此时｜AB｜＝x1＋x2＋p＝ ＋2p＞2p，显然当直线AB斜率不存在
时，｜AB｜的值最小，
即2p＝4，解得p＝2，∴抛物线E的方程为y2＝4x.
（2）圆M过点C，D，交x轴于点G（t，0），H（m，0），证明：若t
为定值时，m也为定值.并求t＝－8时，△ABH面积S的最小值.
解：证明：设A（ ，y1），B（ ，y2），C（－4，y3），D（－4，
y4），则OA：y＝ x，OB：y＝ x，
由（1）知，x1x2＝ ，∴y1y2＝－p2＝－4，∴y3＝ ，y4＝ ＝ ＝
4y1，
设圆心M（x0，y0），则y0＝ ＝2y1－ .若G（t，0）（t为定
值），H（m，0），则x0＝ .
由｜MD｜＝｜MG｜，得（x0＋4）2＋（y0－y4）2＝（x0－t）2＋ ，
∴4t＋4m＋80＝－tm，∴m＝ 也为定值.∴H也为定点.
若t＝－8，则m＝12，S＝ ｜FH｜｜y1－y2｜＝ ｜y1－y2｜＝ ≥ ×4＝22，
当且仅当y1＝±2时取到最小值.故△ABH面积S的最小值为22.
【反思感悟】
1. 解决最值问题常见的题型，可用建立目标函数的方法求解.
2. 圆锥曲线的综合问题可以从分析问题的数量关系入手，利用直线系或曲
线系方程或函数方程思想，通过联想与类比，使问题获解.
THANKS
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