《创新课堂》3.1.1第一课时 椭圆及其标准方程（一） 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测
文档属性
| 名称 | 《创新课堂》3.1.1第一课时 椭圆及其标准方程（一） 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-07 00:00:00 | ||
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文档简介
(共60张PPT)
第一课时 椭圆及其标准方程（一）
1. 理解并掌握椭圆的定义（数学抽象）.
2. 掌握椭圆的标准方程的推导（逻辑推理）.
3. 会求椭圆的标准方程（数学运算）.
课标要求
情境导入
在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的现象，如图1、图2.
我们还知道，圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆上的点的
特征是任意一点到圆心的距离都等于半径.那么椭圆又有着怎样的几何特
征呢？它是否与圆一样有自己的定义、方程？
知识点一 椭圆的定义
01
知识点二 椭圆的标准方程
02
提能点 椭圆的定义与标准方程的简单应用
03
课时作业
04
目录
01
PART
知识点一
椭圆的定义
问题1 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅
笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆.如果
把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2（如图），
套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程
中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？
提示：椭圆；笔尖到两个定点的距离的和等于常数.
【知识梳理】
1. 定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的 等于 （大
于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆.
2. 焦点：两个定点F1，F2.
3. 焦距：两焦点间的距离｜F1F2｜.
4. 符号表示：｜MF1｜＋｜MF2｜＝ （常数）且2a ｜
F1F2｜.
提醒：（1）当2a＝｜F1F2｜时，点的轨迹是线段F1F2；（2）当2a
＜｜F1F2｜时，点的轨迹不存在.
和
常数
2a
＞
【例1】下列说法正确的是（ ）
A. 已知点F1（－4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和
等于8的点的轨迹是椭圆
B. 已知点F1（－4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和
等于6的点的轨迹是椭圆
C. 平面内到点F1（－4，0），F2（4，0）的距离之和等于点M（5，3）
到点F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D. 平面内到点F1（－4，0），F2（4，0）的距离相等的点的轨迹是椭圆
√
解析： 选项A中，｜F1F2｜＝8，故平面内到F1，F2两点的距离之和等
于常数8的点的轨迹是线段F1F2；选项B中，动点到F1，F2两点的距离之和
等于6，小于｜F1F2｜，故这样的轨迹不存在；选项C中，点（5，3）到点
F1，F2的距离之和为 ＋ ＝4 ＞｜
F1F2｜＝8，故选项C中的动点的轨迹是椭圆；选项D中的动点的轨迹是线
段F1F2的垂直平分线.
【规律方法】
椭圆的定义具有双向作用，即若｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a（2a＞｜
F1F2｜），则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距
离之和必为2a.
训练1 甲：动点P到两定点A，B的距离之和｜PA｜＋｜PB｜＝2a（a
＞0，a为常数）；乙：P点轨迹是椭圆.则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析： 利用椭圆定义，若P点轨迹是椭圆，则｜PA｜＋｜PB｜＝2a
（a＞0，a为常数），∴甲是乙的必要条件.反过来，若｜PA｜＋｜PB｜
＝2a（a＞0，a为常数），不能推出P点轨迹是椭圆，故选B.
√
02
PART
知识点二
椭圆的标准方程
问题2 （1）如图1，观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所
得的椭圆方程形式简单？
提示：观察图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它
的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的
垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，得到的椭圆方程最简单.
（2）类比圆的标准方程推导过程，你能利用椭圆定义推导出椭圆的标准
方程吗？
提示：根据椭圆的定义，
设焦点F1，F2的坐标分别为（－c，0），（c，0），点M
（x，y）是椭圆上任意一点，点M与焦点F1，F2的距离的和
等于2a.即｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a，
因为｜MF1｜＝ ，
｜MF2｜＝ ，
所以 ＋ ＝2a.
即
＝2a－ .
两边平方，得（x＋c）2＋y2＝4a2－4a ＋（x－c）2＋
y2，
整理得a2－cx＝a ，
对方程再两边平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，整理
得（a2－c2）x2＋a2y2＝a2（a2－c2），
将方程两边同除以a2（a2－c2），得 ＋ ＝1，由椭圆定义可知2a＞
2c＞0，即a＞c＞0，所以a2－c2＞0，令b＝ ，
那么方程就是 ＋ ＝1（a＞b＞0）.
（3）如图2，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是（0，－
c），（0，c），a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
提示： ＋ ＝1（a＞b＞0）.
【知识梳理】
椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋ ＝1（a＞b＞0） ＋ ＝1（a＞b＞0）
图形
焦点在x轴上 焦点在y轴上
焦点坐标 F1（－c，0），
F2 F1 ，F2（0，c）
焦距 ｜F1F2｜＝ a，b，c的
关系 c2＝ （c，0）
（0，－c）
2c
a2－b2
提醒：（1）x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上；（2）在椭
圆的标准方程中不一定有a＞b＞c成立，只需a＞b，a＞c即可，b，c
的大小关系不确定.
【例2】（链接教材P107例1）求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别为F1（－3，0），F2（3，0），且椭圆上一点
M与两焦点的距离和等于10；
解：因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝3，2a＝10，
所以a＝5，b＝ ＝ ＝4，所以椭圆的标准方程为 ＋
＝1.
（2）两个焦点的坐标分别为F1（0，－2），F2（0，2），且椭圆经过点
（4，3 ）；
解：因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为 ＋ ＝1（a＞b
＞0）.
法一 由椭圆的定义知2a＝ ＋
＝6＋ ＋6－ ＝12，解得a＝6.又c＝
2，所以b＝ ＝4 .
所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
法二 因为所求椭圆过点（4，3 ），代入方程得 ＋ ＝1.又c2＝a2
－b2＝4，
联立 解得 所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
（3）经过点A（ ，－2）和点B（－2 ，1）.
解：法一 ①当椭圆的焦点在x轴上时，设它的标准方程为 ＋ ＝1（a
＞b＞0）.
依题意有 解得 故所求椭圆的标准方程
为 ＋ ＝1.
②当椭圆的焦点在y轴上时，设它的标准方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0）.
依题意有 解得 不满足a＞b＞0，故方
程不存在.
综上所述，所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
法二 设所求椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），
依题意有 解得 故所求椭圆的标准方程为 ＋
＝1.
【规律方法】
求椭圆标准方程的方法
（1）定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出方程；
（2）待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确
定待定系数即可，即“先定位，后定量”.
提醒：在求椭圆的标准方程时，若焦点的位置不确定，一般可设所求
椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），不必考虑焦点位
置，用待定系数法求出m，n的值即可.
训练2 （1）已知点A（－3，0），B（0，2）在椭圆 ＋ ＝1上，则
椭圆的标准方程为（ ）
A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1
C. ＋y2＝1 D. ＋ ＝1
√
解析：由题意得 解得 所以椭圆的标准方程为
＋ ＝1.
（2）求满足过点（ ，－ ），且与椭圆 ＋ ＝1有相同焦点的椭圆
的标准方程.
解：因为所求椭圆与椭圆 ＋ ＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，
且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0）.
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16. ①
又点（ ，－ ）在椭圆上，所以 ＋ ＝1，
即 ＋ ＝1. ②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
03
PART
提能点
椭圆的定义与标准方程的简单应用
【例3】（1）已知椭圆 ＋ ＝1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，
到另一个焦点的距离为7，则m＝（ D ）
A. 5 B. 10 C. 15 D. 25
解析：由题意得3＋7＝2 ，解得m＝25.故选D.
D
解析：由题意知 解得5＜k＜7且k≠6，所以实数k的取值
范围是（5，6）∪（6，7）.
（2）若方程 ＋ ＝1表示椭圆，则实数k的取值范围为（ D ）
A. （5，6） B. （5，7）
C. （6，7） D. （5，6）∪（6，7）
D
变式 若本例（2）条件变为“若方程 ＋ ＝1表示焦点在x轴上的椭
圆”，则实数k的取值范围为 .
解析：由题意知 解得5＜k＜6.
（5，6）
【规律方法】
由方程表示椭圆确定参数值（范围）时，要根据焦点所在的坐标轴来确
定两个分母的大小；若给出椭圆方程为Ax2＋By2＝C，则应首先将其转化
为椭圆的标准方程的形式 ＋ ＝1，再研究其焦点的位置等情况.
训练3 （1）〔多选〕设P是椭圆 ＋ ＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦
点，若△PF1F2是等腰三角形，则｜PF2｜的值可能为（ ABC ）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
ABC
解析：由椭圆 ＋ ＝1知，F1（－3，0），F2（3，0），
｜F1F2｜＝6.①若｜PF1｜＝｜PF2｜，点P是椭圆与y轴
的交点，故｜PF2｜＝a＝5.②若｜PF1｜＝｜F1F2｜＝6，由｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝10知，｜PF2｜＝4.③若｜PF2｜＝｜F1F2｜＝6，则｜PF2｜＝6.所以｜PF2｜∈{4，5，6}.故选A、B、C.
（2）（2025·济源质检）已知椭圆方程为kx2＋3y2－6k＝0（k≠0），焦
距为4，则k＝ .
解析：将方程kx2＋3y2－6k＝0化为 ＋ ＝1.∵焦距为4，∴2c＝4，即
c＝2.当焦点在x轴上时，6－2k＝4，解得k＝1；当焦点在y轴上时，2k
－6＝4，解得k＝5.综上，k＝1或5.
1或5
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）已知点F1（－1，0），F2（1，0），动点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜
＝4，则点P的轨迹是椭圆. （ √ ）
（2）已知点F1（－1，0），F2（1，0），动点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜
＝2，则点P的轨迹是椭圆. （ × ）
（3）椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.
（ √ ）
（4）方程 ＋ ＝1（a＞0，b＞0）表示的曲线是椭圆. （ × ）
√
×
√
×
2. 已知椭圆 ＋ ＝1过点（2， ），则其焦距为 .
解析：将点（2， ）代入椭圆方程得 ＋ ＝1，解得b2＝12，则c2＝12
－8＝4，c＝2，所以焦距为2c＝4.
3. 如果x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围
是 .
解析：椭圆的方程x2＋ky2＝2可化为 ＋ ＝1，∵x2＋ky2＝2表示焦点在
y轴上的椭圆，∴ ＞2，解得0＜k＜1.∴实数k的取值范围是（0，1）.
4
（0，1）
4. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）a＋c＝10，a－c＝4；
解：由a＋c＝10，a－c＝4，得a＝7，c＝3，所以b2＝a2－c2＝40.
故所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1或 ＋ ＝1.
（2）与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足b＝2 .
解：由9x2＋4y2＝36可得 ＋ ＝1，
所以所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝9－4＝5，又b＝2 ，所以b2＝
20，a2＝25，
所以所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
课堂小结
1.理清单
（1）椭圆的定义及其应用；
（2）椭圆的标准方程的求解及判别.
2.应体会
（1）当椭圆焦点位置不确定时，要注意分类讨论思想的应用；
（2）求椭圆的标准方程时体现了函数与方程思想.
3.避易错
（1）椭圆定义中a，b，c的关系易记错记混；
（2）焦点在x轴、y轴上的椭圆标准方程易混淆.
04
PART
课时作业
1. 椭圆 ＋ ＝1上任意一点到两焦点的距离之和为（ ）
A. 2 B. 8
C. 2 D. 4
解析： 因为a2＝16，所以椭圆 ＋ ＝1上任意一点到两焦点的距离之
和为2a＝8.故选B.
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√
2. 椭圆4y2＋x2＝1的焦距为（ ）
A. B.
C. 2 D.
解析： 由椭圆的方程4y2＋x2＝1，得a2＝1，b2＝ .又由c2＝a2－b2，
得c2＝ ，解得c＝ ，所以焦距2c＝ .故选B.
√
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3. 已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是（0，1），则实数k＝（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析：椭圆方程可化为x2＋ ＝1，由题意知 解得k＝2.
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4. 中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点（4，0），（0，2）的椭圆的
标准方程为（ ）
A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1
解析：法一 验证排除，将点（4，0）代入验证可排除A、B、C；故选D.
√
法二 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），则
解得 故选D.
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5. 已知点F是椭圆 ＋ ＝1的一个焦点，点P在椭圆上，线段PF的中点
为N，且｜ON｜＝2（O为坐标原点），则线段PF的长为（ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 2
解析： 设椭圆的另一个焦点为F'，连接PF'（图略），则ON PF'，
所以PF'＝4，又PF'＋PF＝6，所以PF＝2.
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6. 〔多选〕对于曲线C： ＋ ＝1，下面四个说法中正确的是（ ）
A. 曲线C不可能是椭圆
B. “1＜k＜4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件
C. “曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件
D. “曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1＜k＜2.5”的充要条件
√
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解析：当1＜k＜4且k≠2.5时，曲线C是椭圆，所以A错误；当k＝2.5时，4－k＝k－1，此时曲线C是圆，所以B错误；若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则 解得2.5＜k＜4，所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件，所以C正确；若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 解得1＜k＜2.5，所以D正确.故选C、D.
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7. 〔多选〕（2025·周口月考）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，点M在
椭圆C上，且△F1MF2是等边三角形，则椭圆C的方程可能为（ ）
A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1
√
√
√
解析：因为△F1MF2是等边三角形，所以｜MF1｜＝｜MF2｜，所以点M在坐标轴上，∠MF1F2＝60°，所以 ＝ sin 60°，则 ＝ ，椭圆C的焦点可以在x轴或y轴上， ＋ ＝1， ＋ ＝1， ＋ ＝1满足条件.故选A、C、D.
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8. 已知F1，F2是椭圆C： ＋ ＝1的两个焦点，点M在C上，则｜
MF1｜·｜MF2｜的最大值为 .
解析：由椭圆C： ＋ ＝1，得｜MF1｜＋｜MF2｜＝2×3＝6，则｜
MF1｜·｜MF2｜≤（ ）2＝32＝9，当且仅当｜MF1｜
＝｜MF2｜＝3时等号成立.
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9. 已知椭圆的方程为 ＋ ＝1（m＞0），并且焦距为6，则实数m的值
为 .
解析：∵2c＝6，∴c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的方程知a2＝
25，b2＝m2.由a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m＞0，故m＝
4.当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的方程知a2＝m2，b2＝25.由a2＝b2＋
c2，得m2＝25＋9＝34，又m＞0，故m＝ .综上可知，实数m的值为4
或 .
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10. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在x轴上，中心为坐标原点，经过点（1， ），（0，－ ）；
解：设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0），
由题意有 解得
故椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
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（2）以点F1（－1，0），F2（1，0）为焦点，经过点P（2， ）；
解：设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（m＞n＞0），焦距为2c0.由
题意知c0＝1，｜PF1｜＝ ＝ ，｜PF2｜＝ ＝ ，
有m＝ ＝ ＝ ，n＝ ＝2，
故椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
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（3）过P（ ，－4）和Q（－ ，3）两点.
解：设经过点P（ ，－4）和点Q（－ ，3）的椭圆的方程为px2＋
qy2＝1（p＞0，q＞0，p≠q），将P，Q两点的坐标代入得，
解得 所以所求椭圆的标准方程为 ＋x2＝1.
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11. （2025·开封月考）椭圆 ＋ ＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，
如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为（ ）
A. ± B. ± C. ± D. ±
解析： ∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点（F2为椭圆
的另一个焦点），∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3，∵点P在椭圆
上，∴ ＋ ＝1，即y2＝ ，∴y＝± .∴点M的纵坐标为± .
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12. （2025·泰安质检）在平面直角坐标系Oxy中，已知△ABC的顶点A
（－3，0）和C（3，0），顶点B在椭圆 ＋ ＝1上，则 ＝
（ ）
A. B. C. D. 1
解析： 由椭圆的方程得a＝5，b＝4，c＝3.∵△ABC的顶点A（－3，
0）和C（3，0），顶点B在椭圆 ＋ ＝1上，∴｜BC｜＋｜AB｜＝2a
＝10，∴由正弦定理可知 ＝ ＝ ＝ .
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13. 已知椭圆C： ＋ ＝1（m＞4）的右焦点为F，点A（－2，2）
为椭圆C内一点.若椭圆C上存在一点P，使得｜PA｜＋｜PF｜＝8，则
实数m的取值范围是 .
解析：由题知椭圆C的右焦点为F（2，0），设左焦点为F'（－2，0），
由椭圆的定义可得2 ＝｜PF｜＋｜PF'｜，即｜PF'｜＝2 －｜
PF｜，可得｜PA｜－｜PF'｜＝8－2 .由｜｜PA｜－｜PF'｜｜≤｜
AF'｜＝2可得－2≤8－2 ≤2，解得3≤ ≤5，所以9≤m≤25.又因
为点A在椭圆C内，所以 ＋ ＜1，所以8m－16＜m（m－4），解得
m＜6－2 或m＞6＋2 .综上，实数m的取值范围是（6＋2 ，25].
（6＋2 ，25]
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14. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）过点A（3，2）且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同的焦点；
解：椭圆方程3x2＋8y2＝24可化为 ＋ ＝1，可得c＝ ，其焦点
为（± ，0），
设所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0），将点A（3，2）的坐
标代入椭圆方程，
可得 ＋ ＝1，结合a2－b2＝5，解得a＝ ，b＝ ，
故所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
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（2）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，
1），P3（－1， ），P4（1， ）中恰有三点在椭圆C上.
解：由题意，因为P3，P4两点关于y轴对称，所以椭圆C经过P3，P4两点，
又由P1（1，1），P4（1， ）知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上，因此 解得 所以椭圆C的标准方程为 ＋y2＝1.
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15. 某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究
发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8
海里处发现过鱼群，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建
立平面直角坐标系，如图所示.
（1）求曲线C的标准方程；
解：由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a＝8的椭
圆，又2c＝4，则c＝2，a＝4，故b＝2 ，
∴曲线C的标准方程为 ＋ ＝1.
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（2）某日，研究人员在A，B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置（即点P的坐标）？
解：由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，因此鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群距A，B两岛的距离分别为5海里和3海里，设P（x，y），B（2，0），由｜PB｜＝3，得 ＝3，
∴ 解得 或
∴点P的坐标为（2，3）或（2，－3）.
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演示完毕 感谢观看
第一课时 椭圆及其标准方程（一）
1. 理解并掌握椭圆的定义（数学抽象）.
2. 掌握椭圆的标准方程的推导（逻辑推理）.
3. 会求椭圆的标准方程（数学运算）.
课标要求
情境导入
在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的现象，如图1、图2.
我们还知道，圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆上的点的
特征是任意一点到圆心的距离都等于半径.那么椭圆又有着怎样的几何特
征呢？它是否与圆一样有自己的定义、方程？
知识点一 椭圆的定义
01
知识点二 椭圆的标准方程
02
提能点 椭圆的定义与标准方程的简单应用
03
课时作业
04
目录
01
PART
知识点一
椭圆的定义
问题1 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅
笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆.如果
把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2（如图），
套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程
中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？
提示：椭圆；笔尖到两个定点的距离的和等于常数.
【知识梳理】
1. 定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的 等于 （大
于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆.
2. 焦点：两个定点F1，F2.
3. 焦距：两焦点间的距离｜F1F2｜.
4. 符号表示：｜MF1｜＋｜MF2｜＝ （常数）且2a ｜
F1F2｜.
提醒：（1）当2a＝｜F1F2｜时，点的轨迹是线段F1F2；（2）当2a
＜｜F1F2｜时，点的轨迹不存在.
和
常数
2a
＞
【例1】下列说法正确的是（ ）
A. 已知点F1（－4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和
等于8的点的轨迹是椭圆
B. 已知点F1（－4，0），F2（4，0），平面内到F1，F2两点的距离之和
等于6的点的轨迹是椭圆
C. 平面内到点F1（－4，0），F2（4，0）的距离之和等于点M（5，3）
到点F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆
D. 平面内到点F1（－4，0），F2（4，0）的距离相等的点的轨迹是椭圆
√
解析： 选项A中，｜F1F2｜＝8，故平面内到F1，F2两点的距离之和等
于常数8的点的轨迹是线段F1F2；选项B中，动点到F1，F2两点的距离之和
等于6，小于｜F1F2｜，故这样的轨迹不存在；选项C中，点（5，3）到点
F1，F2的距离之和为 ＋ ＝4 ＞｜
F1F2｜＝8，故选项C中的动点的轨迹是椭圆；选项D中的动点的轨迹是线
段F1F2的垂直平分线.
【规律方法】
椭圆的定义具有双向作用，即若｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a（2a＞｜
F1F2｜），则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距
离之和必为2a.
训练1 甲：动点P到两定点A，B的距离之和｜PA｜＋｜PB｜＝2a（a
＞0，a为常数）；乙：P点轨迹是椭圆.则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析： 利用椭圆定义，若P点轨迹是椭圆，则｜PA｜＋｜PB｜＝2a
（a＞0，a为常数），∴甲是乙的必要条件.反过来，若｜PA｜＋｜PB｜
＝2a（a＞0，a为常数），不能推出P点轨迹是椭圆，故选B.
√
02
PART
知识点二
椭圆的标准方程
问题2 （1）如图1，观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所
得的椭圆方程形式简单？
提示：观察图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它
的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的
垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，得到的椭圆方程最简单.
（2）类比圆的标准方程推导过程，你能利用椭圆定义推导出椭圆的标准
方程吗？
提示：根据椭圆的定义，
设焦点F1，F2的坐标分别为（－c，0），（c，0），点M
（x，y）是椭圆上任意一点，点M与焦点F1，F2的距离的和
等于2a.即｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a，
因为｜MF1｜＝ ，
｜MF2｜＝ ，
所以 ＋ ＝2a.
即
＝2a－ .
两边平方，得（x＋c）2＋y2＝4a2－4a ＋（x－c）2＋
y2，
整理得a2－cx＝a ，
对方程再两边平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，整理
得（a2－c2）x2＋a2y2＝a2（a2－c2），
将方程两边同除以a2（a2－c2），得 ＋ ＝1，由椭圆定义可知2a＞
2c＞0，即a＞c＞0，所以a2－c2＞0，令b＝ ，
那么方程就是 ＋ ＝1（a＞b＞0）.
（3）如图2，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是（0，－
c），（0，c），a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
提示： ＋ ＝1（a＞b＞0）.
【知识梳理】
椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋ ＝1（a＞b＞0） ＋ ＝1（a＞b＞0）
图形
焦点在x轴上 焦点在y轴上
焦点坐标 F1（－c，0），
F2 F1 ，F2（0，c）
焦距 ｜F1F2｜＝ a，b，c的
关系 c2＝ （c，0）
（0，－c）
2c
a2－b2
提醒：（1）x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上；（2）在椭
圆的标准方程中不一定有a＞b＞c成立，只需a＞b，a＞c即可，b，c
的大小关系不确定.
【例2】（链接教材P107例1）求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别为F1（－3，0），F2（3，0），且椭圆上一点
M与两焦点的距离和等于10；
解：因为椭圆的焦点在x轴上，且c＝3，2a＝10，
所以a＝5，b＝ ＝ ＝4，所以椭圆的标准方程为 ＋
＝1.
（2）两个焦点的坐标分别为F1（0，－2），F2（0，2），且椭圆经过点
（4，3 ）；
解：因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为 ＋ ＝1（a＞b
＞0）.
法一 由椭圆的定义知2a＝ ＋
＝6＋ ＋6－ ＝12，解得a＝6.又c＝
2，所以b＝ ＝4 .
所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
法二 因为所求椭圆过点（4，3 ），代入方程得 ＋ ＝1.又c2＝a2
－b2＝4，
联立 解得 所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
（3）经过点A（ ，－2）和点B（－2 ，1）.
解：法一 ①当椭圆的焦点在x轴上时，设它的标准方程为 ＋ ＝1（a
＞b＞0）.
依题意有 解得 故所求椭圆的标准方程
为 ＋ ＝1.
②当椭圆的焦点在y轴上时，设它的标准方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0）.
依题意有 解得 不满足a＞b＞0，故方
程不存在.
综上所述，所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
法二 设所求椭圆的标准方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），
依题意有 解得 故所求椭圆的标准方程为 ＋
＝1.
【规律方法】
求椭圆标准方程的方法
（1）定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出方程；
（2）待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确
定待定系数即可，即“先定位，后定量”.
提醒：在求椭圆的标准方程时，若焦点的位置不确定，一般可设所求
椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），不必考虑焦点位
置，用待定系数法求出m，n的值即可.
训练2 （1）已知点A（－3，0），B（0，2）在椭圆 ＋ ＝1上，则
椭圆的标准方程为（ ）
A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1
C. ＋y2＝1 D. ＋ ＝1
√
解析：由题意得 解得 所以椭圆的标准方程为
＋ ＝1.
（2）求满足过点（ ，－ ），且与椭圆 ＋ ＝1有相同焦点的椭圆
的标准方程.
解：因为所求椭圆与椭圆 ＋ ＝1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，
且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0）.
因为c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16. ①
又点（ ，－ ）在椭圆上，所以 ＋ ＝1，
即 ＋ ＝1. ②
由①②得b2＝4，a2＝20，所以所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
03
PART
提能点
椭圆的定义与标准方程的简单应用
【例3】（1）已知椭圆 ＋ ＝1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，
到另一个焦点的距离为7，则m＝（ D ）
A. 5 B. 10 C. 15 D. 25
解析：由题意得3＋7＝2 ，解得m＝25.故选D.
D
解析：由题意知 解得5＜k＜7且k≠6，所以实数k的取值
范围是（5，6）∪（6，7）.
（2）若方程 ＋ ＝1表示椭圆，则实数k的取值范围为（ D ）
A. （5，6） B. （5，7）
C. （6，7） D. （5，6）∪（6，7）
D
变式 若本例（2）条件变为“若方程 ＋ ＝1表示焦点在x轴上的椭
圆”，则实数k的取值范围为 .
解析：由题意知 解得5＜k＜6.
（5，6）
【规律方法】
由方程表示椭圆确定参数值（范围）时，要根据焦点所在的坐标轴来确
定两个分母的大小；若给出椭圆方程为Ax2＋By2＝C，则应首先将其转化
为椭圆的标准方程的形式 ＋ ＝1，再研究其焦点的位置等情况.
训练3 （1）〔多选〕设P是椭圆 ＋ ＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦
点，若△PF1F2是等腰三角形，则｜PF2｜的值可能为（ ABC ）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
ABC
解析：由椭圆 ＋ ＝1知，F1（－3，0），F2（3，0），
｜F1F2｜＝6.①若｜PF1｜＝｜PF2｜，点P是椭圆与y轴
的交点，故｜PF2｜＝a＝5.②若｜PF1｜＝｜F1F2｜＝6，由｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝10知，｜PF2｜＝4.③若｜PF2｜＝｜F1F2｜＝6，则｜PF2｜＝6.所以｜PF2｜∈{4，5，6}.故选A、B、C.
（2）（2025·济源质检）已知椭圆方程为kx2＋3y2－6k＝0（k≠0），焦
距为4，则k＝ .
解析：将方程kx2＋3y2－6k＝0化为 ＋ ＝1.∵焦距为4，∴2c＝4，即
c＝2.当焦点在x轴上时，6－2k＝4，解得k＝1；当焦点在y轴上时，2k
－6＝4，解得k＝5.综上，k＝1或5.
1或5
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）已知点F1（－1，0），F2（1，0），动点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜
＝4，则点P的轨迹是椭圆. （ √ ）
（2）已知点F1（－1，0），F2（1，0），动点P满足｜PF1｜＋｜PF2｜
＝2，则点P的轨迹是椭圆. （ × ）
（3）椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.
（ √ ）
（4）方程 ＋ ＝1（a＞0，b＞0）表示的曲线是椭圆. （ × ）
√
×
√
×
2. 已知椭圆 ＋ ＝1过点（2， ），则其焦距为 .
解析：将点（2， ）代入椭圆方程得 ＋ ＝1，解得b2＝12，则c2＝12
－8＝4，c＝2，所以焦距为2c＝4.
3. 如果x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围
是 .
解析：椭圆的方程x2＋ky2＝2可化为 ＋ ＝1，∵x2＋ky2＝2表示焦点在
y轴上的椭圆，∴ ＞2，解得0＜k＜1.∴实数k的取值范围是（0，1）.
4
（0，1）
4. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）a＋c＝10，a－c＝4；
解：由a＋c＝10，a－c＝4，得a＝7，c＝3，所以b2＝a2－c2＝40.
故所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1或 ＋ ＝1.
（2）与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足b＝2 .
解：由9x2＋4y2＝36可得 ＋ ＝1，
所以所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝9－4＝5，又b＝2 ，所以b2＝
20，a2＝25，
所以所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
课堂小结
1.理清单
（1）椭圆的定义及其应用；
（2）椭圆的标准方程的求解及判别.
2.应体会
（1）当椭圆焦点位置不确定时，要注意分类讨论思想的应用；
（2）求椭圆的标准方程时体现了函数与方程思想.
3.避易错
（1）椭圆定义中a，b，c的关系易记错记混；
（2）焦点在x轴、y轴上的椭圆标准方程易混淆.
04
PART
课时作业
1. 椭圆 ＋ ＝1上任意一点到两焦点的距离之和为（ ）
A. 2 B. 8
C. 2 D. 4
解析： 因为a2＝16，所以椭圆 ＋ ＝1上任意一点到两焦点的距离之
和为2a＝8.故选B.
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√
2. 椭圆4y2＋x2＝1的焦距为（ ）
A. B.
C. 2 D.
解析： 由椭圆的方程4y2＋x2＝1，得a2＝1，b2＝ .又由c2＝a2－b2，
得c2＝ ，解得c＝ ，所以焦距2c＝ .故选B.
√
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3. 已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是（0，1），则实数k＝（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析：椭圆方程可化为x2＋ ＝1，由题意知 解得k＝2.
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4. 中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点（4，0），（0，2）的椭圆的
标准方程为（ ）
A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1
解析：法一 验证排除，将点（4，0）代入验证可排除A、B、C；故选D.
√
法二 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），则
解得 故选D.
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5. 已知点F是椭圆 ＋ ＝1的一个焦点，点P在椭圆上，线段PF的中点
为N，且｜ON｜＝2（O为坐标原点），则线段PF的长为（ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 2
解析： 设椭圆的另一个焦点为F'，连接PF'（图略），则ON PF'，
所以PF'＝4，又PF'＋PF＝6，所以PF＝2.
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6. 〔多选〕对于曲线C： ＋ ＝1，下面四个说法中正确的是（ ）
A. 曲线C不可能是椭圆
B. “1＜k＜4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件
C. “曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件
D. “曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1＜k＜2.5”的充要条件
√
√
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解析：当1＜k＜4且k≠2.5时，曲线C是椭圆，所以A错误；当k＝2.5时，4－k＝k－1，此时曲线C是圆，所以B错误；若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则 解得2.5＜k＜4，所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件，所以C正确；若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 解得1＜k＜2.5，所以D正确.故选C、D.
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7. 〔多选〕（2025·周口月考）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，点M在
椭圆C上，且△F1MF2是等边三角形，则椭圆C的方程可能为（ ）
A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1
√
√
√
解析：因为△F1MF2是等边三角形，所以｜MF1｜＝｜MF2｜，所以点M在坐标轴上，∠MF1F2＝60°，所以 ＝ sin 60°，则 ＝ ，椭圆C的焦点可以在x轴或y轴上， ＋ ＝1， ＋ ＝1， ＋ ＝1满足条件.故选A、C、D.
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8. 已知F1，F2是椭圆C： ＋ ＝1的两个焦点，点M在C上，则｜
MF1｜·｜MF2｜的最大值为 .
解析：由椭圆C： ＋ ＝1，得｜MF1｜＋｜MF2｜＝2×3＝6，则｜
MF1｜·｜MF2｜≤（ ）2＝32＝9，当且仅当｜MF1｜
＝｜MF2｜＝3时等号成立.
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9. 已知椭圆的方程为 ＋ ＝1（m＞0），并且焦距为6，则实数m的值
为 .
解析：∵2c＝6，∴c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的方程知a2＝
25，b2＝m2.由a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m＞0，故m＝
4.当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的方程知a2＝m2，b2＝25.由a2＝b2＋
c2，得m2＝25＋9＝34，又m＞0，故m＝ .综上可知，实数m的值为4
或 .
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10. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在x轴上，中心为坐标原点，经过点（1， ），（0，－ ）；
解：设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0），
由题意有 解得
故椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
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（2）以点F1（－1，0），F2（1，0）为焦点，经过点P（2， ）；
解：设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（m＞n＞0），焦距为2c0.由
题意知c0＝1，｜PF1｜＝ ＝ ，｜PF2｜＝ ＝ ，
有m＝ ＝ ＝ ，n＝ ＝2，
故椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
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（3）过P（ ，－4）和Q（－ ，3）两点.
解：设经过点P（ ，－4）和点Q（－ ，3）的椭圆的方程为px2＋
qy2＝1（p＞0，q＞0，p≠q），将P，Q两点的坐标代入得，
解得 所以所求椭圆的标准方程为 ＋x2＝1.
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11. （2025·开封月考）椭圆 ＋ ＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，
如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为（ ）
A. ± B. ± C. ± D. ±
解析： ∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点（F2为椭圆
的另一个焦点），∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3，∵点P在椭圆
上，∴ ＋ ＝1，即y2＝ ，∴y＝± .∴点M的纵坐标为± .
√
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12. （2025·泰安质检）在平面直角坐标系Oxy中，已知△ABC的顶点A
（－3，0）和C（3，0），顶点B在椭圆 ＋ ＝1上，则 ＝
（ ）
A. B. C. D. 1
解析： 由椭圆的方程得a＝5，b＝4，c＝3.∵△ABC的顶点A（－3，
0）和C（3，0），顶点B在椭圆 ＋ ＝1上，∴｜BC｜＋｜AB｜＝2a
＝10，∴由正弦定理可知 ＝ ＝ ＝ .
√
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13. 已知椭圆C： ＋ ＝1（m＞4）的右焦点为F，点A（－2，2）
为椭圆C内一点.若椭圆C上存在一点P，使得｜PA｜＋｜PF｜＝8，则
实数m的取值范围是 .
解析：由题知椭圆C的右焦点为F（2，0），设左焦点为F'（－2，0），
由椭圆的定义可得2 ＝｜PF｜＋｜PF'｜，即｜PF'｜＝2 －｜
PF｜，可得｜PA｜－｜PF'｜＝8－2 .由｜｜PA｜－｜PF'｜｜≤｜
AF'｜＝2可得－2≤8－2 ≤2，解得3≤ ≤5，所以9≤m≤25.又因
为点A在椭圆C内，所以 ＋ ＜1，所以8m－16＜m（m－4），解得
m＜6－2 或m＞6＋2 .综上，实数m的取值范围是（6＋2 ，25].
（6＋2 ，25]
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14. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）过点A（3，2）且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同的焦点；
解：椭圆方程3x2＋8y2＝24可化为 ＋ ＝1，可得c＝ ，其焦点
为（± ，0），
设所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0），将点A（3，2）的坐
标代入椭圆方程，
可得 ＋ ＝1，结合a2－b2＝5，解得a＝ ，b＝ ，
故所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
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（2）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，
1），P3（－1， ），P4（1， ）中恰有三点在椭圆C上.
解：由题意，因为P3，P4两点关于y轴对称，所以椭圆C经过P3，P4两点，
又由P1（1，1），P4（1， ）知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上，因此 解得 所以椭圆C的标准方程为 ＋y2＝1.
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15. 某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究
发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8
海里处发现过鱼群，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建
立平面直角坐标系，如图所示.
（1）求曲线C的标准方程；
解：由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a＝8的椭
圆，又2c＝4，则c＝2，a＝4，故b＝2 ，
∴曲线C的标准方程为 ＋ ＝1.
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（2）某日，研究人员在A，B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置（即点P的坐标）？
解：由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，因此鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群距A，B两岛的距离分别为5海里和3海里，设P（x，y），B（2，0），由｜PB｜＝3，得 ＝3，
∴ 解得 或
∴点P的坐标为（2，3）或（2，－3）.
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演示完毕 感谢观看