《创新课堂》3.1.2第二课时　椭圆的标准方程及性质的应用 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测

(共69张PPT)
第二课时　椭圆的标准方程及性质的应用
1.会判断直线与椭圆的位置关系（逻辑推理、数学运算）.
2.体会设而不求的数学方法，求弦长及中点弦等有关问题（数学运算）.
课标要求
知识点一　直线与椭圆的位置关系
01
知识点二　直线与椭圆中的弦长问题
02
提能点　直线与椭圆中的中点弦问题
03
课时作业
04
目录
01
PART
知识点一
直线与椭圆的位置关系
问题1　（1）如何判断P（x0，y0）与椭圆 ＋ ＝1的位置关系？
提示：将点P（x0，y0）代入椭圆方程左侧，与右侧1比大小.
若 ＋ ＞1，P在椭圆外；
若 ＋ ＝1，P在椭圆上；
若 ＋ ＜1，P在椭圆内.
（2）类比直线与圆的位置关系，思考直线与椭圆有几种位置关系？怎样
判断其位置关系？
提示：直线与椭圆的位置关系有相离、相交、相切三种.判断方法是联
立直线与椭圆方程，转化为关于x（或y）的一元二次方程，利用判别
式Δ判断.
【知识梳理】
直线y＝kx＋m与椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的位置关系的判断方法：
联立 消去y得到一个关于x的一元二次方程，
位置关系 公共点个数 组成的方程组的
解 判定方法（利用
判别式Δ）
相交 个 解 Δ 0
相切 个 解 Δ 0
相离 个 解 Δ 0
　　提醒：设直线方程时，注意斜率不存在的情况.
2　
两　
＞　
1　
一　
＝　
0　
无　
＜　
【例1】已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C： ＋ ＝1.试问当m取何值
时，直线l与椭圆C：
（1）相交；
解：直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 消去y得
9x2＋8mx＋2m2－4＝0，　①
方程①的根的判别式Δ＝（8m）2－4×9×（2m2－4）＝－8m2＋144.
当Δ＞0，即－3 ＜m＜3 时，方程①有两个不相等的实数根，这时直
线l与椭圆C相交.
（2）相切；
解：当Δ＝0，即m＝±3 时，方程①有两个相等的实数根，这时直线l
与椭圆C相切.
（3）相离.
解：当Δ＜0，即m＜－3 或m＞3 时，方程①没有实数根，这时直线
l与椭圆C相离.
【规律方法】
　研究直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们
的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类
讨论思想和数形结合思想的运用.
训练1　（1）直线y＝x＋1与椭圆 ＋ ＝1的位置关系是（　A　）
A. 相交 B. 相切
C. 相离 D. 无法判断
解析：法一　直线过点（0，1），而0＋ ＜1，即点（0，1）在椭圆内
部，所以可推断直线与椭圆相交.
A
法二　联立直线与椭圆的方程，得 消去y得9x2＋10x－15
＝0，Δ＝100－4×9×（－15）＝640＞0，所以直线与椭圆相交.
（2）〔多选〕无论k为何值，直线y＝kx＋2和椭圆 ＋ ＝1交点情况有
（　BC　）
A. 没有公共点 B. 一个公共点
C. 两个公共点 D. 无法确定
BC
解析：因为y＝kx＋2过定点（0，2），且椭圆 ＋ ＝1的上顶点也为
（0，2），所以当直线的斜率为0时，直线与椭圆相切，仅有一个公共
点，当直线的斜率不为零时，此时直线与椭圆有两个交点，故选B、C.
02
PART
知识点二
直线与椭圆中的弦长问题
问题2　当直线与椭圆相交时，如何求截得的弦长？试推导一下.
提示：当直线斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋m（k≠0），椭圆方程
为 ＋ ＝1（a＞b＞0），直线与椭圆的两个交点为A（x1，y1），B
（x2，y2），
则｜AB｜＝ ，
所以｜AB｜＝
＝
＝ ，
或｜AB｜＝
＝
＝ .
其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联
立消去y（或x）后得到关于x（或y）的一元二次方程，利用根与系数的
关系求得.
【知识梳理】
弦长公式：当直线y＝kx＋m（k≠0）与椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的
两交点为A（x1，y1），B（x2，y2）时，｜AB｜＝
＝ 或｜AB｜
＝ .
　　提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进
行的，不要忽略判别式.
　
　
【例2】已知椭圆M： ＋ ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，焦距为
2 ，斜率为k的直线与椭圆M有两个不同的交点A，B.
（1）求椭圆M的方程；
解：由题意得 解得c＝ ，a＝ ，b＝ ＝
＝1，∴椭圆M的方程为 ＋y2＝1.
（2）若直线过椭圆的上顶点，且k＝1，求｜AB｜的值.
解：∵k＝1，椭圆上顶点为（0，1），∴直线l的方程为y＝
x＋1，设A（x1，y1），B（x2，y2）.
联立 得2x2＋3x＝0.又直线l与椭圆M有两个
不同的交点，∴Δ＝9＞0，∴x1＋x2＝－ ，x1x2＝0，
∴｜AB｜＝ ·｜x1－x2｜
＝ ·
＝ × ＝ .
【规律方法】
　求弦长的两种方法
（1）求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长；
（2）联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方
程，利用弦长公式求弦长.
训练2　（1）过椭圆 ＋y2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆
相交于A，B两点，则｜AB｜＝（　C　）
A. 4 C. 1
解析：因为椭圆 ＋y2＝1，可得a2＝4，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝3，所
以椭圆的右焦点的坐标为F（ ，0），将x＝ 代入椭圆的方程，求得
y＝± ，所以｜AB｜＝1.故选C.
C
（2）已知直线y＝x＋2交椭圆 ＋ ＝1于A，B两点，若｜AB｜＝
3 ，则实数m的值为 .
解析：由椭圆 ＋ ＝1，得顶点为（0，2），而直线y＝x＋2也过（0，
2），所以A（0，2）为直线与椭圆的一个交点，设B（xB，yB），则｜
AB｜＝ ＝ ｜xB－xA｜＝ ｜xB｜
＝3 ，解得xB＝±3，所以B（－3，－1）或B（3，5）（舍去），把B
（－3，－1）代入椭圆方程得 ＋ ＝1，故m＝12.
12
03
PART
提能点
直线与椭圆中的中点弦问题
问题3　直线l与椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）相交于A（x1，y1），B
（x2，y2）两点，设AB中点为P（x0，y0），你能求出kAB·kOP的值吗？
提示：将点A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆方程，则
①－②得 ＋
＝0，因为x1≠x2，则 ＝－ ，即
· ＝－ ，从而kAB· ＝－ ，即kAB·kOP＝－ .
【例3】已知P（1，1）为椭圆 ＋ ＝1内一定点，经过P引一条弦，若
此弦被P点平分，求此弦所在的直线方程.
解：法一　易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y－1＝k（x－
1），弦所在的直线与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点.
由
消去y得，（2k2＋1）x2－4k（k－1）x＋2（k2－2k－1）＝0，
∴x1＋x2＝ ，
又∵x1＋x2＝2，∴ ＝2，
解得k＝－ .
经检验，k＝－ 满足题意.
故此弦所在的直线方程为y－1＝－ （x－1），
即x＋2y－3＝0.
法二　易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k，弦所在的直线与椭
圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
则 ＋ ＝1，
①
＋ ＝1，
②
①－②得 ＋
＝0，
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴ ＋y1－y2＝0，
又x1－x2≠0，∴k＝ ＝－ .
经检验，k＝－ 满足题意.
∴此弦所在的直线方程为y－1＝－ （x－1），即x＋2y－3＝0.
【规律方法】
　解决椭圆“中点弦”问题的方法
训练3　已知直线y＝－x＋1与椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）相交于A，B
两点，且线段AB的中点在直线l：x－4y＝0上，则此椭圆的离心率
为 .

解析：联立 解得 所以直线y＝－x＋1与直线x－
4y＝0的交点坐标为（ ， ），即线段AB的中点为（ ， ），设y＝－x
＋1与 ＋ ＝1（a＞b＞0）的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），
所以 ＝ ， ＝ ，则x1＋x2＝ ，y1＋y2＝ ，分别把A
（x1，y1），B（x2，y2）代入到椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）中，得
两式相减得 ＝－ ，又kAB＝ ＝
－1，且 ＝ ，所以－ ＝ ×（－1）＝－ ，即a2＝4b2，所以a2
＝4（a2－c2），所以3a2＝4c2，所以e＝ ＝ .
1. 已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆 ＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系
是（　　）
A. 相离 B. 相切
C. 相交 D. 相交或相切
解析：　把x＋y－3＝0代入 ＋y2＝1，得 ＋（3－x）2＝1，即5x2－
24x＋32＝0.∵Δ＝（－24）2－4×5×32＝－64＜0，∴直线与椭圆相离.
√
2. 直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦的中点坐标是（　　）
解析：　由 消去y得2x2＋（x－1）2＝4，即3x2－2x－3
＝0，所以弦的中点的横坐标是x＝ × ＝ ，代入直线方程y＝x－1中，
得y＝－ ，所以弦的中点坐标是（ ，－ ）.故选A.
√
3. 已知椭圆M： ＋y2＝1，直线l与椭圆M相交于A，B两点，点D
（1， ）是弦AB的中点，则直线l的斜率k＝ 　－ 　.
解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），因为直线l与椭圆M相交于A，B
两点，所以有 两式作差得 － ＝ － ，整理得kAB＝
＝－ × ，因为点D（1， ）是弦AB的中点，所以x1＋x2＝
2，y1＋y2＝1，所以kAB＝－ .
－
4. 已知直线y＝kx＋1（k∈R）与焦点在x轴上的椭圆 ＋ ＝1（b＞
0）总有公共点，则实数b的取值范围为 .
解析：由题意，知直线y＝kx＋1（k∈R）恒过定点M（0，1），要使直
线y＝kx＋1与椭圆 ＋ ＝1（b＞0）总有公共点，则只需点M（0，
1）在椭圆上或椭圆内，则b≥1.又b2＜4，所以1≤b＜2.
[1，2）
课堂小结
1.理清单
（1）点与椭圆及直线与椭圆的位置关系；
（2）直线与椭圆交点弦长的求法；
（3）直线与椭圆的中点弦问题.
2.应体会
（1）判断直线与椭圆的位置关系时，要注意分类讨论思想的应用；
（2）求直线与椭圆相交所得弦长、中点弦等问题时要注意根与系数的关
系法、点差法的应用.
3.避易错
（1）直线与椭圆的交点弦问题，易忽视直线斜率不存在的情形；
（2）在使用根与系数的关系时，要注意使用条件是Δ＞0；
（3）利用点差法解决问题时，要注意直线的斜率不能为0，并检验直线
与椭圆是否相交.
04
PART
课时作业
1. 点P（4 cos α，2 sin α）（α∈R）与椭圆C： ＋ ＝1的位置关
系是（　　）
A. 点P在椭圆C上
B. 点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关
C. 点P在椭圆C内
D. 点P在椭圆C外
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解析：　把P（4 cos α，2 sin α）（α∈R）代入椭圆方程的左边，
得 ＋ ＝4（ cos 2α＋ sin 2α）＝4＞1，因此点P在
椭圆C外.
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2. 若直线y＝kx＋2与椭圆 ＋ ＝1相切，则斜率k的值是（　　）
解析：　把y＝kx＋2代入 ＋ ＝1，得（2＋3k2）x2＋12kx＋6＝0，
由题意知Δ＝0，∴k2＝ ，∴k＝± .
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3. 已知直线x－4y＋9＝0与椭圆 ＋ ＝1（0＜b＜4）相交于A，B两
点，椭圆的两个焦点是F1，F2，线段AB的中点为C（－1，2），则
△CF1F2的面积为（　　）
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解析：　设A（x1，y1），B（x2，y2），由题可知 ＝ ，x1＋x2＝
－2，y1＋y2＝4，则 所以 ＝－ ，即 ＝
，解得b2＝8，所以c2＝a2－b2＝16－8＝8，则c＝2 ，所以
＝ ×2c×2＝4 .
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4. （2025·龙岩月考）过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为 的弦AB，
则弦AB的长为（　　）
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解析：　椭圆x2＋2y2＝4化为标准方程为 ＋ ＝1，所以a＝2，b＝
，c＝ ，所以左焦点为（－ ，0），易求直线AB的方程为y＝
（x＋ ）.由 消去y并整理得7x2＋12 x＋8＝0，Δ＝
（12 ）2－4×7×8＝64＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2
＝－ ，x1x2＝ .由弦长公式，得｜AB｜＝ ·｜x1－x2｜
＝2× ＝ .
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5. （2025·泰安质检）已知过圆锥曲线 ＋ ＝1上一点P（x0，y0）的切
线方程为 ＋ ＝1.过椭圆 ＋ ＝1上的点A（3，－1）作椭圆的切
线l，则过点A且与直线l垂直的直线方程为（　　）
A. x－y－3＝0 B. x＋y－2＝0
C. 2x＋3y－3＝0 D. 3x－y－10＝0
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解析：　过椭圆 ＋ ＝1上的点A（3，－1）的切线l的方程为 ＋
＝1，即x－y－4＝0，切线l的斜率为1，则与直线l垂直的直线的斜
率为－1，故过点A且与直线l垂直的直线方程为y＋1＝－（x－3），即x
＋y－2＝0.
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6. 〔多选〕已知椭圆C： ＋y2＝1与直线l：x－y＋m＝0相交于两个不
同的点A，B，M为线段AB的中点，则（　　）
D. M一定在直线x＋4y＝0上
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解析：　设A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆C： ＋y2＝1与直
线l：x－y＋m＝0的方程，得5x2＋8mx＋4（m2－1）＝0，由判别式Δ＝
（8m）2－4×5×4（m2－1）＞0，得m2＜5，即－ ＜m＜ ，选项A
正确，选项B错误；又x1＋x2＝－ ，x1x2＝ （m2－1），所以｜AB｜
＝ · ＝ · ，当m＝0
时，弦长｜AB｜取最大值，｜AB｜＝ ，选项C错误；由直线l：y＝x＋m，线段AB中点M的坐标为（ ， ＋m），即M（－ ， ），所以点M的坐标满足直线方程x＋4y＝0，选项D正确，故选A、D.
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7. 〔多选〕（2025·宁波质检）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的
左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，直线y＝x－ 过F2交椭圆C
于A，B两点，若△AF1B的周长为8，则（　　）
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解析：　如图，因为△AF1B的周长为8，所以4a＝8，
解得a＝2.因为直线y＝x－ 过右焦点F2，所以c＝
，椭圆的焦距为2 ，故A错误.b2＝a2－c2＝4－3＝
1，椭圆方程为 ＋y2＝1，故B正确.设A（x1，y1），B
（x2，y2），联立 消去y得5x2－8 x＋8＝0，所以x1＋x2＝ ，x1x2＝ ，｜AB｜＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ，故C正确.原点到直线y＝x－ 的距离d＝ ＝ ，所以S△OAB＝ ×d×｜AB｜＝ × × ＝ ，故D错误.故选B、C.
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8. （2025·福州月考）设F1，F2分别是椭圆E： ＋ ＝1（a＞b＞0）的
左、右焦点，点A是椭圆E的上顶点，△AF1F2为等腰直角三角形，延长
AF1交椭圆E于点B，则直线BF2的斜率为 　　.
解析：∵△AF1F2为等腰直角三角形，∴b＝c，则a2＝b2＋c2＝2b2，易知
直线AF1的方程为y＝x＋b，代入椭圆方程可得3x2＋4bx＝0，解得x＝0
或x＝－ b，则B（－ b，－ b），又F2（b，0），∴ ＝ ＝ .
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9. 椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN
中点的直线的斜率为 ，则 的值是 　 　.
解析：由 消去y，得（m＋n）x2－2nx＋n－1＝0.设
M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为（x0，y0），则x1＋x2＝
，∴x0＝ ，代入y＝1－x得y0＝ .由题意知 ＝ ，∴
＝ .

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10. 已知椭圆E： ＋ ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，且过点P（2，
）.
（1）求椭圆E的方程；
解：由题意知，e＝ ，所以a＝ c，b＝c，设椭圆E的方程为 ＋ ＝1.将点P（2， ）代入得：b2＝8，a2＝16，所以椭圆E的方程为 ＋ ＝1.
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（2）若直线m过椭圆E的右焦点和上顶点，直线l过点M（2，1）且与直线m平行.设直线l与椭圆E交于A，B两点，求AB的长度.
解：由（1）知，椭圆E的右焦点为（2 ，0），上顶点为（0，2 ），
所以直线m斜率为k＝ ＝－1，因为直线l与直线m平行，
所以直线l的斜率为－1，所以直线l的方程为y－1＝－（x－2），即x＋y
－3＝0，
联立 可得3x2－12x＋2＝0，Δ＝120＞0，x1＋x2＝4，x1x2＝ ，
所以｜AB｜＝ ＝
× ＝ .
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11. 已知椭圆 ＋y2＝1，则所有与椭圆相交且斜率为2的弦的中点的轨迹
方程为（　　）
A. x＋4y＝0
C. 4x＋y＝0
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解析：　设斜率为2的直线与椭圆 ＋y2＝1交于点A（x1，y1），B
（x2，y2），弦AB的中点为M（x，y），由点差法可知，k＝2＝
＝－ × ＝－ × ，即x＋4y＝0.又椭圆的弦的中点只能在椭圆
内，∴ ＋（－ ）2＜1，解得－ ＜x＜ .∴所求的轨迹方程为x＋4y＝
0（－ ＜x＜ ）.
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12. 〔多选〕设椭圆的方程为 ＋ ＝1，斜率为k的直线l不经过原点
O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的
是（　　）
A. kAB·kOM＝－1
B. 若点M坐标为（1，1），则直线l的方程为2x＋y－3＝0
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解析：　设A（x1，y1），B（x2，y2），则 两式相
减，得 ＋ ＝0，即 · ＝－2，即kAB·kOM＝－2.对于
A，kAB·kOM＝－2≠－1，所以A不正确；对于B，由kAB·kOM＝－2，M
（1，1），得kAB＝－2，所以直线l的方程为y－1＝－2（x－1），即2x
＋y－3＝0，所以B正确；
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对于C，若直线l的方程为y＝x＋1，M（ ， ），则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，所以C不正确；对于D，由 得3x2＋4x＝0，解得x＝0或x＝－ ，所以｜AB｜＝ ×｜－ －0｜＝ ，所以D正确.故选B、D.
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13. 已知F1，F2分别是椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，
点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且PF1∥QF2.若｜PF1｜＋｜
QF2｜≥b，则C的离心率的取值范围是 .
解析：由点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，延长PF1交椭圆另一交
点为A（图略），由PF1∥QF2再结合椭圆的对称性，易知｜QF2｜＝｜
F1A｜，又｜PF1｜＋｜F1A｜＝｜PA｜，由椭圆过焦点的弦通径最短，
所以当PA垂直x轴时，｜PA｜最小，所以b≤｜PA｜min＝ ，所以
ab≤2b2，解得0＜e≤ .
（0， ］
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14. 如图在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1： ＋y2＝1，椭圆C2：
＋ ＝1，直线l与椭圆C1只有一个公共点，且与椭圆C2交于A，B两点.
（1）当直线l倾斜角为135°时，求直线l的方程；
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解：因为直线l倾斜角为135°，直线l的方程为y＝－x＋b，因为椭圆C1： ＋y2＝1，
直线l与椭圆C1只有一个公共点，联立方程 得3y2－2by＋b2－2＝0，
所以Δ＝4b2－12（b2－2）＝0，所以b＝± ，所以直线l的方程为x＋y＋ ＝0或x＋y－ ＝0.
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（2）求证：△AOB的面积为定值.
解：证明：因为直线l与椭圆C1只有一个公共点，
当斜率存在时，设直线l为y＝kx＋b，由
得（2k2＋1）x2＋4kbx＋2b2－2＝0，所以Δ＝16k2b2－4（2k2＋1）（2b2－2）＝0，所以2k2－b2＋1＝0，
又因为直线与椭圆C2交于A，B两点 得（2k2＋1）x2＋4kbx＋2b2－4＝0，
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所以
因为直线l与y轴交于点（0，b），所以S△AOB＝ ｜b｜×｜x1－x2｜＝
｜b｜· ＝ ｜b｜·
＝ ｜b｜ ＝ ｜b｜· ＝ .
当直线l的斜率不存在时，l：x＝± .代入椭圆C2的方程得，y＝±1，
所以S△AOB＝ × ×2＝ .
综上所述，△AOB的面积为定值 .
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15. （2025·杭州质检）设椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的右顶点为A，下
顶点为B，过A，O，B（O为坐标原点）三点的圆的圆心坐标为（ ，
－ ）.
（1）求椭圆的方程；
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解：依题意知A（a，0），B（0，－b），
因为△AOB为直角三角形，
所以过A，O，B三点的圆的圆心为斜边AB的中点，所以 ＝ ，－ ＝－ ，
即a＝ ，b＝1，所以椭圆的方程为 ＋y2＝1.
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（2）已知点M在x轴正半轴上，过点B作BM的垂线与椭圆交于另一点
N，若∠BMN＝60°，求点M的坐标.
解：由（1）知B（0，－1），依题意知直线BN的斜率存在且小于0，
设直线BN的方程为y＝kx－1（k＜0），则直线BM的方程为y＝－ x－1，
由 消去y得（1＋3k2）·x2－6kx＝0，解得xN＝ ，
yN＝kxN－1，
所以｜BN｜＝ ＝ ＝ ｜xN｜，
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所以｜BN｜＝ · ，在y＝－ x－1中，令y＝0得x＝－k，
即M（－k，0），所以｜BM｜＝ ，在Rt△MBN中，因为∠BMN＝60°，
所以｜BN｜＝ ｜BM｜，即 · ＝ · ，整理得
3k2－2 ｜k｜＋1＝0，
解得｜k｜＝ ，因为k＜0，所以k＝－ ，所以点M的坐标为（ ，0）.
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THANKS
演示完毕 感谢观看