《创新课堂》3.2.1第二课时　双曲线及其标准方程（二） 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测

(共61张PPT)
第二课时　双曲线及其标准方程（二）
1.能灵活应用双曲线的定义及标准方程解决焦点三角形问题（直观想象、数学运算）.
2.能熟练地求与双曲线有关的轨迹方程（逻辑推理、数学运算）.
3.会解决与双曲线的定义和标准方程有关的实际问题（数学建模、数学运算）.
课标要求
知识点一　双曲线中的焦点三角形问题
01
知识点二　与双曲线有关的轨迹问题
02
知识点三　000
03
课时作业
04
目录
01
PART
知识点一
双曲线中的焦点三角形问题
问题　（1）与椭圆一样，双曲线也有焦点三角形，思考一下，它的三边
有哪些关系？
提示：①｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a.
②｜MF1｜2＋｜MF2｜2－2｜MF1｜｜MF2｜· cos θ＝4c2.
（2）在椭圆中有焦点三角形面积公式S＝b2tan ，那么在双曲线中此公式
还适用吗？
提示：不适用.双曲线中焦点三角形的面积公式为S＝ .
【例1】（1）若F1，F2是双曲线 － ＝1的两个焦点，点P是双曲线上
的一点，且∠F1PF2＝120°，则△F1PF2的面积为（　A　）
A. B.
C. 8 D. 16
A
解析：法一　由双曲线的定义和余弦定理得，｜PF1｜－｜PF2｜＝
±6，｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜ cos 120°＝
（｜PF1｜－｜PF2｜）2＋3｜PF1｜·｜PF2｜，即100＝36＋3｜PF1｜·｜
PF2｜，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝ ，则 ＝ ｜PF1｜·｜PF2｜ sin
∠F1PF2＝ × × ＝ .
法二　 ＝ ＝ ＝ .
（2）设双曲线 － ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上
一点，｜PF1｜＝3｜PF2｜，则∠F1PF2的大小为（　C　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
C
解析：根据双曲线的定义得｜PF1｜－｜PF2｜＝4，又因为｜PF1｜＝3｜
PF2｜，所以｜PF1｜＝6，｜PF2｜＝2.又因为｜F1F2｜＝2 ，所以在
△F1PF2中结合余弦定理的推论得， cos ∠F1PF2＝ ＝ ，因
为0°＜∠F1PF2＜180°，所以∠F1PF2＝60°.故选C.
变式　若将本例（1）中的“∠F1PF2＝120°”改为“｜PF2｜∶｜PF1｜
＝2∶5”，则△F1PF2的面积为 .
解析：由｜PF2｜∶｜PF1｜＝2∶5，｜PF1｜－｜PF2｜＝6，可知｜
PF1｜＝10，｜PF2｜＝4，所以 ＝ ×｜PF2｜
× ＝ ×4× ＝8 .
8
【规律方法】
　在焦点三角形中，常利用正弦定理、余弦定理，结合｜｜PF1｜－｜
PF2｜｜＝2a，运用平方的方法，建立与｜PF1｜·｜PF2｜的联系，求
解｜PF1｜和｜PF2｜的值，△PF1F2的周长与面积等问题.
训练1　（1）已知有相同焦点F1，F2的椭圆 ＋y2＝1（m＞1）和双曲线
－y2＝1（n＞0），P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（　B　）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 以上均有可能
解析：因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝2 ，｜PF1｜－｜PF2｜＝±2 ，又
m－1＝n＋1，所以｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝2（m＋n）＝4（m－1）＝｜
F1F2｜2，所以△F1PF2是直角三角形.
B
（2）已知双曲线C：x2－ ＝1的右焦点为F，P是双曲线C左支上一
点，M（0，2），则△PFM的周长的最小值为 .
解析：设双曲线C的左焦点为F1，则｜PF｜－｜PF1｜＝2a，由题可知a
＝1，c＝2，所以｜PF｜＝2＋｜PF1｜，F1（－2，0），F（2，0），所
以｜MF｜＝2 ，△PFM的周长为｜MF｜＋｜MP｜＋｜PF｜＝2
＋2＋｜MP｜＋｜PF1｜.当M，P，F1三点共线时，｜MP｜＋｜PF1｜
取最小值，最小值为｜MF1｜＝2 ，所以△PFM的周长的最小值为2＋
4 .
2＋4
02
PART
知识点二
与双曲线有关的轨迹问题
【例2】如图，在△ABC中，已知｜AB｜＝4 ，O为线段AB的中点，且
三内角A，B，C满足2 sin A＋ sin C＝2 sin B，试求顶点C的轨迹方程.
解：由题意得A（－2 ，0），B（2 ，0）.由正弦定理，得 sin A＝
， sin B＝ ， sin C＝ （R为△ABC的外接圆半
径）.∵2 sin A＋ sin C＝2 sin B，
∴2｜BC｜＋｜AB｜＝2｜AC｜，即｜AC｜－｜BC｜＝ ＝2
＜｜AB｜.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支（除去与x轴的交点）.
由题意，设所求轨迹方程为 － ＝1（x＞a），
∵a＝ ，c＝2 ，∴b2＝c2－a2＝6.
即所求轨迹方程为 － ＝1（x＞ ）.
【规律方法】
　与曲线有关的轨迹问题的求解步骤
第一步：根据题设建立适当的平面直角坐标系，并结合图形灵活运用条件
确定动点满足的等量关系式；
第二步：根据动点满足的等量关系式的几何意义，结合有关曲线的定义确
定轨迹的形状；
第三步：确定曲线方程中的参数并写出方程；
第四步：验证所得到的曲线方程是否满足题意.
训练2　（1）在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A（－3，0），B
（3，0），其内切圆圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程为（　A　）
A. － ＝1（x＞2）
B. － ＝1（x＞3）
C. ＋ ＝1（0＜x＜2）
D. ＋ ＝1（0＜x＜3）
A
解析：如图，设△ABC与其内切圆的切点分别为D，E，
F，则有｜AD｜＝｜AE｜＝5，｜BF｜＝｜BE｜＝
1，｜CD｜＝｜CF｜，所以｜CA｜－｜CB｜＝5－1＝
4.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长
为4的双曲线的右支（右顶点除外），即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，所以顶点C的轨迹方程为 － ＝1（x＞2）.
（2）设P为双曲线 －y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的
中点，则点M的轨迹方程为 .
解析：设M（x，y），P（x0，y0），则 即 又 －
＝1，则 －（2y）2＝1，整理得x2－4y2＝1，即点M的轨迹方程
为x2－4y2＝1.
x2－4y2＝1
03
PART
知识点三
双曲线的实际应用
【例3】由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队
奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航.某日，甲舰在乙舰正东方向6
km处，丙舰在乙舰北偏西30°方向，相距4 km处，某时刻甲舰发现商船的
求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时
发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方
向角应是多少？
解：设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A（3，0），B（－3，0），C（－5，2 ）.
∵｜PB｜＝｜PC｜，∴点P在线段BC的垂直平分线上，
又易知kBC＝－ ，线段BC的中点D（－4， ），
∴直线PD的方程为y－ ＝ （x＋4），　①
又｜PB｜－｜PA｜＝4＜6＝｜AB｜，
∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，且a＝2，c＝3，∴b2＝c2－
a2＝5，
∴商船的轨迹方程为 － ＝1（x≥2），　②
联立①②，得点P坐标为（8，5 ），
∴kPA＝ ＝ ，因此甲舰行进的方向角为北偏东30°.
【规律方法】
　利用双曲线解决实际问题的步骤
（1）建立适当的坐标系；
（2）求出双曲线的标准方程；
（3）根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题（注意实际意义）.
训练3　如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方
向2 km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点D到A的距离比到B的距离
远2 km，现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货
物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是 km.
2 －2
解析：如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平
分线为y轴建立平面直角坐标系.则A（－2，0），B
（2，0），｜DA｜－｜DB｜＝2，根据双曲线定义知，
点D的轨迹（即曲线PQ）为双曲线的右支.故2c＝4，c
＝2，2a＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3，故轨迹方程为x2－ ＝1（x≥1）.根据题意知C（3， ），｜MB｜＋｜MC｜＝｜MA｜＋｜MC｜－2≥｜AC｜－2＝2 －2.当且仅当A，M，C三点共线时，等号成立，故两条公路MB，MC的路程之和最短是2 －2 km.
1. 相距4k千米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒k
千米，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是（　　）
A. 双曲线的一支 B. 双曲线
C. 椭圆 D. 圆
解析：　由已知可得｜｜PA｜－｜PB｜｜＝2k＜4k＝｜AB｜，根据双
曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点的双曲线上，则炮弹爆炸点P的
轨迹可能是双曲线.
√
2. 设点P在双曲线 － ＝1上，F1，F2为双曲线的两个焦点，且｜
PF1｜∶｜PF2｜＝1∶3，则△F1PF2的周长等于（　　）
A. 10 B. 20
C. 22 D. 25
解析：　由题意知｜F1F2｜＝2 ＝10，｜｜PF2｜－｜PF1｜｜＝
6，又｜PF1｜∶｜PF2｜＝1∶3，∴｜PF1｜＝3，｜PF2｜＝9，故
△F1PF2的周长为3＋9＋10＝22.
√
3. 已知点A（0，2），B（0，－2），C（3，2），若动点M（x，y）
满足｜MA｜＋｜AC｜＝｜MB｜＋｜BC｜，则点M的轨迹方程为
.
解析：设M（x，y），因为｜MA｜＋｜AC｜＝｜MB｜＋｜BC｜，
故｜MA｜＋3＝｜MB｜＋ ，即｜MA｜－｜MB｜＝
2＜4.故点M（x，y）的轨迹是以A（0，2），B（0，－2）为焦点的双
曲线的下支，且a＝1，c＝2.故b2＝c2－a2＝3.故方程为y2－ ＝1（y≤
－1）.
y2
－ ＝1（y≤－1）
解析：由题可得，a2＝6，b2＝3，c2＝a2－b2＝9，所以
F1（－3，0），F2（3，0），设M（－3，yM），则 －
＝1，解得yM＝± ，由于对称性，不妨取M（－3， ），所以｜MF1｜＝ .根据双曲线的定义可得｜MF2｜－｜MF1｜＝2a＝2 ，解得｜MF2｜＝ ，设F1到直线F2M的距离为d，在Rt△MF1F2中， ×｜MF1｜×｜F1F2｜＝ ×｜MF2｜×d，所以d＝ .
4. 已知双曲线 － ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在双曲线上，
且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为 .

课堂小结
1.理清单
（1）双曲线的焦点三角形问题；
（2）与双曲线有关的轨迹问题；
（3）双曲线的实际应用问题.
2.应体会
求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出等量关
系，化简得到方程；②寻找几何关系，由双曲线的定义，得出对应的方程.
3.避易错
应检验所求的轨迹对应的双曲线是双曲线的一支还是两支.
04
PART
课时作业
1. 设定点F1（0，－3），F2（0，3），动点P（x，y）满足条件｜PF1｜
－｜PF2｜＝4，则动点P的轨迹是（　　）
A. 双曲线
B. 双曲线的一支
C. 不存在
D. 双曲线或线段或不存在
解析：　因为定点F1（0，－3），F2（0，3），动点P（x，y）满足条
件｜PF1｜－｜PF2｜＝4＜｜F1F2｜，所以根据双曲线的定义及｜PF1｜
＝4＋｜PF2｜＞｜PF2｜，可知动点P的轨迹是双曲线的一支，故选B.
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2. 已知F1，F2是双曲线C：x2－ ＝1的左、右焦点，点P在C上，且
PF2⊥x轴，则∠PF1F2＝（　　）
A. B.
C. D.
解析：　由题意得a＝1，b＝ ，c＝ ，当x＝ 时，y＝±2，
故｜PF2｜＝2.｜F1F2｜＝2 ，所以tan∠PF1F2＝ ＝ ，又
∠PF1F2∈（0， ），所以∠PF1F2＝ .故选A.
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3. 设F1，F2分别是双曲线C：x2－ ＝1的左、右焦点，点P在双曲线C
的右支上，当｜PF1｜＝6时，△PF1F2的面积为（　　）
A. 4 B. 3
C. D. 6
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解析：　因为双曲线C：x2－ ＝1，所以a＝1，b＝ ，c＝2，又点
P在双曲线C的右支上，｜PF1｜＝6，所以｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，即6
－｜PF2｜＝2，所以｜PF2｜＝4，又｜F1F2｜＝2c＝4，所以△PF1F2面
积为 ×6× ＝3 .故选B.
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4. 地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”
抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损
失.根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过
两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线
的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震
预警中，两地震台A站和B站相距10 km.根据它们收到的信息，可知震中
到B站与震中到A站的距离之差为6 km.据此可以判断，震中到地震台B站
的距离至少为（　　）
A. 8 km B. 6 km C. 4 km D. 2 km
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解析：　设震中为P，依题意有｜PB｜－｜PA｜＝6＜｜AB｜＝10，所
以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线靠近A的一支，因为｜PA｜＋｜
PB｜≥｜AB｜＝10，当且仅当A，P，B三点共线时取等号，所以｜
PB｜－6＋｜PB｜≥10，所以｜PB｜≥8，所以震中到地震台B站的距离
至少为8 km.
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5. 已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的焦点分别为F1（－5，
0），F2（5，0），P为双曲线C上一点，PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝ ，则
双曲线C的标准方程为（　　）
A. x2－ ＝1 B. －y2＝1
C. － ＝1 D. － ＝1
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解析：∵F1（－5，0），F2（5，0），∴c＝5，｜F1F2｜＝10.∵PF1⊥PF2，tan∠PF1F2＝ ，∴ cos ∠PF1F2＝ ＝ ，∴｜
PF1｜＝8，｜PF2｜＝6.由双曲线的定义可知，｜PF1｜－｜PF2｜＝2＝
2a，∴a＝1，∴b2＝c2－a2＝25－1＝24.∴双曲线C的标准方程为x2－
＝1.故选A.
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6. 〔多选〕（2025·莆田质检）数缺形时少直观，形少数时难入微.事实
上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与
相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与
点B（a，b）之间的距离的几何问题.结合上述观点，可得方程｜
－ ｜＝2的解为（　　）
A. x＝ B. x＝
C. x＝－ D. x＝－
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解析：　由｜ － ｜＝2得｜
－ ｜＝2.其几何意义为平面内一点（x，1）与两定点（－2，0），（2，0）距离之差的绝对值为2.平面内与两定点（－2，0），（2，0）距离之差的绝对值为2的点的轨迹是双曲线.设该双曲线的方程为 － ＝1（a＞0，b＞0），则 解得 所以该双曲线的方程是x2－ ＝1.由 解得x＝± .故选A、C.
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7. 〔多选〕设F1，F2分别是双曲线C：x2－ ＝1的左、右焦点，P为C
上一点且｜PF1｜＝2｜PF2｜，则点P的纵坐标为（　　）
A. －2 B. －
C. 2 D.
解析：根据题意可知，a＝1，b＝ ，c＝ ，由｜PF1｜＝2｜PF2｜以及｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＝2可得｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，又｜F1F2｜＝2c＝2 ，由于｜PF1｜2＝｜PF2｜2＋｜F1F2｜2，故PF2⊥F1F2，即△PF1F2为直角三角形，将x＝ 代入x2－ ＝1得｜y｜＝2，故点P的纵坐标为2或－2.故选A、C.
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8. 已知动点M与两定点A（－1，0），B（1，0）构成△MAB，且直线
MA，MB的斜率之积为4.设动点M的轨迹为C，则轨迹C的方程为
.
解析：设点M的坐标为（x，y），当x＝－1时，直线MA的斜率不存在；
当x＝1时，直线MB的斜率不存在.于是x≠1且x≠－1.此时，直线MA的
斜率为 ，直线MB的斜率为 .由题意有 · ＝4，化简得x2－
＝1，因为x≠1且x≠－1，即y≠0，所以轨迹C的方程为x2－ ＝1
（y≠0）.
x2－
＝1（y≠0）
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9. 已知双曲线C：x2－ ＝1（m＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直
线l经过F2且与C的右支相交于A，B两点，若｜AB｜＝2，则△ABF1的周
长为 .
解析：由x2－ ＝1（m＞0）得a＝1，由双曲线的定义，可得｜AF1｜－｜AF2｜＝2a＝2，｜BF1｜－｜BF2｜＝2a＝2，所以｜AF1｜＝2＋｜AF2｜，｜BF1｜＝2＋｜BF2｜，则△ABF1的周长为｜AF1｜＋｜BF1｜＋
｜AB｜＝｜AF2｜＋｜BF2｜＋6＝｜AB｜＋6＝8.
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10. 设动圆M的半径为r，分别求满足下列条件的圆心M的轨迹方程：
（1）与圆C：（x＋2）2＋y2＝2内切，且过点A（2，0）；
解：连接MC，MA（图略），∵圆C与圆M内切，点A在圆C外，
∴｜MC｜＝r－ ，｜MA｜＝r，∴｜MA｜－｜MC｜＝ ，即动点
M到两定点A（2，0），C（－2，0）的距离之差为常数 ，且 ＜｜
AC｜＝4，∴点M的轨迹是以C，A为焦点的双曲线的左支，∴点M的轨
迹方程是2x2－ ＝1（x≤－ ）.
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（2）与圆C1：（x＋3）2＋y2＝9外切，且与圆C2：（x－3）2＋y2＝1
内切.
解：连接MC1，MC2（图略），∵圆M与圆C1外切，且圆M与圆C2内切，∴｜MC1｜＝r＋3，｜MC2｜＝r－1，∴｜MC1｜－｜MC2｜＝4＜｜C1C2｜＝6，∴点M的轨迹是以C1（－3，0），C2（3，0）为焦点的
双曲线的右支，∴点M的轨迹方程是 － ＝1（x≥2）.
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11. 半径不等的两定圆O1，O2无公共点（O1，O2是两个不同的点），动
圆O与圆O1，O2都内切，则圆心O的轨迹是（　　）
A. 双曲线的一支
B. 椭圆或圆
C. 双曲线的一支或椭圆或圆
D. 双曲线的一支或椭圆
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解析：　两定圆O1，O2无公共点，则它们的位置关系是外离或内含.设
两定圆O1，O2的半径分别为r1，r2（r1＞r2），圆O的半径为R. 又圆O与
圆O1，O2都内切，则当两圆O1，O2外离时，｜OO1｜＝R－r1，｜OO2｜
＝R－r2，∴｜OO2｜－｜OO1｜＝r1－r2＜｜O1O2｜，此时圆心O的轨
迹是双曲线的一支；当两圆O1，O2内含时，｜OO1｜＝r1－R，｜OO2｜
＝R－r2，∴｜OO2｜＋｜OO1｜＝r1－r2＞｜O1O2｜，此时圆心O的轨
迹是椭圆.故选D.
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12. 〔多选〕已知双曲线C：x2－ ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为
双曲线右支上的一点，∠PF1F2＝30°，I是△PF1F2的内心，则下列结论
正确的是（　　）
A. △PF1F2是直角三角形
B. 点I的横坐标为1
C. ｜PI｜＝2 －2
D. △PF1F2的内切圆的面积为π
√
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解析：　由已知可得，｜PF1｜－｜PF2｜＝2，｜F1F2｜＝2 ，
设｜PF2｜＝x，｜PF1｜＝x＋2，则 cos ∠PF1F2＝ ＝
，得x＝2，所以｜PF2｜＝2，｜PF1｜＝4，即｜PF2｜2＋｜F1F2｜2
＝｜PF1｜2，所以PF2⊥F1F2，所以A正确；
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设内切圆半径为r，则 ·（｜PF1｜＋｜PF2｜＋｜F1F2｜）·r＝ ·｜PF2｜·｜F1F2｜，得r＝ －1，所以点I的横坐标为 －（ －1）＝1，内切圆的面积为S＝π·（ －1）2＝（4－2 ）π，所以B正确，D错误；
不妨设点P在第一象限，则P（ ，2），I（1， －1），所以｜PI｜
＝ ＝2（ －1）＝2 －2，所以C正确.故
选A、B、C.
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13. 双曲线 － ＝1的两个焦点为F1，F2，点P在该双曲线上，且
∠F1PF2＝ ，则点P到x轴的距离为 　 　.
解析：由双曲线的定义得｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝6，平方得｜
PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜＝36，又因为∠F1PF2＝ ，所以
由勾股定理得｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2＝4c2＝4（a2＋b2）＝
100，代入｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜＝36，解得｜
PF1｜·｜PF2｜＝32，因为 ＝ ｜PF1｜·｜PF2｜＝ ｜F1F2｜
×｜yP｜，所以｜yP｜＝ ，所以点P到x轴的距离为｜yP｜＝ .

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14. （2025·苏州质检）已知双曲线过点（3，－2）且与椭圆4x2＋9y2＝36
有相同的焦点.
（1）求双曲线的标准方程；
解：椭圆方程可化为 ＋ ＝1，焦点在x轴上，且c＝ ＝
，故设双曲线方程为 － ＝1（a＞0，b＞0），
则有 解得
所以双曲线的标准方程为 － ＝1.
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（2）若点M在双曲线上，F1，F2分别为左、右焦点，且｜MF1｜＋｜
MF2｜＝6 ，试判断△MF1F2的形状.
解：不妨设M点在右支上，则有｜MF1｜－｜MF2｜＝2 ，
又｜MF1｜＋｜MF2｜＝6 ，
故解得｜MF1｜＝4 ，｜MF2｜＝2 ，
又｜F1F2｜＝2 ，
因此在△MF1F2中，边MF1最长，
而 cos ∠MF2F1＝ ＜0，
所以∠MF2F1为钝角.
故△MF1F2为钝角三角形.
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15. （2025·南京质检）在一次军事演习中，某时刻三艘舰艇呈“品”字形
列阵（此时舰艇可视作静止的点），如图中的点A，B，C，且OA＝OB
＝OC＝3，假设敌舰艇在某处发出信号，A点接收到信号的时间比B点接
收到信号的时间早 秒（注：v0为信号传播速度），C处舰艇保持静默.
（1）建立适当的坐标系，并求敌舰艇所有可能出现的位置的轨迹方程；
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解：如图，以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所
在直线为y轴，建立平面直角坐标系.设敌舰艇的位置为P
（x，y），
由题意可知｜PB｜－｜PA｜＝v0· ＝4＜｜AB｜＝6.
由双曲线的定义可知，敌舰艇的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支，
且2a＝4，c＝3，所以b＝ .所以敌舰艇的轨迹方程为 － ＝1（x≤－2）.
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（2）在A，B两处的舰艇对敌舰艇攻击后，C处舰艇派出无人机到敌舰艇
处观察攻击效果，则无人机飞行的最小距离是多少？
解：设方程 － ＝1（x≤－2）上一点M（x0，y0），
由题意知 － ＝1（x0≤－2），
即 ＝4＋ ，又C（0，3），
所以｜MC｜＝
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＝ （y0∈R），
所以当y0＝ 时，｜MC｜min＝2 ，即无人机飞行的最小距离是2 .
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THANKS
演示完毕 感谢观看