《创新课堂》3.2.1第一课时　双曲线及其标准方程（一） 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测

(共65张PPT)
第一课时　双曲线及其标准方程（一）
1. 了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用（数学抽象）.
2. 理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程（逻辑推理、数学运算）.
3. 掌握双曲线的标准方程及其求法（数学运算）.
课标要求
情境导入
　　双曲线是一种很优美的曲线，就好像人的身形一样婉转婀娜.在实际
生活中，双曲线也有着广泛的应用，例如很多工程建筑就是仿照双曲线的
外形特点而设计，在兼具美学的情况下又保证了建筑物的坚实程度.我们
已经学习过椭圆的相关知识，那么双曲线又有着怎样的定义、方程与几何
性质呢？让我们慢慢揭开它的神秘面纱吧！
知识点一　双曲线的定义
01
知识点二　双曲线的标准方程
02
提能点　双曲线定义与标准方程的简单应用
03
课时作业
04
目录
01
PART
知识点一
双曲线的定义
问题1　如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一
点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在拉链的拉手M处，随着拉链逐渐
拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，试观察这是一条什么样
的曲线？点M在运动过程中满足什么条件？
提示：双曲线.曲线上的点满足条件：｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝常数，且
常数小于｜F1F2｜.
【知识梳理】
1. 定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的 等于非零常数
（小于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做双曲线.
2. 符号表示：｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝ （常数），且0＜2a＜｜
F1F2｜.
3. 焦点：两个定点 .
4. 焦距： 的距离，表示为｜F1F2｜.
差的绝对值　
2a　
F1，F2　
　　提醒：（1）常数要小于两个定点的距离；（2）如果没有绝对值，点
的轨迹表示双曲线的一支；（3）当2a＝｜F1F2｜时，动点的轨迹是以
F1，F2为端点的两条方向相反的射线（包括端点）；（4）当2a＞｜
F1F2｜时，动点的轨迹不存在；（5）当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2
的垂直平分线.
两焦点间　
【例1】已知点F1（－5，0），F2（5，0），动点P满足｜PF1｜－｜
PF2｜＝2a，当a＝0和3时，点P的轨迹分别为（　　）
A. 一条射线、双曲线
B. 一条射线、双曲线一支
C. 线段F1F2的垂直平分线、双曲线
D. 线段F1F2的垂直平分线、双曲线一支
解析：由题意得｜F1F2｜＝10，当a＝0时，｜PF1｜＝｜PF2｜，故点P的轨迹为线段F1F2的垂直平分线；当a＝3时，2a＝6＜｜F1F2｜，故点P的轨迹为双曲线的一支.故选D.
√
【规律方法】
　双曲线的定义中，距离的差要加绝对值，否则只表示双曲线的一支.
训练1　（1）已知F1（－8，3），F2（2，3），动点P满足｜PF1｜－｜
PF2｜＝10，则P点的轨迹是（　D　）
A. 双曲线 B. 双曲线的一支
C. 直线 D. 一条射线
解析：F1，F2是定点，且｜F1F2｜＝10，所以满足条件｜PF1｜－｜
PF2｜＝10的点P的轨迹应为一条射线.
D
解析：由双曲线的定义可得，｜m｜＜4且m≠0，解得m∈（－4，0）∪
（0，4）.
（2）平面内动点P到两定点F1（－2，0），F2（2，0）的距离之差为
m，若动点P的轨迹是双曲线，则m的取值范围是（　D　）
A. （－4，＋∞） B. （4，＋∞）
C. （－4，4） D. （－4，0）∪（0，4）
D
02
PART
知识点二
双曲线的标准方程
问题2　（1）类比求椭圆标准方程的过程，如何建立适当的坐标系，才能
使得到的双曲线方程更简单？
提示：观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而
且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为
x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面
直角坐标系Oxy，得到的双曲线方程最简单.
（2）设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，c＞0.试根据上面所建立的
坐标系，推导双曲线的标准方程.
提示：设F1，F2的坐标分别是（－c，0），（c，0），P（x，y）是双
曲线上一点，则｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a（a为大于0的常数），
因为｜PF1｜＝ ，
｜PF2｜＝ ，
所以 －
＝±2a，　①
类比椭圆标准方程的化简过程，化简①得（c2－a2）·x2－a2y2＝a2（c2－
a2），两边同除以a2（c2－a2），得 － ＝1.
由双曲线的定义知2c＞2a，即c＞a，所以c2－a2＞0，
类比椭圆标准方程的建立过程，
令b2＝c2－a2，其中b＞0，代入上式，得 － ＝1（a＞0，b＞0）.
【知识梳理】
双曲线的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 － ＝1 （a＞0，b＞0） － ＝1
（a＞0，b＞0）
图形
焦点在x轴上 焦点在y轴上
焦点 坐标 F1（－c，0），F2
F1 ，F2（0，
c）
焦距 ｜F1F2｜＝ a，b，c
的关系 c2＝ （c，
0）　
（0，－c）　
2c　
a2＋b2　
　　提醒：（1）若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为
正，则焦点在y轴上.记忆口诀：“焦点跟着正项走”；（2）a与b没有大
小关系.
角度1　双曲线标准方程的认识
【例2】已知 － ＝－1，当k为何值时：
（1）方程表示双曲线？
解：原方程可变形为 － ＝1.
要使方程表示双曲线，必须满足（｜k｜－3）（1－k）＞0.
即 或 解得k＜－3或1＜k＜3.
（2）方程表示焦点在x轴上的双曲线？
解：若方程表示焦点在x轴上的双曲线，
则 解得1＜k＜3.
【规律方法】
　方程表示双曲线的条件
（1）对于方程 ＋ ＝1，当mn＜0时表示双曲线，进一步，当m＞0，
n＜0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＞0时表示焦点在y轴上的
双曲线；
（2）对于方程 － ＝1，当mn＞0时表示双曲线，且当m＞0，n＞0
时表示焦点在x轴上的双曲线；当m＜0，n＜0时表示焦点在y轴上的双
曲线.
角度2　求双曲线的标准方程
【例3】根据下列条件，求双曲线的标准方程：
（1）左、右焦点分别为F1（－5，0），F2（5，0），且双曲线上一点P
满足｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝8；
解：由题意c＝5，｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝8，a＝4，所以b＝
＝3，所以双曲线的标准方程为 － ＝1.
（2）与双曲线 － ＝1有公共焦点，且过点（3 ，2）；
解：法一　设双曲线的标准方程为 － ＝1（a＞0，b＞0），由题意得
c＝2 .
又双曲线过点（3 ，2），
所以 － ＝1，　①
又a2＋b2＝20，　②
由①②得a2＝12，b2＝8，故双曲线的标准方程为 － ＝1.
法二　设双曲线的方程为 － ＝1（－4＜k＜16），将点（3 ，
2）代入得k＝4.
故双曲线的标准方程为 － ＝1.
（3）过点P（3， ），Q（－ ，5）且焦点在坐标轴上.
解：设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB＜0.
因为点P，Q在双曲线上，
所以 解得
所以双曲线的标准方程为 － ＝1.
【规律方法】
求双曲线标准方程的两个关注点
　　提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论.也可以设双曲线方程
为mx2＋ny2＝1的形式，注意标明条件mn＜0.
训练2　（1）（2025·聊城月考）椭圆 ＋ ＝1与双曲线 － ＝1有相
同的焦点，则a＝ ；
解析：由双曲线方程知，焦点在x轴上，且c2＝a＋2（a＞0）.由椭圆方
程，知c2＝4－a2，所以a＋2＝4－a2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝
－2（舍去）.所以a＝1.
1
（2）（2025·常州质检）若圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都
在双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的
标准方程为 .
－ ＝1
解析：将x＝0代入x2＋y2－4x－9＝0，得y2＝9，即y＝±3.所以点A，B
的坐标分别为（0，－3），（0，3）.因为A，B两点都在双曲线上，且将
此双曲线的焦距三等分，所以双曲线焦点在y轴上且
解得 所以双曲线方程为 － ＝1.
03
PART
提能点
双曲线定义与标准方程的简单应用
【例4】　（1）已知F1、F2分别是双曲线C： －y2＝1（a＞0）的左、
右焦点，且C上存在点P使得｜PF1｜＝4｜PF2｜，则实数a的取值范围
是 ；
［ ，＋∞）
解析：因为｜PF1｜＝4｜PF2｜，双曲线C： －y2＝1（a＞0），
又｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a，所以｜PF1｜＝ ，｜PF2｜＝ ，又
＝｜PF1｜＋｜PF2｜≥｜F1F2｜＝2c＝2 ，解得a≥ ，即实
数a的取值范围是［ ，＋∞）.
（2）已知F是双曲线 －y2＝1的左焦点，P是双曲线右支上一动点，定
点M（4，3），则｜PM｜＋｜PF｜的最小值是 .
解析：设双曲线 －y2＝1的右焦点为F'，则F（－2，0），F'（2，0），
由P是双曲线右支上一动点，根据定义得｜PF｜－｜PF'｜＝2a＝2 ，
即｜PF｜＝｜PF'｜＋2 ，故｜PM｜＋｜PF｜＝｜PM｜＋｜PF'｜＋
2 ≥｜MF'｜＋2 ＝ ＋2 ＝ ＋2 .
＋2
【规律方法】
1. 已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据
定义求该点到另一焦点的距离.
2. 设双曲线方程为 － ＝1（a＞0，b＞0），F1，F2分别为双曲线的
左、右焦点，Q（x0，y0）为平面上一定点，M为双曲线右支上任意一点.
（1）若定点Q（x0，y0）与双曲线右焦点F2在双曲线右支的同侧，则｜
MQ｜＋｜MF2｜的最小值是｜QF1｜－2a，最大值不存在；
（2）若定点Q（x0，y0）与双曲线右焦点F2在双曲线右支的异侧，则｜
MQ｜＋｜MF2｜的最小值是｜QF2｜，最大值不存在.
训练3　（1）已知P是双曲线 － ＝1上一点，F1，F2分别为双曲线的
左、右焦点，且｜PF1｜＝17，则｜PF2｜＝（　B　）
A. 30 B. 33
C. 35 D. 42
解析：由题意得a＝8，b＝6，c＝10，由双曲线的图象可得点P到右焦点
F2的距离d≥c－a＝2.因为｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝16，又｜
PF1｜＝17，所以｜PF2｜＝1（舍去）或｜PF2｜＝33.故选B.
B
（2）已知双曲线C： － ＝1，F1，F2是其左、右焦点.圆E：x2＋y2
－4y＋3＝0，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则｜
PF1｜＋｜PQ｜的最小值为 .
解析：由题意，F1（－4，0），F2（4，0），
E（0，2），圆E的半径r＝1，由点P为双曲
线C右支上的动点知｜PF1｜＝｜PF2｜＋6，
所以｜PF1｜＋｜PQ｜＝｜PF2｜＋｜PQ｜
＋6，所以（｜PF1｜＋｜PQ｜）min＝（｜PF2｜＋｜PQ｜）min＋6＝｜F2E｜－r＋6＝2 －1＋6＝5＋2 .
5＋2
1. 已知M（－2，0），N（2，0），｜PM｜－｜PN｜＝4，则动点P的
轨迹是（　　）
A. 双曲线 B. 双曲线左支
C. 一条射线 D. 双曲线右支
解析：　因为｜PM｜－｜PN｜＝4＝｜MN｜，所以动点P的轨迹是一
条射线.故选C.
√
2. 若方程 ＋ ＝1表示双曲线，则实数k的取值范围是（　　）
A. k＜1 B. k＞4
C. 1＜k＜4 D. k＜1或k＞4
解析：根据题意有（k－1）（k－4）＜0，所以1＜k＜4.故选C.
√
3. 若椭圆 ＋ ＝1（m＞0）与双曲线 － ＝1有相同的焦点，则m
＝ 　　.
1
解析：双曲线 － ＝1的焦点在x轴上，依题意，0＜m2＜4，即0＜m＜
2，又 ＝ ，解得m＝1，所以m＝1.
4. （1）以椭圆 ＋ ＝1的长轴端点为焦点，且经过点（3， ）的双
曲线的标准方程是 ；
解析：依题意，双曲线的焦点在x轴上，c＝2 .设双曲线的标准方程为
－ ＝1（a＞b＞0）.代入点（3， ）得 － ＝1.又a2＋b2＝c2
＝8，解得a2＝3，b2＝5.所以所求双曲线的标准方程为 － ＝1.
－ ＝1
（2）焦距为26，且经过点M（0，12）的双曲线的标准方程是
.
解析：∵双曲线经过点M（0，12），∴M（0，12）为双曲线的一个顶
点，故焦点在y轴上，且a＝12.又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝
25.∴双曲线的标准方程为 － ＝1.
－
＝1
课堂小结
1.理清单
（1）双曲线的定义；
（2）双曲线标准方程的认识与求解；
（3）双曲线定义与标准方程的简单应用.
课堂小结
2.应体会
（1）求解双曲线的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定
义法；
（2）用待定系数法求双曲线的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接
设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，体现分类讨论
思想及方程思想.
3.避易错
（1）双曲线中a，b，c的关系与椭圆中的不同，易记错记混；
（2）忽略双曲线的定义中的2a＜｜F1F2｜或把双曲线的一支误认为是两支.
04
PART
课时作业
1. 已知定点F1（－2，0），F2（2，0），则在平面内满足下列条件的动
点P的轨迹中为双曲线的是（　　）
A. ｜PF1｜－｜PF2｜＝±3
B. ｜PF1｜－｜PF2｜＝±4
C. ｜PF1｜－｜PF2｜＝±5
D. ｜PF1｜2－｜PF2｜2＝±4
解析：　当｜PF1｜－｜PF2｜＝±3时，｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝3
＜｜F1F2｜＝4，满足双曲线的定义，所以选项A中P点的轨迹是双曲线.
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√
2. 若双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为（　　）
A. （ ，0） B. （ ，0）
C. （ ，0） D. （ ，0）
解析：将双曲线方程化为标准方程为x2－ ＝1，∴a2＝1，b2＝ ，∴c2＝a2＋b2＝ ，∴c＝ ，故右焦点坐标为（ ，0）.
√
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3. 与双曲线 －y2＝1有公共焦点，且过点（ ， ）的双曲线标准方
程为（　　）
A. － ＝1 B. － ＝1
C. －y2＝1 D. x2－ ＝1
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解析：　双曲线 －y2＝1的焦点为（± ，0），设双曲线的方程为
－ ＝1（a，b＞0），可得a2＋b2＝3，将点（ ， ）代入双曲线方
程可得 － ＝1，解得a＝1，b＝ ，即所求双曲线的标准方程为x2－
＝1.
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4. 已知直线ax＋by＋c＝0在平面直角坐标系中的位置如图所示，则方程
ax2－by2－c＝0表示（　　）
A. 焦点在x轴上的双曲线
B. 焦点在y轴上的双曲线
C. 焦点在x轴上的椭圆
D. 焦点在y轴上的椭圆
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解析：　将直线的方程化为y＝－ x－ ，可知 即
将方程ax2－by2－c＝0化为 － ＝1，由 可得 ＜0，故方程
ax2－by2－c＝0表示焦点在y轴上的双曲线.故选B.
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5. 设F1，F2分别是双曲线C： － ＝1的左、右焦点，过F2的直线与C
的右支交于P，Q两点，则｜F1P｜＋｜F1Q｜－｜PQ｜＝（　　）
A. 5 B. 6 C. 8 D. 12
解析：　由双曲线C： － ＝1，得a2＝4，即a＝2，由双曲线的定义
知｜F1P｜－｜PF2｜＝2a＝4，｜F1Q｜－｜QF2｜＝2a＝4，｜PQ｜
＝｜PF2｜＋｜QF2｜，所以｜F1P｜＋｜F1Q｜－｜PQ｜＝｜F1P｜
＋｜F1Q｜－（｜PF2｜＋｜QF2｜）＝｜F1P｜－｜PF2｜＋｜F1Q｜
－｜QF2｜＝8.故选C.
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6. 〔多选〕（2025·泉州月考）若方程 ＋ ＝1所表示的曲线为C，则
下面四个选项中正确的是（　　）
A. 若1＜t＜3，则曲线C为椭圆
B. 若曲线C为椭圆，且长轴在y轴上，则2＜t＜3
C. 若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞3
D. 曲线C可能是圆
√
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解析：　若方程 ＋ ＝1表示椭圆，则 解得1＜t
＜3且t≠2，故A错误；若曲线C为椭圆，且长轴在y轴上，则
解得2＜t＜3，故B正确；若曲线C为双曲线，则（3－
t）·（t－1）＜0，解得t＜1或t＞3，故C正确；
若曲线C是圆，则 解得t＝2，故D正确.故选B、C、D.
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7. 〔多选〕过点（1，1），且b＝ a的双曲线的标准方程可以是（　　）
A. －y2＝1 B. －x2＝1
C. x2－ ＝1 D. y2－ ＝1
√
√
解析：　由于b＝ a，∴b2＝2a2.当焦点在x轴上时，设双曲线方程
为 － ＝1，代入（1，1）点，得a2＝ ，此时双曲线方程为 －y2＝
1.同理求得焦点在y轴上时，双曲线方程为 －x2＝1.
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8. 已知双曲线方程为2x2－y2＝k（k≠0），焦距为6，则k＝ .
解析：若焦点在x轴上，则方程可化为 － ＝1，所以 ＋k＝32，即k
＝6.若焦点在y轴上，则方程可化为 － ＝1，所以－k＋（－ ）＝
32，即k＝－6.
6或－6
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9. 双曲线 － ＝1（a＞0）的两个焦点分别是F1与F2，焦距为8，M是
双曲线上的一点，且｜MF1｜＝5，则｜MF2｜＝ .
解析：由题意得，2c＝8，可得c＝4，所以a2＝c2－b2＝16－12＝4，解得
a＝2，又｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a＝4，所以｜5－｜MF2｜｜＝4，
解得｜MF2｜＝1或｜MF2｜＝9，当｜MF2｜＝1时，｜MF1｜＋｜MF2｜
＝6＜8，不满足题意，故舍去；当｜MF2｜＝9时，｜MF1｜＋｜MF2｜＝
14＞8，满足题意，所以｜MF2｜＝9.
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10. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点在y轴上，焦距为10，且经过点（0，4）；
解：∵双曲线焦点在y轴上，
∴设双曲线的标准方程为 － ＝1（a＞0，b＞0），由其焦距为10，得
2c＝10，c＝5，
又该双曲线过点（0，4），则a＝4，
∴b2＝c2－a2＝25－16＝9，
∴双曲线的标准方程为 － ＝1.
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（2）a＝4，经过点A（1，－ ）.
解：当焦点在x轴上时，设所求标准方程为 － ＝1（b＞0），把
点A的坐标代入，得b2＝－ × ＜0，不符合题意；
当焦点在y轴上时，设所求标准方程为 － ＝1（b＞0），把点A的坐
标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为 － ＝1.
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11. 从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图
2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲
线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且
AB＝BC＝CD＝2，视AD所在直线为x轴，则双曲线的标准方程为（　　）
A. x2－ ＝1 B. 2x2－y2＝1
C. x2－ ＝1 D. x2－ ＝1
√
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解析：　依题意，设双曲线方程为 － ＝1（a＞0，b＞0），因为｜
BC｜＝2，则a＝1，显然圆O的半径为3，又因为坐标轴和双曲线与圆O
的交点将圆O的周长八等分，所以双曲线与圆O在第一象限内的交点坐标
为（ ， ），于是（ ）2－ ＝1，解得b2＝ ，所以双曲线的方
程为x2－ ＝1.故选A.
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12. 已知双曲线 － ＝1的左、右焦点分别为F1，F2.若点M在双曲线
上，且 · ＝0，则M点到x轴的距离为（　　）
A. B. C. D.
√
解析：　如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点
到x轴的距离为h，∵ · ＝0，∴MF1⊥MF2，
设｜MF1｜＝m，｜MF2｜＝n，由双曲线定义，知m－
n＝2a＝8　①，又m2＋n2＝（2c）2＝80　②，由①②
得mn＝8，∴ mn＝4＝ ｜F1F2｜·h，∴h＝ .
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13. 已知F1，F2分别为双曲线 － ＝1的左、右焦点，P（3，1）为双
曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则｜AP｜＋｜AF2｜的最小值
为 .
解析：因为｜AP｜＋｜AF2｜＝｜AP｜＋｜AF1｜－
2 ，所以要求｜AP｜＋｜AF2｜的最小值，只需求｜
AP｜＋｜AF1｜的最小值.如图，连接F1P交双曲线的右
支于点A0.由已知得F1（－3，0），当点A位于点A0处时，｜AP｜＋｜AF1｜最小，最小值为｜PF1｜＝ ＝ .故｜AP｜＋｜AF2｜的最小值为 －2 .
－2
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14. 已知曲线C： ＋ ＝1（t≠0，t≠±1）.
（1）求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线；
解：当t2＞0，t2－1＞0且t2≠t2－1，
即t＞1或t＜－1时，曲线C为椭圆；当t2＞0，t2－1＜0，即－1＜t＜0或0
＜t＜1时，曲线C为双曲线.
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（2）求证：不论t为何值，曲线C总有相同的焦点.
解：证明：由（1）可知，当t＞1或t＜－1时，
曲线C是椭圆，且t2＞t2－1，
因此c2＝a2－b2＝t2－（t2－1）＝1，
所以焦点为F1（－1，0），F2（1，0）；
当－1＜t＜0或0＜t＜1时，双曲线C的方程为 － ＝1，
因为c2＝a2＋b2＝t2＋1－t2＝1，
所以焦点为F1（－1，0），F2（1，0）.
综上所述，无论t为何值，曲线C总有相同的焦点.
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15. 已知△OFQ的面积为2 ，且 · ＝m，其中O为坐标原点.
（1）设 ＜m＜4 ，求 与 的夹角θ的正切值的取值范围；
解：因为 ｜ ｜·｜ ｜ sin （π－θ）＝2 ，｜
｜·｜ ｜ cos θ＝m，
所以tan θ＝ ，
又 ＜m＜4 ，所以1＜tan θ＜4，
即tan θ的取值范围为（1，4）.
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（2）设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所
示，｜ ｜＝c，m＝（ －1）c2，当｜ ｜取得最小值时，求此双
曲线的标准方程.
解：设双曲线的标准方程为 － ＝1（a＞0，b＞0），
Q（x1，y1），则 ＝（x1－c，y1），
所以S△OFQ＝ ｜ ｜·｜y1｜＝2 ，
则y1＝± ，又 · ＝m.
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即（c，0）·（x1－c，y1）＝（ －1）c2，
解得x1＝ c，
所以｜ ｜＝ ＝ ≥ ＝2 ，
当且仅当c＝4时取等号，｜ ｜最小，
此时Q的坐标为（ ， ）或（ ，－ ）.
因此 所以
所以双曲线的标准方程为 － ＝1.
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THANKS
演示完毕 感谢观看