《创新课堂》3.2.2第一课时 双曲线的简单几何性质 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测
文档属性
| 名称 | 《创新课堂》3.2.2第一课时 双曲线的简单几何性质 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-07 00:00:00 | ||
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文档简介
(共73张PPT)
第一课时 双曲线的简单几何性质
1. 理解双曲线的几何图形及简单几何性质（数学抽象、直观想象）.
2. 理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程（直观想象、数学运算）.
课标要求
在研究椭圆的几何性质时，我们从图形、方程、范围、顶点、轴长、焦点、对称性、离心率等多方面进行了研究，下面我们类比研究椭圆几何性质的方法来研究双曲线的几何性质.
情境导入
知识点一 双曲线的几何性质
01
知识点二 由双曲线的几何性质求标准方程
02
提能点 双曲线的渐近线和离心率
03
课时作业
04
目录
01
PART
知识点一
双曲线的几何性质
问题1 （1）类比对椭圆几何性质的研究，探究双曲线 － ＝1（a＞
0，b＞0）的几何性质；
提示：①范围：利用双曲线的方程求出它的范围，由方程 － ＝1可得
＝1＋ ≥1，于是， ≥1，y∈R，即x2≥a2，y∈R，
所以x≥a或x≤－a，y∈R.
②对称性： － ＝1（a＞0，b＞0）的图象关于x轴、y轴和原点都对
称.
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心.
③顶点：双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点.
顶点是A1（－a，0），A2（a，0），只有两个.
④离心率：e＝ .因为c＞a＞0，所以可以看出e＞1.
（2）如图，线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做双曲线的
实半轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚
半轴长.据此，你能发现双曲线的范围还受怎样的限制？与矩形对角线y＝
± x有什么关系？
提示：双曲线在第一象限部分的方程为y＝ · ，
它与y＝ x的位置关系：曲线在y＝ x的下方.
它与y＝ x的位置的变化趋势：慢慢靠近.
【知识梳理】
双曲线的几何性质
标准方程 － ＝1（a＞0，b＞0） － ＝1（a＞0，b＞0）
图形
标准方程 － ＝1（a＞0，b＞0） － ＝1（a＞0，b＞0）
性
质 焦点 F1（－c，0），F2（c，0） F1（0，－c），F2（0，c）
焦距 ｜F1F2｜＝ 范围 或 ， y∈ 或 ，
x∈
对称性 对称轴： ；对称中心： 2c
x≤－a
x≥a
R
y≤－a
y≥a
R
坐标轴
原点
标准方程 － ＝1（a＞0，b＞0） － ＝1（a＞0，b＞0）
顶点 A1（－a，0），A2（a，0） A1（0，－a），A2（0，a）
轴 实轴：线段 ，长： ； 虚轴：线段 ，长： ； 实半轴长： ，虚半轴长： 离心率 e＝ ∈ 渐近线 y＝ y＝
A1A2
2a
B1B2
2b
a
b
（1，＋∞）
± x
± x
提醒：（1）椭圆与双曲线的离心率都是e，但其范围不一样，椭圆的
离心率0＜e＜1，而双曲线的离心率e＞1；（2）当双曲线的方程确定后，
其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线对应着无数条双曲线；
（3）实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程可写为x2－y2＝m
（m＞0），它的渐近线方程为y＝±x.
【例1】求双曲线25y2－4x2＋100＝0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、
顶点坐标、离心率、渐近线方程.
解：双曲线的方程25y2－4x2＋100＝0可化为 － ＝1，
所以焦点在x轴上，a2＝25，b2＝4，因此实半轴长a＝5，虚半轴长b＝
2，顶点坐标为（－5，0），（5，0）.由c＝ ＝ ，得焦点坐
标为（ ，0），（－ ，0）.离心率e＝ ＝ ，渐近线方程为y＝
± x.
变式 若将本例中双曲线的方程变为nx2－my2＝mn（m＞0，n＞0），
求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐
近线方程.
解：把方程nx2－my2＝mn（m＞0，n＞0）化为标准方程为 － ＝1
（m＞0，n＞0），
由此可知，实半轴长a＝ ，虚半轴长b＝ ，c＝ ，
焦点坐标为（ ，0），（－ ，0），离心率e＝ ＝ ＝
，
顶点坐标为（－ ，0），（ ，0），所以渐近线方程为y＝± x，
即y＝± x.
【规律方法】
由双曲线的方程研究几何性质
（1）把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键；
（2）由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；
（3）由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.
训练1 （1）〔多选〕已知双曲线C： －y2＝1的焦点在x轴上，且实轴
长是虚轴长的3倍，则下列说法正确的是（ AB ）
A. 双曲线C的实轴长为6
B. 双曲线C的虚轴长为2
C. 双曲线C的焦距为2
D. 双曲线C的离心率为
AB
解析：由题设知2a＝3×2b＝6b，即a＝3b，又b＝1，所以a＝3，则m
＝a2＝9，所以双曲线的标准方程为 －y2＝1，实轴长为2a＝6，虚轴长
为2b＝2，焦距为2c＝2 ，离心率为 ＝ ，所以A、B正确，C、D
错误.故选A、B.
（2）已知双曲线C： － ＝1，则C的左焦点的坐标为 （－2 ，
，C的渐近线方程为 .
解析：由双曲线方程 － ＝1，得a＝2 ，b＝2，所以c＝ ＝
2 ，则C的左焦点的坐标为（－2 ，0），渐近线方程为y＝± x，
即y＝± x.
（－2 ，
0）
y＝± x
02
PART
知识点二
由双曲线的几何性质求标准方程
【例2】求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分；
解：由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3.
由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，
于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.
由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为 － ＝1或
－ ＝1.
（2）渐近线方程为y＝± x，且经过点A（2，－3）.
解：法一 ∵双曲线的渐近线方程为y＝± x.
当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为 － ＝1（a＞0，b＞
0），则 ＝ . ①
∵点A（2，－3）在双曲线上，∴ － ＝1. ②
①②联立，无解.
当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为 － ＝1（a＞0，b＞
0），则 ＝ . ③
∵点A（2，－3）在双曲线上，∴ － ＝1. ④
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为 － ＝1.
法二 由双曲线的渐近线方程为y＝± x，可设双曲线方程为 －y2＝λ
（λ≠0），
∵A（2，－3）在双曲线上，∴ －（－3）2＝λ，即λ＝－8.
∴所求双曲线的标准方程为 － ＝1.
【规律方法】
由双曲线的性质求双曲线的标准方程
（1）根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化
为解方程（组），但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式；
（2）巧设双曲线方程的技巧
①与双曲线 － ＝1共焦点的双曲线方程可设为 － ＝1
（λ≠0，－b2＜λ＜a2）；
②与双曲线 － ＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为 － ＝λ
（λ≠0）；
③渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ
（λ≠0）；
④与双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）离心率相等的双曲线方程可设为
－ ＝λ（λ＞0）或 － ＝λ（λ＞0），这是因为由离心率不能确定
焦点位置.
训练2 求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）求过点（2，－2）且与双曲线 －y2＝1有共同渐近线的双曲线的标
准方程；
解：因为所求双曲线与双曲线 －y2＝1有相同的渐近线，所以可设所求
双曲线的方程为 －y2＝λ（λ≠0），代入点（2，－2），得λ＝－2，
所以所求双曲线的方程为 －y2＝－2，化成标准方程为 － ＝1.
（2）过点（2，0），与双曲线 － ＝1的离心率相等.
解：当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为 － ＝λ（λ＞
0），将点（2，0）的坐标代入方程得λ＝ ，故所求双曲线的标准方程
为 －y2＝1；
当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为 － ＝λ（λ＞0），
将点（2，0）的坐标代入方程得λ＝－ ＜0（舍去）.
综上可知，所求双曲线的标准方程为 －y2＝1.
03
PART
提能点
双曲线的渐近线和离心率
问题2 （1）椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画
了双曲线的什么几何特征？
提示：双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小.
（2）椭圆的离心率越大越扁平，双曲线的离心率与张口大小有什么关
系？
提示：e＝ ＝ ＝ ＝ ，又 为双曲线渐近线
方程的斜率，因此 越小，e越小，双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭
窄，即e越小，双曲线的“张口”越小.
（3）在双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）中，焦点F1（c，0）到渐近线
的距离是多少？
提示：双曲线的一条渐近线方程为y＝ x，即bx－ay＝0，则点F1（c，
0）到渐近线y＝ x的距离为 ＝ ＝b.
角度1 渐近线
【例3】（1）若双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则该双
曲线的渐近线方程为（ A ）
A. x±y＝0 B. x± y＝0
C. x±y＝0 D. x±y＝0
解析：由题意可知，e＝2，则 ＝ ＝ ＝ ，所以双曲线的
渐近线方程为y＝± x，即 x±y＝0.故选A.
A
（2）已知双曲线 － ＝1（b＞0）的焦点到渐近线的距离为5，则该双
曲线的渐近线方程为 .
解析：由题意，知b＝5，故该双曲线的渐近线方程为5x±2 y＝0.
5x±2 y＝0
【规律方法】
求渐近线方程的步骤
（1）定类型：确定双曲线的焦点位置，若不明确，应分类讨论；
（2）求参数：利用已知条件建立a，b的关系式，求出a，b的值或其比
值；
（3）写方程：若双曲线的焦点在x上，其渐近线方程为y＝± x；若双曲
线的焦点在y上，其渐近线方程为y＝± x.
角度2 离心率
【例4】 （1）如果椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，那么双
曲线 － ＝1的离心率为 ；
解析：由椭圆的离心率为 ，得 ＝ ，∴a2＝4b2.∴双曲线的离心率
e＝ ＝ ＝ ＝ .
（2）（2025·东营月考）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为
B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率
为 .
解析：不妨设焦点F（c，0），虚轴的端点B（0，b），则kFB＝－ .又
渐近线的斜率为± ，所以由直线垂直得－ · ＝－1（斜率为－ 的直线
显然不符合），即b2＝ac.又c2－a2＝b2，故c2－a2＝ac，两边同除以
a2，得方程e2－e－1＝0，解得e＝ （负值舍去）.
【规律方法】
求双曲线离心率的两种方法
（1）直接法：若已知a，c，可直接利用e＝ 求解；若已知a，b，可利
用e＝ 求解；
（2）方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，
c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程
（不等式），借助于e＝ ，转化为关于e的方程（不等式）求解.
训练3 （1）如果双曲线 － ＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦
点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是（ C ）
A. （1，＋∞） B. （ ，＋∞）
C. （2，＋∞） D. （3，＋∞）
解析：如图，因为｜AO｜＝｜AF｜，F（c，0），所以
xA＝ ，因为A在右支上且不在顶点处，所以 ＞a，所以e
＝ ＞2.
C
（2）已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F1，M为C
的渐近线上一点，M关于原点的对称点为N，若∠MF1N＝90°，且｜
F1N｜＝ ｜F1M｜，则C的渐近线方程为（ B ）
A. y＝± x B. y＝± x
C. y＝± x D. y＝± x
B
解析：如图所示，根据对称性，不妨设M在第三象限，由于∠MF1N＝90°，且｜F1N｜＝ ｜F1M｜，所以∠F1MN＝60°，｜MN｜＝2｜MF1｜，由于M，N关于原点对称，所以｜OM｜＝｜ON｜，结合∠MF1N＝90°可得｜F1O｜＝｜OM｜＝｜ON｜，所以∠MOF1＝60°，故渐近线MN的倾斜角为60°，所以双曲线C的渐近线方程为y＝± x.故选B.
椭圆（双曲线）的第二定义
通过教材P113例6、P125例5我们可以得到如下结论：
（1）椭圆（双曲线）准线的标准方程为x＝± ；
（2）椭圆（双曲线）上任意一点到左焦点的距离与到左准线x＝－ 的距
离的比或到右焦点的距离与到右准线x＝ 的距离的比是椭圆（双曲线）
的离心率；
（3）显然当0＜e＜1时为椭圆，当e＞1时为双曲线.
【迁移应用】
1. （2025·烟台质检）点M（x，y）到定点F（5，0）的距离和它到定直
线l：x＝ 的距离的比是常数 ，则点M的轨迹方程为 － ＝1 .
解析：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹
就是集合P＝ ，由此得 ＝
.将上式两边平方并化简，得9x2－16y2＝144，即 － ＝1.
－ ＝1
2. 点M与定点F（2，0）的距离和它到定直线x＝8的距离的比是1∶2，则
点M的轨迹方程为 .
解析：设M（x，y），d是点M到直线l：x＝8的距离，
根据题意，点M的轨迹就是集合P＝ ，
由此得 ＝ ，将上式两边平方并化简，得3x2＋4y2＝48，即 ＋ ＝1.
＋ ＝1
1. （2025·南通月考）已知双曲线x2－ ＝1的渐近线方程为y＝± x，
则m2＝（ ）
A. 5 B.
C. D. 25
解析：双曲线x2－ ＝1的焦点在x轴上，其渐近线方程为y＝±｜m｜x，由渐近线方程为y＝± x，可得｜m｜＝ ，可得m2＝5.故选A.
√
2. 中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等
轴双曲线的方程是（ ）
A. x2－y2＝8 B. x2－y2＝4
C. y2－x2＝8 D. y2－x2＝4
解析： 令y＝0，得x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点为（－4，0），
∴c＝4，a2＝b2＝ c2＝ ×16＝8，故选A.
√
3. 〔多选〕已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则（ ）
A. 实轴长为8 B. 虚轴长为4
C. 焦距为6 D. 离心率为
解析：双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为 － ＝1，可得a＝4 ，b＝2，c＝6，所以双曲线的实轴长为8 ，虚轴长为4，焦距为12，离心率为 .
√
√
√
4. 已知双曲线的离心率e＝ ，且与椭圆 ＋ ＝1有共同的焦点，则该
双曲线的标准方程为 .
解析：在椭圆中，a2＝13，b2＝3，所以c＝ ＝ ，焦点坐标为
F1（－ ，0），F2（ ，0），焦点在x轴上，所以双曲线的焦点也
在x轴上，且c1＝c＝ .由e＝ ，得 ＝ ，所以a1＝2 ，所以
＝8， ＝ － ＝10－8＝2.故该双曲线的标准方程为 － ＝1.
－ ＝1
课堂小结
1.理清单
（1）双曲线的几何性质；
（2）由双曲线的几何性质求标准方程；
（3）双曲线的渐近线和离心率问题.
2.应体会
（1）由双曲线的几何性质求标准方程时，要注意待定系数法及分类讨论
思想的应用；
（2）求双曲线的离心率时，要注意方程思想及数形结合思想的应用.
3.避易错
由双曲线的几何性质求其方程时，对于焦点的位置应考虑全面.
04
PART
课时作业
1. 双曲线x2－4y2＝－8的渐近线方程为（ ）
A. y＝±2x B. y＝± x
C. y＝± x D. y＝± x
解析： 由题意双曲线的标准方程为 － ＝1，则其焦点在y轴上，a
＝ ，b＝2 ，则其渐近线方程为y＝± x＝± x.
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√
2. 已知双曲线 － ＝1（b＞0）的离心率是2，则b＝（ ）
A. 12 B. 2
C. D.
解析：由题意可得e＝ ＝ ＝ ＝ ＝2，解得b＝2 .
故选B.
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3. 已知双曲线C： － ＝1的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线
上，则C的方程为（ ）
A. － ＝1 B. － ＝1
C. － ＝1 D. － ＝1
解析： 由题意，得点P（2，1）在双曲线的渐近线y＝ x上，∴ ＝
，即a＝2b.又2c＝10，∴c＝5.由a2＋b2＝c2，解得a2＝20，b2＝5.故
所求双曲线方程为 － ＝1.
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4. 如图，双曲线C： － ＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于
y轴对称，则｜P2F1｜－｜P1F1｜＝（ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 6
解析： 设F2为右焦点，连接P2F2（图略），由双曲线的对称性，知｜
P1F1｜＝｜P2F2｜，所以｜P2F1｜－｜P1F1｜＝｜P2F1｜－｜P2F2｜＝
2×3＝6.
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5. 已知F是双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作双
曲线C的一条渐近线的垂线FD，垂足为D，若｜FD｜＝ ｜OF｜（O为
坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2
C. 3 D.
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解析： 易知△OFD是直角三角形，双曲线的渐近线方程为y＝± x，
设F（c，0），由｜FD｜＝ ｜OF｜可知∠DOF＝30° tan∠DOF＝
＝ ，所以a2＝3b2＝3（c2－a2） e2＝ e＝ .故选A.
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6. 〔多选〕关于双曲线C1：4x2－9y2＝－36与双曲线C2：4x2－9y2＝36的
说法正确的是（ ）
A. 有相同的焦点 B. 有相同的焦距
C. 有相同的离心率 D. 有相同的渐近线
解析：两方程均化成标准方程为 － ＝1和 － ＝1，这里均有c2＝4＋9＝13，所以有相同的焦距，而焦点一个在y轴上，另一个在x轴上，所以A错误，B正确；又两方程的渐近线均为y＝± x，故D正确；C1的离心率e1＝ ，C2的离心率e2＝ ，故C错误，故选B、D.
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7. 〔多选〕若双曲线C的一个焦点为F（5，0），P是双曲线上一点，且
渐近线方程为y＝± x，则下列结论正确的是（ ）
A. C的方程为 － ＝1
B. C的离心率为
C. 焦点到渐近线的距离为3
D. ｜PF｜的最小值为2
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解析：由双曲线C的一个焦点为F（5，0），且渐近线方程为y＝± x，可得c＝5，焦点在x轴上，所以 ＝ ，因为c＝5，所以b＝4，a＝3，所以C的方程为 － ＝1，A正确；离心率为e＝ ，B不正确；焦点到渐近线的距离为d＝ ＝4，C不正确；｜PF｜的最小值为c－a＝2，D正确.
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8. 能说明“若mn≠0，则方程 ＋ ＝1表示的曲线为焦点在y轴上且一
条渐近线方程为y＝2x的双曲线”的一组m，n的值是
.
解析：设焦点在y轴上且渐近线方程为y＝2x的双曲线的方程为 －x2＝
λ（λ＞0），即 － ＝1（λ＞0），所以 （λ＞0），不
妨令λ＝1，所以
（答
案不唯一）
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9. 已知双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0），O为坐标原点，F1，F2分别
为其左、右焦点，若左支上存在一点P，使得F2P的中点M满足｜OM｜
＝ c，则双曲线的离心率e的取值范围是 （1， ］ .
解析：因为O，M分别为F1F2，PF2的中点，所以｜PF1｜＝2｜OM｜＝
c.又双曲线上的点到焦点的最小距离为c－a，所以 c≥c－a＞0，解得
1＜ ≤ ，因此双曲线的离心率e的取值范围是（1， ］.
（1， ］
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10. 已知双曲线C的中心在原点，且过点P（－ ，3），分别根据下列
条件求C的标准方程：
（1）C的离心率为 ；
解：由离心率为 ，得 ＝2，又因为c2＝a2＋b2，得a2＝b2，
所以可设C的方程为x2－y2＝λ（λ≠0），
因为C过点P（－ ，3），所以5－9＝λ，即λ＝－4，
所以C的标准方程为 － ＝1.
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（2）焦点在x轴上，且点Q（－1，3）在C的渐近线上.
解：由题意设C的方程为 － ＝1（a＞0，b＞0），因为点Q
（－1，3）在C的渐近线上，所以 ＝3，又C过点P（－ ，3），所以
－ ＝1，两式联立解得a＝2，b＝6，
所以C的标准方程为 － ＝1.
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11. 已知P为双曲线 －x2＝1上任意一点，过点P向双曲线的两条渐近线
分别作垂线，垂足分别为A，B，则｜PA｜·｜PB｜的值为（ ）
A. 4 B. 5
C. D. 与点P的位置有关
解析： 设点P（x0，y0），则有 － ＝1，所以 －4 ＝4.易知
双曲线 －x2＝1的渐近线方程为2x±y＝0，所以｜PA｜·｜PB｜＝
· ＝ ＝ .
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12. 〔多选〕已知F1，F2分别是双曲线C： － ＝1的上、下焦点，以
线段F1F2为直径的圆M与双曲线C的渐近线的一个交点为P，则（ ）
A. 圆M的方程为x2＋y2＝10
B. 双曲线C的离心率为
C. 双曲线C的渐近线方程为y＝± x
D. △PF1F2的面积为2
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解析： 由双曲线方程C： － ＝1，得实半轴长a＝2 ，
虚半轴长b＝ ，半焦距c＝ ＝ ，圆M的圆心
为（0，0），半径为 ，方程为x2＋y2＝10，A正确；双曲
线C的离心率e＝ ＝ ，B正确；双曲线C： － ＝1的渐近线方程为y＝±2x，C错误；
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由 解得 则点P横坐标xP满足｜xP｜＝ ，
而｜F1F2｜＝2 ，于是 ＝ ·｜F1F2｜·｜xP｜＝2 ，D正
确，故选A、B、D.
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13. 已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，
F2，过点F2，B（0，b）的直线与双曲线右支在第一象限相交于点P，若
＝3 ，则双曲线C的渐近线方程为 y＝± x .
y＝± x
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解析：设P（x0，y0），x0＞0，y0＞0，因为B（0，b），F2（c，0），
所以直线BF2的方程为 ＋ ＝1，又 ＝3 ， ＝
×2c·b＝bc， ＝ ×2c·y0＝cy0，则bc＝3cy0，解得y0＝ ，将y0
＝ 代入 ＋ ＝1中，得x0＝ ，则P（ ， ），所以 － ＝1，又
a2＋b2＝c2，解得 ＝ ，故双曲线C的渐近线方程为y＝± x.
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14. 已知双曲线E： － ＝1（m＞0）.
（1）若m＝4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；
解：当m＝4时，双曲线方程为 － ＝1，
所以a＝2，b＝ ，c＝3，所以双曲线E的焦点坐标为（－3，0），
（3，0），
顶点坐标为（－2，0），（2，0），渐近线方程为y＝± x.
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（2）若双曲线E的离心率e∈（ ， ），求实数m的取值范围.
解：因为e2＝ ＝ ＝1＋ ，e∈（ ， ），所以 ＜1＋ ＜
2，解得5＜m＜10，所以实数m的取值范围是（5，10）.
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15. 已知F1，F2分别为双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，
P为双曲线右支上的任意一点，当 取最小值时，求双曲线的离心
率e的取值范围.
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解：因为双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，
F2，P为双曲线右支上的任意一点，所以｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，｜
PF1｜＝2a＋｜PF2｜，
所以 ＝ ＝ ＋4a＋｜PF2｜≥8a，当且仅
当 ＝｜PF2｜，
即｜PF2｜＝2a时取等号，所以｜PF1｜＝2a＋｜PF2｜＝4a，
因为｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＜2c，｜PF1｜＋｜PF2｜＝6a≥2c e＝
≤3，所以e∈（1，3].
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第一课时 双曲线的简单几何性质
1. 理解双曲线的几何图形及简单几何性质（数学抽象、直观想象）.
2. 理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程（直观想象、数学运算）.
课标要求
在研究椭圆的几何性质时，我们从图形、方程、范围、顶点、轴长、焦点、对称性、离心率等多方面进行了研究，下面我们类比研究椭圆几何性质的方法来研究双曲线的几何性质.
情境导入
知识点一 双曲线的几何性质
01
知识点二 由双曲线的几何性质求标准方程
02
提能点 双曲线的渐近线和离心率
03
课时作业
04
目录
01
PART
知识点一
双曲线的几何性质
问题1 （1）类比对椭圆几何性质的研究，探究双曲线 － ＝1（a＞
0，b＞0）的几何性质；
提示：①范围：利用双曲线的方程求出它的范围，由方程 － ＝1可得
＝1＋ ≥1，于是， ≥1，y∈R，即x2≥a2，y∈R，
所以x≥a或x≤－a，y∈R.
②对称性： － ＝1（a＞0，b＞0）的图象关于x轴、y轴和原点都对
称.
x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心.
③顶点：双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点.
顶点是A1（－a，0），A2（a，0），只有两个.
④离心率：e＝ .因为c＞a＞0，所以可以看出e＞1.
（2）如图，线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做双曲线的
实半轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚
半轴长.据此，你能发现双曲线的范围还受怎样的限制？与矩形对角线y＝
± x有什么关系？
提示：双曲线在第一象限部分的方程为y＝ · ，
它与y＝ x的位置关系：曲线在y＝ x的下方.
它与y＝ x的位置的变化趋势：慢慢靠近.
【知识梳理】
双曲线的几何性质
标准方程 － ＝1（a＞0，b＞0） － ＝1（a＞0，b＞0）
图形
标准方程 － ＝1（a＞0，b＞0） － ＝1（a＞0，b＞0）
性
质 焦点 F1（－c，0），F2（c，0） F1（0，－c），F2（0，c）
焦距 ｜F1F2｜＝ 范围 或 ， y∈ 或 ，
x∈
对称性 对称轴： ；对称中心： 2c
x≤－a
x≥a
R
y≤－a
y≥a
R
坐标轴
原点
标准方程 － ＝1（a＞0，b＞0） － ＝1（a＞0，b＞0）
顶点 A1（－a，0），A2（a，0） A1（0，－a），A2（0，a）
轴 实轴：线段 ，长： ； 虚轴：线段 ，长： ； 实半轴长： ，虚半轴长： 离心率 e＝ ∈ 渐近线 y＝ y＝
A1A2
2a
B1B2
2b
a
b
（1，＋∞）
± x
± x
提醒：（1）椭圆与双曲线的离心率都是e，但其范围不一样，椭圆的
离心率0＜e＜1，而双曲线的离心率e＞1；（2）当双曲线的方程确定后，
其渐近线方程也就确定了；反过来，确定的渐近线对应着无数条双曲线；
（3）实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程可写为x2－y2＝m
（m＞0），它的渐近线方程为y＝±x.
【例1】求双曲线25y2－4x2＋100＝0的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、
顶点坐标、离心率、渐近线方程.
解：双曲线的方程25y2－4x2＋100＝0可化为 － ＝1，
所以焦点在x轴上，a2＝25，b2＝4，因此实半轴长a＝5，虚半轴长b＝
2，顶点坐标为（－5，0），（5，0）.由c＝ ＝ ，得焦点坐
标为（ ，0），（－ ，0）.离心率e＝ ＝ ，渐近线方程为y＝
± x.
变式 若将本例中双曲线的方程变为nx2－my2＝mn（m＞0，n＞0），
求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐
近线方程.
解：把方程nx2－my2＝mn（m＞0，n＞0）化为标准方程为 － ＝1
（m＞0，n＞0），
由此可知，实半轴长a＝ ，虚半轴长b＝ ，c＝ ，
焦点坐标为（ ，0），（－ ，0），离心率e＝ ＝ ＝
，
顶点坐标为（－ ，0），（ ，0），所以渐近线方程为y＝± x，
即y＝± x.
【规律方法】
由双曲线的方程研究几何性质
（1）把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键；
（2）由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；
（3）由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的几何性质.
训练1 （1）〔多选〕已知双曲线C： －y2＝1的焦点在x轴上，且实轴
长是虚轴长的3倍，则下列说法正确的是（ AB ）
A. 双曲线C的实轴长为6
B. 双曲线C的虚轴长为2
C. 双曲线C的焦距为2
D. 双曲线C的离心率为
AB
解析：由题设知2a＝3×2b＝6b，即a＝3b，又b＝1，所以a＝3，则m
＝a2＝9，所以双曲线的标准方程为 －y2＝1，实轴长为2a＝6，虚轴长
为2b＝2，焦距为2c＝2 ，离心率为 ＝ ，所以A、B正确，C、D
错误.故选A、B.
（2）已知双曲线C： － ＝1，则C的左焦点的坐标为 （－2 ，
，C的渐近线方程为 .
解析：由双曲线方程 － ＝1，得a＝2 ，b＝2，所以c＝ ＝
2 ，则C的左焦点的坐标为（－2 ，0），渐近线方程为y＝± x，
即y＝± x.
（－2 ，
0）
y＝± x
02
PART
知识点二
由双曲线的几何性质求标准方程
【例2】求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分；
解：由两顶点间的距离是6，得2a＝6，即a＝3.
由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得2c＝4a＝12，即c＝6，
于是有b2＝c2－a2＝62－32＝27.
由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为 － ＝1或
－ ＝1.
（2）渐近线方程为y＝± x，且经过点A（2，－3）.
解：法一 ∵双曲线的渐近线方程为y＝± x.
当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为 － ＝1（a＞0，b＞
0），则 ＝ . ①
∵点A（2，－3）在双曲线上，∴ － ＝1. ②
①②联立，无解.
当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为 － ＝1（a＞0，b＞
0），则 ＝ . ③
∵点A（2，－3）在双曲线上，∴ － ＝1. ④
联立③④，解得a2＝8，b2＝32.
∴所求双曲线的标准方程为 － ＝1.
法二 由双曲线的渐近线方程为y＝± x，可设双曲线方程为 －y2＝λ
（λ≠0），
∵A（2，－3）在双曲线上，∴ －（－3）2＝λ，即λ＝－8.
∴所求双曲线的标准方程为 － ＝1.
【规律方法】
由双曲线的性质求双曲线的标准方程
（1）根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化
为解方程（组），但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式；
（2）巧设双曲线方程的技巧
①与双曲线 － ＝1共焦点的双曲线方程可设为 － ＝1
（λ≠0，－b2＜λ＜a2）；
②与双曲线 － ＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为 － ＝λ
（λ≠0）；
③渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ
（λ≠0）；
④与双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）离心率相等的双曲线方程可设为
－ ＝λ（λ＞0）或 － ＝λ（λ＞0），这是因为由离心率不能确定
焦点位置.
训练2 求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）求过点（2，－2）且与双曲线 －y2＝1有共同渐近线的双曲线的标
准方程；
解：因为所求双曲线与双曲线 －y2＝1有相同的渐近线，所以可设所求
双曲线的方程为 －y2＝λ（λ≠0），代入点（2，－2），得λ＝－2，
所以所求双曲线的方程为 －y2＝－2，化成标准方程为 － ＝1.
（2）过点（2，0），与双曲线 － ＝1的离心率相等.
解：当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为 － ＝λ（λ＞
0），将点（2，0）的坐标代入方程得λ＝ ，故所求双曲线的标准方程
为 －y2＝1；
当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为 － ＝λ（λ＞0），
将点（2，0）的坐标代入方程得λ＝－ ＜0（舍去）.
综上可知，所求双曲线的标准方程为 －y2＝1.
03
PART
提能点
双曲线的渐近线和离心率
问题2 （1）椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画
了双曲线的什么几何特征？
提示：双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小.
（2）椭圆的离心率越大越扁平，双曲线的离心率与张口大小有什么关
系？
提示：e＝ ＝ ＝ ＝ ，又 为双曲线渐近线
方程的斜率，因此 越小，e越小，双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭
窄，即e越小，双曲线的“张口”越小.
（3）在双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）中，焦点F1（c，0）到渐近线
的距离是多少？
提示：双曲线的一条渐近线方程为y＝ x，即bx－ay＝0，则点F1（c，
0）到渐近线y＝ x的距离为 ＝ ＝b.
角度1 渐近线
【例3】（1）若双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则该双
曲线的渐近线方程为（ A ）
A. x±y＝0 B. x± y＝0
C. x±y＝0 D. x±y＝0
解析：由题意可知，e＝2，则 ＝ ＝ ＝ ，所以双曲线的
渐近线方程为y＝± x，即 x±y＝0.故选A.
A
（2）已知双曲线 － ＝1（b＞0）的焦点到渐近线的距离为5，则该双
曲线的渐近线方程为 .
解析：由题意，知b＝5，故该双曲线的渐近线方程为5x±2 y＝0.
5x±2 y＝0
【规律方法】
求渐近线方程的步骤
（1）定类型：确定双曲线的焦点位置，若不明确，应分类讨论；
（2）求参数：利用已知条件建立a，b的关系式，求出a，b的值或其比
值；
（3）写方程：若双曲线的焦点在x上，其渐近线方程为y＝± x；若双曲
线的焦点在y上，其渐近线方程为y＝± x.
角度2 离心率
【例4】 （1）如果椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，那么双
曲线 － ＝1的离心率为 ；
解析：由椭圆的离心率为 ，得 ＝ ，∴a2＝4b2.∴双曲线的离心率
e＝ ＝ ＝ ＝ .
（2）（2025·东营月考）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为
B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率
为 .
解析：不妨设焦点F（c，0），虚轴的端点B（0，b），则kFB＝－ .又
渐近线的斜率为± ，所以由直线垂直得－ · ＝－1（斜率为－ 的直线
显然不符合），即b2＝ac.又c2－a2＝b2，故c2－a2＝ac，两边同除以
a2，得方程e2－e－1＝0，解得e＝ （负值舍去）.
【规律方法】
求双曲线离心率的两种方法
（1）直接法：若已知a，c，可直接利用e＝ 求解；若已知a，b，可利
用e＝ 求解；
（2）方程法：若无法求出a，b，c的具体值，但根据条件可确定a，b，
c之间的关系，可通过b2＝c2－a2，将关系式转化为关于a，c的齐次方程
（不等式），借助于e＝ ，转化为关于e的方程（不等式）求解.
训练3 （1）如果双曲线 － ＝1右支上总存在到双曲线的中心与右焦
点距离相等的两个相异点，则双曲线离心率的取值范围是（ C ）
A. （1，＋∞） B. （ ，＋∞）
C. （2，＋∞） D. （3，＋∞）
解析：如图，因为｜AO｜＝｜AF｜，F（c，0），所以
xA＝ ，因为A在右支上且不在顶点处，所以 ＞a，所以e
＝ ＞2.
C
（2）已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F1，M为C
的渐近线上一点，M关于原点的对称点为N，若∠MF1N＝90°，且｜
F1N｜＝ ｜F1M｜，则C的渐近线方程为（ B ）
A. y＝± x B. y＝± x
C. y＝± x D. y＝± x
B
解析：如图所示，根据对称性，不妨设M在第三象限，由于∠MF1N＝90°，且｜F1N｜＝ ｜F1M｜，所以∠F1MN＝60°，｜MN｜＝2｜MF1｜，由于M，N关于原点对称，所以｜OM｜＝｜ON｜，结合∠MF1N＝90°可得｜F1O｜＝｜OM｜＝｜ON｜，所以∠MOF1＝60°，故渐近线MN的倾斜角为60°，所以双曲线C的渐近线方程为y＝± x.故选B.
椭圆（双曲线）的第二定义
通过教材P113例6、P125例5我们可以得到如下结论：
（1）椭圆（双曲线）准线的标准方程为x＝± ；
（2）椭圆（双曲线）上任意一点到左焦点的距离与到左准线x＝－ 的距
离的比或到右焦点的距离与到右准线x＝ 的距离的比是椭圆（双曲线）
的离心率；
（3）显然当0＜e＜1时为椭圆，当e＞1时为双曲线.
【迁移应用】
1. （2025·烟台质检）点M（x，y）到定点F（5，0）的距离和它到定直
线l：x＝ 的距离的比是常数 ，则点M的轨迹方程为 － ＝1 .
解析：设d是点M到直线l的距离，根据题意，所求轨迹
就是集合P＝ ，由此得 ＝
.将上式两边平方并化简，得9x2－16y2＝144，即 － ＝1.
－ ＝1
2. 点M与定点F（2，0）的距离和它到定直线x＝8的距离的比是1∶2，则
点M的轨迹方程为 .
解析：设M（x，y），d是点M到直线l：x＝8的距离，
根据题意，点M的轨迹就是集合P＝ ，
由此得 ＝ ，将上式两边平方并化简，得3x2＋4y2＝48，即 ＋ ＝1.
＋ ＝1
1. （2025·南通月考）已知双曲线x2－ ＝1的渐近线方程为y＝± x，
则m2＝（ ）
A. 5 B.
C. D. 25
解析：双曲线x2－ ＝1的焦点在x轴上，其渐近线方程为y＝±｜m｜x，由渐近线方程为y＝± x，可得｜m｜＝ ，可得m2＝5.故选A.
√
2. 中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等
轴双曲线的方程是（ ）
A. x2－y2＝8 B. x2－y2＝4
C. y2－x2＝8 D. y2－x2＝4
解析： 令y＝0，得x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点为（－4，0），
∴c＝4，a2＝b2＝ c2＝ ×16＝8，故选A.
√
3. 〔多选〕已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则（ ）
A. 实轴长为8 B. 虚轴长为4
C. 焦距为6 D. 离心率为
解析：双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为 － ＝1，可得a＝4 ，b＝2，c＝6，所以双曲线的实轴长为8 ，虚轴长为4，焦距为12，离心率为 .
√
√
√
4. 已知双曲线的离心率e＝ ，且与椭圆 ＋ ＝1有共同的焦点，则该
双曲线的标准方程为 .
解析：在椭圆中，a2＝13，b2＝3，所以c＝ ＝ ，焦点坐标为
F1（－ ，0），F2（ ，0），焦点在x轴上，所以双曲线的焦点也
在x轴上，且c1＝c＝ .由e＝ ，得 ＝ ，所以a1＝2 ，所以
＝8， ＝ － ＝10－8＝2.故该双曲线的标准方程为 － ＝1.
－ ＝1
课堂小结
1.理清单
（1）双曲线的几何性质；
（2）由双曲线的几何性质求标准方程；
（3）双曲线的渐近线和离心率问题.
2.应体会
（1）由双曲线的几何性质求标准方程时，要注意待定系数法及分类讨论
思想的应用；
（2）求双曲线的离心率时，要注意方程思想及数形结合思想的应用.
3.避易错
由双曲线的几何性质求其方程时，对于焦点的位置应考虑全面.
04
PART
课时作业
1. 双曲线x2－4y2＝－8的渐近线方程为（ ）
A. y＝±2x B. y＝± x
C. y＝± x D. y＝± x
解析： 由题意双曲线的标准方程为 － ＝1，则其焦点在y轴上，a
＝ ，b＝2 ，则其渐近线方程为y＝± x＝± x.
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√
2. 已知双曲线 － ＝1（b＞0）的离心率是2，则b＝（ ）
A. 12 B. 2
C. D.
解析：由题意可得e＝ ＝ ＝ ＝ ＝2，解得b＝2 .
故选B.
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3. 已知双曲线C： － ＝1的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线
上，则C的方程为（ ）
A. － ＝1 B. － ＝1
C. － ＝1 D. － ＝1
解析： 由题意，得点P（2，1）在双曲线的渐近线y＝ x上，∴ ＝
，即a＝2b.又2c＝10，∴c＝5.由a2＋b2＝c2，解得a2＝20，b2＝5.故
所求双曲线方程为 － ＝1.
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4. 如图，双曲线C： － ＝1的左焦点为F1，双曲线上的点P1与P2关于
y轴对称，则｜P2F1｜－｜P1F1｜＝（ ）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 6
解析： 设F2为右焦点，连接P2F2（图略），由双曲线的对称性，知｜
P1F1｜＝｜P2F2｜，所以｜P2F1｜－｜P1F1｜＝｜P2F1｜－｜P2F2｜＝
2×3＝6.
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5. 已知F是双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F作双
曲线C的一条渐近线的垂线FD，垂足为D，若｜FD｜＝ ｜OF｜（O为
坐标原点），则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. 2
C. 3 D.
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解析： 易知△OFD是直角三角形，双曲线的渐近线方程为y＝± x，
设F（c，0），由｜FD｜＝ ｜OF｜可知∠DOF＝30° tan∠DOF＝
＝ ，所以a2＝3b2＝3（c2－a2） e2＝ e＝ .故选A.
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6. 〔多选〕关于双曲线C1：4x2－9y2＝－36与双曲线C2：4x2－9y2＝36的
说法正确的是（ ）
A. 有相同的焦点 B. 有相同的焦距
C. 有相同的离心率 D. 有相同的渐近线
解析：两方程均化成标准方程为 － ＝1和 － ＝1，这里均有c2＝4＋9＝13，所以有相同的焦距，而焦点一个在y轴上，另一个在x轴上，所以A错误，B正确；又两方程的渐近线均为y＝± x，故D正确；C1的离心率e1＝ ，C2的离心率e2＝ ，故C错误，故选B、D.
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√
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7. 〔多选〕若双曲线C的一个焦点为F（5，0），P是双曲线上一点，且
渐近线方程为y＝± x，则下列结论正确的是（ ）
A. C的方程为 － ＝1
B. C的离心率为
C. 焦点到渐近线的距离为3
D. ｜PF｜的最小值为2
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√
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解析：由双曲线C的一个焦点为F（5，0），且渐近线方程为y＝± x，可得c＝5，焦点在x轴上，所以 ＝ ，因为c＝5，所以b＝4，a＝3，所以C的方程为 － ＝1，A正确；离心率为e＝ ，B不正确；焦点到渐近线的距离为d＝ ＝4，C不正确；｜PF｜的最小值为c－a＝2，D正确.
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8. 能说明“若mn≠0，则方程 ＋ ＝1表示的曲线为焦点在y轴上且一
条渐近线方程为y＝2x的双曲线”的一组m，n的值是
.
解析：设焦点在y轴上且渐近线方程为y＝2x的双曲线的方程为 －x2＝
λ（λ＞0），即 － ＝1（λ＞0），所以 （λ＞0），不
妨令λ＝1，所以
（答
案不唯一）
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9. 已知双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0），O为坐标原点，F1，F2分别
为其左、右焦点，若左支上存在一点P，使得F2P的中点M满足｜OM｜
＝ c，则双曲线的离心率e的取值范围是 （1， ］ .
解析：因为O，M分别为F1F2，PF2的中点，所以｜PF1｜＝2｜OM｜＝
c.又双曲线上的点到焦点的最小距离为c－a，所以 c≥c－a＞0，解得
1＜ ≤ ，因此双曲线的离心率e的取值范围是（1， ］.
（1， ］
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10. 已知双曲线C的中心在原点，且过点P（－ ，3），分别根据下列
条件求C的标准方程：
（1）C的离心率为 ；
解：由离心率为 ，得 ＝2，又因为c2＝a2＋b2，得a2＝b2，
所以可设C的方程为x2－y2＝λ（λ≠0），
因为C过点P（－ ，3），所以5－9＝λ，即λ＝－4，
所以C的标准方程为 － ＝1.
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（2）焦点在x轴上，且点Q（－1，3）在C的渐近线上.
解：由题意设C的方程为 － ＝1（a＞0，b＞0），因为点Q
（－1，3）在C的渐近线上，所以 ＝3，又C过点P（－ ，3），所以
－ ＝1，两式联立解得a＝2，b＝6，
所以C的标准方程为 － ＝1.
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11. 已知P为双曲线 －x2＝1上任意一点，过点P向双曲线的两条渐近线
分别作垂线，垂足分别为A，B，则｜PA｜·｜PB｜的值为（ ）
A. 4 B. 5
C. D. 与点P的位置有关
解析： 设点P（x0，y0），则有 － ＝1，所以 －4 ＝4.易知
双曲线 －x2＝1的渐近线方程为2x±y＝0，所以｜PA｜·｜PB｜＝
· ＝ ＝ .
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12. 〔多选〕已知F1，F2分别是双曲线C： － ＝1的上、下焦点，以
线段F1F2为直径的圆M与双曲线C的渐近线的一个交点为P，则（ ）
A. 圆M的方程为x2＋y2＝10
B. 双曲线C的离心率为
C. 双曲线C的渐近线方程为y＝± x
D. △PF1F2的面积为2
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√
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解析： 由双曲线方程C： － ＝1，得实半轴长a＝2 ，
虚半轴长b＝ ，半焦距c＝ ＝ ，圆M的圆心
为（0，0），半径为 ，方程为x2＋y2＝10，A正确；双曲
线C的离心率e＝ ＝ ，B正确；双曲线C： － ＝1的渐近线方程为y＝±2x，C错误；
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由 解得 则点P横坐标xP满足｜xP｜＝ ，
而｜F1F2｜＝2 ，于是 ＝ ·｜F1F2｜·｜xP｜＝2 ，D正
确，故选A、B、D.
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13. 已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，
F2，过点F2，B（0，b）的直线与双曲线右支在第一象限相交于点P，若
＝3 ，则双曲线C的渐近线方程为 y＝± x .
y＝± x
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解析：设P（x0，y0），x0＞0，y0＞0，因为B（0，b），F2（c，0），
所以直线BF2的方程为 ＋ ＝1，又 ＝3 ， ＝
×2c·b＝bc， ＝ ×2c·y0＝cy0，则bc＝3cy0，解得y0＝ ，将y0
＝ 代入 ＋ ＝1中，得x0＝ ，则P（ ， ），所以 － ＝1，又
a2＋b2＝c2，解得 ＝ ，故双曲线C的渐近线方程为y＝± x.
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14. 已知双曲线E： － ＝1（m＞0）.
（1）若m＝4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；
解：当m＝4时，双曲线方程为 － ＝1，
所以a＝2，b＝ ，c＝3，所以双曲线E的焦点坐标为（－3，0），
（3，0），
顶点坐标为（－2，0），（2，0），渐近线方程为y＝± x.
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（2）若双曲线E的离心率e∈（ ， ），求实数m的取值范围.
解：因为e2＝ ＝ ＝1＋ ，e∈（ ， ），所以 ＜1＋ ＜
2，解得5＜m＜10，所以实数m的取值范围是（5，10）.
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15. 已知F1，F2分别为双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，
P为双曲线右支上的任意一点，当 取最小值时，求双曲线的离心
率e的取值范围.
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解：因为双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，
F2，P为双曲线右支上的任意一点，所以｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，｜
PF1｜＝2a＋｜PF2｜，
所以 ＝ ＝ ＋4a＋｜PF2｜≥8a，当且仅
当 ＝｜PF2｜，
即｜PF2｜＝2a时取等号，所以｜PF1｜＝2a＋｜PF2｜＝4a，
因为｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＜2c，｜PF1｜＋｜PF2｜＝6a≥2c e＝
≤3，所以e∈（1，3].
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