《创新课堂》3.3.1　抛物线及其标准方程 课件 高中数学选修一(人教A版)同步讲练测

(共69张PPT)
3.3.1　抛物线及其标准方程
1. 了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用（数学抽象）.
2. 了解抛物线的定义、几何图形和标准方程（直观想象、数学运算）.
3. 会求简单的抛物线方程，并能应用它解决有关问题（数学运算、数学建模）.
课标要求
　　通过前面的学习可以发现，如果动点M到定点F的距离与M到定直线l（不过点F）的距离之比为k，当0＜k＜1时，点M的轨迹为椭圆；当k＞1时，点M的轨迹为双曲线.一个自然的问题是：当k＝1时，即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状？下面我们来研究这个问题.
情境导入
知识点一　抛物线的定义
01
知识点二　抛物线的标准方程
02
知识点三　抛物线的实际应用问题
03
提能点　抛物线定义的应用
04
目录
课时作业
05
01
PART
知识点一
抛物线的定义
问题1　如图，把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，截取一根绳子
的长度等于AC的长度，现将绳子的一端固定在三角板的顶点A处，另一端
用图钉固定在F处；用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把
绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样粉笔就描出了一条曲
线，这条曲线是什么曲线？
提示：抛物线.
【知识梳理】
1. 定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离
的点的轨迹叫做抛物线.
2. 焦点：点 叫做抛物线的焦点.
3. 准线：直线l叫做抛物线的 .
相
等　
F　
准线　
【例1】判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若点P到点F（1，0）的距离和到直线x＝－2的距离相等，则点P的
轨迹是抛物线. （　√　）
（2）若点P到点F（1，0）的距离和到直线x＋y－1＝0的距离相等，则
点P的轨迹是抛物线. （　×　）
（3）若点P到点F（1，0）的距离比到直线x＝－2的距离小1，则点P的
轨迹是抛物线. （　√　）
（4）抛物线的方程都是二次函数. （　×　）
√
×
√
×
【规律方法】
　对抛物线定义的理解
（1）“一动三定”：一动点M；一定点F（即焦点），一定直线l（即准
线），一定值1（即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为
1）；
（2）定义中要注意强调定点F不在定直线l上.当直线l经过点F时，点的
轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线.
训练1　已知点F（1，0），直线l：x＝－1，B是l上的动点.若过点B垂
直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是（　）
A. 双曲线 B. 椭圆 C. 圆 D. 抛物线
√
解析：　如图，连接MF，由中垂线性质知｜MB｜＝｜
MF｜，即M到定点F的距离与它到定直线l的距离相等，
且点F不在直线l上，因此，点M的轨迹是抛物线.故选D.
02
PART
知识点二
抛物线的标准方程
问题2　（1）比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐
标系，才能使所求抛物线的方程形式简单？
提示：我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点
与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系Oxy.
（2）按照上面建立的坐标系，设｜KF｜＝p（p＞0），焦点F（ ，
0），准线l的方程为x＝－ ，你能推导出抛物线的标准方程吗？
提示：设M（x，y）是抛物线上任意一点，点M到准线l的距离为d.由抛
物线的定义，抛物线是点的集合P＝{M｜｜MF｜＝d}.因为｜MF｜＝
，
d＝ ，所以 ＝ ，将上式两边平方并化简，得
y2＝2px（p＞0）.
【知识梳理】
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
（p＞
0）
（p
＞0）
y2＝2px
（ ，0）
y2＝－2px
x＝
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
（p＞
0）
（p
＞0）
　　提醒：四个标准方程的区分方法：焦点在一次项变量对应的坐标轴
上，开口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时，开口向坐标轴的
正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向.
x2＝2py
（0， ）
x2＝－2py
y＝
角度1　由标准方程求焦点坐标及准线方程
【例2】求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）y2＝x；
解：对于y2＝x，焦点在x轴正半轴上，
焦点坐标为（ ，0），
准线方程为x＝－ .
（2）x2＝－y；
解：对于x2＝－y，焦点在y轴负半轴上，
焦点坐标为（0，－ ），
准线方程为y＝ .
（3）x2＋12y＝0.
解：对于x2＋12y＝0，即x2＝－12y，
焦点在y轴负半轴上，
焦点坐标为（0，－3），准线方程为y＝3.
【规律方法】
　求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程化为标准形式，由方程得
到参数p，从而得到焦点坐标与准线方程.
角度2　求抛物线的标准方程
【例3】根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：
（1）焦点在y轴上，并且焦点到准线的距离等于6；
解：由已知得p＝6且焦点在y轴上，所以抛物线的标准方程是x2＝±12y.
（2）准线方程为x＝ ；
解：由题意知 ＝ ，所以p＝ ，所以抛物线的标准方程是y2＝－ x.
（3）焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点.
解：对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x
＝4，
所以抛物线的焦点为（0，－3）或（4，0）.
当焦点为（0，－3）时， ＝3，所以p＝6，此时抛物线的标准方程为
x2＝－12y；
当焦点为（4，0）时， ＝4，所以p＝8，此时抛物线的标准方程为y2
＝16x.
故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.
【规律方法】
　用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
　　提醒：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx（m≠0）或
x2＝ny（n≠0），这样可以减少讨论情况的个数.
训练2　（1）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），则p
＝ ，准线方程为 ；
解析：因为抛物线的焦点坐标为（1，0），所以 ＝1，p＝2，准线方程
为x＝－ ＝－1.
2
x＝－1

解析：当焦点在x轴上时，设所求抛物线的标准方程为y2＝mx（m≠0），
于是（－4）2＝3m，解得m＝ ；当焦点在y轴上时，设所求抛物线的标
准方程为x2＝ny（n≠0），于是32＝－4n，解得n＝－ ，所以抛物线的
标准方程为y2＝ x或x2＝－ y.
y2＝ x或x2＝－ y
03
PART
知识点三
抛物线的实际应用问题
【例4】　如图是抛物线形拱桥，设水面宽｜AB｜＝18 m，拱顶距离水面
8 m，一货船在水面上的部分的横截面为一矩形CDEF. 若｜CD｜＝9 m，
那么｜DE｜不超过多少米才能使货船通过拱桥？
解：如图所示，以点O为坐标原点，过点O且平行于AB的
直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标
系，则B（9，－8）.
设抛物线方程为x2＝－2py（p＞0）.因为点B在抛物线上，
所以81＝－2p·（－8），所以p＝ ，
所以抛物线的方程为x2＝－ y.
当x＝ 时，y＝－2，
即｜DE｜＝8－2＝6（m）.所以｜DE｜不超过6 m才能使货船通过拱桥.
【规律方法】
　求解抛物线实际应用题的步骤
训练3　为响应“节能减排，开发清洁能源”的号召，小华制作了一个可
以利用太阳光能源的太阳灶，如图所示.集光板由抛物面（抛物线绕对称
轴旋转得到）形的反光镜构成，已知镜口圆的直径为2 m，镜深0.25 m，
为达到最佳吸收太阳光的效果（容器灶圈在抛物面对应轴截面的抛物线焦
点处），容器灶圈到集光板顶点的距离应为（　　）
A. 0.5 m B. 1 m
C. 1.5 m D. 2 m
√
解析：　若使吸收太阳光的效果最好，容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处，如图，画出抛物面的轴截面，并建立坐标系，设抛物线方程为x2＝2py（p＞0），集光板端点A（1，0.25），代入抛物线方程可得2×0.25p＝1，解得p＝2，所以抛物线方程为x2＝4y，故焦点坐标是F（0，1），所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m.
04
PART
提能点
抛物线定义的应用
问题3　若点M（x0，y0）是抛物线y2＝2px（p＞0）上一点，抛物线的焦
点为F，准线为l，则线段MF叫做抛物线的焦半径.试探求焦半径的长度
与点M坐标的关系.
提示：如图所示，过点M作l的垂线段MH，由抛物线的定义可知｜MF｜＝｜MH｜＝x0＋ .
【知识梳理】
图形
方程 y2＝2px y2＝－2px
焦半径（｜MF｜）
图形
方程 x2＝2py x2＝－2py
焦半径（｜MF｜）
　　提醒：由焦半径公式｜MF｜＝x0＋ 可知｜MF｜的最小值为 ，此
时M在顶点.
【例5】　（1）抛物线x2＝4y上的点P到焦点的距离是10，则P点的坐标
为（　　）
A. （6，9） B. （－4，4）
C. （±6，9） D. （±4，4）
解析：　设点P（x0，y0），由抛物线方程x2＝4y，知焦点坐标为（0，
1），准线方程为y＝－1.由抛物线的定义，得｜PF｜＝y0＋1＝10，所以
y0＝9，代入抛物线方程得x0＝±6.所以P点坐标为（±6，9）.
√
（2）已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点（0，2）的距离
与P到该抛物线准线的距离之和的最小值.
解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距
离.由图可知，当点P，点（0，2）和抛物线的焦点F（ ，0）三点共线时
距离之和最小，所以最小距离d＝ ＝ .
变式　（1）若将本例（2）中的点（0，2）改为点A（5，3），求｜PA｜
＋｜PF｜的最小值；
解：将x＝5代入y2＝2x，
得y＝± .所以点A在抛物线内部.设点P到准线x＝－
的距离为d，则｜PA｜＋｜PF｜＝｜PA｜＋d.由图可
知，当PA⊥l时，｜PA｜＋d最小，最小值是 ，
即｜PA｜＋｜PF｜的最小值是 .
（2）若将本例中（2）的点（0，2）换为直线l1：3x－4y＋6＝0，求点
P到直线3x－4y＋6＝0的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最
小值.
解：如图，作PQ垂直于准线l于点Q，
｜PA1｜＋｜PQ｜＝｜PA1｜＋｜PF｜≥｜A1F｜min.
｜A1F｜的最小值为点F到直线3x－4y＋6＝0的距离，设点
F到直线l1的距离为d，
d＝ ＝ ，即所求最小值为 .
【规律方法】
　抛物线定义的两种应用
（1）实现距离转化：根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距
离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的
相互转化，从而简化某些问题；
（2）解决最值问题：在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小
值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.
训练4　（1）已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一
点，｜AF｜＝ x0，则x0＝（　A　）
A. 1 B. 2
C. 4 D. 8
解析：∵ ＋x0＝ x0，∴x0＝1.
A
（2）已知点P是抛物线C：x2＝12y上的一点，过点P作直线y＝－1的垂
线，垂足为M，若G（4，0），则｜PG｜＋｜PM｜的最小值为 .
解析：由抛物线C：x2＝12y可知其焦点坐标为（0，3），准线方程为y＝
－3，记抛物线C的焦点为F（0，3），所以｜PG｜＋｜PM｜＝｜PG｜
＋｜PF｜－2≥｜FG｜－2＝ －2＝3，当且仅当点P为线段FG
与抛物线的交点时等号成立，所以｜PG｜＋｜PM｜的最小值为3.
3
1. 若动点P到定点F（－4，0）的距离与到直线x＝4的距离相等，则P点
的轨迹是（　　）
A. 抛物线 B. 线段
C. 直线 D. 射线
解析：动点P的条件满足抛物线的定义.故选A.
√
2. 已知抛物线y＝2px2过点（1，4），则抛物线的焦点坐标为（　　）
A. （1，0）
D. （0，1）
解析：　由抛物线y＝2px2过点（1，4），可得p＝2，∴抛物线的标准
方程为x2＝ y，则焦点坐标为（0， ），故选C.
√
3. 已知抛物线的焦点在x轴的负半轴上，若p＝2，则其标准方程为（　　）
A. y2＝－2x B. x2＝－2y
C. y2＝－4x D. x2＝－4y
解析：　因为抛物线的焦点在x轴的负半轴上，所以设抛物线的标准方程
为y2＝－2px.又因为p＝2，所以抛物线的标准方程为y2＝－4x.故选C.
√
4. 石拱桥是世界桥梁史上出现较早、形式优美、结构坚固的一种桥型.如
图是一座石拱桥，桥洞弧线可近似看成是焦点在y轴负半轴上的抛物线C
的一部分，当水平面距离拱顶4米时，水面的宽度是8米，则抛物线C的焦
点到准线的距离为 米.
解析：设抛物线C：x2＝－2py（p＞0），由题意可知点（4，－4）在抛
物线C上，则－2p×（－4）＝42，解得p＝2，故抛物线C的焦点到准线
的距离是2米.
2
课堂小结
1.理清单
（1）抛物线的定义；
（2）抛物线的标准方程；
（3）抛物线的实际应用问题；
（4）抛物线定义的应用.
2.应体会
（1）求抛物线的标准方程时，常用待定系数法；
（2）求与抛物线有关的数值问题时，要注意数形结合思想、转化与化归
思想的应用.
3.避易错
求抛物线方程时不要混淆抛物线的焦点位置和方程形式.
05
PART
课时作业
1. 过点A（3，0）且与y轴相切的圆的圆心轨迹为（　　）
A. 圆 B. 椭圆
C. 直线 D. 抛物线
解析：　由题意可知，动圆的圆心到点A的距离与到y轴的距离相等，满
足抛物线的定义.
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2. 抛物线y＝－ x2的准线方程为（　　）
B. x＝1
C. y＝1 D. y＝2
解析：抛物线的标准方程为x2＝－4y，则准线方程为y＝1.
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3. 准线与x轴垂直，且经过点（1，－ ）的抛物线的标准方程是（　　）
A. y2＝－2x B. y2＝2x
C. x2＝2y D. x2＝－2y
解析：由题意可设抛物线的标准方程为y2＝mx（m≠0），则（－ ）2＝m，解得m＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x.
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4. 若抛物线x2＝16y上一点（x0，y0）到焦点的距离是该点到x轴距离的3
倍，则y0＝（　　）
C. 1 D. 2
解析：　抛物线x2＝16y的准线方程为y＝－4，由抛物线的定义知，抛
物线x2＝16y上一点（x0，y0）到焦点的距离为y0＋4，所以y0＋4＝3y0，
解得y0＝2.
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5. 已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动
点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（　　）
A. 2 B. 3
√
解析：　易知直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准
线，如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为PF的
长度，其中F（1，0）为抛物线y2＝4x的焦点.由图可知，
距离之和的最小值即F到直线l1的距离d＝ ＝2.
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6. 〔多选〕已知F为抛物线y2＝4x的焦点，A为抛物线上的一点，｜
AF｜＝2，则下列说法正确的是（　　）
A. 焦点F（1，0）
B. 准线方程为y＝－1
C. 点A（1，2）或A（1，－2）
D. 焦点到准线的距离为4
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解析：由y2＝4x可知2p＝4，即p＝2，所以抛物线的焦点为F（1，0），准线方程为x＝－1，故A正确，B错误；由抛物线定义可知｜AF｜＝xA－（－1）＝2，即xA＝1，代入抛物线方程可得 ＝4，即yA＝±2，所以点A（1，2）或A（1，－2），故C正确；由抛物线方程可知，焦点到准线的距离为p＝2，故D错误，故选A、C.
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7. 〔多选〕经过点P（4，－2）的抛物线的标准方程为（　　）
A. y2＝x B. x2＝8y
C. x2＝－8y D. y2＝－8x
解析：若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的方程为y2＝mx（m≠0），因为抛物线经过点P（4，－2），所以（－2）2＝4m，解得m＝1，所以抛物线的标准方程为y2＝x.若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为x2＝ny（n≠0），因为抛物线经过点P（4，－2），所以42＝－2n，解得n＝－8，所以抛物线的标准方程为x2＝－8y.故选A、C.
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8. 设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，
PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－ ，那么｜PF｜＝ .
解析：如图，设准线l与x轴交于点E，∠AFE＝60°，因为
F（2，0），所以E（－2，0），则 ＝tan 60°，
即｜AE｜＝4 ，所以点P的坐标为（6，4 ），故｜
PF｜＝｜PA｜＝6＋2＝8.
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9. 平面上一动点P到定点F（1，0）的距离比点P到y轴的距离大1，则动
点P的轨迹方程为 .
解析：由题意，动点P到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离大1，由于
点F（1，0）到y轴的距离为1，故当x＜0时，直线y＝0上的点符合题
意；当x≥0时，题中条件等价于点P到点F（1，0）与到直线x＝－1的距
离相等，故点P的轨迹是以F为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，轨迹
方程为y2＝4x.故所求动点P的轨迹方程为y2＝4x（x≥0）或y＝0（x＜
0）.
y2＝4x（x≥0）或y＝0（x＜0）
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10. 根据下列条件分别求抛物线的标准方程：
（1）抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；
解：双曲线方程可化为 － ＝1，左顶点为（－3，0），
由题意设抛物线方程为y2＝－2px（p＞0）且 ＝－3，
∴p＝6，∴抛物线的方程为y2＝－12x.
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（2）抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，｜AF｜
＝5.
解：设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px（p≠0），A（m，－3），
由抛物线定义得5＝｜AF｜＝｜m＋ .
又（－3）2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9，
故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x.
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11. 若抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的
中点的横坐标为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析：由抛物线方程y2＝2x可知， ＝ ，设点A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的定义知点A到焦点F的距离等于点A到准线的距离，即｜AF｜＝x1＋ ＝x1＋ ，同理｜BF｜＝x2＋ ＝x2＋ .故｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋1＝5，即x1＋x2＝4，得 ＝2.故线段AB的中点的横坐标是2.
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12. 〔多选〕设抛物线y2＝4x，F为其焦点，P为抛物线上一点，则下列
结论正确的是（　　）
A. 抛物线的准线方程是x＝－1
B. 当PF⊥x轴时，｜PF｜取最小值
D. 以线段PF为直径的圆与y轴相切
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解析：对于A，抛物线的准线方程为x＝－ ＝－1，故A正确；对于B，设P（x0，y0），则x0≥0， ＝4x0，F（1，0），则｜PF｜＝ ＝x0＋1≥1，当x0＝0时取得最小值，此时P（0，0）在
原点，故B错误；对于C，A在抛物线外部，故当P，A，F三点共线时｜
PA｜＋｜PF｜取得最小值，为｜AF｜＝ ＝
，故C正确；
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对于D，过点P作准线的垂线，垂足为Q，设P（m，n），线段PF的中
点为B（x1，y1），可得x1＝ （1＋m），由抛物线的定义，得｜PF｜＝｜PQ｜＝m＋1，∴x1＝ ｜PF｜，即点B到y轴的距离等于以PF为直径的圆的半径，因此，以PF为直径的圆与y轴相切，故D正确.故选A、C、D.
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13. 清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡
远”“清新”的特征.如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形
状，碗盖深为3 cm，碗盖口直径为8 cm，碗体口直径为10 cm，碗体深6.25
cm，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为 cm（碗体
和碗盖的厚度忽略不计）.
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解析：以碗体的最低点为原点，向上方向为y轴的正方向，
建立平面直角坐标系，如图所示.设碗体的抛物线方程为x2
＝2py（p＞0），将点（5，6.25）代入，得52＝
2p×6.25，解得p＝2，则x2＝4y，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为h cm，则两抛物线在第一象限的交点为（4，h－3），代入到x2＝4y，得42＝4（h－3），解得h＝7.
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14. （2025·青岛月考）如图所示，已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为
F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的
距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M.
（1）求抛物线的方程；
解：抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－ ，
于是4＋ ＝5，p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x.
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（2）过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标.
解：由题意得A（4，4），B（0，4），M（0，2）.
又F（1，0），所以kAF＝ ，
则直线FA的方程为y＝ （x－1）.
因为MN⊥FA，所以kMN＝－ ，
则直线MN的方程为y＝－ x＋2.
解方程组得 所以N .
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15. 已知抛物线y2＝4ax（a＞0）的焦点为A，以B（a＋4，0）为圆
心，｜BA｜为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同两点
M，N，点P为线段MN的中点.
（1）求｜AM｜＋｜AN｜的值；
解：设M（xM，yM），N（xN，yN），由抛物线的定义，得｜
AM｜＋｜AN｜＝xM＋xN＋2a.
又圆的方程为[x－（a＋4）]2＋y2＝16，
将y2＝4ax代入，得x2－2（4－a）x＋a2＋8a＝0，
∴xM＋xN＝2（4－a），∴｜AM｜＋｜AN｜＝8.
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（2）是否存在这样的a，使2｜AP｜＝｜AM｜＋｜AN｜？若存在，求
出a的值；若不存在，请说明理由.
解：不存在.理由如下：
假设存在这样的a，使得2｜AP｜＝｜AM｜＋｜AN｜.过点P作PP'垂直
抛物线的准线，垂足为P'（图略）.
∵｜AM｜＋｜AN｜＝2｜PP'｜，∴｜AP｜＝｜PP'｜.
由抛物线的定义知点P必在抛物线上，
这与点P是线段MN的中点矛盾，
∴这样的a不存在.
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THANKS
演示完毕 感谢观看